Logika i teoria mnogości/Wykład 12: Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Wprowadzenie

W poniższym wykładzie przyjrzymy się dokładnie zbiorom dobrze uporządkowanym. Jedną z ważniejszych własności tych zbiorów jest to, że prawdziwa jest w nich uogólniona zasada indukcji zwana "indukcją pozaskończoną". Jest to szczególnie istotne w kontekście twierdzenia Zermelo które mówi, że każdy zbiór da się dobrze uporządkować. Możemy dzięki temu przeprowadzać dowody indukcyjne oraz definiować nowe funkcje za pomocą indukcji pozaskończonej na zbiorach większych niż przeliczalne.

Dobre uporządkowanie

Przypomnijmy, że zbiorem dobrze uporządkowanym nazywamy zbiór częściowo uporządkowany, w którym każdy niepusty podzbiór ma element najmniejszy. Wynika stąd, że również w całym zbiorze musi istnieć element najmniejszy, o ile tylko zbiór jest niepusty.

Przykład 2.1.

Przykładem zbioru dobrze uporządkowanego jest zbiór uporządkowany, przez . Zasada minimum (patrz Wykład 7, Twierdzenie 5.2) mówi, że w każdym podzbiorze istnieje element najmniejszy, a więc, że ten porządek jest dobry.

Ćwiczenie 2.2

Udowodnij, że każdy dobry porządek jest porządkiem liniowym.

Wskazówka
Rozwiązanie

Zbiory dobrze uporządkowane mają bardzo specyficzną strukturę. Jedną z własności jest istnienie następników dla prawie wszystkich elementów.

Definicja 2.3.

W zbiorze uporządkowanym element nazywamy następnikiem elementu , jeśli , oraz każdy element silnie większy od jest nie mniejszy od (czyli ).

Ćwiczenie 2.4

Podaj przykład zbioru uporządkowanego, w którym żaden element nie ma następnika.

Rozwiązanie

Twierdzenie 2.5.

W zbiorze dobrze uporządkowanym każdy element, który nie jest elementem największym, ma następnik.

Dowód

Niech będzie zbiorem dobrze uporządkowanym. Niech będzie dowolnym elementem zbioru , który nie jest elementem największym. Zdefiniujmy zbiór następująco:

Zbiór jest niepusty, gdyż nie jest elementem największym. Ponieważ jest dobrze uporządkowany, to w zbiorze istnieje element najmniejszy, nazwijmy go . Pokażemy, że jest następnikiem . Ponieważ , to . Weźmy dowolny element , który jest silnie większy od . Wtedy musi należeć do , a więc ponieważ jest najmniejszy w , to . Wobec tego jest następnikiem elementu .

End of proof.gif

Definicja 2.6.

Element zbioru dobrze uporządkowanego nazywamy elementem granicznym, jeśli nie jest następnikiem, żadnego elementu.

Ćwiczenie 2.7

Podaj przykład zbioru uporządkowanego liniowo, w którym każdy element ma następnik, a zbiór nie jest dobrze uporządkowany. Czy zbiór tak uporządkowany może mieć element najmniejszy?

Rozwiązanie

Pokażemy teraz, że każdy zbiór dobrze uporządkowany jest podobny do pewnej rodziny zbiorów uporządkowanych przez inkluzję.

Definicja 2.8.

Niech będzie zbiorem uporządkowanym. Zbiór nazywamy przedziałem początkowym jeśli

Czyli jest przedziałem początkowym, jeśli wraz z każdym swoim elementem zawiera także wszystkie elementy zbioru , które są od niego mniejsze. Będziemy używać następujących oznaczeń, dla niech:

oraz:

Zbiór będziemy nazywać domkniętym przedziałem początkowym.

Twierdzenie 2.9.

Jeśli będzie zbiorem dobrze uporządkowanym. Wtedy każdy jego przedział początkowy, różny od , jest postaci , dla pewnego elementu (czyli każdy przedział początkowy jest postaci ).

Dowód

Niech będzie przedziałem początkowym różnym od . Wtedy zbiór jest niepusty i jest podzbiorem , więc posiada element najmniejszy, oznaczmy go przez . Pokażemy, że . Przypuśćmy, że istnieje element taki, że oraz . Wtedy ponieważ jest przedziałem początkowym, to również musiałby być elementem , co jest sprzeczne z tym, że . Wobec tego wszystkie elementy są silnie mniejsze od . Przypuśćmy teraz, że istnieje element , który jest silnie mniejszy od i nie należy do . Wtedy i ponieważ jest silnie mniejszy od , to dostajemy sprzeczność z faktem, że jest najmniejszy w tym zbiorze. Wobec tego zbiór składa się dokładnie z elementów silnie mniejszych od , co oznacza, że .

End of proof.gif

Ćwiczenie 2.10

Podaj przykład zbioru dobrze uporządkowanego , w którym istnieje przedział początkowy różny od , który nie jest postaci (uwaga! nierówność jest słaba).

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.11

Udowodnij, że dla każdego dobrego porządku istnieje funkcja, która niepustym podzbiorom przypisuje ich element najmniejszy. Funkcje tę nazywamy .

Rozwiązanie

W poniższym twierdzeniu przedstawiamy konstrukcję rodziny zbiorów uporządkowanej przez podobnej do danego zbioru dobrze uporządkowanego.

Twierdzenie 2.12

Niech będzie zbiorem dobrze uporządkowanym, a będzie zbiorem jego istotnych przedziałów początkowych. Wtedy jest podobny do .

Dowód

Zdefiniujmy funkcję , tak aby . Pokażemy, że ta funkcja ustala podobieństwo. Pokażemy po kolei, że jest suriekcją , iniekcją oraz że jest monotoniczna:

  1. Suriektywność funkcji wynika z Twierdzenia 2.9 (patrz Twierdzenie 2.9).
  2. Weźmy dowolne takie, że . Wtedy z definicji oraz , a więc .
  3. Weźmy dowolne takie, że . Weźmy dowolny .

Oznacza to, że , a więc . Wtedy również , a więc . Wobec dowolności wyboru otrzymujemy , a więc funkcja jest monotoniczna.

End of proof.gif

Zauważmy, że własność bycia dobrym porządkiem jest przenoszona przez podobieństwo porządków.

Ćwiczenie 2.13

Jeśli porządki oraz są podobne, to jest dobry wtedy i tylko wtedy, gdy jest dobry.

Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.14

Dla zbiorów uporządkowanych , porządek leksykograficzny definiujemy tak, że:

Dla zbiorów uporządkowanych w naturalny sposób, sprawdź, czy następujące ich produkty są dobrze uporządkowane:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.15

Rozważmy dwa porządki na zbiorze zdefiniowane w następujący sposób:

Czy porządki te są podobne?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.16

Czy porządek leksykograficzny na zbiorze jest dobrym porządkiem. (Zbiór to zbiór wszystkich skończonych ciągów złożonych z 0 i 1. Porządek leksykograficzny na takim zbiorze definiujemy jako , jeśli jest prefiksem lub jeśli na pierwszej współrzędnej, na której się różnią w występuje 0, a w występuje 1.)

Wskazówka
Rozwiązanie

Zasada indukcji

Zdefiniujemy teraz zasadę indukcji, która będzie obowiązywała w zbiorach dobrze uporządkowanych.

Definicja 3.1.

Niech będzie liniowym porządkiem. W obowiązuje zasada indukcji, jeśli dla dowolnego zbioru takiego, że:

  1. ,
  2. ,
  3. dla dowolnego , jeśli , to .

zachodzi .

W wykładzie o liczbach naturalnych udowodniliśmy twierdzenie o indukcji (patrz Wykład 7, Twierdzenie 3.1), z którego wynika, że zasada indukcji obowiązuje w . W poniższym twierdzeniu dowodzimy analogiczne twierdzenie, dla wszystkich zbiorów dobrze uporządkowanych.

Twierdzenie 3.2.

W każdym zbiorze dobrze uporządkowanym obowiązuje zasada indukcji.

Dowód

Niech będzie dobrym porządkiem. Niech będzie dowolnym zbiorem takim, że:

  1. ,
  2. element najmniejszy należy do ,
  3. dla dowolnego jeśli to .

Pokażemy, że . Niech . Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że . W takim przypadku w zbiorze istnieje element najmniejszy . Skoro jest najmniejszy w , to każdy element , dla którego musi należeć do (nie może należeć do więc należy do ). Wtedy wiemy, że , a więc z trzeciej własności zbioru otrzymujemy , a więc dostaliśmy sprzeczność (bo , a te zbiory są rozłączne).

End of proof.gif

Okazuje się, że dobre porządki są nawet bardziej związane z zasadą indukcji. Wyrazem tego jest poniższe twierdzenie.

Twierdzenie 3.3.

Każdy porządek liniowy, w którym istnieje element najmniejszy i obowiązuje zasada indukcji jest dobry.

Dowód

Niech będzie liniowym porządkiem, w którym istnieje element najmniejszy oraz obowiązuje zasada indukcji. Niech będzie podzbiorem , w którym nie ma elementu najmniejszego. Zdefiniujmy zbiór jako zbiór tych elementów , które są mniejsze od wszystkich elementów z , czyli:

Zbiór jest niepusty, gdyż ( nie może należeć do , gdyż byłby najmniejszy). Pokażemy, że dla dowolnego , jeśli , to . Przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy dla pewnego mamy oraz . Wynika stąd, że istnieje element taki, że , ponieważ jednak żaden element mniejszy od nie należy do , to , a więc . Z tego samego powodu i z faktu, że porządek jest liniowy otrzymujemy, że element jest najmniejszy w , co jest sprzeczne z założeniem, że w nie ma elementu najmniejszego. Wobec tego konieczne jest, aby .

Pokazaliśmy, że zbiór spełnia założenia zasady indukcji. Ponieważ zasada ta obowiązuje w , to otrzymujemy . Wynika stąd, że zbiór musi być pusty. Wobec tego każdy niepusty podzbiór ma element najmniejszy, a więc jest dobrym porządkiem.

End of proof.gif

Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję udowodnione dla liczb naturalnych również ma swój odpowiednik dla dobrych porządków. Mówi ono, że jeśli wyspecyfikujemy sposób konstrukcji wartości funkcji na argumentach na podstawie wartości oraz wartości tej funkcji dla wszystkich takich, że , to wyznaczymy jednoznacznie funkcję odpowiadającą tej specyfikacji. Twierdzenie to, nazywane jest twierdzeniem o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną, gdyż najważniejsze zastosowania ma właśnie dla zbiorów nieskończonych.

Twierdzenie 3.4. [o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną]

Niech będzie dobrym porządkiem. Przez oznaczamy zbiór wszystkich funkcji częściowych ze zbioru do . Pokażemy, że dla każdej funkcji istnieje dokładnie jedna funkcja , dla której:

Dowód

Dowód przebiega analogicznie jak dla liczb naturalnych. Rozważmy następujący zbiór

gdzie i oznaczają odpowiednio:

  1. ,
  2. .

Innymi słowy, jest zbiorem funkcji częściowych określonych na przedziałach początkowych , spełniających równość 3.1.

Pokażemy, że dla każdych dwóch funkcji częściowych jedna z nich jest rozszerzeniem drugiej. Przypuśćmy, że tak nie jest. Weźmy funkcje określone odpowiednio na zbiorach , które różnią się na pewnym argumencie, na którym obie są określone. Bez straty ogólności możemy założyć, że . Rozważmy zbiór . Zbiór jest podzbiorem . Skoro funkcje się różnią na jakimś argumencie, to jest niepusty, a więc zawiera element najmniejszy, oznaczmy go przez . Skoro jest najmniejszy, to dla dla wszystkich funkcje muszą być równe. Czyli:

wobec tego dla dowolnego mamy:

I skoro obie funkcje są określone na i należą do , to dla dowolnego z warunku (2) otrzymamy . Otrzymaliśmy więc sprzeczność z faktem, że . Wobec tego jest pusty i jest rozszerzeniem .

Pokażemy teraz, że dla każdego istnieje w funkcja określona na . Niech będzie zbiorem tych elementów , dla których nie istnieje w funkcja określona na . Załóżmy dla dowodu niewprost, że ten zbiór jest niepusty. Jako podzbiór zbioru dobrze uporządkowanego posiada element najmniejszy, oznaczmy go przez . Niech będzie zbiorem funkcji częściowych z określonych na domkniętych przedziałach początkowych silnie mniejszych od , ponieważ jest najmniejszy w , to na każdym takim przedziale jest określona jakaś funkcja należąca do . Określimy funkcję jako:

Zauważmy jest funkcją częściową, gdyż dla każdych dwóch funkcji z jedna z nich jest rozszerzeniem drugiej. Z powyższej definicji wynika, że . Wobec tego spełnia pierwszy warunek przynależności do zbioru . Pokażemy, że spełnia również drugi. Weźmy dowolny oraz . Rozważymy dwa przypadki.

1. Jeśli , to:

i ponieważ , to:

2. W pozostałym przypadku . Wtedy , a więc musi należeć do którejś z funkcji z , nazwijmy tę funkcję . Ponieważ , to:

Skoro to , a więc . Ponieważ jednak jest określona na całym zbiorze , to:

Stąd otrzymujemy:

Wobec tego funkcja spełnia także drugi warunek przynależności do , a więc . Ponieważ to otrzymaliśmy sprzeczność z . Wobec tego zbiór musi być pusty. Czyli dla każdego istnieje w funkcja określona na .

Pokażemy, że szukaną funkcją jest . Ponieważ elementy zbioru są funkcjami częściowymi i zbiór jest uporządkowanymi przez inkluzję, to jest funkcją częściową. Ponieważ dla każdego istnieje w funkcja , to jest określona na wszystkich elementach . Stąd otrzymujemy . Ze sposobu konstrukcji wynika również, że spełniona jest równość 3.1.

Pozostało pokazać, że jest jedyną taką funkcją. Przypuśćmy, że istnieje funkcja różna od , która spełnia równość 3.1. Niech . Ponieważ jest niepustym podzbiorem , to posiada element najmniejszy . Ponieważ jest najmniejszy w , to:

Ustalmy dowolne . Wtedy:

Ponieważ obie funkcje spełniają 3.1, to lewa strona powyższej równości jest równa , a prawa . Wynika stąd, że , co wobec dowolności wyboru jest sprzeczne z przynależnością do zbioru . Wynika stąd, że zbiór musi być pusty, a więc funkcje i muszą być równe.

End of proof.gif

Ćwiczenie 3.5

Udowodnij, że każdy zbiór nieskończony można podzielić na dwa równoliczne rozłączne podzbiory.

Wskazówka
Rozwiązanie

Pokażemy teraz ważne twierdzenie, które mówi, że dla dowolnych dwóch zbiorów dobrze uporządkowanych jeden z nich jest podobny do przedziału początkowego drugiego.

Twierdzenie 3.6.

Niech , będą dobrymi porządkami. Wtedy przynajmniej jedno z poniższych zdań jest prawdziwe:

  1. istnieje przedział początkowy taki, że jest podobny do ,
  2. istnieje przedział początkowy taki, że jest podobny do .

Dowód

Niech będzie elementem nienależącym do (w roli może wystąpić , ze względu na przejrzystość dowodu decydujemy się na oznaczenie ). Rozważmy zbiór , który uporządkujemy relacją , czyli jest większy od wszystkich elementów . Zauważmy, że jest dobrym porządkiem.

Zdefiniujmy funkcję następująco, dla dowolnej funkcji częściowej niech

Pokażemy, że funkcja jest monotoniczna (funkcje częściowe porządkujemy za pomocą inkluzji). Dla dowolnych dwóch funkcji częściowych takich, że mamy:

Z twierdzenia o definiowaniu przez indukcję wynika, że istnieje funkcja , dla której

Łatwo pokazać, że funkcja jest monotoniczna. Dla dowolnych dla których mamy:

i z monotoniczności funkcji otrzymujemy:

Pokażemy, że dla każdego prawdą jest, że . Ustalmy dowolny element . Z monotoniczności dostajemy prawie natychmiast . Dla pokazania inkluzji w drugą stronę, weźmy dowolny element . Wtedy . Przypuśćmy dla dowodu nie wprost, że wtedy oraz co jest sprzeczne z definicją funkcji w punkcie , bo element miał być najmniejszy w tym zbiorze. Pokazaliśmy więc inkluzje w obie strony. Wobec dowolności wyboru dowiedliśmy żądaną własność.

Pokażemy, że dla różnych elementów , jeśli wartości są równe sobie, to są równe . Weźmy dowolne różne elementy , dla których . Bez straty ogólności możemy założyć, że . Wtedy:

Ponieważ , to , a więc skoro , to musi należeć do , czyli .

Rozważymy teraz dwa przypadki.

1. Jeśli , to jest iniekcją. Zauważmy, że

. Ponieważ , to

A więc , jako suma przedziałów początkowych, jest przedziałem początkowym. Wobec tego jest monotoniczną iniekcją, której obrazem jest istotny przedział początkowy , a więc również przedział początkowy . Wobec tego jest podobny do przedziału początkowego .

2. Jeśli , to niech będzie takim elementem, że

. Rozważymy zbiór . Z monotoniczności wynika, że jest odcinkiem początkowym . Ponieważ to . Wobec tego funkcja zawężona do zbioru jest monotoniczną bijekcją w zbiór . Wynika stąd, że jest podobny do . Ponieważ jest przedziałem początkowym, to jest podobny do pewnego przedziału początkowego .

End of proof.gif

Z powyższego twierdzenia wynika bardzo ważny następujący wniosek:

Twierdzenie 3.7.

Każde dwa zbiory są porównywalne na moc. Czyli dla dowolnych zbiorów , prawdą jest, że

Dowód

Z Twierdzenia 3.6 (patrz Twierdzenie 3.6.) wynika, że dowolne zbiory dobrze uporządkowane można porównywać na moc. Z twierdzenia Ernsta Zermelo (patrz Wykład 11, Twierdzenie 3.4) wynika, że dowolne zbiory można dobrze uporządkować. Wobec tego dowolne zbioru można porównywać na moc.

End of proof.gif

Twierdzenie 3.8.

Żaden zbiór dobrze uporządkowany nie jest podobny do swojego istotnego przedziału początkowego.

Dowód

Niech będzie dobrym porządkiem. Przypuśćmy, że istnieje przedział początkowy , który uporządkowany relacją jest podobny do . Niech będzie funkcją podobieństwa, niech . Skoro , to jest zbiorem niepustym, a więc ma element najmniejszy, oznaczmy go przez . Wtedy , a więc ponieważ jest najmniejszy w zbiorze , to . Rozważmy dwa przypadki:

  1. , wtedy nie jest iniekcją, a więc dostaliśmy sprzeczność.
  2. , a więc nie jest monotoniczna i dostaliśmy sprzeczność.
End of proof.gif

Liczby porządkowe

W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, że dla dowolnych dwóch zbiorów dobrze uporządkowanych jeden z nich jest podobny do odcinka początkowego drugiego.

Powiemy, że dobre porządki i tego samego typu, jeśli jest podobny do .

Łatwo wykazać, że każdy dobry porządek jest tego samego typu co on sam, jeśli jest tego samego typu co , to jest tego samego typu co oraz że, jeśli jest tego samego typu co i jest tego samego typu co , to jest tego samego typu co . Te trzy własności dokładnie odpowiadają wymaganiom jakie stawiamy relacji, aby była relacją równoważności. Może się wydawać kuszące zdefiniowanie relacji podobieństwa. Niestety takie próby skazane są na niepowodzenie, gdyż taka relacja musiałaby być określona na zbiorze wszystkich dobrych porządków, a taki zbiór (podobnie jak zbiór wszystkich zbiorów) nie istnieje. Co więcej dla ustalonego niepustego zbioru dobrze uporządkowanego nie istnieje nawet zbiór dobrych porządków, które są tego samego typu co on. W podejściach do teorii mnogości, które dopuszczają pojęcie klasy, mówi się o typach porządkowych jako o klasach. W przypadku rozważanej teorii ZFC nie możemy definiować klas, które nie są zbiorami. Zamiast tego wyróżnimy pewne porządki, które będą reprezentować wszystkie porządki podobne do nich. Porządki te, będące czymś w rodzaju reprezentantów "klas" podobieństwa, nazwiemy liczbami porządkowymi. Poniższa definicja liczb porządkowych pochodzi od Johna von Neumanna. Jest to formalizacja idei aby liczba porządkowa była zbiorem liczb porządkowych od niej mniejszych.

Definicja 4.1.

Zbiór nazwiemy liczbą porządkową, jeśli ma następujące własności:

  1. .
  2. .

Najprostszym przykładem liczby porządkowej jest zbiór pusty. W poniższym ćwiczeniu pokazujemy, jak można konstruować kolejne liczby porządkowe.

Ćwiczenie 4.2

Udowodnij, że jeśli jest liczbą porządkową, to jest liczbą porządkową.

Rozwiązanie

Z twierdzenia udowodnionego w poprzednim ćwiczeniu możemy wywnioskować, że każda liczba naturalna jest liczbą porządkową. Nie koniec na tym, zauważmy, że cały też jest liczbą porządkową (patrz Wykład 7, Twierdzenie 4.1), a więc także oraz , itd.

Twierdzenie 4.3.

Każdy element liczby porządkowej jest liczbą porządkową.

Dowód

Niech będzie liczbą porządkową i niech . Z drugiej własności liczb porządkowych otrzymujemy . Pokażemy, że spełnia warunki bycia liczbą porządkową:

  1. Weźmy dowolne różne elementy . Wtedy ponieważ , to . Skoro jest liczbą porządkową, to lub . Zbiór spełnia więc pierwszy warunek bycia liczbą porządkową.
  2. Weźmy dowolny element . Ponieważ , to i z drugiej własności liczb porządkowych otrzymujemy . Przypuśćmy, że , wtedy istnieje taki, że . Ponieważ jednak , to ; zatem z drugiej własności liczb porządkowych otrzymujemy lub . W pierwszym przypadku otrzymujemy a w drugim .

Obydwa te przypadki prowadzą do sprzeczności z aksjomatem regularności. Wobec tego, konieczne jest, aby .

End of proof.gif

Z powyższego twierdzenia natychmiast wynika następujący fakt, z którego będziemy często korzystać.

Fakt 4.1.

Dla dowolnej liczby porządkowej oraz elementów , jeśli , to .

Jeśli liczby porządkowe mają reprezentować "klasy" podobnych dobrych porządków, to same powinny być dobrymi porządkami. Dowodzimy tego w następnym twierdzeniu.

Twierdzenie 4.4.

Każdy zbiór będący liczbą porządkową jest dobrze uporządkowany relacją inkluzji.

Dowód

Rozważmy zbiór będący liczbą porządkową. Skoro dla każdych dwóch różnych elementów mamy lub , to z poprzedniego twierdzenia otrzymujemy lub . A więc jest uporządkowany liniowo przez relację inkluzji.

Pokażemy teraz, że w każdym podzbiorze istnieje element najmniejszy ze względu na inkluzję. Weźmy dowolny taki zbiór . Z aksjomatu regularności (patrz Wykład 4, Aksjomat Regularności) wynika, że istnieje element taki, że . Pokażemy, że należy do każdego elementu , który jest różny od . Weźmy dowolny taki element . Wiemy, że jest różny od , a więc z pierwszej własności liczb porządkowych otrzymujemy lub . Przypuśćmy, że , wtedy, ponieważ , to również , co prowadzi do sprzeczności, ponieważ ten zbiór jest niepusty. Wobec tego konieczne jest, aby . Z drugiej własności liczb porządkowych otrzymujemy, że . Wobec czego pokazaliśmy, że dla dowolnego mamy , co znaczy że, jest najmniejszym w sensie inkluzji elementem .

End of proof.gif

Twierdzenie 4.5.

Każdy przedział początkowy liczby porządkowej jest liczbą porządkową.

Dowód

Jeśli przedział początkowy jest zbiorem pustym, to jest liczbą początkową. Zajmiemy się więc tylko niepustymi. Weźmy dowolną liczbę porządkową . Niech będzie jej niepustym przedziałem początkowym. Pokażemy, że jest liczbą porządkową.

  1. Własność pierwsza wynika natychmiast z faktu, że .
  2. Weźmy dowolną liczbę . Skoro jest liczbą porządkową, to . Weźmy dowolny element , wynika stąd, że , a więc skoro

jest przedziałem początkowym to .

End of proof.gif

Ćwiczenie 4.6

Niech będzie liczbą porządkową. Udowodnij, że dla dowolnych elementów , jeśli , to .

Wskazówka
Rozwiązanie

Z powyższego ćwiczenia wynika następujący fakt.

Fakt 4.2.

Każdy element liczby porządkowej jest liczbą porządkową.

Ćwiczenie 4.7

Udowodnij, że jest elementem każdej niepustej liczby porządkowej.

Rozwiązanie

Twierdzenie 4.8.

Dla każdych dwóch liczb porządkowych jedna jest podzbiorem drugiej.

Dowód

Dowiedliśmy już, że liczby porządkowe są dobrze uporządkowane przez inkluzję. Wobec tego z Twierdzenia 3.6 (patrz Twierdzenie 3.6.) wynika, że dla każdych dwóch liczb porządkowych jedna z nich jest podobna do przedziału początkowego drugiej. Ponieważ przedziały początkowe liczb porządkowych są liczbami porządkowymi, to wystarczy wykazać, że każde podobieństwo liczb porządkowych uporządkowanych inkluzją jest identycznością.

Weźmy liczby porządkowe i przypuśćmy, że funkcja jest podobieństwem pomiędzy porządkami i . Pokażemy, że jest identycznością.

Niech będzie zbiorem , dla których . Jeśli , to funkcja jest identycznością. Dla dowodu niewprost załóżmy więc, że . Ponieważ jest dobrze uporządkowany, to w zbiorze istnieje element najmniejszy, oznaczmy go przez .

Pokażemy, że . Weźmy dowolny element , wtedy i z monotoniczności otrzymujemy , ponieważ jednak , to , a więc . Wobec dowolności wyboru dostajemy .

Skoro , to istnieje element , który nie należy do . Ponieważ , to również . Funkcja jest bijekcją, więc musi istnieć , dla którego . Łatwo zauważyć, że , gdyż . Element nie może być elementem , gdyż wtedy i . Wobec tego musi być elementem , ale wtedy i z monotoniczności dostajemy , co jest sprzeczne z faktem (bo wtedy ).

Pokazaliśmy, że założenie o niepustości zbioru prowadzi do sprzeczności. Zbiór ten musi więc być pusty co oznacza, że funkcja jest identycznością. Wobec tego, każde dwie podobne liczby porządkowe są sobie równe.

End of proof.gif

Powyższe twierdzenie mówi, że każde dwie liczby porządkowe są porównywalne przez inkluzję. Przez analogię do liczb naturalnych używamy jednak dla liczb porządkowych oznaczenia , zamiast .

Z powyższego twierdzenia wynika, że każdy zbiór liczb porządkowych jest uporządkowany liniowo przez inkluzję.

Ćwiczenie 4.9

Udowodnij, że każdy zbiór liczb porządkowych jest dobrze uporządkowany inkluzją.

Rozwiązanie

Twierdzenie 4.10. [Antynomia Burali-Forti]

Nie istnieje zbiór liczb porządkowych.

Dowód

Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że taki zbiór istnieje, nazwijmy go . Pokażemy, że jest liczbą porządkową. W poprzednich ćwiczeniach pokazaliśmy, że jest dobrze uporządkowany, przez inkluzję.

  1. Niech będą różnymi elementami . Wtedy lub . Z Ćwiczenia 4.6 (patrz Ćwiczenie 4.6) wynika, że w pierwszym przypadku mamy , a w drugim . Więc zbiór spełnia pierwszy z warunków bycia liczbą porządkową.
  2. Weźmy dowolny element ze zbioru . Z Faktu 4.2 (patrz Fakt 4.2.) wiemy, że każdy element należący do zbioru jest liczbą porządkową. Ponieważ do należą wszystkie liczby porządkowe, to . A więc spełnia drugi warunek bycia liczbą porządkową.

Wobec powyższych faktów zbiór jest liczbą porządkową, a więc musi być własnym elementem. Otrzymaliśmy więc sprzeczność.

End of proof.gif

W ostatnim twierdzeniu w tym rozdziale pokażemy, że każdy dobry porządek jest podobny do pewnej liczby porządkowej, a więc każda "klasa" podobnych dobrych porządków ma swojego reprezentanta, który jest liczbą porządkową.

Twierdzenie 4.11.

Każdy zbiór dobrze uporządkowany jest podobny do pewnej liczby porządkowej.

Dowód

Dla dowodu nie wprost załóżmy, że istnieje dobry porządek , który nie jest podobny do żadnej liczby porządkowej. Z Twierdzenia 3.6 (patrz Twiedzenie 3.6.) wynika, że każda liczba porządkowa jest podobna do jakiegoś przedziału początkowego . Używając aksjomatu zastępowania z (patrz Wykład 4, Aksjomat Zastępowania) pokażemy, że istnieje wtedy zbiór liczb porządkowych.

Niech będzie formułą o zmiennych wolnych , która będzie spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy jest dobrym porządkiem, jest liczbą porządkową i jest podobne do . Nie jest trudno napisać taką formułę, ale nie jest ona krótka, dlatego ten fragment dowodu pozostawiamy czytelnikowi. Ponieważ dwie liczby porządkowe są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy są równe, to do każdy dobry porządek jest podobny do co najwyżej jednej liczby porządkowej. Wobec tego dla dowolnego można dobrać co nawyżej jedno takie, aby formuła była prawdziwa. To znaczy że dla formuły przesłanka aksjomatu zastępowania jest spełniona. Wobec tego prawdą jest również:

Biorąc za zbiór odcinków początkowych , dostaniemy, że istnieje zbiór taki, że należy do wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje będący odcinkiem początkowym , dla którego prawdziwa jest formuła . Oznacza to dokładnie, że istnieje zbiór wszystkich liczb porządkowych podobnych do przedziałów początkowych . Skoro założyliśmy, że każda liczba porządkowa jest podobna do pewnego przedziału początkowego , to istnieje zbiór liczb porządkowych. Otrzymaliśmy więc sprzeczność z Twierdzeniem 4.10 (patrz Twierdzenie 4.10.).

End of proof.gif

Najmniejszą nieskończoną liczbę porządkową będziemy oznaczać przez . W naszym podejściu jest po prostu zbiorem , który jest dobrze uporządkowany przez inkluzję. Przyjęło się jednak używać oznaczenia dla podkreślenia, że mówimy o dobrym uporządkowaniu. Będziemy mówić, że zbiór częściowo uporządkowany jest typu , jeśli jest podobny do . Podobnie dla dowolnej innej liczby porządkowej powiemy, że zbiór częściowo uporządkowany jest typu , jeśli jest podobny do

Ćwiczenie 4.12

Udowodnij, że dla dowolnych rozłącznych dobrych porządków następujące zbiory są dobrymi porządkami:

  1. , czyli na zbiorach porządki są takie, jak w zbiorach wyjściowych, a do tego każdy element zbioru jest mniejszy od każdego elementu zbioru .
  2. , gdzie jest porządkiem leksykograficznym, czyli
Rozwiązanie

Powyższe konstrukcje łatwo zaadaptować do operowania na zbiorach, które nie są rozłączne. W miejsce wystarczy wziąć zbiór , a w miejsce zbiór . Wtedy będziemy mieli zagwarantowaną rozłączność. Porządek na tak zmienionych zbiorach łatwo przenieść z wyjściowych zbiorów poprzez naturalną bijekcję pomiędzy nimi (czyli ). W dalszej części będziemy sie posługiwać tak zmodyfikowanymi konstrukcjami, nie dbając o rozłączność zbiorów. Zdefiniujemy teraz arytmetykę na liczbach porządkowych.

Definicja 4.13.

Niech będą liczbami porządkowymi. Wtedy:

  1. Liczbę porządkową podobną do będziemy oznaczać przez .
  2. Liczbę porządkową podobną do będziemy oznaczać przez .

Ćwiczenie 4.14

Sprawdź, czy prawdziwe są następujące własności liczb porządkowych:

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .
  7. .
  8. .
Rozwiązanie

Ćwiczenie 4.15

Udowodnij, że liczba porządkowa jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy relacja (czyli ) jest dobrym porządkiem na .

Rozwiązanie