Logika i teoria mnogości/Wykład 8: Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Liczby całkowite

W poprzednim wykładzie skonstruowaliśmy przy pomocy aksjomatu nieskończoności liczby naturalne. Określiliśmy dla nich podstawowe operacje, takie jak dodawanie i mnożenie. Teraz własności tych operacji będą użyte do dalszych konstrukcji liczbowych. Pokażemy, że mając liczby naturalne zbudowane na bazie liczby , czyli zbioru pustego, możemy definiować bardziej skomplikowane twory liczbowe takie, jak liczby całkowite, wymierne i w końcu liczby rzeczywiste. Wszystkie te obiekty mają ogromne zastosowanie w praktyce matematycznej i informatycznej. Będziemy później w innych wykładach odwoływać się do niebanalnej reprezentacji tych obiektów, które stworzymy w tym rozdziale.

Konstrukcja liczb całkowitych

Definicja 1.1.

Niech będzie relacją określoną na następująco:

wtw

Ćwiczenie 1.2

Relacja jest relacją równoważności o polu .

Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.3

Wykaż, że dla dowolnej pary istnieje para taka, że oraz lub .

Rozwiązanie

Definicja 1.4.

Niech

Ćwiczenie 1.5

Które z liczb całkowitych są relacjami równoważności na ?

Rozwiązanie

Operacje na

Definicja 1.6.

Element zero to element .

Element przeciwny do danego: jeżeli , to przez

Dodawanie: .

Mnożenie: {Dla przejrzystości zapisu będziemy czasami pomijać znak , pisząc , zamiast }.

Odejmowanie:

Proszę o zwrócenie uwagi na pewną kolizję oznaczeń. Po lewej stronie definicji (dodawania, mnożenia i odejmowania) używamy tych samych znaków działań co po stronie prawej. Jest to ewidentna kolizja oznaczeń, którą wykonujemy z pełną świadomością. W praktyce matematycznej i informatycznej przyjęło się używać te same znaki działań, wiedząc, że mają one zgoła inne znaczenie. Również element będziemy oznaczać identycznie jak w liczbach naturalnych, pomimo że jest to zupełnie inny zbiór. Pod koniec tej konstrukcji podamy naturalne włożenie (iniekcje wkładającą liczby naturalne w całkowite) takie, które zachowuje działania na liczbach, co upewni nas, że stosowanie tych samych oznaczeń nie grozi konfliktem.

Ćwiczenie 1.7

Pokazać, że działania na liczbach całkowitych są dobrze określone. To znaczy pokazać, że zbiory (klasy równoważności) będące wynikiem działań nie zależą od wyboru reprezentantów:

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.8

Pokaż własności działań dodawania i mnożenia. Dla dowolnych liczb całkowitych zachodzą równości:

  1. (przemienność dodawania),
  2. (przemienność mnożenia),
  3. oraz to (prawo skracania),
  4. (rozdzielność).

Wskazówka
Rozwiązanie

Porządek liczb całkowitych

Definicja 1.9.

Liczba zachodzi, gdy .

Ćwiczenie 1.10

Pokaż, że definicja porządku nie jest zależna od wyboru reprezentanta.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.11

Pokaż, że porządek liczb całkowitych spełnia postulaty porządku liniowego, to znaczy jest zwrotny, antysymetryczny, przechodni i spójny.

Wskazówka
Rozwiązanie

Definicja 1.12.

Rozważmy funkcje zadaną wzorem:

Funkcja ta jest naturalnym włożeniem zbioru w zbiór . Jako ćwiczenie pokażemy, że funkcja jest iniektywna i zgodna z działaniami. Dzięki włożeniu będziemy utożsamiali liczbę naturalną z odpowiadającą jej liczbą całkowitą . W ten sposób każdą liczbę naturalną możemy traktować jak całkowitą.

Ćwiczenie 1.13

Pokaż, że funkcja jest iniekcją. Pokaż, że jest zgodne z działaniami i porządkiem, to znaczy:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. jeżeli , to .
Wskazówka
Rozwiązanie

Liczby wymierne

Niech . Określamy relację na zbiorze następująco:

wtw

Ćwiczenie 2.1

Relacja jest równoważnością.

Wskazówka
Rozwiązanie

Definicja 2.2.

Niech

OZNACZENIE: Będziemy tradycyjne oznaczać ułamek . Oznacza on zbiór .

Ćwiczenie 2.3

Dla jakich liczb wymiernych mamy ?

Rozwiązanie

Działania na ułamkach

Definiujemy stałe i standardowe działania na ułamkach.

  • Zero w liczbach wymiernych to .
  • Jedynka w liczbach wymiernych to ułamek .
  • Dodawanie .
  • Odejmowanie .
  • Mnożenie .
  • Dzielenie, gdy .

Tak jak poprzednio w przypadku liczb całkowitych będziemy starali się utożsamiać liczby całkowite z pewnymi ułamkami.

Proszę tak jak poprzednio o zwrócenie uwagi na kolizję oznaczeń. Jest to zamierzona kolizja oznaczeń, którą wprowadzamy z pełną świadomością. Po lewej stronie definicji (dodawania, mnożenia, odejmowania i liczby przeciwnej) używamy tych samych znaków działań co po stronie prawej. Pod koniec tej konstrukcji podamy naturalne włożenie (iniekcje wkładającą liczby całkowite w wymierne) takie, które zachowuje działania na liczbach. Upewni nas to, że stosowanie tych samych oznaczeń de facto nie grozi konfliktem.

Ćwiczenie 2.4

Pokazać, że działania na liczbach wymiernych są dobrze określone. To znaczy pokazać, że zbiory (klasy równoważności) będące wynikiem działań nie zależą od wyboru reprezentantów:

Wskazówka
Rozwiązanie

Porządek ułamków.

Definicja 2.5.

, gdy

Ćwiczenie 2.6

Pokaż, że definicja porządku nie jest zależna od wyboru reprezentanta.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.7

Pokaż, że porządek liczb wymiernych spełnia postulaty porządku liniowego, to znaczy jest zwrotny, antysymetryczny, przechodni i spójny.

Wskazówka
Rozwiązanie

Do rozważań nad konstrukcją liczb rzeczywistych potrzebna nam będzie definicja wartości bezwzględnej

Definicja 2.8.

Ćwiczenie 2.9

Pokaż warunek trójkąta, czyli:

Wskazówka
Rozwiązanie

Definicja 2.10.

Rozważmy teraz funkcje identyfikującą liczby całkowite jako pewne specjalne liczby wymierne zadaną wzorem:

Funkcja ta jest naturalnym włożeniem zbioru w zbiór . Jest iniektywna, zgodna z działaniami i zachowująca stałe. Pokazanie tych własności będzie treścią następnego ćwiczenia.

Ćwiczenie 2.11

Pokaż własności włożenia :

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. jeżeli , to .
Wskazówka
Rozwiązanie

Dzięki włożeniu będziemy utożsamiali liczbę całkowitą z odpowiadającą jej liczbą wymierną .

Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)Zobacz biografię

Definicja 3.1.

Ciągiem elementów zbioru nazywamy każdą funkcje . Przez oznaczamy element ciągu .

Konstrukcja liczb rzeczywistych pochodzi od Georga Cantora. Genialny pomysł Georga Cantora polega na rozważaniu nieskończonych ciągów liczb wymiernych spełniających warunek Augustina Louis Cauchy'ego. Wiemy z analizy (patrz wykład Szeregi liczbowe), że ciągi takie są zbieżne. Dlatego ciąg ten można uważać za aproksymacje liczby rzeczywistej. Będziemy za liczbę rzeczywistą brać wszystkie takie ciągi aproksymacji, które w sensie poniższych definicji będą dowolnie bliskie siebie.

Definicja 3.2.

Ciągiem Cauchy'ego zbioru liczb wymiernych nazywamy każdy taki ciąg który spełnia warunek (Cauchy'ego):

Definicja 3.3.

Ciąg nazywamy ograniczonym, gdy spełnia:

Fakt 1

Ciągi Cauchy'ego są ograniczone.

Dowód

Do ciągu Cauchy'ego będziemy dobierać ograniczenie . Weźmy dodatnią liczbę wymierną . Dla niej, zgodnie z Definicją 3.2 (patrz definicja 3.2.), znajdziemy tak duże , że dla wszystkich liczb naturalnych , poczynając od będzie zachodzić: . Połóżmy za największą z pośród liczb oraz powiększoną o . Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowane majoryzuje moduły wszystkich liczb ciągu.

End of proof.gif

Poniżej wprowadzimy relacje równoważności na zborze ciągów Cauchy'ego, taką która skleja ciągi, które leżą dowolnie blisko. Każdy taki ciąg będzie inną aproksymacją tej samej liczby rzeczywistej. Zbiór wszystkich takich aproksymacji będzie dla nas właśnie liczbą rzeczywistą.

Definicja 3.4.

Niech jest ciągiem Cauchy'ego .

Definicja 3.5.

Na zbiorze ciągów Cauchy'ego określamy relację następująco: dwa ciągi i są równoważne, co zapisujemy jako , gdy:

Twierdzenie 3.6.

Relacja określona na jest relacją równoważności.

Dowód

Zwrotność i symetria relacji są oczywiste. Zajmijmy się dowodem przechodniości. Niech oraz . Oznacza to:

Weźmy . Będziemy dobierać niezależnie liczby i do dla pierwszej i drugiej pary ciągów. Mamy zatem parę nierówności: dla zachodzi oraz dla zachodzi . Biorąc większą z tych dwóch liczb, będziemy oczywiście jednocześnie spełniać obie nierówności. Zatem dla zachodzą oraz . Używając nierówności trójkąta (patrz Ćwiczenie 2.9), mamy:

co kończy dowód.

End of proof.gif

Definicja 3.7.

Przez liczby rzeczywiste będziemy rozumieli zbiór i oznaczamy przez .

Liczbą rzeczywistą jest zatem zbiór ciągów Cauchy'ego, które leżą dowolnie blisko siebie. Na każdy taki ciąg można patrzeć jak na pewną aproksymację danej liczby rzeczywistej.

Ćwiczenie 3.8

Ile razy należy poprzedzić znakiem zbiór , aby otrzymać ?

Rozwiązanie

Działania na

Definicja 3.9.

Dla ciągów i ciąg oraz oznaczają ciągi zadane jako , dla każdego . Tak samo definiujemy mnożenie: .

Definicja 3.10.

Dodawanie i mnożenie ciągów liczb wymiernych definiujemy po współrzędnych, to znaczy:

  • dodawanie ,
  • mnożenie .

Ćwiczenie 3.11

Poniższe ćwiczenie odpowiada dowodowi ciągłości dodawania i mnożenia. W innej wersji będziecie państwo zapoznawać się z tym zagadnieniem na wykładzie 8 analizy matematycznej (patrz Wykład 8). Pokazać, że definicja dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych jest poprawna i niezależna od wyboru reprezentantów:

Wskazówka
Rozwiązanie

Porządek na

Definicja 3.12.

Relacja na zbiorze liczb rzeczywistych jest zdefiniowana jako:

Będziemy mówili, że liczba wymierna rozdziela dwa ciągi Cauchy'ego, poczynając od elementu .

Definicja 3.13.

Słaby porządek definiujemy tak jak zazwyczaj: dla liczb rzeczywistych , gdy (patrz definicja 3.12.) lub gdy (patrz Definicja 3.5).

Twierdzenie 3.14.

Porządek na jest liniowy.

Dowód

Pokażemy, że dla dowolnych ciągów Cauchy'ego i , jeżeli to lub . Niech zatem . Zgodnie z definicją oznacza to:

Dobierzmy do liczby i odpowiednio dla ciągów i tak, aby dla wszystkich zachodziło oraz . Zgodnie z formulą powyżej dla musi istnieć takie, że . Ustalmy, że to (gdy będzie odwrotnie rozumowania jest identyczne). Weźmy zatem dowolne . Zachodzą następujące nierówności:

Łatwo pokazać, stosując powyższe nierówności, że poczynając od liczba wymierna , będzie rozdzielała obydwa ciągi Cauchy'ego. Mianowicie:

End of proof.gif

Włożenie w

Rozważmy funkcje zadaną następująco: dla liczby wymiernej liczba rzeczywista jest klasą równoważności ciągu stale równego , czyli , gdzie . Tak więc liczby wymierne stają się częścią liczb rzeczywistych. Funkcja jest naturalnym włożeniem zbioru w zbiór . Jest ona iniektywna i zgodna z działaniami i porządkiem:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. jeżeli , to .

Dzięki włożeniu będziemy utożsamiali liczbę wymierną z odpowiadającą jej liczbą rzeczywistą .

Rozwijanie liczb rzeczywistych przy podstawie

Twierdzenie 3.15.

Dla każdej liczby rzeczywistej istnieje ciąg taki, że ciąg jego sum częściowych , dany jako , spełnia:

  1. jest ciągiem Cauchy'ego,
  2. .

Taki ciąg nazywamy rozwinięciem liczby przy podstawie .

Dowód

Dla liczby rzeczywistej podamy indukcyjną konstrukcję ciągu będącego rozwinięciem dwójkowym liczby i równolegle ciągu jego sum częściowych. Jeżeli , to definiujemy , w przeciwnym wypadku, to znaczy kiedy , definiujemy . Załóżmy, że mamy zdefiniowany ciąg do wyrazu . Wyraz definiujemy:

  1. jeżeli ,
  2. jeżeli .

Ciąg definiujemy tak jak w tezie twierdzenia, to znaczy .

Pokażemy indukcyjnie, że dla każdego zachodzi:

Dowód tego faktu pozostawimy jako Ćwiczenie 3.16. Z powyższej nierówności mamy pierwszy fakt, a mianowicie: ciąg sum częściowych jest ciągiem Cauchy'ego.

End of proof.gif

Ćwiczenie 3.16

Uzupełnij dowód indukcyjny nierówności 3.6 pierwszej części tezy Twierdzenia 3.15 (patrz twierdzenie 3.15.). Wykonaj dowód drugiej części tezy Twierdzenia 3.15 (patrz twierdzenie 3.15.). poprzedzającego to ćwiczenie.

Rozwiązanie

Konstrukcja przedstawiona powyżej rozwija liczbę rzeczywistą z przedziału przy podstawie . Na każdym etapie konstrukcji sprawdzamy, czy w przedziale, w którym pracujemy aktualnie, liczba znajduje się w lewej czy też prawej połówce przedziału. Stosownie do tego wybieramy cyfrę lub rozwinięcia. Jak łatwo można przypuścić podobną konstrukcję jak w Twierdzeniu 3.15 (patrz Twierdzenie 3.15.) można wykonać przy dowolnej innej podstawie . W takim wypadku aktualny analizowany przedział dzielilibyśmy na podprzedziałów i stosownie do położenia liczby wybieralibyśmy jedną z cyfr ze zbioru . Przykładowo, gdy za wybierzemy , dostaniemy przy pomocy takiej konstrukcji rozwinięcie dziesiętne danej liczby rzeczywistej.

Twierdzenie poniżej upewni nas o pewnej ciekawej własności rozwinięć. Otóż rozwinięcie przy podstawie otrzymane przy pomocy Twierdzenia 3.15 (patrz Twierdzenie 3.15.) zawsze jest takie, że zera w tym rozwinięciu występują dowolnie daleko. Innymi słowy, nie jest możliwe, aby w rozwinięciu od pewnego miejsca występowały same jedynki. W przykładzie dotyczącym rozwinięcia dziesiętnego liczby odpowiada to sytuacji, w której nie występują ciągi, które stale od pewnego miejsca mają cyfrę .

Twierdzenie 3.17.

Rozwinięcia uzyskane przy pomocy konstrukcji twierdzenia 3.15 (patrz twierdzenie 3.15.) dla liczby jest zawsze takie, że:

Dowód

Przypuśćmy, że jest przeciwnie, niż mówi teza, czyli . Weźmy najmniejsze takie i nazwijmy . Mamy zatem oraz wszystkie późniejsze wyrazy dla . Rozwijana liczba spełniać będzie dla każdego nierówność 3.6, czyli zachodzić będzie:

Liczbą, która spełnia wszystkie te nierówności jest: . Mamy zatem zamiast rozwinięcia, które nieformalnie zapiszemy jako rozwinięcie . To właśnie to drugie rozwinięcie zostanie znalezione przez procedurę rekurencyjną przedstawioną w Twierdzeniu 3.15 (patrz Twierdzenie 3.15).

End of proof.gif

Twierdzenie 3.18.

Istnieje bijekcja pomiędzy odcinkiem a zbiorem

Dowód

Bijekcja jest zdefiniowana przy pomocy techniki wprowadzonej w Twierdzeniu 3.15 (patrz Twierdzenie 3.15). Istnienie funkcji przypisującej liczbie rzeczywistej jej rozwinięcie dwójkowe zostało tam opisane. Własność tego rozwinięcia została pokazana w Twierdzeniu 3.17 (patrz Twierdzenie 3.17). Pozostaje uzasadnić iniektywność takiego przypisania. Niech . Załóżmy, że . Rozważmy zatem ciągi oraz rozwinięć dwójkowych i . Nazwijmy ciągi ich sum częściowych, odpowiednio przez i . Ciągi sum wyznaczają te liczby, czyli . Ciągi i muszą być różne, bo inaczej wyznaczałyby te same liczby. W takim razie ciągi rozwinięć i muszą być różne.

End of proof.gif

Powyższe twierdzenie będzie miało fundamentalne znaczenie w teorii mocy, o którym mowa będzie w Wykładzie 9. Pokazuje bowiem, że liczby rzeczywiste są równoliczne ze zbiorem .