Logika i teoria mnogości: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Zaionc (dyskusja | edycje)
37 edycji
Nie podano opisu zmian
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
 
(Nie pokazano 63 wersji utworzonych przez 9 użytkowników)
Linia 3: Linia 3:
== Opis ==
== Opis ==
Zapoznanie się z podstawowymi pojęciami i narzędziami matematyki.
Zapoznanie się z podstawowymi pojęciami i narzędziami matematyki.
Wprowadzenie fundamentalnych obiektów matematycznych i opis ich własnoœci.
Wprowadzenie fundamentalnych obiektów matematycznych i opis ich własności.


== Sylabus ==
== Sylabus ==
=== Autorzy ===
=== Autorzy ===
* Marek Zaionc
* Marek Zaionc — Uniwersytet Jagielloński
 
* Jakub Kozik  — Uniwersytet Jagielloński
=== Wymagania wstępne ===
* Marcin Kozik — Uniwersytet Jagielloński
* Brak


=== Zawartość ===
=== Zawartość ===
* Podstawowe zasady analizy algorytmów:
* Rachunek zdań i rachunek predykatów
** poprawność,
* Aksjomatyka teorii mnogości ZFC
** złożoność obliczeniowa (pesymistyczna, oczekiwana),
* Iloczyn kartezjański, relacje, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
** złożoność problemu algorytmicznego.
* Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych:
* Sortowanie:
** twierdzenie o indukcji
** sortowanie przez porównania (InsertionSort, QuickSort, MergeSort),
** własności liczb
** HeapSort i kopce binarne,
** definiowanie przez indukcję
** złożoność problemu sortowania.
** zasada minimum
* Selekcja:
** zasada maksimum
** minimum i maximum,
* Konstrukcja i działania na liczbach całkowitych
** algorytm Hoare'a,
* Konstrukcja i działania na liczbach wymiernych
** algorytm magicznych piątek.
* Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych:
* Wyszukiwanie:
** działania i porządek
** liniowe,
* Funkcje, twierdzenie o faktoryzacji:
** binarne,
** obrazy i przeciwobrazy zbiorów
** drzewa wyszukiwań binarnych,
* Teoria mocy:
** zrównoważone drzewa wyszukiwań binarnych,
** zbiory przeliczalne i ich własności
** B-drzewa,
** zbiory liczb całkowitych i wymiernych są przeliczalne
** haszowanie.
** zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny
* Złożone struktury danych:
** zbiory <math>\{0, 1\}^N</math> i <math>N^N</math> nie są przeliczalne. Zbiór <math>2^N \sim R</math>
** kolejki priorytetowe,
** twierdzenie Knastera - Tarskiego (dla zbiorów)
** struktury danych dla zbiorów rozłącznych.
** lemat Banacha
* Algorytmy grafowe:
** twierdzenie Cantora-Bernsteina, (warunki równoważne)
** DFS i jego zastosowania,
** twierdzenie Cantora
** problemy ścieżkowe -- Algorytm Dijkstry,
** zbiory mocy kontinuum
** najmniejsze drzewo rozpinające.
* Zbiory uporządkowane:
* Algorytmy tekstowe:
** lemat Kuratowskiego Zorna
** algorytm Knutha-Morisa-Pratta,
** przykłady dowodów przy pomocy lematu Kuratowskiego Zorna
** drzewa sufiksowe.
** dowód lemat Kuratowskiego Zorna
 
* Zbiory liniowo uporządkowane:
=== Literatura ===
** pojęcia gęstości i ciągłości
# ''Wprowadzenie do algorytmów'', Thomas H. Cormen , Charles E. Leiserson , Ronald L. Rivest , Clifford Stein, Wydawnictwa Naukowo - Techniczne, 2004.
** porządek na <math>R</math> jest ciągły
# ''Algorytmy i struktury danych'', L. Banachowski., K. Diks, W. Rytter, Wydawnictwa Naukowo - Techniczne, 2006.
* Zbiory dobrze uporządkowane:
 
** twierdzenie o indukcji
 
** liczby porządkowe
 
** zbiory liczb porządkowych
 
** twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną
 
** twierdzenie Zermelo


===Literatura===
# H. Rasiowa, ''Wstęp do matematyki'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1971, 1984, 1998.
# K. Kuratowski, A. Mostowski, ''Teoria mnogości'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
# W. Marek, J. Onyszkiewicz, ''Elementy logiki i teorii mnogosci w zadaniach'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996.


· Rachunek zdań i rachunek predykatów.  
== Moduły ==
· Aksjomatyka teorii mnogości, aksjomaty sumy, ekstensjonalności, przecięcia, pary.
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 1: Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost|Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 1: Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost|test]])
· Iloczyn Kartezjański, relacje, relacja równoważności, rozkłady zbiorów.  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 2: Rachunek zdań|Rachunek zdań]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 2: Rachunek zdań|test]])
· Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, własności liczb. Definiowanie przez indukcje. Zasada minimum, Zasada maksimum.
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 3: Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów|Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 3: Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów|test]])
· Konstrukcja liczb całkowitych, działania na liczbach całkowitych. Konstrukcja liczb wymiernych.
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 4: Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach|Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 4: Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach|test]])
· Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych, działania i porządek.
# Iloczyn kartezjański i relacje ([[Iloczyn kartezjański i relacje/Test 5|test]])
· Funkcje, twierdzenie o faktoryzacji. Obrazy i przeciwobrazy zbiorów.
## [[Logika i teoria mnogości/Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów|Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów]]
· Teoria mocy. Zbiory przeliczalne, własności. Zbiór liczb całkowitych i wymiernych jest przeliczalny.
##[[Logika i teoria mnogości/Wykład 5.2| Iloczyn kartezjański i aksjomat wyróżniania (dla dociekliwych)]]
· Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. Zbiory {0, 1}N i NN nie są przeliczalne. Zbiór 2N ~ R.
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 6: Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha|Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 6: Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha|test]])
· Twierdzenie Knastera - Tarskiego (dla zbiorów). Lemat Banacha. Twierdzenie Cantora-Bernsteina, (warunki równoważne). Twierdzenie Cantora.  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 7: Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje|Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 7: Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje|test]])
· Zbiory mocy kontinuum. Zbiory uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna. Przykłady dowodów przy pomocy lematu.  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 8: Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek|Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 8: Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek|test]])
· Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości. R jest ciągła.  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 9: Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy kontinuum|Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy continuum]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 9: Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy kontinuum|test]])
· Zbiory dobrze uporządkowane. Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Własności.
# Zbiory uporządkowane. ([[Zbiory uporządkowane/Test 10|test]])
· Zbiory liczb porządkowych.  
## [[Logika i teoria mnogości/Wykład 10: Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości|Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości]]
· Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną. Twierdzenie Zermelo. Lemat Kuratowskiego Zorna.  
## [[Logika i teoria mnogości/Wykład 10.2| Twierdzenie Bourbakiego-Witta (dla dociekliwych)]]
· Rezolucja i automatyczne dowodzenie twierdzeń
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 11: Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady|Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 11: Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady|test]])
Literatura
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 12: Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną|Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 12: Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną|test]])
· H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa 1971, 1984, 1998
· K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, PWN, Warszawa, 1978

Aktualna wersja na dzień 20:05, 29 wrz 2006

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Zapoznanie się z podstawowymi pojęciami i narzędziami matematyki. Wprowadzenie fundamentalnych obiektów matematycznych i opis ich własności.

Sylabus

Autorzy

  • Marek Zaionc — Uniwersytet Jagielloński
  • Jakub Kozik — Uniwersytet Jagielloński
  • Marcin Kozik — Uniwersytet Jagielloński

Zawartość

  • Rachunek zdań i rachunek predykatów
  • Aksjomatyka teorii mnogości ZFC
  • Iloczyn kartezjański, relacje, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
  • Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych:
    • twierdzenie o indukcji
    • własności liczb
    • definiowanie przez indukcję
    • zasada minimum
    • zasada maksimum
  • Konstrukcja i działania na liczbach całkowitych
  • Konstrukcja i działania na liczbach wymiernych
  • Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych:
    • działania i porządek
  • Funkcje, twierdzenie o faktoryzacji:
    • obrazy i przeciwobrazy zbiorów
  • Teoria mocy:
    • zbiory przeliczalne i ich własności
    • zbiory liczb całkowitych i wymiernych są przeliczalne
    • zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny
    • zbiory {0,1}N i NN nie są przeliczalne. Zbiór 2N∼R
    • twierdzenie Knastera - Tarskiego (dla zbiorów)
    • lemat Banacha
    • twierdzenie Cantora-Bernsteina, (warunki równoważne)
    • twierdzenie Cantora
    • zbiory mocy kontinuum
  • Zbiory uporządkowane:
    • lemat Kuratowskiego Zorna
    • przykłady dowodów przy pomocy lematu Kuratowskiego Zorna
    • dowód lemat Kuratowskiego Zorna
  • Zbiory liniowo uporządkowane:
    • pojęcia gęstości i ciągłości
    • porządek na R jest ciągły
  • Zbiory dobrze uporządkowane:
    • twierdzenie o indukcji
    • liczby porządkowe
    • zbiory liczb porządkowych
    • twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną
    • twierdzenie Zermelo

Literatura

  1. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1971, 1984, 1998.
  2. K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
  3. W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996.

Moduły

  1. Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost (test)
  2. Rachunek zdań (test)
  3. Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów (test)
  4. Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach (test)
  5. Iloczyn kartezjański i relacje (test)
    1. Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
    2. Iloczyn kartezjański i aksjomat wyróżniania (dla dociekliwych)
  6. Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha (test)
  7. Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje (test)
  8. Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek (test)
  9. Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy continuum (test)
  10. Zbiory uporządkowane. (test)
    1. Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości
    2. Twierdzenie Bourbakiego-Witta (dla dociekliwych)
  11. Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady (test)
  12. Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną (test)
Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogości&oldid=60011”