Logika i teoria mnogości: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Zaionc (dyskusja | edycje)
37 edycji
Nie podano opisu zmian
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
 
(Nie pokazano 65 wersji utworzonych przez 9 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
Spis treści
== Forma zajęć ==
[schowaj]
Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)
== Opis ==
Zapoznanie się z podstawowymi pojęciami i narzędziami matematyki.
Wprowadzenie fundamentalnych obiektów matematycznych i opis ich własności.


    * 1 Forma zajęć
== Sylabus ==
    * 2 Opis
=== Autorzy ===
    * 3 Sylabus
* Marek Zaionc — Uniwersytet Jagielloński
          o 3.1 Autorzy
* Jakub Kozik  — Uniwersytet Jagielloński
          o 3.2 Wymagania wstępne
* Marcin Kozik — Uniwersytet Jagielloński
          o 3.3 Zawartość
          o 3.4 Literatura


[Edytuj]
=== Zawartość ===
Forma zajęć
* Rachunek zdań i rachunek predykatów
* Aksjomatyka teorii mnogości ZFC
* Iloczyn kartezjański, relacje, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
* Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych:
** twierdzenie o indukcji
** własności liczb
** definiowanie przez indukcję
** zasada minimum
** zasada maksimum
* Konstrukcja i działania na liczbach całkowitych
* Konstrukcja i działania na liczbach wymiernych
* Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych:
**  działania i porządek
* Funkcje, twierdzenie o faktoryzacji:
**  obrazy i przeciwobrazy zbiorów
* Teoria mocy:
** zbiory przeliczalne i ich własności
** zbiory liczb całkowitych i wymiernych są przeliczalne
** zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny
** zbiory <math>\{0, 1\}^N</math> i <math>N^N</math> nie są przeliczalne. Zbiór <math>2^N \sim R</math>
** twierdzenie Knastera - Tarskiego (dla zbiorów)
** lemat Banacha
** twierdzenie Cantora-Bernsteina, (warunki równoważne)
** twierdzenie Cantora
** zbiory mocy kontinuum
* Zbiory uporządkowane:
** lemat Kuratowskiego Zorna
** przykłady dowodów przy pomocy lematu Kuratowskiego Zorna
** dowód lemat Kuratowskiego Zorna
* Zbiory liniowo uporządkowane:
** pojęcia gęstości i ciągłości
** porządek na <math>R</math> jest ciągły
* Zbiory dobrze uporządkowane:
** twierdzenie o indukcji
** liczby porządkowe
** zbiory liczb porządkowych
** twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną
** twierdzenie Zermelo


Wykład (30 godzin) + laboratorium (30 godzin)
===Literatura===
[Edytuj]
# H. Rasiowa, ''Wstęp do matematyki'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1971, 1984, 1998.
Opis
# K. Kuratowski, A. Mostowski, ''Teoria mnogości'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
# W. Marek, J. Onyszkiewicz, ''Elementy logiki i teorii mnogosci w zadaniach'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996.


Projektowanie i analiza algorytmów. Przegląd podstawowych algorytmów i struktur danych.
== Moduły ==
[Edytuj]
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 1: Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost|Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 1: Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost|test]])
Sylabus
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 2: Rachunek zdań|Rachunek zdań]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 2: Rachunek zdań|test]])
[Edytuj]
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 3: Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów|Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 3: Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów|test]])
Autorzy
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 4: Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach|Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 4: Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach|test]])
 
# Iloczyn kartezjański i relacje ([[Iloczyn kartezjański i relacje/Test 5|test]])
    * Wojciech Rytter,
## [[Logika i teoria mnogości/Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów|Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów]]
    * Krzysztof Diks
##[[Logika i teoria mnogości/Wykład 5.2| Iloczyn kartezjański i aksjomat wyróżniania (dla dociekliwych)]]
 
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 6: Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha|Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 6: Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha|test]])
[Edytuj]
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 7: Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje|Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 7: Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje|test]])
Wymagania wstępne
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 8: Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek|Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 8: Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek|test]])
 
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 9: Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy kontinuum|Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy continuum]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 9: Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy kontinuum|test]])
    * Wstęp do programowania
# Zbiory uporządkowane. ([[Zbiory uporządkowane/Test 10|test]])
    * Metody programowania
## [[Logika i teoria mnogości/Wykład 10: Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości|Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości]]
    * Matematyka dyskretna
## [[Logika i teoria mnogości/Wykład 10.2| Twierdzenie Bourbakiego-Witta (dla dociekliwych)]]
    * Logika i teoria mnogości  
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 11: Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady|Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 11: Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady|test]])
 
# [[Logika i teoria mnogości/Wykład 12: Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną|Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną]] ([[Logika i teoria mnogości/Test 12: Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną|test]])
[Edytuj]
Zawartość
 
    * Podstawowe zasady analizy algorytmów:
          o poprawność,
          o złożoność obliczeniowa (pesymistyczna, oczekiwana),
          o złożoność problemu algorytmicznego.  
    * Sortowanie:
          o sortowanie przez porównania (InsertionSort, QuickSort, MergeSort),
          o HeapSort i kopce binarne,
          o złożoność problemu sortowania.
    * Selekcja:
          o minimum i maximum,
          o algorytm Hoare'a,
          o algorytm magicznych piątek.
    * Wyszukiwanie:
          o liniowe,
          o binarne,
          o drzewa wyszukiwań binarnych,
          o zrównoważone drzewa wyszukiwań binarnych,
          o B-drzewa,
          o haszowanie.  
    * Złożone struktury danych:
          o kolejki priorytetowe,
          o struktury danych dla zbiorów rozłącznych.  
    * Algorytmy grafowe:
          o DFS i jego zastosowania,
          o problemy ścieżkowe -- Algorytm Dijkstry,
          o najmniejsze drzewo rozpinające.  
    * Algorytmy tekstowe:
          o algorytm Knutha-Morisa-Pratta,
          o drzewa sufiksowe.
 
[Edytuj]
Literatura
 
  1. Wprowadzenie do algorytmów, Thomas H. Cormen , Charles E. Leiserson , Ronald L. Rivest , Clifford Stein, Wydawnictwa Naukowo - Techniczne, 2004.
  2. Algorytmy i struktury danych, L. Banachowski., K. Diks, W. Rytter, Wydawnictwa Naukowo - Techniczne, 2006.
· Rachunek zdań i rachunek predykatów.
· Aksjomatyka teorii mnogości, aksjomaty sumy, ekstensjonalności, przecięcia, pary.
· Iloczyn Kartezjański, relacje, relacja równoważności, rozkłady zbiorów.
· Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, własności liczb. Definiowanie przez indukcje. Zasada minimum, Zasada maksimum.
· Konstrukcja liczb całkowitych, działania na liczbach całkowitych. Konstrukcja liczb wymiernych.
· Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych, działania i porządek.
· Funkcje, twierdzenie o faktoryzacji. Obrazy i przeciwobrazy zbiorów.
· Teoria mocy. Zbiory przeliczalne, własności. Zbiór liczb całkowitych i wymiernych jest przeliczalny.
· Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. Zbiory {0, 1}N i NN nie są przeliczalne. Zbiór 2N ~ R.
· Twierdzenie Knastera - Tarskiego (dla zbiorów). Lemat Banacha. Twierdzenie Cantora-Bernsteina, (warunki równoważne). Twierdzenie Cantora.  
· Zbiory mocy kontinuum. Zbiory uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna. Przykłady dowodów przy pomocy lematu.  
· Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości. R jest ciągła.  
· Zbiory dobrze uporządkowane. Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Własności.
· Zbiory liczb porządkowych.  
· Twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną. Twierdzenie Zermelo. Lemat Kuratowskiego Zorna.  
· Rezolucja i automatyczne dowodzenie twierdzeń
Literatura
· H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, PWN, Warszawa 1971, 1984, 1998
· K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, PWN, Warszawa, 1978

Aktualna wersja na dzień 20:05, 29 wrz 2006

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Zapoznanie się z podstawowymi pojęciami i narzędziami matematyki. Wprowadzenie fundamentalnych obiektów matematycznych i opis ich własności.

Sylabus

Autorzy

  • Marek Zaionc — Uniwersytet Jagielloński
  • Jakub Kozik — Uniwersytet Jagielloński
  • Marcin Kozik — Uniwersytet Jagielloński

Zawartość

  • Rachunek zdań i rachunek predykatów
  • Aksjomatyka teorii mnogości ZFC
  • Iloczyn kartezjański, relacje, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
  • Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych:
    • twierdzenie o indukcji
    • własności liczb
    • definiowanie przez indukcję
    • zasada minimum
    • zasada maksimum
  • Konstrukcja i działania na liczbach całkowitych
  • Konstrukcja i działania na liczbach wymiernych
  • Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych:
    • działania i porządek
  • Funkcje, twierdzenie o faktoryzacji:
    • obrazy i przeciwobrazy zbiorów
  • Teoria mocy:
    • zbiory przeliczalne i ich własności
    • zbiory liczb całkowitych i wymiernych są przeliczalne
    • zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny
    • zbiory {0,1}N i NN nie są przeliczalne. Zbiór 2N∼R
    • twierdzenie Knastera - Tarskiego (dla zbiorów)
    • lemat Banacha
    • twierdzenie Cantora-Bernsteina, (warunki równoważne)
    • twierdzenie Cantora
    • zbiory mocy kontinuum
  • Zbiory uporządkowane:
    • lemat Kuratowskiego Zorna
    • przykłady dowodów przy pomocy lematu Kuratowskiego Zorna
    • dowód lemat Kuratowskiego Zorna
  • Zbiory liniowo uporządkowane:
    • pojęcia gęstości i ciągłości
    • porządek na R jest ciągły
  • Zbiory dobrze uporządkowane:
    • twierdzenie o indukcji
    • liczby porządkowe
    • zbiory liczb porządkowych
    • twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną
    • twierdzenie Zermelo

Literatura

  1. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1971, 1984, 1998.
  2. K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
  3. W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996.

Moduły

  1. Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost (test)
  2. Rachunek zdań (test)
  3. Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów (test)
  4. Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach (test)
  5. Iloczyn kartezjański i relacje (test)
    1. Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
    2. Iloczyn kartezjański i aksjomat wyróżniania (dla dociekliwych)
  6. Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha (test)
  7. Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje (test)
  8. Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek (test)
  9. Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy continuum (test)
  10. Zbiory uporządkowane. (test)
    1. Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości
    2. Twierdzenie Bourbakiego-Witta (dla dociekliwych)
  11. Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady (test)
  12. Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną (test)
Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogości&oldid=60011”