Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 3: Norma. Iloczyn skalarny

Norma. Iloczyn skalarny

Ćwiczenie 3.1.

W przestrzeni wektorowej ${\mathbb{ℝ}}^N$ definiujemy:

$\Vert x{\Vert }_2\stackrel{df}{=}\sqrt{\sum _{i=1}^N{x}_i^2},\Vert x{\Vert }_1\stackrel{df}{=}\sum _{i=1}^N|x_i|,\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\stackrel{df}{=}\underset{1\le i\le N}{\max }|x_i|$ dla $x\in {\mathbb{ℝ}}^N.$

Pokazać, że $\Vert \cdot {\Vert }_2,\Vert \cdot {\Vert }_1$ oraz $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ są normami (nazywamy je odpowiednio normą euklidesową, normą taksówkową oraz normą maksimową).

Wskazówka

(1) Pokazać, że $\Vert \cdot {\Vert }_2$ jest normą wprost z definicji normy. Przy dowodzie subaddytywności wykorzystać nierówność Cauchy'ego (patrz Analiza matematyczna 1 lemat 3.8.)
(2)-(3) Pokazać, że $\Vert \cdot {\Vert }_1$ i $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ są normami, korzystając z definicji normy.

Rozwiązanie

(1) Pokażemy, że $\Vert \cdot {\Vert }_2$ jest normą.
Dla $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_2=0 \ \Longleftrightarrow\ \sqrt{\sum_{i=1}^N x_i^2}=0 \ \Longleftrightarrow\ \sum_{i=1}^N x_i^2=0 \ \Longleftrightarrow\ x_1=\ldots=x_N=0 \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta. }

Dla $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ oraz $\lambda \in \mathbb{ℝ}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\lambda x\|_2 \ =\ \sqrt{\sum_{i=1}^N (\lambda x_i)^2} \ =\ \sqrt{\lambda^2\sum_{i=1}^N x_i^2} \ =\ |\lambda|\sqrt{\sum_{i=1}^N x_i^2} \ =\ |\lambda|\|x\|_2, }

zatem pokazaliśmy warunek jednorodności.

W końcu dla dowolnych $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|_2 \ =\ \sum_{i=1}^N(x_i+y_i)^2 \ =\ \sum_{i=1}^N (x_i^2+2x_iy_i+y_i^2) \ =\ \sum_{i=1}^Nx_i^2+ 2\sum_{i=1}^Nx_iy_i +\sum_{i=1}^Ny_i^2. }

Korzystając z nierówności Cauchy'ego (która była udowodniona na Analizie Matematycznej 1; patrz Analiza matematyczna 1 lemat 3.8.)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}^N:\ \bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N x_iy_i\bigg)^2 \le \bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i^2\bigg) \bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N y_i^2\bigg), }

mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \|x+y\|_2^2\ &\le& \sum_{i=1}^Nx_i^2+ 2\bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i^2\bigg) \bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N y_i^2\bigg) +\sum_{i=1}^Ny_i^2\\ &=& \displaystyle \bigg(\sum_{i=1}^Nx_i^2+\sum_{i=1}^Ny_i^2\bigg) \ =\ \big(\|x\|_2+\|y\|_2\big)^2, \end{array}}

zatem pokazaliśmy warunek subaddytywności:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}^N:\ \|x+y\|_2 \le \|x\|_2+\|y\|_2, }

co kończy dowód.

(2) Pokażemy, że $\Vert \cdot {\Vert }_1$ jest normą.
Dla $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_1=0 \ \Longleftrightarrow\ \sum_{i=1}^N |x_i|=0 \ \Longleftrightarrow\ x_1=\ldots=x_N=0 \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta. }

Dla $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ oraz $\lambda \in \mathbb{ℝ}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\lambda x\|_1 \ =\ \sum_{i=1}^N |\lambda x_i| \ =\ |\lambda|\sum_{i=1}^N |x_i| \ =\ |\lambda|\|x\|_1, }

zatem pokazaliśmy warunek jednorodności.

W końcu dla dowolnych $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \|x+y\|_1 &=&\displaystyle \sum_{i=1}^N|x_i+y_i| \le \sum_{i=1}^N\big(|x_i|+|y_i|\big)\\ &=&\displaystyle \sum_{i=1}^N|x_i| +\sum_{i=1}^N|y_i| \ =\ \|x\|_1+\|y\|_1, \end{array}}

zatem pokazaliśmy warunek subaddytywności, co kończy dowód.

(3) Pokażemy, że $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ jest normą.
Dla $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_{\infty}=0 \ \Longleftrightarrow\ \max_{i=1,\ldots,N} |x_i|=0 \ \Longleftrightarrow\ x_1=\ldots=x_N=0 \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta. }

Dla $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ oraz $\lambda \in \mathbb{ℝ}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\lambda x\|_{\infty} \ =\ \max_{i=1,\ldots,N} |\lambda x_i| \ =\ |\lambda|\max_{i=1,\ldots,N} |x_i| \ =\ |\lambda|\|x\|_{\infty}, }

zatem pokazaliśmy warunek jednorodności.

W końcu dla dowolnych $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \|x+y\|_{\infty}& =& \max_{i=1,\ldots,N} |x_i+y_i| \le \max_{i=1,\ldots,N}\big(|x_i|+|y_i|\big)\\\\ &\le & \displaystyle \max_{i=1,\ldots,N}|x_i| +\max_{i=1,\ldots,N}|y_i| \ =\ \|x\|_{\infty}+\|y\|_{\infty}. \end{array}, }

zatem pokazaliśmy warunek subaddytywności, co kończy dowód.

Ćwiczenie 3.2.

Pokazać, że norma euklidesowa zadaje metrykę euklidesową, norma taksówkowa zadaje metrykę taksówkową, a norma maksimowa zadaje metrykę maksimową.

Wskazówka

Wykorzystać jedynie definicje potrzebnych norm i metryk.

Rozwiązanie

Dla dowolnych $x,y\in \mathbb{ℝ}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-y\|_2 \ =\ \sqrt{\sum_{i=1}^N(x_i-y_i)^2} \ =\ d_2(x,y), }

więc norma euklidesowa $\Vert \cdot {\Vert }_2$ zadaje metrykę euklidesową $d_2.$

Dla dowolnych $x,y\in \mathbb{ℝ}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-y\|_1 \ =\ \sum_{i=1}^N|x_i-y_i| \ =\ d_1(x,y), }

więc norma taksówkowa $\Vert \cdot {\Vert }_1$ zadaje metrykę taksówkową $d_2.$ Dla dowolnych $x,y\in \mathbb{ℝ}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-y\|_{\infty} \ =\ \max_{i=1,\ldots,N}|x_i-y_i| \ =\ d_{\infty}(x,y), }

więc norma maksimowa $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ zadaje metrykę maksimową $d_{\mathrm{\infty }}.$

Ćwiczenie 3.3.

Wykazać bezpośrednio równoważność norm: $\Vert \cdot {\Vert }_1$ (taksówkowej), $\Vert \cdot {\Vert }_2$ (euklidesowej) i $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ (maksimowej) w ${\mathbb{ℝ}}^N,$ znajdując optymalne stałe $m_i,M_i>0$ ($i=1,2,3$) w następujących nierównościach:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{align}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{align} \textbf{(1)} && \forall x\in \mathbb{R}^N:\ m_1\|x\|_{2} \le \|x\|_{\infty} \le M_1\|x\|_{2},\\ \textbf{(2)} && \forall x\in \mathbb{R}^N:\ m_2\|x\|_1 \le \|x\|_{\infty} \le M_2\|x\|_{1},\\ \textbf{(3)} && \forall x\in \mathbb{R}^N:\ m_3\|x\|_1 \le \|x\|_2 \le M_3\|x\|_1. \end{align}}

Wskazówka

(1) Skorzystać jedynie z definicji norm $\Vert \cdot {\Vert }_2$ i $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }},$ dla pokazania nierówności i wyznaczenia stałych. Aby pokazać "optymalność" stałych, wskazać wektor $x_0\in {\mathbb{ℝ}}^N,$ dla którego zachodzą równości.

(2)-(3) Podobnie jak (1).

Rozwiązanie

(1) Dla dowolnego wektora $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_2^2 \ =\ \sum_{i=1}^N |x_i|^2 \le \sum_{i=1}^N \max_{k=1,\ldots, N}|x_k|^2 \ =\ N \max_{k=1,\ldots, N}|x_k|^2 \ =\ N\|x\|_{\infty}^2. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \frac{1}{\sqrt{N}}\|x\|_2 \le \|x\|_{\infty}, }

czyli $m_1=\frac{1}{\sqrt{N}}.$ Aby pokazać, że stała $m_1$ jest "optymalna" (to znaczy największa z możliwych), zauważmy, że dla wektora $x_0=(1,1,\dots ,1)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{\sqrt{N}}\|x_0\|_2 \ =\ \frac{1}{\sqrt{N}}\sqrt{N} \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_{\infty}. }

Z kolei dla dowolnego wektora $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_{\infty}^2 \ =\ \bigg(\max_{i=1,\ldots, N}|x_i|\bigg)^2 \ =\ \max_{i=1,\ldots, N}|x_i|^2 \le \sum_{i=1}^N |x_i|^2 \ =\ \|x\|_2^2. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \|x\|_{\infty} \le \|x\|_2, }

czyli $M_1=1.$ Aby pokazać, że stała $M_1$ jest "optymalna" (to znaczy najmniejsza z możliwych), zauważmy, że dla wektora $x_0=(1,0,\dots ,0)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_0\|_{\infty} \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_2. }

(2) Dla dowolnego wektora $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_1 \ =\ \sum_{i=1}^N |x_i| \le \sum_{i=1}^N \max_{k=1,\ldots, N}|x_k| \ =\ N \max_{k=1,\ldots, N}|x_k| \ =\ N\|x\|_{\infty}. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \frac{1}{N}\|x\|_1 \le \|x\|_{\infty}, }

czyli $m_2=\frac{1}{N}.$ Aby pokazać, że stała $m_2$ jest "optymalna" (to znaczy największa z możliwych), zauważmy, że dla wektora $x_0=(1,1,\dots ,1)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{N}\|x_0\|_1 \ =\ \frac{1}{N}\cdot N \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_{\infty}. }

Z kolei dla dowolnego wektora $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_{\infty} \ =\ \max_{i=1,\ldots, N}|x_i| \le \sum_{i=1}^N |x_i| \ =\ \|x\|_1. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \|x\|_{\infty} \le \|x\|_1, }

czyli $M_1=1.$ Aby pokazać, że stała $M_1$ jest "optymalna" (to znaczy najmniejsza z możliwych), zauważmy, że dla wektora $x_0=(1,0,\dots ,0)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_0\|_{\infty} \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_1. }

(3) Dla dowolnego wektora $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_1^2 \ =\ \bigg(\sum_{i=1}^N |x_i|\bigg)^2 \ =\ \sum_{i,j=1}^N|x_i||x_j| \ =\ \sum_{i=1}^N|x_i|^2 +2\sum_{i<j}|x_i||x_j|. }

Korzystając teraz z oczywistej nierówności liczbowej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall a,b\in\mathbb{R}:\ 2ab \le a^2+b^2, }

mamy

$\Vert x{\Vert }_1^2\le \sum _i^N|x_i{|}^2+\sum _{i<j}(|x_i{|}^2+|x_j{|}^2).$

Zauważmy, że po prawej stronie powyższej nierówności każdy składnik postaci $|x_i{|}^2$ występuje dokładnie $N$ razy (raz w pierwszej sumie i $N-1$ razy w drugiej sumie). Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_1^2 \le N \sum_{i=1}^N|x_i|^2 \ =\ N\|x\|_2^2. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \frac{1}{\sqrt{N}}\|x\|_1 \le \|x\|_2, }

czyli $m_3=\frac{1}{\sqrt{N}}.$ Aby pokazać, że stała $m_3$ jest "optymalna" (to znaczy największa z możliwych), zauważmy, że dla wektora $x_0=(1,1,\dots ,1)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{\sqrt{N}}\|x_0\|_1 \ =\ \frac{1}{\sqrt{N}}\cdot N \ =\ \sqrt{N} \ =\ \|x_0\|_2. }

Z kolei dla dowolnego wektora $x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_2 \ =\ \sum_{i=1}^N |x_i|^2 \le \bigg(\sum_{i=1}^N |x_i|\bigg)^2 \ =\ \|x\|_1^2. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \|x\|_2 \le \|x\|_1, }

czyli $M_3=1.$ Aby pokazać, że stała $M_3$ jest "optymalna" (to znaczy najmniejsza z możliwych), zauważmy, że dla wektora $x_0=(1,0,\dots ,0)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_0\|_2 \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_1. }

Ćwiczenie 3.4.

Niech $X$ i $Y$ będą dwiema przestrzeniami wektorowymi. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe? (Dla każdego podać dowód lub kontrprzykład).
(1) Jeśli zbiory $A,B\subseteq X$ są wypukłe, to zbiór $A\cap B$ jest wypukły.
(2) Jeśli zbiory $A,B\subseteq X$ są wypukłe, to zbiór $A\cup B$ jest wypukły.
(3) Jeśli zbiory $A,B\subseteq X$ są wypukłe, to zbiór $A\setminus B$ jest wypukły.
(4) Jeśli zbiory $A\subseteq X$ i $B\subseteq Y$ są wypukłe, to zbiór $A\times B$ jest wypukły w $X\times Y.$

Wskazówka

(1) Wykorzystać jedynie definicję wypukłości.
(2) Kontrprzykład łatwy do znalezienia.
(3) Kontrprzykład łatwy do znalezienia.
(4) Wykorzystać jedynie definicję wypukłości i iloczynu kartezjańskiego.

Rozwiązanie

<flash>file=AM2.M03.C_R01.swf|width=375|height=45</flash>

<div.thumbcaption>Suma zbiorów wypukłych nie musi być zbiorem wypukłym

<flash>file=AM2.M03.C_R02.swf|width=375|height=45</flash>

<div.thumbcaption>Różnica zbiorów wypukłych nie musi być zbiorem wypukłym

(1) Stwierdzenie to jest prawdziwe. Niech $A,B\subseteq X$ będą dowolnymi zbiorami wypukłymi. Aby pokazać, że zbiór $A\cap B$ jest wypukły, wybierzmy dwa dowolne punkty $x,y\in A\cap B$ oraz $\lambda \in (0,1).$ Ponieważ $x,y\in A$ i zbiór $A$ jest wypukły, więc także $\lambda x+(1-\lambda )y\in A.$ Analogicznie ponieważ $x,y\in B$ i zbiór $B$ jest wypukły, więc także $\lambda x+(1-\lambda )y\in B.$ Zatem $\lambda x+(1-\lambda )y\in A\cap B.$ Dowodzi to wypukłości zbioru $A\cap B.$

(2) Stwierdzenie to nie jest prawdziwe. Dla przykładu niech $X=\mathbb{ℝ},A=[0,2]$ oraz $B=[4,6].$ Zbiory $A$ i $B$ są wypukłe, ale zbiór $A\cup B=[0,2]\cup [4,6]$ nie jest wypukły, gdyż na przykład dla $x=1,y=5$ i $\lambda =\frac{1}{2}$ mamy $x,y\in A\cup B,\lambda \in (0,1),$ ale $\lambda x+(1-\lambda )y=3\in ̸A\cup B.$

(3) Stwierdzenie to nie jest prawdziwe. Dla przykładu niech $X=\mathbb{ℝ},A=[0,6]$ oraz $B=(2,4).$ Zbiory $A$ i $B$ są wypukłe, ale zbiór $A\cup B=[0,2]\cup [4,6]$ nie jest wypukły (patrz (2)).

(4) Stwierdzenie to jest prawdziwe. Niech $A\subseteq X$ i $B\subseteq Y$ będą dowolnymi zbiorami wypukłymi. Aby pokazać, że zbiór $A\times B$ jest wypukły, wybierzmy dwa dowolne punkty $(a_1,b_1),(a_2,b_2)\in A\times B$ oraz $\lambda \in (0,1).$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lambda(a_1,b_1)+(1-\lambda)(a_2,b_2) \ =\ \big(\lambda a_1+(1-\lambda)a_2,\lambda b_1+(1-\lambda)b_2\big). }

Ponieważ zbiory $A$ i $B$ są wypukłe odpowiednio w przestrzeniach $X$ i $Y,$ zatem mamy

$\lambda a_1+(1-\lambda )a_2\in A,\lambda b_1+(1-\lambda )b_2\in B.$

Z definicji iloczynu kartezjańskiego wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big(\lambda a_1+(1-\lambda)a_2,\lambda b_1+(1-\lambda)b_2\big) \ \in\ A\times B. }

Zatem pokazaliśmy, że zbiór $A\times B$ jest wypukły.

Ćwiczenie 3.5.

W przestrzeni wektorowej $C([0,1];\mathbb{ℝ}),$ funkcji ciągłych na przedziale $[0,1]$ definiujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f\|_{\infty} \ =\ \sup_{x\in[0,1]}|f(x)| \quad\forall f\in C\big([0,1];\mathbb{R}\big) }

(1) Pokazać, że $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ jest normą w $C([0,1];\mathbb{ℝ}).$ Nazywamy ją normą supremową.
(2) Obliczyć normę supremową dla funkcji: $f_1(x)=\sin (2\pi x)$ oraz $f_2(x)=6x^2-5x+1.$
(3) Udowodnić, że zbieżność w normie supremowej pokrywa się ze zbieżnością jednostajną dla funkcji ciągłych na przedziale $[0,1].$

(4) Pokazać, że $C([0,1];\mathbb{ℝ})$ z normą supremową jest przestrzenią Banacha.

(Punkty (3) i (4) są nadobowiązkowe. Potrzebne są tu pewne pojęcia z następnego wykładu. Do zadania można wrócić po następnym wykładzie).

Wskazówka

(1) Udowodnić kolejno trzy warunki występujące w definicji normy.
(2) Wyznaczyć największą wartość funkcji $|f_1|$ i $|f_2|$ na przedziale $[0,1].$
(3) Wynika wprost z obu rozważanych definicji.
(4) Wykorzystać punkt (3) i twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych (patrz twierdzenie 4.6.).

Rozwiązanie

(1) Pokażemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f\|_{\infty}=0 \ \Longleftrightarrow\ f\equiv 0. }

Implikacja "$⟹$" jest oczywista. W celu udowodnienia implikacji "$⟸$" załóżmy, że $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0.$ Wówczas $\underset{x\in [0,1]}{\sup }|f(x)|=0.$ To oznacza, że $|f(x)|=0$ dla każdego $x\in [0,1],$ czyli $f(x)=0$ dla każdego $x\in [0,1],$ zatem $f\equiv 0,$ co należało pokazać.

W celu pokazania jednorodności, niech $f\in C([0,1];\mathbb{ℝ})$ oraz $\lambda \in \mathbb{ℝ}.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \|f\lambda f\|_{\infty} &=& \displaystyle \sup_{x\in [0,1]}|\lambda f(x)| \ =\ \sup_{x\in [0,1]}|\lambda| |f(x)|\\ &=& \displaystyle |\lambda|\sup_{x\in [0,1]}|f(x)| \ =\ |\lambda|\|f\|_{\infty}, \end{array} }

co należało pokazać.

Aby pokazać subaddytywność, niech $f,g\in C([0,1];\mathbb{ℝ}).$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll}\displaystyle \|f+g\|_{\infty} &=& \displaystyle \sup_{x\in [0,1]}\big|(f+g)(x)\big| \ =\ \sup_{x\in [0,1]}\big|f(x)+g(x)\big| \le \sup_{x\in [0,1]}\big[\big|f(x)\big|+\big|g(x)\big|\big]\\ & \stackrel{\star}{\le} &\displaystyle \sup_{x\in [0,1]}\big|f(x)\big| +\sup_{x\in [0,1]}\big|g(x)\big| \ =\ \|f\|_{\infty}+\|g\|_{\infty}. \end{array}}

Aby uzasadnić powyższą nierówność $\star ,$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in [0,1]:\ \big|f(x)\big|+\big|g(x)\big| \le \sup_{x\in [0,1]}\big|f(x)\big| + \sup_{x\in [0,1]}\big|g(x)\big|, }

zatem biorąc supremum po lewej, stronie nierówność nadal jest zachowana i dostajemy $\star .$

(2) Ponieważ $f_1\left(\frac{1}{4}\right)=\sin \frac{\pi }{2}=1$ oraz $|f_1(x)|=|\sin (2\pi x)|\le 1$ dla dowolnego $x\in [0,1],$ zatem $\Vert f_1{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1.$

Funkcja kwadratowa na odcinku domkniętym może przyjmować wartość największą i najmniejszą jedynie w wierzchołku lub na końcu przedziału. Należy zatem zbadać te trzy punkty.
Wierzchołek paraboli ma współrzędne $(p,q)=(\frac{-b}{2a},\frac{-\mathrm{\Delta }}{4a})=(\frac{5}{12},-\frac{1}{24}).$ Na końcach przedziału mamy wartości $f_2(0)=1,f_2(1)=2,$ zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f_2\|_{\infty} \ =\ \max\bigg\{\bigg|-\frac{1}{24}\bigg|,|1|,|2|\bigg\} \ =\ 2. }

<flash>file=am2.m03.c.r03.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Wykres funkcji $f(x)=\sin 2\pi x$

<flash>file=am2.m03.c.r04.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Wykres funkcji $f(x)=6x^2-5x+1$

(3) Zbieżność $f_n\stackrel{\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}}{\to }f$ oznacza z definicji:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \|f_n-f\|_{\infty}<\varepsilon. }

Rozpisując normę supremową, otrzymujemy równoważne sformułowanie:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \sup_{x\in [0,1]}\big|f_n(x)-f(x)\big|<\varepsilon. }

Z kolei korzystając z definicji supremum, mamy równoważną postać

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N\ \forall x\in X \big|f_n(x)-f(x)\big|<\varepsilon, }

a to oznacza, że $f_n\rightrightarrows f$ w $[0,1]$ (patrz definicja 4.1. (2)), co należało dowieść.

(4) Należy wykazać, że przestrzeń $C([0,1];\mathbb{ℝ})$ jest zupełna. W tym celu weźmy dowolny ciąg Cauchy'ego $\{f_n\}\subseteq C([0,1];\mathbb{ℝ}).$ Należy pokazać, że ma on granicę w normie supremowej (a zatem z punktu (3), że jest jednostajnie zbieżny). Zauważmy, że dla dowolnego $x\in [0,1],$ ciąg liczbowy $\{f_n(x)\}$ jest ciągiem Cauchy'ego (w $\mathbb{ℝ}$), a zatem jest zbieżny, powiedzmy do $f(x)$ (korzystamy z zupełności $\mathbb{ℝ}$). Zatem $f$ jest granicą punktową ciągu funkcyjnego $\{f_n\}.$

Ustalmy $\epsilon >0.$ Z warunku Cauchy'ego wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall m>n>N:\ \sup_{x\in[0,1]}\big|f_n(x)-f_m(x)\big| \ <\ \varepsilon, }

zatem dla $m>n>N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in[0,1]:\ \big|f_n(x)-f_m(x)\big| \ <\ \varepsilon. }

Dla ustalonego $x\in [0,1]$ i ustalonego $n>N,$ możemy przejść do granicy z $m\to +\mathrm{\infty }$, otrzymując

$|f_n(x)-f(x)|\le \epsilon .$

Zatem pokazaliśmy, że $f\rightrightarrows f,$ czyli ciąg $\{f_n\}$ jest zbieżny w normie supremowej. W końcu korzystając z twierdzenia o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych (patrz twierdzenie 4.6.), mamy, że $f\in C([0,1];\mathbb{ℝ}).$

Ćwiczenie 3.6.

Niech $\Vert \cdot {\Vert }_1$ i $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ oznaczają odpowiednio normę taksówkową i maksimową w ${\mathbb{ℝ}}^N.$ Pokazać, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\cdot\|_{\square} \ =\ 2\|\cdot\|_1+\|\cdot\|_{\infty} }

jest normą w ${\mathbb{ℝ}}^N.$ Dla $N=2$ narysować kulę $K((0,0),1)\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2$ w tej normie.

Wskazówka

Korzystając z definicji norm $\Vert \cdot {\Vert }_1$ i $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$, pokazać, że $\Vert \cdot {\Vert }_{◻}$ jest normą.

Rozwiązanie

<flash>file=AM2.M03.C_R05.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Kula w metryce z ćwiczenia 3.6.

Niech $x\in {\mathbb{ℝ}}^N.$ Pokażemy, że $\Vert x{\Vert }_{◻}=0⟺x=\mathrm{\Theta }.$

Implikacja "$⟸$" jest oczywista. W celu udowodnienia implikacji "$⟹$" załóżmy, że $\Vert x{\Vert }_{◻}=0.$ Wówczas $2\Vert x{\Vert }_1+\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0,$ czyli $\Vert x{\Vert }_1=0$ i $\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0.$ Ponieważ $\Vert \cdot {\Vert }_1$ i $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ są normami, więc $x=\mathrm{\Theta }.$

W celu pokazania jednorodności niech $x\in {\mathbb{ℝ}}^N$ oraz $\lambda \in \mathbb{ℝ}.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \|\lambda x\|_{\square} & =&\displaystyle 2\|\lambda x\|_1 +\|\lambda x\|_{\infty} \ =\ 2|\lambda| \|x\|_1 +|\lambda| \|x\|_{\infty}\\ & =&\displaystyle |\lambda|\big(2\|x\|_1+\|x\|_{\infty}\big) \ =\ |\lambda| \|x\|_{\square}, \end{array} }

co należało pokazać.

W celu pokazania subaddytywności, niech $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \|x+y\|_{\square} &=&\displaystyle 2\|x+y\|_1 +\|x+y\|_{\infty} \le 2\big(\|x\|_1+\|y\|_1\big) +\big(\|x\|_{\infty}+\|y\|_{\infty}\big)\\ &=&\displaystyle \big(2\|x\|_1+\|x\|_{\infty}\big) \big(2\|y\|_1+\|y\|_{\infty}\big) \ =\ \|x\|_{\square}+\|y\|_{\square}. \end{array} }

Co kończy dowód, że $\Vert \cdot {\Vert }_{◻}$ jest norma w ${\mathbb{ℝ}}^N.$

Aby narysować kulę $K((0,0),1)\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2$ w tej normie, rozpiszmy wzór na tę normę:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|(x_1,x_2)\|_{\square} \ =\ 2|x_1|+2|x_2|+\max\big\{|x_1|+|x_2|\big\} \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 3|x_1|+2|x_2| & \text{jeśli} \displaystyle & |x_1|\ge |x_2|,\\ 2|x_2|+3|x_2| & \text{jeśli} \displaystyle & |x_1|<|x_2|. \end{array} \right. }

Zbiór punktów $(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ spełniających nierówność $\Vert (x_1,x_2){\Vert }_{◻}<1$ dostajemy, rozpisując nierówności w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych, dostajemy ośmiokąt jak na rysunku obok.

Ćwiczenie 3.7.

Niech $\Vert \cdot {\Vert }_1$ i $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ oznaczają odpowiednio normę taksówkową i maksimową w ${\mathbb{ℝ}}^N.$ Sprawdzić, czy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\cdot\|_{\circ} \ =\ 2\|\cdot\|_1-\|\cdot\|_{\infty} }

jest normą w ${\mathbb{ℝ}}^2.$

Wskazówka

Pokazać brak subaddytywności dla $\Vert \cdot {\Vert }_{\circ }.$

Rozwiązanie

Pokażemy, że $\Vert \cdot {\Vert }_{\circ }$ nie spełnia warunku subaddytywności. Dla wektorów $x=(1,0)$ i $y(0,1)$ w ${\mathbb{ℝ}}^2$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|_{\circ} \ =\ 2\|(1,1)\|_1-\|(1,1)\|_{\infty} \ =\ 2\cdot 2-1 \ =\ 3 }

oraz

$\begin{array}{lll}\Vert x{\Vert }_{\circ }+\Vert y{\Vert }_{\circ }& =& 2\Vert (1,0){\Vert }_1-\Vert (1,0){\Vert }_{\mathrm{\infty }}\\ & +& 2\Vert (0,1){\Vert }_1-\Vert (0,1){\Vert }_{\mathrm{\infty }}=2-1+2-1=2.\end{array}$

Zatem $\Vert x+y{\Vert }_{\circ }\le ̸\Vert x{\Vert }_{\circ }+\Vert y{\Vert }_{\circ }.$

Jako ciekawostkę proponujemy sprawdzenie, że dwa pierwsze warunki w definicji normy zachodzą dla $\Vert \cdot {\Vert }_{\circ }.$

Ćwiczenie 3.8.

W ${\mathbb{ℝ}}^2$ wprowadzamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle} \ =\ 3x_1y_1+5x_2y_2 \quad } dla $(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2.$

(1) Pokazać, że $(\cdot |\cdot {)}_{\mathrm{△}}$ jest iloczynem skalarnym w ${\mathbb{ℝ}}^2.$
(2) Jak wygląda $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{△}}$ norma zadana przez ten iloczyn skalarny? Obliczyć $\Vert (4,5){\Vert }_{\mathrm{△}}.$
(3) Dane są dwa wektory $x=(1,7)$ i $y=(3,a).$ Dobrać parametr $a\in \mathbb{ℝ}$ tak, aby $x\perp y$ (oczywiście w rozważanym iloczynie skalarnym).
(4) Narysować kulę $K_{\mathrm{△}}((0,0),1)$ w metryce zadanej przez ten iloczyn skalarny.

Wskazówka

(1) Sprawdzić zachodzenie wszystkich czterech warunków w definicji iloczynu skalarnego (patrz definicja 3.15.).
(2) Skorzystać ze wzoru na normę zadaną przez iloczyn skalarny (patrz twierdzenie 3.18.).
(3) Co to znaczy, że wektory są ortogonalne? (patrz definicja 3.25.).
(4) Kule w przestrzeni unormowanej są to kule w przestrzeni metrycznej zadanej przez normę.

Rozwiązanie

(1) Dla dowolnego $x=(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle} \ =\ 3x_1^2+5x_2^2, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle} \ \ge\ 0 }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle}=0 \ \Longleftrightarrow\ (x_1,x_2)=\Theta, }

pokazaliśmy więc punkt (1) definicji iloczynu skalarnego.

Niech $x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2)\in X$ oraz $\lambda \in \mathbb{ℝ}.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \big(\lambda(x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle} &=& \displaystyle \big((\lambda x_1,\lambda x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle} \ =\ 3\lambda x_1y_1+5\lambda x_2y_2\\ &=& \displaystyle \lambda\big(3x_1y_1+5x_2y_2\big) \ =\ \lambda\big((x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle}, \end{array} }

pokazaliśmy więc punkt (2) definicji iloczynu skalarnego.

Niech teraz $x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2),z=(z_1,z_2)\in X.$ Wówczas

$\begin{array}{lll}((x_1,x_2)+(y_1,y_2)|(z_1,z_2){)}_{\mathrm{△}}& =& ((x_1+y_1,x_2+y_2)|(z_1,z_2){)}_{\mathrm{△}}\\ & =& 3(x_1+y_1)z_1+5(x_2+y_2)z_2\\ & =& 3x_1{z}_1+3y_1{z}_1+5x_2{z}_2+5y_2{z}_2\\ & =& (3x_1{z}_1+5x_2{z}_2)+(3y_1{z}_1+5y_2{z}_2)\\ & =& ((x_1,x_2)|(z_1,z_2){)}_{\mathrm{△}}((y_1,y_2)|(z_1,z_2){)}_{\mathrm{△}},\end{array}$

pokazaliśmy więc punkt (3) definicji iloczynu skalarnego.

W końcu niech $x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2)\in X.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle} \ =\ 3x_1y_1+5y_1y_2 \ =\ 3y_1x_1+5y_2x_2 \ =\ \big((y_1,y_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle} }

pokazaliśmy więc symetrię. Kończy to dowód faktu, że $(\cdot |\cdot {)}_{\mathrm{△}}$ jest iloczynem skalarnym w ${\mathbb{ℝ}}^2.$

<flash>file=AM2.M03.C_R06.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Kula w metryce zadanej przez iloczyn skalarny z ćwiczenia 3.8.

(2) Ponieważ $(\cdot |\cdot {)}_{\mathrm{△}},$ więc norma $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{△}}$ zadana przez ten iloczyn skalarny dla dowolnego $x=(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|(x_1,x_2)\|_{\triangle} \ =\ \sqrt{\big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle}} \ =\ \sqrt{3x_1^2+5x_2^2}. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|(4,5)\|_{\triangle} \ =\ \sqrt{3\cdot 4^2+5\cdot 5^2} \ =\ \sqrt{173}. }

(3) Wektory $x$ i $y$ są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy $(x|y{)}_{\mathrm{△}}=0.$ Zatem musimy rozwiązać równanie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((1,7)|(3,a)\big)_{\triangle} \ =\ 0, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 3\cdot 1\cdot 3+5\cdot 7\cdot a \ =\ 0, }

skąd $a=-\frac{9}{35}.$

(4) Kulą jest następujący zbiór:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{align}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{align} K_{\triangle}\big((0,0),1\big) &= \big\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:\ \|(x_1,x_2)\|_{\triangle}<1\big\}\\ &= \big\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:\ \sqrt{3x_1^2+5x_2^2}<1\big\}\\ &= \big\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:\ 3x_1^2+5x_2^2<1\big\}. \end{align} }

Przypomnijmy, że zbiór punktów $(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ spełniających równanie $\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}=1$ jest elipsą o półosiach wielkich $a$ i $b.$ Zatem w naszym przypadku zbiór punktów $(x_1,x_2)\in {\mathbb{ℝ}}^2$ spełniających nierówność $\frac{x_1^2}{\frac{1}{3}}+\frac{x_2^2}{\frac{1}{5}}<1$ jest wnętrzem elipsy o półosiach wielkich $\frac{1}{\sqrt{3}}$ oraz $\frac{1}{\sqrt{5}}.$

Ćwiczenie 3.9.

(Zadanie nadobowiązkowe.)
Niech $X,Y$ będą dwiema przestrzeniami unormowanymi oraz $f:X⟶Y$ odwzorowaniem liniowym. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne:
(i) $f$ jest ciągła;
(ii) $\mathrm{\exists }{x}_0\in X$: $f$ jest ciągła w $x_0$;
(iii) $f$ jest ciągła w $\mathrm{\Theta }\in X$ ($\mathrm{\Theta }$ oznacza wektor zerowy przestrzeni wektorowej $X$);
(iv) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\exists M\ge 0\ \ \forall x\in X:\ \ \|x\|_X\le 1\ \Longrightarrow\ \big\|f(x)\big\|_Y\le M} (to znaczy odwzorowanie $f$ jest ograniczone na domkniętej kuli o promieniu $1$);
(v) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\exists c\ge 0\ \ \forall x\in X:\ \ \big\|f(x)\big\|_Y\le c\|x\|_X} (warunek ten nazywa się ograniczonością dla odwzorowania liniowego);
(vi) $f$ jest jednostajnie ciągła.

Wskazówka

Udowodnić kolejno implikacje $(i)⟹(ii)⟹(iii)⟹(iv)⟹(v)⟹(vi)⟹(i).$

Rozwiązanie

"$(i)⟹(ii)$"
Implikacja jest oczywista (z ciągłości funkcji wynika jej ciągłość w każdym punkcie).

"$(ii)⟹(iii)$"
Załóżmy, że funkcja $f:X⟶Y$ jest ciągła w pewnym punkcie $x_0\in X.$ Pokażemy, że jest ciągła w $\mathrm{\Theta }\in X.$

Ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z definicji Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[\|x-x_0\|_X\le\delta \ \Longrightarrow\ \|f(x)-f(x_0)\|_Y\le\varepsilon\bigg]. }

Dla dowolnego $z\in X$ takiego, że $\Vert z{\Vert }_X\le \delta$ niech $x=z+x_0.$ Wówczas $\Vert x-x_0{\Vert }_X=\Vert z{\Vert }_X\le \delta ,$ a zatem korzystając z powyższej implikacji, dostajemy, że $\Vert f(z){\Vert }_Y=\Vert f(x-x_0){\Vert }_Y=\Vert f(x)-f(x_0){\Vert }_Y\le \epsilon .$ Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0:\ \bigg[\|z\|_X\le\delta \ \Longrightarrow\ \|f(z)\|_Y\le\varepsilon\bigg], }

a to oznacza ciągłość funkcji $f$ w punkcie $\mathrm{\Theta }.$

"$(iii)⟹(iv)$"
Załóżmy, że funkcja $f:X⟶Y$ jest ciągła w punkcie $\mathrm{\Theta }.$ Ustalmy $\epsilon =1.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[\|z\|_X\le\delta \ \Longrightarrow\ \|f(z)\|_Y\le 1\bigg]. }

Niech $M:=\frac{1}{\delta }.$ Wówczas dla $x\in X\setminus \{\mathrm{\Theta }\}$ takich, że $\Vert x{\Vert }_X\le 1$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f(x)\|_Y \ =\ \bigg\|f\bigg(\frac{\delta x}{\delta}\bigg)\bigg\|_Y \ =\ \frac{1}{\delta}\|f(\delta x)\|_Y. }

Korzystając z faktów, że $\Vert x{\Vert }_X\le 1$ oraz $\Vert \delta x{\Vert }_X=\delta \Vert x{\Vert }_X\le \delta$ i z powyższej implikacji, dostajemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f(x)\|_Y \le \frac{1}{\delta} \ =\ M. }

Oczywiście dla $x=\mathrm{\Theta }$ implikacja także zachodzi. Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in X:\ \bigg[ \|x\|_X\le 1 \ \Longrightarrow\ \big\|f(x)\big\|_Y\le M\bigg], }

co należało dowieść.

"$(iv)⟹(v)$"
Zakładamy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists M>0\ \forall x\in X:\ \bigg[ \|x\|_X\le 1 \ \Longrightarrow\ \big\|f(x)\big\|_Y\le M\bigg]. }

Niech $c:=M.$ Wówczas dla dowolnego $x\in X\setminus \{\mathrm{\Theta }\}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big\|f(x)\big\|_X \ =\ \bigg\|f\bigg(\|x\|_X\frac{x}{\|x\|_X}\bigg)\bigg\|_X \ =\ \|x\|_X\bigg\|f\bigg(\frac{x}{\|x\|_X}\bigg)\bigg\|_X. }

Ponieważ $\Vert \frac{x}{\Vert x{\Vert }_X}{\Vert }_X=1,$ więc możemy skorzystać z założenia, otrzymując

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big\|f(x)\big\|_X \ =\ \|x\|_X\bigg\|f\bigg(\frac{x}{\|x\|_X}\bigg)\bigg\|_X \le \|x\|_X\cdot M \ =\ c\|x\|_X. }

Oczywiście dla $x=\mathrm{\Theta }$ implikacja także jest prawdziwa. Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists c\ge 0\ \ \forall x\in X:\ \ \big\|f(x)\big\|_Y\le c\|x\|_X, }

co należało dowieść.

"$(v)⟹(vi)$"
Zakładamy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists c\ge 0\ \ \forall x\in X:\ \ \big\|f(x)\big\|_Y\le c\|x\|_X. }

W celu pokazania jednostajnej ciągłości funkcji $f$ ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Niech $\delta :=\frac{\epsilon }{c}.$ Wówczas dla dowolnych $x,z\in X$ takich, że $\Vert x-z{\Vert }_X\le \delta ,$ korzystając z założenia, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big\|f(x)-(z)\big\|_Y \ =\ \big\|f(x-z)\big\|_Y \le c\|x-z\|_X \le c\delta \ =\ \varepsilon. }

Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \forall x,z\in X:\ \bigg[ \|x-z\|_X\le \delta \ \Longrightarrow\ \big\|f(x)-f(z)\big\|_Y\le\varepsilon \bigg], }

co oznacza jednostajną ciągłość funkcji $f.$

"$(vi)⟹(i)$"
Implikacja ta jest oczywista, gdyż jednostajna ciągłość zawsze implikuje ciągłość (patrz twierdzenie 2.37.)