Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Odległość i ciągi

Na tym wykładzie dowiadujemy sie w jaki sposób można mierzyć odległość w . Wprowadzamy pojęcie odległości (metryki) w oraz zdefiniujemy kule dla różnych metryk.

Definiujemy ciągi o wyrazach wektorowych, pojecie granicy ciągu. Podajemy własności granic oraz wprowadzamy pojęcie ciągu Cauchy'ego.

Odległość

Euklides (365-300 p.n.e.)
Zobacz biografię

W szkole spotkaliśmy się już z pojęciem odległości na przykład liczb na osi rzeczywistej lub punktów na płaszczyźnie (odległość euklidesowa).

Okazuje się, że odległość można mierzyć na wiele różnych sposobów. Umówiono się, że funkcja przyporządkowująca parze punktów zbioru liczbę, którą nazwiemy ich odległością, musi spełniać kilka warunków. Tę funkcję będziemy nazywać metryką, a warunki precyzuje poniższa definicja.

Definicja 3.1. [metryka]

Metryką w nazywamy dowolną funkcję spełniającą następujące warunki:
(1) ;
(2) (warunek symetrii);

(3) (warunek trójkąta).

Dla dowolnych liczbę nazywamy odległością punktów i oraz mówimy, że punkty i oddalone od siebie o

Zwróćmy uwagę, że warunki w powyższej definicji są dość naturalnymi warunkami jakie powinna spełniać odległość. Mówią one, że odległość dwóch punktów wynosi zero tylko wtedy, gdy punkty się pokrywają. Odległość od punktu do punktu jest równa odległości od punktu do punktu . Trzeci warunek mówi, że odległość od do nie może być większa, od sumy odległości od do i od do , co także jest naturalnym żądaniem.

Jeśli potrafimy już mierzyć odległość, to możemy zdefiniować kulę o promieniu , czyli zbiór punktów, których odległość od wybranego punktu (zwanego środkiem kuli) jest mniejsza niż .

Definicja 3.2. [kula, kula domknięta]

Niech oraz
Kulą o środku w punkcie i promieniu nazywamy zbiór:

Kulą domkniętą o środku w punkcie i promieniu nazywamy zbiór:

Z powyższej definicji wynika, iż kulą o środku i promieniu nazywamy zbiór punktów przestrzeni których odległość od środka jest mniejsza od Analogicznie kulą domkniętą o środku i promieniu nazywamy zbiór punktów przestrzeni których odległość od środka nie jest większa od

Zanim przejdziemy do przykładów przestrzeni metrycznych oraz kul, podamy pewne własności kul.

Uwaga 3.3. [własności kul]

Niech
(1) Jeśli to
(2) Jeśli to
(3) Jeśli to

Powyższa uwaga (wynikająca w oczywisty sposób z definicji kuli) mówi, że:
(1) środek zawsze należy do kuli (o ile promień jest dodatni);
(2) kula jest zbiorem niepustym wtedy i tylko wtedy, gdy promień jest dodatni;
(3) jeśli dwie kule mają ten sam środek, to kula o mniejszym promieniu zawiera się w kuli o większym promieniu.

Podamy teraz przykłady metryk w oraz powiemy jak wyglądają kule w tych metrykach.

Pierwszy przykład wprowadza naturalną metrykę w Z tym sposobem mierzenia odległości między punktami prostej spotkaliśmy się już w szkole.

Plik:AM1.M03.W.R02.svg
Kula i kula domknięta w metryce euklidesowej na prostej

Przykład 3.4. [metryka euklidesowa na prostej]

Niech . Definiujemy



Funkcję nazywamy metryką euklidesową w

Kule są przedziałami otwartymi i ograniczonymi w a kule domknięte są przedziałami domkniętymi i ograniczonymi w

Zauważmy, że już w powyższym przykładzie kula nie przypomina tego co potocznie uważa się za kulę. Za chwilę zobaczymy, że (w zależności od sposobu mierzenia odległości) kula na płaszczyźnie może wyglądać inaczej niż by to wynikało z naszych przyzwyczajeń.

Trzy kolejne przykłady podają naturalne metryki jakie można wprowadzić w

<flash>file=AM1.M03.W.R03.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Odległość maksimowa w

<flash>file=AM1.M03.W.R04.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Odległość maksimowa w

Przykład 3.5. [metryka maksimowa]

Niech

gdzie oraz

Tak zdefiniowana funkcja jest metryką (dowód tego faktu pozostawiony jest na ćwiczenia; patrz ćwiczenie 3.1.). Nazywamy ją metryką maksimową w

Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce maksimowej.

<flash>file=AM1.M03.W.R05.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Kula w metryce maksimowej w

<flash>file=AM1.M03.W.R06.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Kula w metryce maksimowej w


Przykład 3.6. [metryka taksówkowa]

Definiujemy

Tak zdefiniowana funkcja jest metryką (dowód tego faktu pozostawiony jest na ćwiczenia; patrz ćwiczenie 3.1.). Nazywamy ją

metryką taksówkową w .

<flash>file=AM1.M03.W.R07.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Odległość taksówkowa w

<flash>file=AM1.M03.W.R08.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Odległość taksówkowa w

<flash>file=AM1.M03.W.R09.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Kula w metryce taksówkowej w

<flash>file=AM1.M03.W.R10.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Kula w metryce taksówkowej w

Metryka taksówkowa jest naturalnym sposobem mierzenia odległości w niektórych miastach (patrz mapa Turynu). Jeśli mieszkamy w Turynie przy Corso Vittorio Emanuele II, a nasz przyjaciel przy Corso Galileo Ferraris, to odległość jaką musimy przejechać taksówką by go odwiedzić, to będzie długość drogi od naszego domu do skrzyżowania obu ulic (czyli wartość bezwzględna różnicy współrzędnych na jednej osi) oraz długość drogi od skrzyżowania do domu przyjaciela (czyli wartość bezwzględna różnicy współrzędnych na drugiej osi).

Przykład 3.7. [metryka euklidesowa]

Zdefiniujmy

Tak zdefiniowana funkcja jest metryką. Nazywamy ją metryką euklidesową w . Ten sposób mierzenia odległości między punktami

lub jest nam znany ze szkoły.

<flash>file=AM1.M03.W.R12.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Odległość eukidesowa w

<flash>file=AM1.M03.W.R13.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Odległość eukidesowa w

<flash>file=AM1.M03.W.R14.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Kula w metryce eukidesowej w

<flash>file=AM1.M03.W.R15.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Kula w metryce eukidesowej w

Wykażemy teraz, że spełnia warunki definicji metryki. Dowód dwóch pierwszych warunków zostawiamy jako proste ćwiczenie. W dowodzie nierówności trójkąta dla metryki wykorzystamy następującą nierówność Cauchy'ego.

Lemat 3.8. [nierówność Cauchy'ego]

Dowód 3.8.

Ustalmy dowolne . Rozważmy następujący trójmian kwadratowy zmiennej :

Grupując składniki w powyższym wielomianie dostajemy

a zatem dla dowolnego Skoro trójmian kwadratowy jest stale nieujemny, to jego wyróżnik jest niedodatni, czyli

skąd dostajemy

co należało dowieść.

End of proof.gif


Możemy teraz przystąpić do dowodu nierówności trójkąta dla

Lemat 3.9. [nierówność trójkąta dla metryki euklidesowej]

Dowód 3.9.

Ustalmy dowolne Liczymy


Korzystając z nierówności Cauchy'ego (patrz lemat 3.8.), mamy

Zatem pokazaliśmy, że

End of proof.gif


Uwaga 3.10.

Zauważmy, że w przypadku metryki euklidesowa, taksówkowa i maksimowa pokrywają się, to znaczy Kulami w tych metrykach są przedziały otwarte.

Zdefiniujemy teraz pewne pojęcia związane z metrykami.

Plik:AM1.M03.W.R16.svg
Zbiór otwarty

Definicja 3.11.

Niech , oraz ustalmy pewną metrykę w .
(1) Zbiór nazywamy otwartym (w metryce ), jeśli każdy punkt tego zbioru zawiera się w tym zbiorze wraz z pewną kulą o środku w tym punkcie (i dodatnim promieniu), czyli

(2) Mówimy, że punkt jest punktem skupienia zbioru jeśli każda kula o środku w punkcie (i dodatnim promieniu) zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru różny od
(3) Mówimy, że punkt jest punktem izolowanym zbioru , jeśli oraz nie jest punktem skupienia zbioru .
(4) Zbiór nazywamy domkniętym, jeśli każdy punkt skupienia zbioru należy do
(5) Zbiór nazywamy ograniczonym, jeśli jest zawarty w pewnej kuli, to znaczy

Zauważmy, że pojęcia występujące w powyższej definicji

(zbiór otwarty, domknięty, punkt skupienia, punkt izolowany, zbiór ograniczony) są związane nie tylko ze zbiorem , ale także z wybraną w nim metryką . W definicji wszystkich tych pojęć używamy bowiem pojęcia kuli.

Przykład 3.12.

Rozważmy z metryką euklidesową oraz zbiór . Punktami skupienia zbioru są punkty przedziału

Jedynym punktem izolowanym zbioru jest

A nie jest zbiorem domkniętym, bo punkt jest jego punktem skupienia, który do niego nie należy.

Zbiór jest ograniczony, gdyż na przykład

Plik:AM1.M03.W.R19.svg
Przedział otwarty

Przykład 3.13.

(1) Przedziały otwarte w przestrzeni euklidesowej są zbiorami otwartymi. Dla dowodu weźmy przedział () oraz dowolny . Niech Wówczas

(2) Kule są zawsze zbiorami otwartymi, a kule domknięte są zbiorami domkniętymi (fakt ten udowodnimy na wykładzie z Analizy matematycznej 2).

W kolejnym twierdzeniu zebrano szereg własności zbiorów w z ustaloną metryką (twierdzenie pozostawiamy bez dowodu). Poniżej podamy jedynie pewne komentarze i wnioski wynikające z tego twierdzenia.

Twierdzenie 3.14. [zbiory związane z metryką]

Jeśli jest metryką w , to
(1) Zbiór jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy (dopełnienie zbioru ) jest zbiorem domkniętym.
(2) Kule są zbiorami otwartymi, a kule domknięte są zbiorami domkniętymi.
(3) Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(4) Przecięcie (część wspólna) skończonej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(5) Przecięcie (część wspólna) dowolnej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(6) Suma skończonej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

Przykład 3.15.

Rozważmy z metryką euklidesową . Podamy przykłady ilustrujące powyższe twierdzenie.
(1) Zbiór jest zbiorem domkniętym (jako uzupełnienie kuli , która jest zbiorem otwartym).
(2) Przedział jest zbiorem domkniętym, gdyż jest to kula domknięta . Zatem jej uzupełnienie jest zbiorem otwartym.
(3) Zbiory jednopunktowe są domknięte, gdyż są to kule domknięte o promieniu .
(4) Ponieważ przedziały dla są otwarte, więc ich suma (przeliczalna) jest także zbiorem otwartym. Zauważmy, że uzupełnieniem tej sumy jest zbiór liczb całkowitych . Zatem pokazaliśmy, że jest zbiorem domkniętym.
(5) Powyższe twierdzenie mówi, że przecięcie skończonej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Okazuje się, że dla nieskończonej ilości zbiorów otwartych nie musi być to prawdą. Podobnie suma nieskończenie wielu zbiorów domkniętych nie musi być zbiorem domkniętym (patrz ćwiczenie 3.5.)
(6) Zbiory skończone są domknięte

(jako sumy skończonej ilości zbiorów jednoelementowych, które są zbiorami domkniętymi).

Ciągi

W szkole średniej poznaliśmy ciągi o wyrazach rzeczywistych (to znaczy funkcje ).

W praktyce często spotykamy sie z ciągami o wyrazach innych niż liczby rzeczywiste. Na przykład, gdy mierzymy co sekundę prędkość i położenie w przestrzeni () jakiegoś obiektu, dostajemy ciąg, który każdemu przypisuje cztery wartości, czyli element z Nasz ciąg możemy zatem zapisać gdzie jest prędkością w chwili natomiast określają położenie punktu w przestrzeni.

Naszym celem teraz jest wprowadzenie pojęcia ciągu i pojęcia granicy tego ciągu. W matematyce te pojęcia można zdefiniować dla dowolnie wybranej metryki (aby zdefiniować granicę musimy móc mierzyć odległość). My jednak ograniczymy nasze rozumowania do przestrzeni z metryką , gdzie jest jedną z wyżej wprowadzonych metryk: , , lub .

Definicja 3.16. [ciąg]

Ciągiem w nazywamy dowolną funkcję .
Ciąg ten oznaczamy

gdzie

Powiemy teraz co to znaczy, że punkt jest granicą ciągu . Intuicyjnie oznacza to, że wyrazy są "coraz bliżej" granicy w miarę wzrostu . Formalnie podaje to poniższa definicja.

Definicja 3.17. [granica ciągu]

Niech będzie ciągiem oraz niech
Mówimy, że jest granicą ciągu jeśli

i piszemy

Mówimy, że ciąg jest zbieżny, jeśli ma granicę, czyli

<flashwrap>file=AM1.M03.W.R23.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Granica ciągu w

<flashwrap>file=AM1.M03.W.R24.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Granica ciągu w


Uwaga 3.18.

Warunek

w powyższej definicji mówi, że dla dowolnego (dowolnie małego) wyrazy ciągu są od pewnego miejsca (od ) oddalone od o mniej niż Warunek ten jest równoważny warunkowi

który mówi, że dla dowolnego (dowolnie małego) wyrazy ciągu od pewnego miejsca (od ) leżą w kuli Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż należy do kuli dokładnie wtedy, gdy odległość od jest mniejsza niż to znaczy

Plik:AM1.M03.W.R25.mp4
Ciąg stały "od pewnego miejsca"



Definicja 3.19. [ciąg ograniczony]

Ciąg nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości jest ograniczony w to znaczy zawarty w pewnej kuli. Innymi słowy ciąg jest ograniczony, gdy

Przykład 3.20.

Jeśli ciąg jest stały od pewnego miejsca, czyli istnieje takie, że

to wówczas

Oznacza to, że ciąg stały od pewnego miejsca jest zbieżny.

Przykład 3.21.

Niech będzie ciągiem danym przez dla Wówczas

Aby to pokazać ustalmy dowolne Wówczas istnieje liczba naturalna , która jest większa od (gdyż dla każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba naturalna od niej większa), czyli

Zatem dla dowolnego mamy

zatem pokazaliśmy, że

Przykład 3.22. [ciąg geometryczny]

Niech oraz dla Wówczas

Dowód podobny do dowodu w przykładzie 3.21., pozostawiamy jako ćwiczenie.
Ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie (patrz definicja 1.8.).

Kolejne twierdzenie podaje związek między zbieżnością ciągu punktów, a zbieżnością ciągu liczbowego odległości jego wyrazów od granicy. Mówi ono, że ciąg jest zbieżny do granicy w dokładnie wtedy, gdy ciąg odległości od jest zbieżny do w Dowód wynika wprost z definicji.

Twierdzenie 3.23.

Niech będzie ciągiem oraz Wówczas


Powiemy teraz co to jest podciąg danego ciągu Nieformalnie mówiąc, podciąg powstaje z ciągu przez skreślenie z niego pewnej liczby wyrazów (tak aby nadal pozostała nieskończona ich ilość):

Formalna definicja podana jest poniżej.

Plik:AM1.M03.W.R27.mp4
Granica ciągu w iloczynie kartezjańskim
Kartezjusz (1596-1650)
Zobacz biografię

Definicja 3.24. [podciąg]

Niech będzie ciągiem. Niech będzie funkcją silnie rosnącą.
Ciąg nazywamy podciągiem ciągu i oznaczamy

gdzie dla

W kolejnym twierdzeniu zebrane są własności granic. Niektóre z nich udowodnimy na ćwiczeniach (patrz ćwiczenie 3.3. i ćwiczenie 3.4.).

Twierdzenie 3.25. [własności granic]

Jeśli jest ciągiem, to
(1) Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu to znaczy

(2) Jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.
(3) Jeśli oraz jest dowolnym podciągiem ciągu to

(4) Jeśli jest ciągiem zbieżnym oraz jest jego dowolnym podciągiem takim, że to także

(5) Jeśli dla dowolnego podciągu ciągu istnieje jego "dalszy" podciąg taki, że

to

Jeśli jest ciągiem w to jego wyrazy mają współrzędne: dla Kolejne twierdzenie podaje związek między zbieżnością ciągu w a zbieżnością ciągów na poszczególnych współrzędnych Dzięki temu twierdzeniu liczenie granic ciągów w sprowadza się do liczenia granic ciągów w (dowód pomijamy).

Twierdzenie 3.26. [granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]

Jeśli jest ciągiem, czyli dla oraz to
wtedy i tylko wtedy, gdy dla

Ciągi Cauchy'ego

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię

Obok ciągów zbieżnych, ważną rolę odgrywają także tak zwane ciągi Cauchy'ego. Ciągi Cauchy'ego to takie ciągi, dla których odległości między wyrazami zmierzają do zera. Okazuje się, że w z metryką euklidesową, ciągi Cauchy'ego są dokładnie ciągami zbieżnymi. Jednak nie dla każdej przestrzeni z metryką tak jest (patrz uwaga 3.31).


Definicja 3.27. [warunek Cauchy'ego]

Niech będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli

Warunek Cauchy'ego dla ciągu oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są oddalone od siebie o mniej niż

Zacznijmy od prostych faktów.

Stwierdzenie 3.28.

Jeśli jest ciągiem Cauchy'ego, to jest ograniczony.

Dowód 3.28.

Weźmy . Wtedy istnieje , takie, że dla wszystkich mamy , w szczególności dla każdego , . Weźmy

Wtedy wszystkie wyrazy ciągu zawierają się w kuli , a więc ciąg jest ograniczony.

End of proof.gif

Stwierdzenie 3.29.

Jeśli podciąg ciągu Cauchy'ego ma granicę , to ciąg ma granicę .

Dowód 3.29.

Ustalmy . Skoro , to istnieje , takie, że dla każdego mamy . Skoro zaś jest ciągiem Cauchy'ego, to istnieje takie, że dla wszystkich mamy . Biorąc , mamy dla wszystkich

a zatem jest granicą ciągu .

End of proof.gif

Kolejne twierdzenie mówi, że w ciągi są zbieżne dokładnie wtedy, gdy spełniają warunek Cauchy'ego.

Twierdzenie 3.30. [zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego]

Ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego.

Dowód 3.30.

""
Wykażemy, że jeśli ciąg jest zbieżny, to spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy . Skoro ciąg jest zbieżny do granicy , to jego wyrazy są od pewnego miejsca odległe od o mniej niż , czyli

Weźmy teraz dowolne . Wtedy

a zatem ciąg spełnia warunek Cauchy'ego.

""
Ta część dowodu będzie przeprowadzona później, po wprowadzeniu pojęcia zwartości.

End of proof.gif


Uwaga 3.31.

Dla dowolnie wybranego zbioru z metryką zachodzi tylko jedna implikacja w powyższym twierdzeniu, a mianowicie każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego. Aby pokazać, że przeciwna implikacja nie jest prawdziwa, rozważmy przedział otwarty z metryką euklidesową (czyli dla ich odległość wynosi ). Ciąg zadany wzorem dla nie jest zbieżny w (dlaczego?), ale spełnia warunek Cauchy'ego. Aby to pokazać, ustalmy dowolne Wówczas

Wówczas dla dowolnych mamy

Pokazaliśmy zatem, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego.