Analiza matematyczna 2/Wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Stefan Banach (1892-1945)
Zobacz biografię

W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie ciągu w dowolnej przestrzeni metrycznej. Definiujemy granicę ciągu w przestrzeni metrycznej i przedstawiamy jej własności. Wprowadzamy pojęcie ciągu Cauchy'ego i zupełności. Dowodzimy twierdzenie Banacha o punkcie stałym i twierdzenie Cantora dla przestrzeni zupełnych. Wprowadzamy pojęcie ciągowej zwartości i charakteryzujemy zbiory zwarte w przestrzeni euklidesowej. Jako materiał nadobowiązkowy omawiamy ciągłość funkcji między przestrzeniami metrycznymi. Dowodzimy pewnego warunku równoważnego ciągłości funkcji oraz tak zwaną własność Darboux. Wprowadzamy pojęcie: jednostajna ciągłość funkcji.

Ciąg i granica

Wyobraźmy sobie dwóch ludzi na kuli ziemskiej: jednego człowieka na biegunie północnym, a drugiego na biegunie południowym. Jaka jest dzielącaich odległość? Jeśli potraktujemy tych ludzi jako dwa punkty przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$, to ich odległość będzie równa średnicy Ziemi (czyli około $12732$ kilometry). Ale każdy odpowie, że odległość dzieląca tych ludzi równa jest połowie obwodu Ziemi (czyli około $20000$ kilometrów). Odległość jaką w tej chwili podajemy nie jest zatem odległością w ${\mathbb{ℝ}}^N$, lecz w zupełnie innej przestrzeni, jaką jest powierzchnia kuli. Tak więc na co dzień spotykamy się także z przestrzeniami metrycznymi innymi niż ${\mathbb{ℝ}}^N$.

Definicja 2.1. [ciąg]

Niech $X\ne \mathrm{\varnothing }$ będzie dowolnym zbiorem. Ciągiem o wyrazach w zbiorze $X$ nazywamy dowolną funkcję $f:\mathbb{\mathbb{N}}⟶X$.
Ciąg ten oznaczamy

$\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}\subseteq X,\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq X,\{x_n\}\subseteq X,$  lub  $x_1,x_2,\dots$

gdzie $f(n)=x_n\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}$

Load video Local File Local File might collect personal data. Continue Dismiss Ciąg

Load video Local File Local File might collect personal data. Continue Dismiss Wykres ciągu

Definicja 2.2. [granica ciągu]

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $\{x_n\}\subseteq X$ ciągiem oraz $g\in X$
Mówimy, że $g$ jest granicą ciągu $\{x_n\}$ w metryce $d$, jeśli dla dowolnego $\epsilon >0$ wyrazy ciągu są od pewnego momentu oddalone od $g$ o mnie niż $\epsilon$, czyli

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{\mathbb{N}}\mathrm{\forall }n\ge N:d(x_n,g)<\epsilon$

i piszemy

$\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g,x_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}g,x_n⟶g$ lub $x_n\stackrel{d}{\to }g$

Mówimy, że ciąg $\{x_n\}$ jest zbieżny, jeśli

$\mathrm{\exists }g\in X:\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g$

Plik:AM2.M02.W.R03.mp4 Ciąg zbieżny

Load video Local File Local File might collect personal data. Continue Dismiss Wykres ciągu zbieżnego

Uwaga 2.3.

Warunek

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{\mathbb{N}}\mathrm{\forall }n\ge N:d(x_n,g)<\epsilon$

w powyższej definicji jest równoważny warunkowi

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{\mathbb{N}}\mathrm{\forall }n\ge N:x_n\in K(g,\epsilon )$

Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż

$d(x_n,g)<\epsilon ⟺x_n\in K(g,\epsilon )$

Definicja 2.4. [ciąg ograniczony]

Ciąg $\{x_n\}\subseteq X$ nazywamy ograniczonym, jeśli

$\mathrm{\exists }x\in X\mathrm{\exists }r>0\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}:d(x,x_n)<r$

Innymi słowy, ciąg $\{x_n\}$ jest ograniczony, jeśli zbiór jego wartości $\{x_n:n\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$ jest ograniczony w $X$.

Przykład 2.5.

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz $\{x_n\}\subseteq X$ dowolnym ciągiem. Wówczas ciąg $\{x_n\}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $\{x_n\}$ jest stały od pewnego miejsca.

"$⟸$":
Ta implikacja jest oczywista.

"$⟹$":
Załóżmy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=x$ Należy pokazać, że ciąg $\{x_n\}$ jest stały od pewnego miejsca. Ustalmy $\epsilon =\frac{1}{2}$ Z definicji granicy wiemy, że

$\mathrm{\exists }N\in \mathbb{\mathbb{N}}\mathrm{\forall }n\ge N:d(x_n,x)<\frac{1}{2}$

Ale metryka dyskretna przyjmuje tylko wartości $0$ lub $1$. Zatem warunek $d(x_n,x)<\frac{1}{2}$ oznacza, że $d(x_n,x)=0$, czyli $x_n=x$. Pokazaliśmy zatem, że

$\mathrm{\forall }n\ge N:x_n=x$

to znaczy ciąg $\{x_n\}$ jest stały od pewnego miejsca.

Podobnie jak w przypadku ciągów w ${\mathbb{ℝ}}^N$, dla ciągów w $((X,d)$ zachodzą następujące twierdzenia:

Twierdzenie 2.6.

Niech $(X,d)$ będzie dowolną przestrzenią metryczną. Niech $\{x_n\}\subseteq X$ będzie ciągiem oraz $g\in X$. Wówczas:
(1) $x_n\stackrel{d}{\to }g$ wtedy i tylko, wtedy, gdy $d(x_n,g)\stackrel{\mathbb{ℝ}}{\to }0$,
(2) Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu $\{x_n\}:$ to znaczy

$[\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g_1\in X$ i $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g_2\in X]⟹g_1=g_2$

(3) Jeśli ciąg $\{x_n\}$ jest zbieżny, to jest ograniczony.
(4) Jeśli $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g$ oraz $\left\{x_{n_k}\right\}$ jest dowolnym podciągiem ciągu $\{x_n\}$, to

$\lim {}_{k\to +\mathrm{\infty }}{x}_{n_k}=g$

(5) Jeśli $\{x_n\}$ jest ciągiem zbieżnym oraz $\left\{x_{n_k}\right\}$ jest jego dowolnym podciągiem takim, że $\lim {}_{k\to +\mathrm{\infty }}{x}_{n_k}=g$, to także $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g$
(6) Jeśli dla dowolnego podciągu $\left\{x_{n_k}\right\}$ ciągu $\{x_n\}$ istnieje jego dalszy podciąg $\left\{x_{n_{k_l}}\right\}$ taki, że $\lim {}_{l\to +\mathrm{\infty }}{x}_{n_{k_l}}=g$ to $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g$

Zupełność

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię

Przypomnijmy teraz znane już z Analizy matematycznej 1 pojęcie ciągu Cauchy'ego.

Definicja 2.7. [warunek Cauchy'ego dla ciągu]

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $\{x_n\}\subseteq X$ ciągiem.
Mówimy, że ciąg $\{x_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{\mathbb{N}}\mathrm{\forall }n,m\ge N:d(x_n,x_m)<\epsilon$

Warunek Cauchy'ego dla ciągu $\{x_n\}$ oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby $\epsilon >0$, począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są oddalone od siebie o mniej niż $\epsilon$.

Na wykładzie z Analizy matematycznej 1 dowiedzieliśmy się, że ciągi zbieżne w ${\mathbb{ℝ}}^N$ to są dokładnie ciągi Cauchy'ego. W dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzi wynikanie tylko w jedną stronę.

Twierdzenie 2.8. [Zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego]

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz niech $\{x_n\}\subseteq X$ będzie dowolnym ciągiem.
Jeśli ciąg $\{x_n\}$ jest zbieżny w $X$, to spełnia on warunek Cauchy'ego.

Dowód 2.8.

Niech $\{x_n\}$ będzie ciągiem zbieżnym w $X$, to znaczy $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=g\in X$. Aby pokazać warunek Cauchy'ego, ustalmy dowolne $\epsilon >0$. Z definicji granicy wynika, że

$\mathrm{\exists }N\in \mathbb{\mathbb{N}}\mathrm{\forall }n\ge N:d(x_n,g)<\frac{\epsilon }{2}$

Zatem dla dowolnych $n,m\ge N$ mamy

$d(x_n,x_m)\le d(x_n,g)+d(g,x_m)=d(x_n,g)+d(x_m,g)<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$,

co kończy dowód.

Uwaga 2.9.

Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Było to pokazane na wykładzie z Analizy matematycznej 1 (patrz Analiza matematyczna 1 uwaga 3.31. oraz przykład 2.11. poniżej).

Definicja 2.10. [przestrzeń zupełna]

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że przestrzeń $X$ jest zupełna, jeśli dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego w $X$ jest zbieżny w $X$.

Przykład 2.11.

Przestrzenie $(\mathbb{ℝ},d_2)$ oraz $([0,1],d_2)$ są zupełne (wiemy to z wykładu z Analizy matematycznej 1).

Przestrzenie $(\mathbb{\mathbb{Q}},d_2)$ oraz $((0,1),d_2)$ nie są zupełne. Aby pokazać, że przestrzeń $((0,1),d_2)$ nie jest zupełna, weźmy ciąg $\left\{\frac{1}{n}\right\}$. Łatwo sprawdzić, że jest on ciągiem Cauchy'ego, ale nie ma granicy w $(0,1)$.

Ważnym twierdzeniem zachodzącym w przestrzeniach zupełnych jest następujące twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Mówi ono, iż każde odwzorowanie zwężające (to znaczy "zmniejszające odległości" między punktami; patrz definicja 2.12.) prowadzące z przestrzeni zupełnej w siebie posiada punkt stały. Oznacza to, że istnieje element $x\in X$ o tej własności, że $f(x)=x$. Z zastosowaniem tego twierdzenia spotkamy się przy okazji równań różniczkowych. Twierdzenie to zajmuje ważne miejsce w matematyce i zostało udowodnione przez wielkiego polskiego matematyka Stefana Banacha.

Definicja 2.12. [odwzorowanie zwężające]

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że odwzorowanie $f:X⟶X$ jest zwężające, jeśli

$\mathrm{\exists }\lambda \in [0,1)\mathrm{\forall }x,y\in X:d(f(x),f(y))\le \lambda d(x,y)$

Przykład 2.13.

Dla $(\mathbb{ℝ},d_2)$, odwzorowaniem zwężającym jest na przykład $f(x)=\frac{1}{2}x$, a odwzorowania $f(x)=x,f(x)=x+2,f(x)=x^2$ nie są zwężające.

Definicja 2.14. [punkt stały]

Niech $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną. Mówimy, że $x_0\in X$ jest punktem stałym odwzorowania $f:X⟶X$, jeśli $f(x_0)=x_0$.

Przykład 2.15.

Dla $(\mathbb{ℝ},d_2)$, punktem stałym odwzorowania $f(x)=\frac{1}{2}x$ jest $0$, punktami stałymi odwzorowania $f(x)=x$ są wszystkie punkty $x\in \mathbb{ℝ}$; odwzorowanie $f(x)=x+2$ nie ma punktów stałych; punktami stałymi odwzorowania $f(x)=x^2$ są $0$ i $1$.

Twierdzenie 2.16. [Twierdzenie Banacha o punkcie stałym]

Jeśli $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną zupełną, $f:X⟶X$ jest odwzorowaniem zwężającym, to $f$ ma dokładnie jeden punkt stały, to znaczy

$\mathrm{\exists }!x^{*}\in X:f(x^{*})=x^{*}$

Load video

Local File

Local File might collect personal data.

Continue Dismiss

Rysunek do dowodu twierdzenia Banacha o punkcie stałym

Dowód 2.16. [nadobowiązkowy]

Ustalmy dowolny $x_0\in X$. Zdefiniujmy rekurencyjnie ciąg:

$x_n\stackrel{df}{=}f(x_{n-1})$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$

Jeżeli $d(x_0,x_1)=0$, to $f(x_0)=x_1=x_0$, a zatem $x_0$ jest szukanym punktem stałym.
Możemy więc w dalszej części założyć, że $d(x_0,x_1)>0$.
Pokażemy, że zdefiniowany powyżej ciąg $\{x_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny (gdyż przestrzeń jest zupełna).
W tym celu ustalmy $\epsilon >0$. Ponieważ $\lambda \in (0,1)$, więc ciąg geometryczny $\{{\lambda }^n{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}\subseteq \mathbb{ℝ}$ jest zbieżny do zera (patrz Analiza matematyczna 1 przykład 03.22.). Z definicji granicy wynika, że

$\mathrm{\exists }{N}_0\in \mathbb{\mathbb{N}}:{\lambda }^{N_0}<\frac{\epsilon (1-\lambda )}{d(x_0,x_1)}$

Niech teraz $n,m\ge N_0$. Dla ustalenia uwagi załóżmy, że $m>n$ (rozumowanie dla $n>m$ jest analogiczne). Mamy

$d(x_n,x_{n+1})=d(f(x_{n-1}),f(x_n))\le \lambda d(x_{n-1},x_n)$

Zatem (dowodząc indukcyjnie) dostajemy

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}:d(x_n,x_{x_{n+1}})\le {\lambda }^{n}d(x_0,x_1)$

Korzystając z nierówności trójkąta oraz faktu powyżej, dostajemy

$\begin{array}{rlr}d(x_n,x_m)& \le & d(x_n,x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+\dots +d(x_{m-1},x_m)\le ({\lambda }^n+{\lambda }^{n+1}+\dots +{\lambda }^{m-1})d(x_0,x_n)\\ & ={\lambda }^n(1+\lambda +\dots +{\lambda }^{m-n-1})d(x_0,x_1).\end{array}$

Wykorzystując wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz Analiza matematyczna 1 wnoisek 1.11), mamy

$d(x_n,x_m)\le {\lambda }^n\frac{1-{\lambda }^{m-n}}{1-\lambda }d(x_0,x_1)<\frac{{\lambda }^n}{1-\lambda }d(x_0,x_1)$

Z powyższej nierówności oraz definicji $N_0$ mamy

$d(x_n,x_m)<\frac{{\lambda }^n}{1-\lambda }d(x_0,x_1)<\epsilon$

Pokazaliśmy zatem, że ciąg $\{x_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego, a więc jest zbieżny (bo $X$ jest przestrzenią zupełną), to znaczy

$\mathrm{\exists }{x}^{*}\in X:\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=x^{*}$

Pokażemy, że element $x^{*}$ jest punktem stałym odwzorowania $f$. W tym celu ustalmy $\epsilon >0$. Korzystając z definicji granicy ciągu, mamy

$\mathrm{\exists }N\in \mathbb{\mathbb{N}}\mathrm{\forall }n\ge N:d(x^{*},x_n)<\frac{\epsilon }{2}$

Zatem z nierówności trójkąta oraz wyboru $N$, dla $n\ge N$ mamy

$\begin{array}{lll}0\le d(f(x^{*}),x^{*})& \le & d(f(x^{*}),f(x_n))+d(f(x_n),x^{*})\le \lambda f(x^{*},x_n)+d(x_{n+1},x^{*})\\ & <& \frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .\end{array}$

Ponieważ nierówność $d(f(x^{*}),x^{*})<\epsilon$ zachodzi dla dowolnego $\epsilon >0$, zatem $d(f(x^{*}),x^{*})=0$, a to oznacza (z definicji metryki), że $f(x^{*})=x^{*}$.

Na koniec pokażemy, że znaleziony punkt $x^{*}$ jest jedynym punktem stałym odwzorowania $f$. Załóżmy, że pewien element $x\in X$ jest punktem stałym dla $f$, to znaczy $f(x)=x$. Wówczas:

$d(x^{*},x)=d(f(x^{*}),f(x))\le \lambda d(x^{*},x)$,

zatem

$(1-\lambda )d(x^{*},x)\le 0$

Ponieważ $\lambda \in (0,1)$, więc $d(x^{*},x)=0$, a stąd $x=x^{*}$. Pokazaliśmy więc, że $x^{*}$ jest jedynym punktem stałym.

Ciąg $\{x_n\}$ skonstruowany w powyższym dowodzie nosi nazwę ciągu kolejnych przybliżeń.

Będziemy chcieli scharakteryzować zbiory zwarte w dowolnej przestrzeni metrycznej. Rozważmy następujący przykład.

Przykład 2.17.

Rozważmy przedział $(0,1)$ z metryką euklidesową $d_2$. Zauważmy, że w tym przedziale przedziały $(0,a]$ gdzie $a\in (0,1)$ są zbiorami domkniętymi (bo ich uzupełnienia $(a,1)$ są otwarte). Weźmy ciąg przedziałów $F_n=(0,\frac{1}{n}]$. Oczywiści $F_1\supseteq F_2\supseteq \dots$. Widać, że część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem pustym. Jeśli natomiast zamiast przedziału $(0,1)$ weźmiemy przedział $[0,1]$ z metryką euklidesową $d_2$ i zdefiniujemy zbiory domknięte $F_n=[0,\frac{1}{n}]$, to także $F_1\supseteq F_{\supseteq }\dots$ oraz część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem jednopunktowym $\{0\}$. Ten przykład jest ilustracją do poniższego twierdzenia Cantora.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)
Zobacz biografię

Plik:AM2.M02.W.R06.mp4

Zstępujący ciąg zbiorów domkniętych

Twierdzenie 2.18. [Twierdzenie Cantora. Warunek równoważny zupełności przestrzeni]

Jeśli $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną, to $X$ jest zupełna, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych, niepustych, o średnicach malejących do zera, ma przecięcie niepuste.

Przedstawiamy jedynie szkic dowodu twierdzenia Cantora. Piszemy "dlaczego?", zaznaczając fakty wymagające dokładniejszego uzasadnienia.

Dowód 2.18. [nadobowiązkowy]

[Szkic] "$⟹$":
Niech $\{F_n\}$ będzie zstępującym ciągiem zbiorów niepustych i domkniętych o średnicach zmierzających do zera, to znaczy

$F_1\supseteq F_2\supseteq \dots$

gdzie

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(F_n)\searrow 0$

Dla każdego $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ wybierzmy jeden dowolny element $x_n\in F_n$. Powstały w ten sposób ciąg spełnia warunek Cauchy'ego (dlaczego?). Ponieważ przestrzeń jest zupełna, więc

$\mathrm{\exists }x\in X:\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=x$

Wówczas $x\in \bigcap _{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}{F}_n$ (dlaczego?), a zatem $\bigcap _{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}{F}_n\ne \mathrm{\varnothing }$.
"$⟸$":
Aby pokazać zupełność przestrzeni $X$, weźmy dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego $\{x_n\}\subseteq X$. Dla każdego $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ definiujemy

$F_n=\overline{\{x_n,x_{n+1},\dots \}}$

(to znaczy $F_n$ jest domknięciem zbioru wartości ciągu $\{x_k{\}}_{k=n}^{\mathrm{\infty }}$). Wówczas $\{F_n\}$ jest zstępującym ciągiem zbiorów niepustych, domkniętych, o średnicach zmierzających do zera (dlaczego?). Zatem z założenia istnieje $x\in \bigcap _{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}{F}_n$. Wówczas $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=x$ (dlaczego?).

Kolejne twierdzenie podaje związki między zbieżnością ciągu (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego dla ciągu) w iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych a zbieżnością ciągów (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego) na poszczególnych współrzędnych. Dowód pozostawiamy na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 2.3.).

Plik:AM2.M02.W.R07.mp4

Ciąg w iloczynie kartezjańskim

Twierdzenie 2.19. [Granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]

Jeśli $(X_i,d_i)$ są przestrzeniami metrycznymi dla $i=1,\dots k,X=X_1\times \dots \times X_k,\{a_n\}\subseteq X$ jest ciągiem w $X$, w szczególności $a_n=(a_n^1,\dots ,a_n^k)$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ oraz $a=(a^1,\dots ,a^k)\in X$, to
(1) $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n=a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{a}_n^i=a^i$ dla $i=1,\dots ,k$.
(2) Ciąg $\{a_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi $\{a_n^i\}$ spełniają warunek Cauchy'ego dla $i=1,\dots ,k$.

Prostą konsekwencją powyższego twierdzenia są następujące wnioski mówiące, że zupełność zachowuje się przy braniu iloczynu kartezjańskiego przestrzeni metrycznych (dowód pomijamy).

Wniosek 2.20.

Jeśli $(X_i,d_i)$ są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi dla $i=1,\dots ,k$, to $X_1\times \dots \times X_k$ jest przestrzenią metryczną zupełną.

Wniosek 2.21.

${\mathbb{ℝ}}^N$ oraz ${\mathbb{ℂ}}^N$ są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi.

Ciągowa zwartość

Pojęcie ciągowej zwartości było wprowadzone na wykładzie z Analizy matematycznej 1. Zbiory ciągowo zwarte nazwaliśmy wtedy zwartymi, korzystając z faktu, że w przypadku ${\mathbb{ℝ}}^N$ oba te pojęcia są równoważne (patrz twierdzenie 2.23.).

Definicja 2.22.

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A\subseteq X$.
Mówimy, że $A$ jest zbiorem ciągowo zwartym, jeśli z każdego ciągu $\{x_n\}\subseteq A$ można wybrać podciąg $\{x_{n_k}\}$ zbieżny w $A$.

Okazuje się, że zwartość jest równoważna ciągowej zwartości w przestrzeniach metrycznych. Mówi o tym kolejne twierdzenie. Podamy dowód tylko jednej z implikacji w poniższym twierdzeniu, mianowicie, że zwartość pociąga za sobą ciągową zwartość. Dowód przeciwnej (bardziej interesującej) implikacji wykracza poza program tego kursu. Przestrzeń metryczną, która jest zbiorem (ciągowo) zwartym będziemy nazywać przestrzenią (ciągowo) zwartą.

Twierdzenie 2.23.

Jeśli $X$ jest przestrzenią metryczną to $X$ jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią ciągowo zwartą.

Dowód 2.23. [nadobowiązkowy]

"$⟹$" Załóżmy, że przestrzeń $X$ jest zwarta. Aby pokazać ciągową zwartość, przypuśćmy, że $\{x_n\}\subseteq X$ jest dowolnym ciągiem przestrzeni $X$. Dla dowolnej liczby $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ definiujemy zbiory

$A_n\stackrel{df}{=}\overline{\{x_{n+1},x_{n+2},\dots \}},V_n\stackrel{df}{=}X\setminus A_n$

Zbiory $V_n$ są otwarte (jako uzupełnienie zbiorów domkniętych) oraz

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}:V_n\subseteq V_{n+1}$

Pokażemy, że $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_n\ne X$. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_n=X$, czyli $\{V_n{\}}_{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ jest pokryciem otwartym $X$. Ponieważ z założenia $X$ jest przestrzenią zwartą, więc z pokrycia tego można wybrać podpokrycie skończone, to znaczy

$\mathrm{\exists }k\in \mathbb{\mathbb{N}}:\bigcup _{n=1}^k{V}_n=X$

Ale ciąg $\{V_n\}$ był wstępujący, zatem $V_k=\bigcup _{n=1}^k{V}_n=X$, czyli $A_k=X\setminus V_k=\mathrm{\varnothing }$, sprzeczność.
Pokazaliśmy zatem, że

$X\ne \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_n=X\setminus \bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$

To oznacza, że

$\mathrm{\exists }x\in \bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$,

czyli

$\mathrm{\exists }x\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}:x\in A_n$

Konstruujemy podciąg $\{x_{n_k}\}$ ciągu $\{x_n\}$ w następujący sposób. Ponieważ $x\in A_1$, więc (z definicji domknięcia zbioru) istnieje $n_1\in \mathbb{\mathbb{N}}$ takie, że $d(x,x_{n_1})<1$. Ponieważ $x\in A_{n_1}$, zatem istnieje $n_2>n_1$ takie, że $d(x,x_{n_2})<\frac{1}{2}$. Postępując w ten sposób, skonstruowaliśmy podciąg $\{x_{n_k}\}$ ciągu $\{x_n\}$ o tej własności, że

$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{\mathbb{N}}:d(x_{n_k},x)<\frac{1}{k}$

Zatem $\lim {}_{k\to +\mathrm{\infty }}{x}_{n_k}=x$ (patrz twierdzenie 2.6.).

"$⟸$" Pomijamy dowód tej implikacji.

Twierdzenie 2.24.

Jeśli $X_1,\dots ,X_k$ są przestrzeniami metrycznymi zwartymi, to $X_1\times \dots \times X_k$ (z metryką standardową) jest przestrzenią metryczną zwartą.

Dowód 2.24. [nadobowiązkowy]

Przeprowadzimy dowód indukcyjny ze względu na ilość przestrzeni $k$. Dla $k=1$ twierdzenie jest prawdziwe.
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej ilości $k$ przestrzeni metrycznych. Pokażemy jego prawdziwość dla liczby następnej, $k+1$ przestrzeni metrycznych. Zakładamy, że przestrzenie metryczne $X_1,\dots ,X_k,X_{k+1}$ są zwarte. Aby pokazać zwartość iloczynu kartezjańskiego $X_1\times \dots \times X_k\times X_{k+1}$, wystarczy pokazać ciągową zwartość tego iloczynu kartezjańskiego (porównaj twierdzenie 2.23.). W tym celu niech $\{x_n\}\subseteq X_1\times \dots \times X_k\times X_{k+1}$ będzie dowolnym ciągiem, gdzie $x_n=(x_n^1,\dots ,x_n^k,x_n^{k+1})$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$. Z założenia indukcyjnego wiemy, że iloczyn kartezjański $X_1\times \dots \times X_k$ jest zwarty, a zatem także ciągowo zwarty. Zatem z ciągu $\{y_n\}\subseteq X_1\times \dots \times X_k$, gdzie $y_n=(x_n^1,\dots ,x_n^k)$ można wybrać podciąg zbieżny $\{y_{n_l}\}$. Ponieważ przestrzeń $X_{k+1}$ jest zwarta, więc z ciągu $\{x_{n_l}^{k+1}\}$ można wybrać podciąg $\{x_{n_{l_m}}^{k+1}\}$ zbieżny w $X_{k+1}$. Oczywiście podciąg $\{y_{n_{l_m}}\}\subseteq X_1\times \dots \times X_k$ jest zbieżny w $X_1\times \dots \times X_k$ (jako podciąg ciągu zbieżnego $\{y_{n_l}\}$). Zatem podciąg $\{x_{n_{l_m}}\}$ jest zbieżny w $X_1\times \dots \times X_k\times X_{k+1}$ (patrz twierdzenie 2.19.).

Wniosek 2.25.

Kostka $[a_1,b_1]\times \dots [a_N,b_N]\subseteq {\mathbb{ℝ}}^N$ jest zwarta w ${\mathbb{ℝ}}^N$.

Dowód 2.25.

Twierdzenie jest natychmiastową konsekwencją tego, że przedział domknięty i ograniczony w $\mathbb{ℝ}$ jest zbiorem zwartym (patrz twierdzenie 1.21.) oraz powyższego twierdzenie 2.24.

Plik:AM2.M02.W.R08.svg Kostka w ${\mathbb{ℝ}}^2$

Plik:AM2.M02.W.R09.svg Kostka w ${\mathbb{ℝ}}^3$

Félix Édouard Justin Émile Borel (1871-1956)
Zobacz biografię

Kolejny wniosek podaje pełną charakteryzację zbiorów zwartych w przestrzeni euklidesowej ${\mathbb{ℝ}}^N$.


Wniosek 2.26. [Heinego-Borela]

Jeśli $A\subseteq {\mathbb{ℝ}}^N$, to zbiór $A$ jest zwarty

wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Dowód 2.26.

"$⟹$"
Implikacja ta jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni metrycznej, co było udowodnione na poprzednim wykładzie (patrz twierdzenie 1.19. i uwaga 1.20.
"$⟸$"
Jeśli zbiór $A\subseteq {\mathbb{ℝ}}^N$ jest ograniczony, to możemy go zawrzeć w pewnej kostce $[a_1,b_1]\times \dots [a_N,b_N]\subseteq {\mathbb{ℝ}}^N$ (dlaczego?). Jeśli ponadto jest domknięty, to ze zwartości kostki (patrz wiosek 2.25.) wynika jego zwartość, bo podzbiór domknięty jest zbiorem zwartym (patrz twierdzenie 1.19. (4)).

Plik:AM2.M02.W.R10.mp4 Zbiór zwarty w ${\mathbb{ℝ}}^2$

Plik:AM2.M02.W.R11.mp4 Zbiór zwarty w ${\mathbb{ℝ}}^3$

Zachodzi następujący związek między przestrzeniami zwartymi a zupełnymi.

Twierdzenie 2.27.

Przestrzeń metryczna metryczna zwarta jest zupełna.

Dowód 2.27. [nadobowiązkowy]

Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną zwartą. Należy pokazać, że przestrzeń metryczna $X$ jest zupełna. W tym celu weźmy dowolny ciąg $\{x_n\}$ spełniający warunek Cauchy'ego. Z twierdzenia 2.23. wiemy, że przestrzeń $X$ jest ciągowo zwarta, zatem z ciągu $\{x_n\}$ możemy wybrać podciąg $\{x_{n_k}\}$ zbieżny w $X$, to znaczy

$\mathrm{\exists }{x}_0\in X:\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_{n_k}=x_0$

Wykażemy, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=x_0$. Ustalmy dowolne $\epsilon >0$. Z definicji granicy wiemy, że istnieje $k_0\in \mathbb{\mathbb{N}}$ takie, że

$\mathrm{\forall }k\ge k_0:d(x_{n_k},x_0)<\frac{\epsilon }{2}$

Z warunku Cauchy'ego wiemy, że istnieje $N_1\in \mathbb{\mathbb{N}}$ takie, że dla dowolnych $m,n\ge N_1$ zachodzi

$d(x_n,x_m)<\frac{\epsilon }{2}$

Niech $k_1\ge k_0$ będzie takie, że $n_{k_1}\ge N_1$ oraz niech $N=n_{k_1}$. Wówczas dla dowolnego $n\ge N$ mamy

$d(x_n,x_0)\le d(x_n,x_{n_{k_1}})+d(x_{n_{k_1}},x_0)<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$

Pokazaliśmy zatem, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=x_0$, co kończy dowód zupełności przestrzeni $X$.

Uwaga 2.28.

Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Wiemy na przykład, że przestrzeń metryczna $(\mathbb{ℝ},d_2)$ jest zupełna, ale nie zwarta (patrz przykład 2.11. oraz twierdzenie 1.22.).

Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych [rozdział nadobowiązkowy]

Jeśli $f$ jest funkcją między dwiema przestrzeniami metrycznymi (np z ${\mathbb{ℝ}}^2$ do ${\mathbb{ℝ}}^3$), to ponieważ możemy mierzyć odległości w tych przestrzeniach, więc możemy także mówić o granicy i ciągłości funkcji. Podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, podamy dwie równoważne definicje granicy i ciągłości funkcji w punkcie.

Definicja 2.29. [Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]

Niech $(X,d_X)$ oraz $(Y,d_Y)$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, niech $A\subseteq X,g\in Y$, niech $f:A⟶Y$ będzie funkcją oraz niech $x_0\in X$ będzie punktem skupienia zbioru $A$.
Mówimy, że funkcja $f$ ma granicę $g$ w punkcie $x_0\in X$, jeśli

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in A\cap (K(x_0,\delta )\setminus \{x_0\}):f(x)\in K(g,\epsilon )$

lub innymi słowy

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\}:[d_X(x_0,x)<\delta ⟹d_Y(f(x),g)<\epsilon ]$

Piszemy wówczas

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=g$ lub $f(x)\underset{x\to x_0}{\overset{}{\to }}g$

Plik:Am2.M02.W.R12.svg Granica funkcji w punkcie

Load video Local File Local File might collect personal data. Continue Dismiss Granica funkcji w punkcie

Definicja 2.30. [Heinego granicy funkcji w punkcie]

Niech $(X,d_X)$ oraz $(Y,d_Y)$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, $A\subseteq X,g\in Y$, niech $f:A⟶Y$ będzie funkcją oraz niech $x_0\in X$ będzie punktem skupienia zbioru $A$.
Mówimy, że funkcja $f$ ma granicę $g$ w punkcie $x_0\in X$, jeśli

$\mathrm{\forall }\{x_n\}\subseteq A\setminus \{x_0\}:[x_n\stackrel{d_X}{⟶}{x}_0⟹f(x_n)\stackrel{d_Y}{⟶}g]$

Piszemy wówczas

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=g$ lub $f(x)\underset{x\to x_0}{\overset{}{\to }}g$

Plik:Am2.M02.W.R14.svg Funkcja ciągła w punkcie

Plik:Am2.M02.W.R15.mp4 Funkcja ciągła w punkcie

Tak samo jak dla funkcji rzeczywistych, funkcje między przestrzeniami metrycznymi są ciągłe, gdy mają granicę równą wartości.

Definicja 2.31. [Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie]

Niech $(X,d_X)$ oraz $(Y,d_Y)$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, $A\subseteq X$, niech $f:A⟶Y$ będzie funkcją oraz niech $x_0\in A$ ($x_0$ nie musi być punktem skupienia zbioru $A$).
Mówimy, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0\in X$, jeśli

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in A:[d_X(x,x_0)<\delta ⟹d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon ]$

Definicja 2.32. [Heinego ciągłości funkcji w punkcie]

Niech $(X,d_X)$ oraz $(Y,d_Y)$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi $A\subseteq X$,
niech $f:A⟶Y$ będzie funkcją oraz niech $x_0\in A$ ($x_0$ nie musi być punktem skupienia zbioru $A$).
Mówimy, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0\in X$, jeśli

$\mathrm{\forall }\{x_n\}\subseteq A:[x_n\stackrel{d_X}{⟶}{x}_0⟹f(x_n)\stackrel{d_Y}{⟶}f(x_0)]$

Mówimy, że funkcja $f$ jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie $x\in A$.

Udowodnimy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny ciągłości funkcji między przestrzeniami metrycznymi. Zauważmy, że warunek na ciągłość, podany w twierdzeniu, wymaga jedynie pojęcia zbiorów otwartych.

Twierdzenie 2.33.

Jeśli $X$ i $Y$ są przestrzeniami metrycznymi, to funkcja $f:X⟶Y$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru otwartego $V$ w $Y$, przeciwobraz $f^{-1}(V)$ jest otwarty w $X$.

Dowód 2.33.

"$⟹$":
Niech $f:X⟶Y$ będzie funkcją ciągłą. Niech $V$ będzie zbiorem otwartym w $Y$. Należy pokazać, że zbiór $f^{-1}(V)$ jest otwarty w $X$. W tym celu ustalmy dowolny punkt $x\in f^{-1}(V)$. Mamy wykazać, że jest on zawarty w $f^{-1}(V)$ wraz z pewną kulą o środku $x$. Ponieważ zbiór $V$ jest otwarty oraz $f(x)\in V$ więc

$\mathrm{\exists }\epsilon >0:K_Y(f(x),\epsilon )\subseteq V$

Z drugiej strony, ponieważ funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x\in V$, więc

$\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }z\in X:[d_X(z,x)<\delta ⟹d_Y(f(z),f(x))<\epsilon ]$

Zatem, jeśli $z\in K(x,\delta )$, to $z\in f^{-1}(V)$, czyli $K(x,\delta )\subseteq f^{-1}(V)$, co dowodzi otwartości zbioru $f^{-1}(V)$.
"$⟸$":
Załóżmy teraz, że dla dowolnego zbioru otwartego $V$ w $Y$, zbiór $f^{-1}(V)$ jest otwarty w $X$. Ustalmy dowolny $x\in X$. Pokażemy, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x$. W tym celu ustalmy dowolne $\epsilon >0$ i zdefiniujmy

$V=\{y\in Y:d_Y(y,f(x))<\epsilon \}$

Wówczas zbiór $V$ jest otwarty w $Y$ (gdyż jest to kula; patrz twierdzenie 1.10. (1)), a zatem z założenia także zbiór $f^{-1}(V)$ jest otwarty w $X$. A zatem, z otwartości $f^{-1}(V)$ wynika, że

$\mathrm{\exists }\delta >0:K(x,\delta )\subseteq f^{-1}(V)$,

co oznacza, że

$\mathrm{\exists }\delta >0:[z\in K_X(x,\delta )⟹z\in f^{-1}(V)]$

Ale jeśli $z\in f^{-1}(V)$, to $f(z)\in V$. Zatem

$\mathrm{\exists }\delta >0[z\in K(x,\delta )⟹f(z)\in V]$,

czyli z definicji $V$ także

$\mathrm{\exists }\delta >0:[d_X(z,x)<\delta ⟹d_Y(f(z),f(x))<\epsilon ]$

Pokazaliśmy, że $f$ jest ciągła w punkcie $x$.

Przykład 2.34.

Niech $(X,d_d)$ będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz $(Y,d)$ dowolną przestrzenią metryczną. Wówczas dowolna funkcja $f:X⟶Y$ jest ciągła. Faktycznie, przeciwobraz dowolnego zbioru $V\subseteq Y$ (także otwartego) jest zbiorem otwartym w $X$ (bo w przestrzeni metrycznej dyskretnej wszystkie zbiory są otwarte; patrz przykład 1.8.).

Twierdzenie 2.35. [Darboux]

Jeśli $X$ i $Y$ są przestrzeniami metrycznymi, $A$ jest zbiorem spójnym w $X$ oraz $f:A⟶Y$ jest funkcją ciągłą,

to $f(A)$ jest zbiorem spójnym w $Y$.

Funkcja ciągła na zbiorze spójnym

Funkcja ciągła na zbiorze, który nie jest spójny

Dowód 2.35.

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $f(A)$ nie jest zbiorem spójnym. Zatem istnieją dwa otwarte i rozłączne zbiory $U$ i $V$ mające niepuste przecięcie z $f(A)$ i takie, że $f(A)\subseteq U\cup V$. Ponieważ $f$ jest funkcją ciągłą, więc zbiory $f^{-1}(U)$ i $f^{-1}(V)$ są otwarte w $X$ (patrz twierdzenie 2.33.), są one oczywiście niepuste, rozłączne, a ich sumą jest $A$. Ale jest to sprzeczne ze spójnością zbioru $A$.

Ciągłość jednostajna [rozdział nadobowiązkowy]

Materiał tego rozdziału jest nadobowiązkowy, ale na twierdzenie 2.39. powołamy się w przyszłości, przy dowodzie twierdzenia Fubiniego.

Na zakończenie wykładu wprowadzimy jeszcze jeden ważny rodzaj ciągłości, a mianowicie ciągłość jednostajną.

Definicja 2.36. [Ciągłość jednostajna]

Niech $(X,d_X),(Y,d_Y)$ będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech $f:X⟶Y$ będzie funkcją.

Mówimy, że $f$ jest jednostajnie ciągła, jeśli

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X[d_X(x_1,x_2)<\delta ⟹d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon ]$

Zauważmy, że ta definicja różni się od definicji ciągłości tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji ciągłości $\delta$ dobrane do $\epsilon$ może się zmieniać w zależności od punktu $x_0$, w którym badamy ciągłość. W definicji jednostajnej ciągłości $\delta$ dobrane do $\epsilon$ jest już "dobre" dla wszystkich $x_0$ z dziedziny funkcji.

Nic dziwnego, że zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.37.

Jeśli $(X,d_X),(Y,d_Y)$ są przestrzeniami metrycznymi, $f:X⟶Y$ jest funkcją, to jeśli funkcja $f$ jest jednostajnie ciągła, to jest także ciągła.

Load video

Local File

Local File might collect personal data.

Continue Dismiss

Funkcja ciągła, która nie jest jednostajnie ciągła

Przykład 2.38.

Implikacja odwrotna do implikacji w powyższym twierdzeniu nie jest prawdziwa.
Np. funkcja ${\mathbb{ℝ}}_{+}\ni x⟼x^2\in \mathbb{ℝ}$ jest ciągła, ale nie jednostajnie ciągła.

Sprawdzimy, że faktycznie funkcja $f(x)=x^2$ nie jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnych dwóch punktów $x_1,x_2\in {\mathbb{ℝ}}_{+}$ mamy $d_2(f(x_1),f(x_2))=|x_1^2-x_2{|}^2=|x_1-x_2|(x_1+x_2)$. Zatem, jeśli weźmiemy ustalone $\delta >0$ (dla jakiegoś $\epsilon >0$), to dla $x_2=x_1+\frac{\delta }{2}$ odległość $d_2(f(x_1),f(x_2))=\frac{\delta }{2}(x_1+x_2)$, co rośnie do nieskończoności, gdy zwiększamy $x_1$. A zatem nie możemy dobrać $\delta$ niezależnego od wyboru punktu $x_1$.

Czasami jednak implikacja odwrotna do tej w twierdzeniu 2.37. zachodzi. Mówi o tym kolejne twierdzenie.

Twierdzenie 2.39.

Jeśli $(X,d_X),(Y,d_Y)$ są przestrzeniami metrycznymi, $A$ jest zbiorem zwartym w $X$ oraz $f:A⟶Y$ jest funkcją, to $f$ jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest ciągła.

Wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeśli mamy funkcję ciągłą na zbiorze zwartym (na przykład na przedziale domkniętym lub na iloczynie kartezjańskim przedziałów domkniętych), to dla danego $\epsilon >0$ możemy dobrać $\delta >0$, które jest "dobre" dla wszystkich $x_0$ z naszego zbioru zwartego, czyli mamy

$d_X(x_0,x)<\delta ⟹d_Y(f(x_0),f(x))<\epsilon$,

niezależnie od tego, jakie $x_0\in X$ weźmiemy.