Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 5: Funktory i transformacje naturalne

Funktory

Definicja 5.1 [Funktor]

Funktor albo funktor kowariantny $F:\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐃}$ z kategorii $\mathbf{𝐂}$ do kategorii $\mathbf{𝐃}$ jest dany poprzez:

• operację przypisującą jednoznacznie każdemu obiektowi

$X\in {\mathbf{𝐂}}_0$ obiekt $F(X)\in {\mathbf{𝐃}}_1$

• operację przypisującą jednoznacznie każdemu morfizmowi $f\in {\mathbf{𝐂}}_1$ morfizm $F(f)\in {\mathbf{𝐃}}_1$

w ten sposób, że:

• jeśli $f:X\to Y$ w $\mathbf{𝐂}$, to $F(f):F(X)\to F(Y)$ w $\mathbf{𝐃}$,
• $F(1_X)=1_{F(X)}$
• $F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)$.

Funktory typu ${\mathbf{𝐂}}^{op}\to \mathbf{𝐃}$ nazywamy często funktorami kontrawariantnymi, aby podkreślić, że jego dziedziną jest kategoria dualna do $\mathbf{𝐂}$.

Przykład 5.2 [funktor potęgowy]

Funktorem jest operacja ${𝒫}:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ definiowana jako: $\mathbf{𝐗}=\{B\mid B\subseteq X\}$ dla $X\in {\mathbf{𝐂}}_0$ oraz dla morfizmu $f:X\to Y$, ${𝒫}(f):{𝒫}(X)\to {𝒫}(Y)$ jest funkcją, która podzbiorowi $Z$ zbioru $X$ przyporządkowuje jego obraz $f[Z]$, który jest podzbiorem $Y$.

Sprawdźmy, czy operacja ${𝒫}$ spełnia warunki definicji funktora: po pierwsze, dla dowolnej identyczności $1_X:X\to X$, ${𝒫}(1_X)$ jest funkcją, która każdemu podzbiorowi $Z\subseteq X$ przyporządkowuje obraz $1_X[Z]=Z$, czyli funkcja identycznościowa. A zatem ${{𝒫}}_{1_X}=1_{{𝒫}(X)}$, czyli operacja ${𝒫}$ zachowuje identyczności. Po drugie, dla dowolnej pary strzałek $f:X\to Y$ oraz $g:Y\to Z$ strzałka ${𝒫}(g)\circ {𝒫}(f)$ typu ${𝒫}(X)\to {𝒫}(Z)$ jest z definicji złożeniem dwóch funkcji: $A\subseteq X\mapsto f[A]\subseteq Y$ oraz $f[A]\subseteq Y\mapsto g[f[A]]\subseteq Z$, czyli tym samym co funkcja $A\subseteq X\mapsto (g\circ f)[A]\subseteq Z$ (to prosta własność obrazów funkcji), czyli - z definicji - tym samym co funkcja ${𝒫}(g\circ f)$. Dowiedliśmy w ten sposób, że ${𝒫}(g\circ f)={𝒫}(g)\circ {𝒫}(f)$. A zatem ${𝒫}:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest funktorem (kowariantnym).

Przykład 5.3

Mając dany zbiór $S$, oznaczmy przez $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(S)$ zbiór wszystkich skończonych słów $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}$ złożonych z elementów $S$. Oczywiście lista pusta $\epsilon$ jest elementem $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(S)$. Jeśli konkatenację list oznaczymy jako $\circ$, to widzimy, że $(\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(S),\circ ,\epsilon )$ jest monoidem. Niech $\mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$ oznacza kategorię monoidów i homomorfizmów monoidów. Pokażemy, że $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$ jest funktorem. W tym celu zauważmy, że dla dowolnej funkcji $F:S\to R$, operację $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(f):\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(S)\to \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(R)$ potrzebną do wyrażenia definicji $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}$ jako funktora, możemy zdefiniować jako funkcję przypisującą liście $L=[s_1,s_2,\dots ,s_n]$ listę $f(L)=[f(s_1),f(s_2),,\dots ,f(s_n)]$. Własności konkatenacji implikują natychmiast, że $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(f)(\epsilon )=\epsilon )$ oraz $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(f)(L_1\circ L_2)=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(f)(L_1)\circ \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(f)(L_2)$. Te dwa warunki stanowią świadectwo, że $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(f)$ jest homomorfizmem monoidów, czyli morfizmem w $\mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$. Postawiona definicja określająca działanie operacji $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}$ na morfizmach jest więc poprawna. Pozostaje nam sprawdzenie, że $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}$ zachowuje identyczności (rzecz trywialna) i złożenia funkcji. W tym celu zauważmy, że $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(f\circ g)([s_1,s_2,...,s_n])=[(f\circ g)(s_1),...,(f\circ g)(s_n)]=[(f(g(s_1)),...,(f(g(s_n))]=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(f)([g(s_1),...,g(s_n)])=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(f)(\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(g)([s_1,...,s_n]))=(\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(f)\circ \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(g))([s_1,...,s_n])$, co świadczy o tym, że $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(f\circ g)=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(f)\circ \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(g)$. To kończy dowód faktu, że $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$ jest funktorem.

Przykład 5.4

Niech $K$ będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Zbiór wszystkich macierzy odwracalnych stopnia $n$ wraz z operacją mnożenia macierzy tworzy grupę oznaczaną ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(K)$. Ponieważ każdy homomorfizm pierścieni $f:K\to L$ indukuje w sposób naturalny homomorfizm ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(f):{\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(K)\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(L)$, łatwo już sprawdzić, że dla każdego $n\in \omega$operacja ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$ jest funktorem z kategorii pierścieni przemiennych z jedynką $\mathbf{𝐂}\mathbf{𝐑}\mathbf{𝐧}\mathbf{𝐠}$ do kategorii grup $\mathbf{𝐆}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐩}$.

Przykład 5.5

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Oznaczmy poset wszystkich zbiorów otwartych uporządkowanych względem inkluzji jako $\mathrm{\Omega }(X)$. Poset ten jest kratą zupełną (suprema to sumy, zaś infima to wnętrza przecięć), w której zachodzi prawo przemienności: $a\wedge \bigvee S=\bigvee \{a\wedge s\mid s\in S\}$

dla dowolnych $a\in \mathrm{\Omega }(X)$ i $S\subseteq \mathrm{\Omega }(x)$. Jeśli $f:X\to Y$ jest dowolną funkcją ciągłą pomiędzy przestrzeniami topologicznymi $(X,\tau )$ i $(Y,\sigma )$, to przeciwobraz $f^{-1}:\mathrm{\Omega }(Y)\to \mathrm{\Omega }(X)$ jest funkcją, która zachowuje $\wedge$ (a co za tym idzie: funkcją monotoniczną) oraz $\bigvee$ (bo przeciwobrazy zachowują sumy zbiorów).

Powyższe rozważania motywują następujące definicje dwóch kategorii:

• kategorii ram (ang. frames), oznaczanej $\mathbf{𝐅}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐦}$, której obiektami są kraty zupełne spełniające powyższe prawo nieskończonej przemienności, a morfizmami funkcje zachowujące skończone infima i dowolne suprema.
• kategorii $\mathbf{𝐋}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐜}$ lokali (ang. locales), która jest dualna do $\mathbf{𝐅}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐦}$. Morfizmy $\mathbf{𝐋}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐜}$ nazywa się często w literaturze funkcjami ciągłymi. Teoria lokali rości sobie pretensje do tzw. konstruktywnej topologii, czyli teorii przestrzeni topologicznych, w której unika się rozważań niekonstruktywnych, korzystających z pewnika wyboru, jak i rozważań dotyczących elementów przestrzeni topologicznych; w zamian teoria lokali ofiaruje topologię w języku funkcji ciągłych i ich przekształceń. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w (zaawansowanym pojęciowo) podręczniku pt. Stone Spaces autorstwa prof. P.T. Johnstone'a.

Mając dane powyższe definicje, widzimy już, że $\mathrm{\Omega }:\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}\to \mathbf{𝐋}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐜}$ jest funktorem.

Przykład 5.6 [funktory zapominania]

Niech $\mathbf{𝐂}$ będzie dowolną kategorią, w której obiektami są zbiory z pewną dodatkową strukturą (np. strukturą przestrzeni wektorowej, strukturą przestrzeni topologicznych, itp.), zaś morfizmami - funkcje, które zachowują tę strukturę (np. odwzorowania liniowe, funkcje ciągłe). Dla każdej takiej kategorii $\mathbf{𝐂}$ możemy zdefiniować tak zwany funktor zapominania $U:\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ w ten sposób, że każdemu obiektowi $X\in {\mathbf{𝐂}}_0$ przypisujemy zbiór $X=U(X)$, zaś każdemu morfizmowi $f:X\to Y$ przypisujemy tę samą funkcję $f=U(f)$ niejako zapominając o fakcie, że zachowuje ona zadaną na obiektach $\mathbf{𝐂}$ strukturę. Dla przykładu funktor zapominania $U:\mathbf{𝐆}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐩}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ przypisuje każdej grupie $G$ zbiór $U(G)$ elementów grupy $G$ i każdemu homomorfizmowi grup $f:G\to H$ funkcję $f=U(f):U(G)\to U(H)$.

Przykład 5.7

Ze strukturą każdej kategorii lokalnie małej $\mathbf{𝐂}$ związane są tzw. hom-funktory, które odgrywają ogromną rolę w teorii kategorii. Dla każdego obiektu $X\in {\mathbf{𝐂}}_0$ możemy bowiem zdefiniować operację, ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(-,X):{\mathbf{𝐂}}^{op}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$

zadaną jak następuje:

${\mathbf{𝐂}}_0\ni Z\mapsto {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(Z,X)\in Se{t}_0$ ${\mathbf{𝐂}}_1\ni f:A\to B\mapsto {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(f,X):{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(B,X)\to {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(A,X)\in {\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}}_1$ $p:B\to X\mapsto p\circ f:A\to X$

czyli tak, jak na poniższym diagramie:

Sprawdźmy, że ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(-,X)$ jest funktorem. Mamy:

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(1_B,X)(p)=p\circ 1_B=p$

z czego wnosimy, że:

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(-,X)(1_B)={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(1_B,X)=1_{{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(B,X)}=1_{{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(-,X)(B)}$

Po drugie:

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(f\circ g,X)(p)=p\circ f\circ g={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(g,X)(p\circ f)=({\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(g,X)\circ {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(f,X))(p)$

Dlatego

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(f\circ g,X)={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(g,X)\circ {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(f,X)$

lub jeśli ktoś woli:

${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(-,X)(f\circ g)={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(-,X)(g)\circ {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(-,X)(f)$ Zwróćmy uwagę, że złożenie $g\circ f$ po aplikacji funktora ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(-,X)$ zmienia się w: ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(-,X)(g)\circ {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐂}}(-,X)(f)$

co jest spowodowane kontrawariantnością funktora.

Definicja 5.8 [Fuktory pełne, wierne]

Funktor $T:\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐃}$ nazywamy pełnym, jeśli dla każdej pary obiektów $C,C^{\prime }\in {\mathbf{𝐂}}_0$ i dla każdej strzałki $g:T(C)\to T(C^{\prime })$ w $\mathbf{𝐃}$ istnieje strzałka $f:C\to C^{\prime }$ w $\mathbf{𝐂}$ taka, że $T(f)=g$. Funktor $T:\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐃}$ nazywamy wiernym (lub zanurzeniem), jeśli dla każdej pary obiektów $C,C^{\prime }\in {\mathbf{𝐂}}_0$ i każdej pary strzałek $f_1,f_2:C\to C^{\prime }$ (strzałki o tej samej dziedzinie i przeciwdziedzinie nazywamy często równoległymi) równość $T(f_1)=T(f_2)$ implikuje $f_1=f_2$.

Kategorie konkretne

Definicja 5.9 [kategoria konkretna]

Każdą kategorię $\mathbf{𝐂}$, w której istnieje wierny funktor $U:\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ nazywamy kategorią konkretną.

Oczywiście taki funktor jest funktorem zapominania, co możemy tu wykorzystać do ścisłej definicji pojęcia funktora zapominania (w przeciwieństwie do nieformalnej prezentacji tego pojęcia w Przykładzie 5.6): funktor $U:\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ nazywamy funktorem zapominania, jeśli jest tym funktorem, który czyni kategorię $\mathbf{𝐂}$ kategorią konkretną. Przykładem kategorii, która nie jest konkretna, jest kategoria wszystkich zbiorów i relacji $\mathbf{𝐑}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐥}$.

Transformacje naturalne

Rozważmy następujący problem: dla dowolnych kategorii $\mathbf{𝐂},\mathbf{𝐃}$ chcemy skonstruować kategorię oznaczaną $Fun(\mathbf{𝐂},\mathbf{𝐃})$, której obiektami są wszystkie funktory z $\mathbf{𝐂}$ do $\mathbf{𝐃}$. Jak moglibyśmy zdefiniować morfizmy tej nowej kategorii (które dalej nazwiemy transformacjami naturalnymi funktorów)?

Otóż, postępujemy podobnie jak przy konstrukcji kategorii ${\mathbf{𝐂}}^{\to }$ (porównaj Zadanie 1.5): transformację naturalną funktora $F:\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐃}$ w funktor $G:\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐃}$ zapewni nam rodzina przekształceń $({\eta }_A{)}_{A\in {\mathbf{𝐂}}_0}$ taka, że diagram

komutuje dla dowolnych obiektów $A,B\in {\mathbf{𝐂}}_0$ i strzałki $f:A\to B\in {\mathbf{𝐂}}_1$. Nieformalnie mówiąc, aby określić transformację naturalną między dwoma funktorami, musimy zadeklarować jak efekt działania pierwszego z funktorów na każdym obiekcie transformuje się na efekt działania drugiego z funktorów na tym samym obiekcie. To transformowanie musi odbywać się w sposób naturalny, czyli tak, by powyższy diagram komutował.

Definicja 5.10 [transformacja naturalna]

Dla równoległych funktorów $F,G:\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐃}$ transformacją naturalną $\eta$ nazywamy przekształcenie przypisujące każdemu obiektowi $A\in$ strzałkę ${\eta }_A:F(A)\to G(A)$ w $\mathbf{𝐃}$ takie, że dla dowolnego morfizmu $f:A\to B$ w $\mathbf{𝐂}$ diagram

komutuje. Rodzinę strzałek $({\eta }_A{)}_{A\in {\mathbf{𝐂}}_0}$ nazywamy komponentami transformacji naturalnej $\eta$.

Jeśli każdy komponent transformacji naturalnej $\eta$ jest izomorfizmem w kategorii $\mathbf{𝐃}$, wówczas transformację $\eta$ nazywamy naturalnym izomorfizmem. Ten warunek jest też równoważny temu, że transformacja $\eta :F\to G$ traktowana jako strzałka w kategorii funktorów $Fun(\mathbf{𝐂},\mathbf{𝐃})$ jest izomorfizmem - patrz Zadanie 5.1 (o tej sytuacji mówi się też, że $F$ i $G$ są naturalnie izomorficzne).

Zwróćmy uwagę, że jeśli np. w Zadaniu 4.10 powiedzieliśmy, że w kartezjańsko zamkniętej kategorii $\mathbf{𝐂}$ z koproduktami istnieje naturalna bijekcja:

$A\times (B+C)\cong (A\times B)+(A\times C)$

to znaczy to, że funktory: $F(-):=(-)\times (B+C)$ i $G(-):=((-)\times B)+((-)\times C$ są naturalnie izomorficzne i tak samo dla par funktorów powstałych z pominięcia odpowiednio $B$ i $C$.

Przykład 5.11 [odwracanie list]

Dla funktora $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}:\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}\to \mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$ operacja $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}:\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\to \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}$, która mając daną listę, odwraca jej elementy

jest transformacją naturalną. Jeśli $A$ jest zbiorem, to komponent ${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}}_A:\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A)\to \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A)$ jest funkcją odwracającą dowolną listę o elementach z $A$:

${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}}_A([s_1,...,s_n])=[s_n,...,s_1]$

dla $[s_1,...,s_n]\in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A)$.

Zauważmy, że dla dowolnej funkcji $f:A\to B\in {\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}}_1$ diagram

komutuje, co potwierdza naturalność transformacji $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}$. Zwróćmy też uwagę, że w żargonie informatycznym komutowanie powyższego diagramu oznacza, że $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}$ jest operacją polimorficzną, czyli, że definicja ${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{v}}_A$ nie zależy od $A$. Nieformalny wniosek nasuwa się sam: każda funkcja polimorficzna danego języka programowania (funkcyjnego) da się opisać jako pewna transformacja naturalna w odpowiedniej kategorii funktorów.

Definicja 5.12 [kategoria funktorów]

Niech $\mathbf{𝐂}$ i $\mathbf{𝐃}$ będą kategoriami. Kategoria funktorów $Fun(\mathbf{𝐂},\mathbf{𝐃})$ jest wyznaczona przez następujące dane:

• obiekty $Fun(\mathbf{𝐂},\mathbf{𝐃}{)}_0$ to funktory typu $\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐃}$,
• morfizmy $Fun(\mathbf{𝐂},\mathbf{𝐃}{)}_1$ to transformacje naturalne funktorów typu $\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐃}$,
• identyczności: jeśli $F:\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐃}$ jest funktorem, to identycznością $1_F:F\to F$ jest transformacja naturalna zdefiniowana jako $(1_F{)}_A=1_{F(A)}$ dla $A\in {\mathbf{𝐂}}_0$,
• złożenie: dla $\alpha :F\to G,\beta :G\to H$, gdzie $F,G,H$ są funktorami typu $\mathbf{𝐂}\to \mathbf{𝐃}$, definiujemy złożenie $\beta \circ \alpha$ poprzez komponenty jako:

$(\beta \circ \alpha {)}_A={\beta }_A\circ {\alpha }_A$

dla $A\in {\mathbf{𝐂}}_0$.

Naturalność $\beta \circ \alpha$ w powyższej definicji weryfikujemy, jak następuje: dla $F:A\to B\in {\mathbf{𝐂}}_1$, $H(f)\circ (\beta \circ \alpha {)}_A)=H(f)\circ {\beta }_A\circ {\alpha }_A={\beta }_B\circ G(f)\circ {\alpha }_A={\beta }_B\circ {\alpha }_B\circ F(f)$ lub po prostu patrząc na komutujący diagram:

Jeśli $\mathbf{𝐂},\mathbf{𝐃}$ są kategoriami małymi, to kategoria funktorów $Fun(\mathbf{𝐂},\mathbf{𝐃})$ jest eksponentem kategorii $\mathbf{𝐂}$ i $\mathbf{𝐃}$ w $\mathbf{𝐂}\mathbf{𝐚}\mathbf{𝐭}$, co pokazaliśmy w Zadaniu 4.2. Jeśli jedna z kategorii $\mathbf{𝐂},\mathbf{𝐃}$ nie jest mała, to $Fun(\mathbf{𝐂},\mathbf{𝐃})$ nie musi być obiektem $\mathbf{𝐂}\mathbf{𝐚}\mathbf{𝐭}$. Mimo to umówmy się, że kategorię funktorów $Fun(\mathbf{𝐂},\mathbf{𝐃})$ dla dowolnych kategorii $\mathbf{𝐂},\mathbf{𝐃}$ będziemy odtąd oznaczać $[\mathbf{𝐂},\mathbf{𝐃}]$.

Oto znany z algebry liniowej przykład naturalnego izomorfizmu: przez $\mathbf{𝐕}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐭}(\mathbb{ℝ})$ oznaczamy kategorię przestrzeni wektorowych nad ciałem liczb rzeczywistych wraz z odwzorowaniami liniowymi jako morfizmami. Każda przestrzeń wektorowa $V$ ma przestrzeń dualną $V^{*}$ składającą się z odwzorowań liniowych typu $V\to \mathbb{ℝ}$, tzn. $V^{*}={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbf{𝐕}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐭}(\mathbb{ℝ})}(V,\mathbb{ℝ})$ w zapisie kategoryjnym. Co więcej, $(-{)}^{*}$ jest w rzeczywistości hom-funktorem, tj.

$(-{)}^{*}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathbf{𝐕}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐭}(\mathbb{ℝ})(-,\mathbb{ℝ}):{\mathbf{𝐕}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐭}}^{op}\to \mathbf{𝐕}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐭}$

Jak się okazuje, dowolna przestrzeń $V$ zanurza się naturalnie w przestrzeń dualną do $V^{*}$:

${\eta }_V:C\to V^{**}$ $x\mapsto {\mathrm{e}\mathrm{v}}_x:V^{*}\to \mathbb{ℝ}$ ${\mathrm{e}\mathrm{v}}_x(f):=fx$

Słowo naturalnie, użyte powyżej, jest nieprzypadkowe: zdefiniowana przed chwilą strzałka ${\eta }_V$ jest komponentem transformacji naturalnej

$\eta 1_{\mathbf{𝐕}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐭}}\to (-{)}^{**}$

której dziedziną jest identyczność na $\mathbf{𝐕}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐭}$. Sprawdźmy, że $\eta$ jest transformacją naturalną:

$(f^{**}\circ {\eta }_V)(x)(g)=f^{**}({\mathrm{e}\mathrm{v}}_x)(g)=({\mathrm{e}\mathrm{v}}_x\circ f^{*})(g)={\mathrm{e}\mathrm{v}}_x(f^{*}(g))={\mathrm{e}\mathrm{v}}_x(g\circ f)=(g\circ f)(x)=g(f(x))={\mathrm{e}\mathrm{v}}_{f(x)}(g)=({\eta }_W\circ f)(x)(g)$

Transformacja $\eta$ jest naturalnym izomorfizmem, gdy $V$ jest skończenie wymiarowa.