Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 4: Zaawansowane konstrukcje uniwersalne

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

==Zadanie 4.1==

Udowodnić, że w kategorii kartezjańsko zamkniętej podnoszenie do potęgi :





gdzie , jest funktorem.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 4.2==

Pokazać, że kategoria jest kartezjańsko zamknięta.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 4.3==

Sprawdzić, że w dowolnej kategorii kartezjańsko zamkniętej zachodzą następujące związki (gdzie trzeba, należy założyć też istnienie obiektu początkowego w kategorii ).

  • ,
  • jeśli istnieje strzałka , to dla dowolnego ,
  • jeśli , to wszystkie obiekty są izomorficzne,
  • dowolna strzałka jest mono,
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
Rozwiązanie:

==Zadanie 4.4==

Udowodnij Fakt 4.5.

Rozwiązanie:

==Zadanie 4.5==

Udowodnij Fakt 4.7.

Rozwiązanie:

==Zadanie 4.6==

Udowodnij Fakt 4.9.

Rozwiązanie:

==Zadanie 4.7==

Udowodnij Fakt 4.11.

Rozwiązanie:

==Zadanie 4.8==

Udowodnij Fakt 4.12.

Rozwiązanie:

==Zadanie 4.9==

Udowodnij Fakt 4.13.

Rozwiązanie:

==Zadanie 4.10==

Udowodnij, że jeśli kartezjańsko zamknięta kategoria ma koprodukty, to jest dystrybutywna, tzn. istnieje naturalny izomorfizm:

Wskazówka:
Rozwiązanie: