Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 5: Funktory i transformacje naturalne

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

==Zadanie 5.1==

Udowodnij, że transformacja naturalna funktorów typu jest naturalnym izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorfizmem w kategorii .

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 5.2==

Udowodnij, że funktor inkluzji zachowuje strukturę kategorii kartezjańsko zamkniętej, zaś funktor inkluzji tej struktury nie zachowuje w ogólności.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 5.3==

Niech będą kategoriami. Udowodnić, że operacja zdefiniowana na obiektach i strzałkach jest funktorem wtedy i tylko wtedy, gdy:

  • jest funktorem ze względu na każdy z argumentów osobno, tzn. dla każdego , jest funktorem i dla każdego , jest funktorem oraz:
  • spełnia następujące prawo przemienności:
Tk-5.A.png

dla dowolnych , .

Rozwiązanie:

==Zadanie 5.4==

Zdefiniować produkt dwóch funktorów.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 5.5==

Udowodnij, że operacja :

jest funktorem. Udowodnij, że funktor ten jest naturalnie izomorfizczny z hom-funktorem , gdzie jest dowolnym zbiorem dwuelementowym.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 5.6==

Udowodnij, że dla zbiorów istnieje następująca bijekcja pomiędzy zbiorami potęgowymi:

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 5.7==

Na dowolnym posecie zadajemy tzw. topologię Aleksandrowa, deklarując zbiory górne jako otwarte. Pokaż, że ta konstrukcja da się rozszerzyć do funktora typu . Czy ten funktor jest pełny? Wierny?

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 5.8==

Zdefiniuj funktor dualny do hom-funktora zaproponowanego w Przykładzie 5.7.

Rozwiązanie: