Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 1: Teoria kategorii jako abstrakcyjna teoria funkcji

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

==Zadanie 1.1==

Udowodnij, że dla dwóch funkcji oraz , jeśli oraz , to funkcja jest bijekcją.

Rozwiązanie:

==Zadanie 1.2==

Udowodnij Fakt 1.2.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 1.3==

Znajdź przykład na to, że w kategorii Pos bijekcje nie zawsze są izomorfizmami.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 1.4==

Pokaż, że każda grupa może być traktowana jako kategoria, w której każdy morfizm jest izomorfizmem.

Rozwiązanie:

==Zadanie 1.5==

Dla dowolnej kategorii zaproponuj konstrukcję nowej kategorii, w której – żądamy – obiektami są morfizmy z .

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 1.6==

Niech będzie kategorią, zaś jej ustalonym obiektem. Zaproponuj konstrukcję nowej kategorii, której obiektami są wszystkie morfizmy z o kodziedzinie .

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 1.7==

Udowodnij, że złożenie izomorfizmów jest izomorfizmem, że morfizm odwrotny do izomorfizmu jest tylko jeden, a także, że identyczności w dowolnej kategorii są izomorfizmami.

Rozwiązanie:

==Zadanie 1.8==

Znajdź kategorię, która ma tę własność, że jeśli dwa obiekty są izomorficzne, to muszą być sobie równe.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 1.9==

Pokaż, że w kategorii Mon izomorfizmy to dokładnie bijektywne homomorfizmy monoidów.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 1.10==

Przekonaj się, że kategorie i funktory tworzą kategorię, którą oznaczamy .

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 1.11==

Podaj dwa dalsze przykłady kategorii.

Wskazówka:
Rozwiązanie: