Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi
Odległość i ciągi
Na tym wykładzie dowiadujemy sie w jaki sposób można mierzyć odległość w
. Wprowadzamy pojęcie odległości (metryki) w oraz zdefiniujemy kule dla różnych metryk.Definiujemy ciągi o wyrazach wektorowych, pojecie granicy ciągu. Podajemy własności granic oraz wprowadzamy pojęcie ciągu Cauchy'ego.
Odległość
W szkole spotkaliśmy się już z pojęciem odległości na przykład liczb na osi rzeczywistej lub punktów na płaszczyźnie
(odległość euklidesowa).Okazuje się, że odległość można mierzyć na wiele różnych sposobów. Umówiono się, że funkcja przyporządkowująca parze punktów zbioru liczbę, którą nazwiemy ich odległością, musi spełniać kilka warunków. Tę funkcję będziemy nazywać metryką, a warunki precyzuje poniższa definicja.
Definicja 3.1. [metryka]
Metryką w
(1)
;
(2)
(warunek symetrii);
Dla dowolnych
liczbę nazywamy odległością punktów i oraz mówimy, że punkty i są oddalone od siebie oZwróćmy uwagę, że warunki w powyższej definicji są dość naturalnymi warunkami jakie powinna spełniać odległość. Mówią one, że odległość dwóch punktów wynosi zero tylko wtedy, gdy punkty się pokrywają. Odległość od punktu
do punktu jest równa odległości od punktu do punktu . Trzeci warunek mówi, że odległość od do nie może być większa, od sumy odległości od do i od do , co także jest naturalnym żądaniem.Jeśli potrafimy już mierzyć odległość, to możemy zdefiniować kulę o promieniu
, czyli zbiór punktów, których odległość od wybranego punktu (zwanego środkiem kuli) jest mniejsza niż .Definicja 3.2. [kula, kula domknięta]
Niech
Kulą o środku w punkcie i promieniu
nazywamy zbiór:
Kulą domkniętą o środku w punkcie
i promieniu nazywamy zbiór:
Z powyższej definicji wynika, iż kulą o środku
i promieniu nazywamy zbiór punktów przestrzeni których odległość od środka jest mniejsza od Analogicznie kulą domkniętą o środku i promieniu nazywamy zbiór punktów przestrzeni których odległość od środka nie jest większa odZanim przejdziemy do przykładów przestrzeni metrycznych oraz kul, podamy pewne własności kul.
Niech
(1)
Jeśli to
(2)
Jeśli to
(3)
Jeśli to
Powyższa uwaga
(wynikająca w oczywisty sposób z definicji kuli) mówi, że:
(1) środek zawsze należy do kuli (o ile promień jest dodatni);
(2) kula jest zbiorem niepustym wtedy i tylko wtedy, gdy promień
jest dodatni;
(3) jeśli dwie kule mają ten sam środek, to kula o mniejszym
promieniu zawiera się w kuli o większym promieniu.
Podamy teraz przykłady metryk w
oraz powiemy jak wyglądają kule w tych metrykach.Pierwszy przykład wprowadza naturalną metrykę w
Z tym sposobem mierzenia odległości między punktami prostej spotkaliśmy się już w szkole.Przykład 3.4. [metryka euklidesowa na prostej]
Niech
. DefiniujemyFunkcję
Zauważmy, że już w powyższym przykładzie kula nie przypomina tego co potocznie uważa się za kulę. Za chwilę zobaczymy, że (w zależności od sposobu mierzenia odległości) kula na płaszczyźnie może wyglądać inaczej niż by to wynikało z naszych przyzwyczajeń.
Trzy kolejne przykłady podają naturalne metryki jakie można wprowadzić w
<flash>file=AM1.M03.W.R03.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Odległość maksimowa w |
<flash>file=AM1.M03.W.R04.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Odległość maksimowa w |
Przykład 3.5. [metryka maksimowa]
Niech
Tak zdefiniowana funkcja ćwiczenie 3.1.). Nazywamy ją metryką maksimową w
Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce maksimowej. jest metryką (dowód tego faktu pozostawiony jest na ćwiczenia; patrz<flash>file=AM1.M03.W.R05.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Kula w metryce maksimowej w |
<flash>file=AM1.M03.W.R06.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Kula w metryce maksimowej w |
Przykład 3.6. [metryka taksówkowa]
Definiujemy
Tak zdefiniowana funkcja ćwiczenie 3.1.). Nazywamy ją
metryką taksówkową w jest metryką (dowód tego faktu pozostawiony jest na ćwiczenia; patrz .<flash>file=AM1.M03.W.R07.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Odległość taksówkowa w |
<flash>file=AM1.M03.W.R08.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Odległość taksówkowa w |
<flash>file=AM1.M03.W.R09.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Kula w metryce taksówkowej w |
<flash>file=AM1.M03.W.R10.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Kula w metryce taksówkowej w |
Metryka taksówkowa jest naturalnym sposobem mierzenia odległości w niektórych miastach (patrz mapa Turynu). Jeśli mieszkamy w Turynie przy Corso Vittorio Emanuele II, a nasz przyjaciel przy Corso Galileo Ferraris, to odległość jaką musimy przejechać taksówką by go odwiedzić, to będzie długość drogi od naszego domu do skrzyżowania obu ulic (czyli wartość bezwzględna różnicy współrzędnych na jednej osi) oraz długość drogi od skrzyżowania do domu przyjaciela (czyli wartość bezwzględna różnicy współrzędnych na drugiej osi).
Przykład 3.7. [metryka euklidesowa]
Zdefiniujmy
Tak zdefiniowana funkcja
jest metryką. Nazywamy ją metryką euklidesową w . Ten sposób mierzenia odległości między punktami lub jest nam znany ze szkoły.<flash>file=AM1.M03.W.R12.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Odległość eukidesowa w |
<flash>file=AM1.M03.W.R13.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Odległość eukidesowa w |
<flash>file=AM1.M03.W.R14.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Kula w metryce eukidesowej w |
<flash>file=AM1.M03.W.R15.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Kula w metryce eukidesowej w |
Wykażemy teraz, że
spełnia warunki definicji metryki. Dowód dwóch pierwszych warunków zostawiamy jako proste ćwiczenie. W dowodzie nierówności trójkąta dla metryki wykorzystamy następującą nierówność Cauchy'ego.Lemat 3.8. [nierówność Cauchy'ego]
Dowód 3.8.
Ustalmy dowolne
. Rozważmy następujący trójmian kwadratowy zmiennej :Grupując składniki w powyższym wielomianie dostajemy
a zatem
dla dowolnego Skoro trójmian kwadratowy jest stale nieujemny, to jego wyróżnik jest niedodatni, czyliskąd dostajemy
co należało dowieść.

Możemy teraz przystąpić do dowodu nierówności trójkąta dla
Lemat 3.9. [nierówność trójkąta dla metryki euklidesowej]
Dowód 3.9.
Ustalmy dowolne
LiczymyKorzystając z nierówności Cauchy'ego (patrz lemat 3.8.), mamy
Zatem pokazaliśmy, że

Zauważmy, że w przypadku
metryki euklidesowa, taksówkowa i maksimowa pokrywają się, to znaczy Kulami w tych metrykach są przedziały otwarte.Zdefiniujemy teraz pewne pojęcia związane z metrykami.
Definicja 3.11.
Niech
(1)
Zbiór nazywamy otwartym
(w metryce ), jeśli
każdy punkt tego zbioru zawiera się w tym zbiorze wraz z pewną kulą
o środku w tym punkcie
(i dodatnim promieniu), czyli
(2)
Mówimy, że punkt
(3)
Mówimy, że punkt jest
punktem izolowanym zbioru , jeśli
oraz nie jest punktem skupienia zbioru .
(4)
Zbiór nazywamy domkniętym,
jeśli każdy punkt skupienia zbioru należy do
(5) Zbiór nazywamy ograniczonym, jeśli jest zawarty w pewnej kuli, to znaczy
Zauważmy, że pojęcia występujące w powyższej definicji
(zbiór otwarty, domknięty, punkt skupienia, punkt izolowany, zbiór ograniczony) są związane nie tylko ze zbiorem
, ale także z wybraną w nim metryką . W definicji wszystkich tych pojęć używamy bowiem pojęcia kuli.Przykład 3.12.
Rozważmy
z metryką euklidesową oraz zbiór . Punktami skupienia zbioru są punkty przedziałuJedynym punktem izolowanym zbioru
jestA nie jest zbiorem domkniętym, bo punkt
jest jego punktem skupienia, który do niego nie należy.Zbiór
jest ograniczony, gdyż na przykładPrzykład 3.13.
(1) Przedziały otwarte w przestrzeni euklidesowej
są zbiorami otwartymi. Dla dowodu weźmy przedział ( ) oraz dowolny . Niech Wówczas(2) Kule są zawsze zbiorami otwartymi, a kule domknięte są zbiorami domkniętymi (fakt ten udowodnimy na wykładzie z Analizy matematycznej 2).
W kolejnym twierdzeniu zebrano szereg własności zbiorów w
z ustaloną metryką (twierdzenie pozostawiamy bez dowodu). Poniżej podamy jedynie pewne komentarze i wnioski wynikające z tego twierdzenia.Twierdzenie 3.14. [zbiory związane z metryką]
Jeśli
(1)
Zbiór jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy
(dopełnienie zbioru ) jest zbiorem domkniętym.
(2)
Kule są zbiorami otwartymi, a kule domknięte są zbiorami domkniętymi.
(3) Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest
zbiorem otwartym.
(4) Przecięcie (część wspólna) skończonej ilości
zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(5) Przecięcie (część wspólna) dowolnej ilości
zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(6) Suma skończonej ilości
zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
Przykład 3.15.
Rozważmy
(1)
Zbiór jest zbiorem domkniętym
(jako uzupełnienie kuli , która
jest zbiorem otwartym).
(2)
Przedział jest zbiorem domkniętym,
gdyż jest to kula domknięta .
Zatem jej uzupełnienie
jest zbiorem otwartym.
(3)
Zbiory jednopunktowe są domknięte, gdyż są to kule
domknięte o promieniu .
(4)
Ponieważ przedziały dla są otwarte,
więc ich suma (przeliczalna) jest także zbiorem otwartym.
Zauważmy, że uzupełnieniem tej sumy jest zbiór liczb
całkowitych
. Zatem pokazaliśmy, że jest zbiorem domkniętym.
(5)
Powyższe twierdzenie mówi, że przecięcie skończonej ilości
zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
Okazuje się, że dla nieskończonej ilości zbiorów otwartych nie
musi być to prawdą.
Podobnie suma nieskończenie wielu zbiorów domkniętych nie musi
być zbiorem domkniętym (patrz ćwiczenie 3.5.)
(6)
Zbiory skończone są domknięte
Ciągi
W szkole średniej poznaliśmy ciągi o wyrazach rzeczywistych (to znaczy funkcje
).W praktyce często spotykamy sie z ciągami o wyrazach innych niż liczby rzeczywiste. Na przykład, gdy mierzymy co sekundę prędkość i położenie w przestrzeni (
) jakiegoś obiektu, dostajemy ciąg, który każdemu przypisuje cztery wartości, czyli element z Nasz ciąg możemy zatem zapisać gdzie jest prędkością w chwili natomiast określają położenie punktu w przestrzeni.Naszym celem teraz jest wprowadzenie pojęcia ciągu i pojęcia granicy tego ciągu. W matematyce te pojęcia można zdefiniować dla dowolnie wybranej metryki (aby zdefiniować granicę musimy móc mierzyć odległość). My jednak ograniczymy nasze rozumowania do przestrzeni
z metryką , gdzie jest jedną z wyżej wprowadzonych metryk: , , lub .Definicja 3.16. [ciąg]
Ciągiem w
Ciąg ten oznaczamy
gdzie
Plik:AM1.M03.W.R21.mp4 Ciąg w |
Plik:AM1.M03.W.R22.mp4 Ciąg w |
Powiemy teraz co to znaczy, że punkt
jest granicą ciągu . Intuicyjnie oznacza to, że wyrazy są "coraz bliżej" granicy w miarę wzrostu . Formalnie podaje to poniższa definicja.Definicja 3.17. [granica ciągu]
Niech
Mówimy, że jest
granicą ciągu
jeśli
i piszemy
Mówimy, że ciąg
jest zbieżny, jeśli ma granicę, czyli<flashwrap>file=AM1.M03.W.R23.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Granica ciągu w |
<flashwrap>file=AM1.M03.W.R24.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Granica ciągu w |
Warunek
w powyższej definicji mówi, że dla dowolnego (dowolnie małego)
wyrazy ciągu są od pewnego miejsca (od ) oddalone od o mniej niż Warunek ten jest równoważny warunkowiktóry mówi, że dla dowolnego (dowolnie małego)
wyrazy ciągu od pewnego miejsca (od ) leżą w kuli Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż należy do kuli dokładnie wtedy, gdy odległość od jest mniejsza niż to znaczy
Definicja 3.19. [ciąg ograniczony]
Ciąg
nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości jest ograniczony w to znaczy zawarty w pewnej kuli. Innymi słowy ciąg jest ograniczony, gdy
Przykład 3.20.
Jeśli ciąg
jest stały od pewnego miejsca, czyli istnieje takie, że
to wówczas
Oznacza to, że ciąg stały od pewnego miejsca jest zbieżny.
Przykład 3.21.
Niech
będzie ciągiem danym przez dla Wówczas
Aby to pokazać ustalmy dowolne
Wówczas istnieje liczba naturalna , która jest większa od (gdyż dla każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba naturalna od niej większa), czyli
Zatem dla dowolnego
mamyzatem pokazaliśmy, że
Przykład 3.22. [ciąg geometryczny]
Niech
oraz dla Wówczas
Dowód podobny do dowodu w przykładzie 3.21.,
pozostawiamy jako ćwiczenie.
Ciąg jest
ciągiem geometrycznym o ilorazie
(patrz definicja 1.8.).
Kolejne twierdzenie podaje związek między zbieżnością ciągu punktów, a zbieżnością ciągu liczbowego odległości jego wyrazów od granicy. Mówi ono, że ciąg
jest zbieżny do granicy w dokładnie wtedy, gdy ciąg odległości od jest zbieżny do w Dowód wynika wprost z definicji.Twierdzenie 3.23.
Niech
będzie ciągiem oraz Wówczas
Powiemy teraz co to jest podciąg danego ciągu
Nieformalnie mówiąc, podciąg powstaje z ciągu przez skreślenie
z niego pewnej liczby wyrazów (tak aby nadal pozostała
nieskończona ich ilość):
Formalna definicja podana jest poniżej.
Definicja 3.24. [podciąg]
Niech
Ciąg
nazywamy podciągiem ciągu
i oznaczamy
gdzie
dlaW kolejnym twierdzeniu zebrane są własności granic. Niektóre z nich udowodnimy na ćwiczeniach (patrz ćwiczenie 3.3. i ćwiczenie 3.4.).
Twierdzenie 3.25. [własności granic]
Jeśli
(1)
Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu
to znaczy
(2)
Jeśli ciąg
(3)
Jeśli oraz
jest dowolnym podciągiem ciągu
to
(4) Jeśli
jest ciągiem zbieżnym oraz jest jego dowolnym podciągiem takim, że to także(5) Jeśli dla dowolnego podciągu
to ciągu istnieje jego "dalszy" podciąg taki, żeJeśli
jest ciągiem w to jego wyrazy mają współrzędne: dla Kolejne twierdzenie podaje związek między zbieżnością ciągu w a zbieżnością ciągów na poszczególnych współrzędnych Dzięki temu twierdzeniu liczenie granic ciągów w sprowadza się do liczenia granic ciągów w (dowód pomijamy).Twierdzenie 3.26. [granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]
Jeśli
wtedy i tylko wtedy, gdy
dla
Ciągi Cauchy'ego
Obok ciągów zbieżnych, ważną rolę odgrywają także tak zwane ciągi Cauchy'ego. Ciągi Cauchy'ego to takie ciągi, dla których odległości między wyrazami zmierzają do zera. Okazuje się, że w uwaga 3.31).
z metryką euklidesową, ciągi Cauchy'ego są dokładnie ciągami zbieżnymi. Jednak nie dla każdej przestrzeni z metryką tak jest (patrz
Definicja 3.27. [warunek Cauchy'ego]
Niech
będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli
Warunek Cauchy'ego dla ciągu
oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są oddalone od siebie o mniej niżZacznijmy od prostych faktów.
Stwierdzenie 3.28.
Jeśli
jest ciągiem Cauchy'ego, to jest ograniczony.Dowód 3.28.
Weźmy
. Wtedy istnieje , takie, że dla wszystkich mamy , w szczególności dla każdego , . Weźmy
Wtedy wszystkie wyrazy ciągu zawierają się w kuli
, a więc ciąg jest ograniczony.
Stwierdzenie 3.29.
Jeśli podciąg
ciągu Cauchy'ego ma granicę , to ciąg ma granicę .Dowód 3.29.
Ustalmy
. Skoro , to istnieje , takie, że dla każdego mamy . Skoro zaś jest ciągiem Cauchy'ego, to istnieje takie, że dla wszystkich mamy . Biorąc , mamy dla wszystkich
a zatem
jest granicą ciągu .
Kolejne twierdzenie mówi, że w
ciągi są zbieżne dokładnie wtedy, gdy spełniają warunek Cauchy'ego.Twierdzenie 3.30. [zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego]
Ciąg
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego.Dowód 3.30.
"
Wykażemy, że jeśli ciąg jest zbieżny, to
spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy . Skoro ciąg jest
zbieżny do granicy , to jego wyrazy są od pewnego miejsca
odległe od o mniej niż , czyli
Weźmy teraz dowolne
. Wtedya zatem ciąg
" "
Ta część dowodu będzie przeprowadzona później,
po wprowadzeniu pojęcia zwartości.

Dla dowolnie wybranego zbioru z metryką zachodzi tylko jedna implikacja w powyższym twierdzeniu, a mianowicie każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego. Aby pokazać, że przeciwna implikacja nie jest prawdziwa, rozważmy przedział otwarty
z metryką euklidesową (czyli dla ich odległość wynosi ). Ciąg zadany wzorem dla nie jest zbieżny w (dlaczego?), ale spełnia warunek Cauchy'ego. Aby to pokazać, ustalmy dowolne WówczasWówczas dla dowolnych
mamyPokazaliśmy zatem, że ciąg
spełnia warunek Cauchy'ego.