Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 3: Odległość i ciągi

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

3. Odległość i ciągi

Ćwiczenie 3.1.

Wykazać, że funkcje i zdefiniowane na jako



są metrykami (patrz przykład 3.5. i przykład 3.6.).


Wskazówka
Rozwiązanie
Plik:AM1.M03.C.R01.mp4
Odległość punktu od zbioru

Ćwiczenie 3.2.

Dla danej metryki w można zdefiniować odległość punktu od zbioru niepustego jako infimum wszystkich odległości między a punktami zbioru , czyli

Dany jest zbiór oraz dwa punkty oraz Wyznaczyć
(a) odległość punktów i ;
(b) ;

(c) kolejno w metrykach: euklidesowej ; taksówkowej ; maksimowej

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 3.3.

Udowodnić, że dla każdego ciągu istnieje co najwyżej jedna granica, to znaczy:



Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 3.4.

Udowodnić, że jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.


Wskazówka
Rozwiązanie

a to oznacza, że ciąg jest ograniczony.

Ćwiczenie 3.5.

(1) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów otwartych w takich, że ich przecięcie nie jest zbiorem otwartym.
(2) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów domkniętych w takich, że ich suma nie jest zbiorem domkniętym.


Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 3.6.

Zbadać, czy ciąg gdzie spełnia warunek Cauchy'ego.

Wskazówka
Rozwiązanie