Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe

Ciągi liczbowe

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R01.swf|width=375|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg liczbowy

W tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych. Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony, granice niewłaściwe. Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów, twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w $ℝ$ , twierdzenie o trzech ciągach, twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Definicja 4.1. [ciąg liczbowy]

Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w $ℝ$ (to znaczy w zbiorze liczbowym $ℝ$ traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką euklidesową). Piszemy krótko ${x_{n}} \subseteq ℝ$ .

Ponieważ w zbiorze liczbowym $ℝ$ mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.

Definicja 4.2.

(1) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest malejący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} \geq a_{n + 1}$

(2) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest silnie malejący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} > a_{n + 1}$ .

(3) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest rosnący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq a_{n + 1}$ .

(4) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest silnie rosnący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} < a_{n + 1}$

(5) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest monotoniczny, jeśli jest on malejący lub rosnący.
(6) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie malejący lub silnie rosnący.

<flash>file=AM1.M04.W.R02.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg malejący

<flash>file=AM1.M04.W.R03.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg silnie malejący

<flash>file=AM1.M04.W.R04.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg rosnący

<flash>file=AM1.M04.W.R05.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg silnie rosnący

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R06.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg zbieżny do granicy

g

W przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry (ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy $ℝ$ jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące definicje.

Definicja 4.3.

(1) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ograniczony, jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : | a_{n} | \leq M$
(2) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ograniczony z dołu, jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : a_{n} \geq M$
(3) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ograniczony z góry, jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : a_{n} \leq M$

Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest następujący związek między ograniczonością a ograniczonością z góry i z dołu.

Stwierdzenie 4.4. [O ciągu ograniczonym w $ℝ$ ]

Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem to ${a_{n}}$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy ${a_{n}}$ jest ograniczony z dołu i z góry.

Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w dowolnych przestrzeniach metrycznych. Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w $ℝ$ mamy metrykę euklidesową.

Definicja 4.5.

(1) Mówimy, że liczba $g$ jest granicą ciągu ${x_{n}} \subseteq ℝ$ , jeśli

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : | x_{n} - g | < ε

i piszemy

\begin{array}{lll} \lim_{n \to + \infty} x_{n} = g & lub & x_{n} \overset{ℝ}{⟶} g lub \\ x_{n} \to_{n \to + \infty}^{} g & lub & x_{n} ⟶ g \end{array}

(2) Mówimy, że ciąg ${x_{n}}$ jest zbieżny, jeśli

\exists g \in ℝ : \lim_{n \to + \infty} x_{n} = g

W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej przestrzeni metrycznej).

Definicja 4.6. [Uzupelnij]

(1) Mówimy, że ciąg liczbowy ${a_{n}} \subseteq ℝ$ ma granicę niewłaściwą $+ \infty$ , jeśli

$\forall M \in ℝ \exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \geq M$

Mówimy wówczas, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest rozbieżny do $+ \infty$ i piszemy $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty$ .
(2) Mówimy, że ciąg liczbowy ${a_{n}} \subseteq ℝ$ ma granicę niewłaściwą $- \infty$ , jeśli

\forall M \in ℝ \exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \leq M

Mówimy wówczas, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest rozbieżny do $- \infty$ i piszemy $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = - \infty$ .

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R07.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg rozbieżny do

+ \infty

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R08.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg rozbieżny do

- \infty

Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą (w sensie definicji 4.5.), gdyż nie jest to element $ℝ$ (nie jest to liczba rzeczywista). Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w terminologii.

Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać "granica właściwa" lub "granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy o granicy niewłaściwej. O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest zbieżny. O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest rozbieżny do $+ \infty$ lub $- \infty$ . O ciągu który nie ma granicy właściwej mówimy, że jest rozbieżny.

Twierdzenie 4.7. [O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ oraz ${b_{n}}$ jest ograniczony, to $\lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0$ .

Dowód 4.7.

Niech $M > 0$ będzie stałą ograniczającą ciąg ${b_{n}}$ (która istnieje z założenia), to znaczy

\forall n \in ℕ : | b_{n} | \leq M

Ustalmy $ε > 0$ . Ponieważ $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ , więc

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : | a_{n} | \leq \frac{ε}{M}

Zatem dla $n \geq N$ mamy

| a_{n} b_{n} | \leq \frac{ε}{M} \cdot M = ε

Ponieważ $ε > 0$ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ : | a_{n} b_{n} | \leq ε

,

czyli udowodniliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0$ .

Przykład 4.8.

Obliczyć granicę $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin n}{n}$ .

Rozwiązanie

Jeśli zdefiniujemy $a_{n} = \frac{1}{n}$ oraz $b_{n} = \sin n$ dla $n \in ℕ$ , to $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ oraz ciąg ${b_{n}}$ jest ograniczony, gdyż

\forall n \in ℕ : | \sin n | \leq 1

Zatem z twierdzenia 4.7. wnioskujemy, że $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin n}{n} = \lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0$ .

Dla ciągów liczbowych możliwe jest wykonywanie działań na elementach tych ciągów oraz na ich granicach. Poniższe twierdzenie podaje związki, jakie zachodzą między tymi działaniami.

Twierdzenie 4.9. [O "arytmetyce" granic ciągów]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz $c \in ℝ$ , to
(1) $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \lim_{n \to + \infty} a_{n} \pm \lim_{n \to + \infty} b_{n}$ ;
(2) $\lim_{n \to + \infty} (c \cdot a_{n}) = c \cdot \lim_{n \to + \infty} a_{n}$ ;
(3) $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} b_{n}) = (\lim_{n \to + \infty} a_{n}) (\lim_{n \to + \infty} b_{n})$ ;
(4) $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\lim_{n \to + \infty} a_{n}}{\lim_{n \to + \infty} b_{n}}$ (o ile $b_{n} \neq 0$ dla $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} \neq 0$ );
(5) $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = (\lim_{n \to + \infty} a_{n})^{\lim_{n \to + \infty} b_{n}}$ (o ile działania po obu stronach są wykonalne);
(6) $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a ⟹ \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = | a |$ ;
(7) $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 ⟺ \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = 0$ .

Dowód 4.9.

(Ad 1) Niech $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = b$ . Pokażemy, że $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b$ .
W tym celu ustalmy $ε > 0$ . Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ wiemy, że

\exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : | a_{n} - a | < \frac{ε}{2}

oraz

\exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : | b_{n} - b | < \frac{ε}{2}

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}}$ . Wówczas dla dowolnego $n \geq N$ mamy:

| (a_{n} + b_{n}) - (a + b) | \leq | a_{n} - a | + | b_{n} - b | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ : | (a_{n} + b_{n}) - (a + b) | < ε

,

czyli $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b$ .
Analogicznie pokazuje się, że $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = a - b$ .
(Ad (3)-(4), (6)-(7)) Dowody tych części są pozostawione na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 4.5. i ćwiczenie 4.6.).
(Ad (2)) Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).
(Ad (5)) Pozostawiamy to bez dowodu.

Przykład 4.10.

Obliczyć granice ciągów:
(1) $\lim_{n \to + \infty} (- 1)^{n} \frac{2 n + 1}{3 n^{2}}$ ;
(2) $\lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n})^{\frac{1}{2^{n}}}$ .

Rozwiązanie

(Ad (1)) Niech $a_{n} = (- 1)^{n} \frac{2 n + 1}{3 n^{2}}$ . Policzmy najpierw granice modułów:

\begin{aligned} \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | & = & \lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + 1}{3 n^{2}} = \lim_{n \to + \infty} (\frac{2 n}{3 n^{2}} + \frac{1}{3 n^{2}}) = \lim_{n \to + \infty} (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{n} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}) \\ = & \frac{2}{3} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} + \frac{1}{3} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 \cdot 0 = 0 . \end{aligned}

W powyższych rachunkach korzystaliśmy z arytmetyki granic (patrz twierdzenie 4.9.(1)--(3)) oraz ze znajomości granicy $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n}$ (patrz przykład 3.21.). Ponieważ otrzymaliśmy $\lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = 0$ , więc korzystając z twierdzenie 4.9. (7) wnioskujemy, że także $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ .

(Ad (2)) Ponieważ

\lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n}) = 2

oraz

\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{2^{n}} = 0

(patrz przykład 3.22.), zatem korzystając z twierdzenia 4.9. (5), dostajemy

\lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n})^{\frac{1}{2^{n}}} = 2^{0} = 1

Plik:AM1.M04.W.R09.svg

Ilustracja do twierdzenia o trzech ciągach

Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu ${b_{n}}$ leżą pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ (przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę $g$ (właściwą lub niewłaściwą), to ciąg ${b_{n}}$ ma tę samą granicę $g$ .

Twierdzenie 4.11. [O trzech ciągach]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} c_{n} = g \in \overline{ℝ} oraz

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

,

to

$\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g$ .

Dowód 4.11.

Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy $g \in ℝ$ . Załóżmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} c_{n} = g$ oraz $\exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ .

Należy pokazać, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g$ . W tym celu ustalmy dowolne $ε > 0$ . Z definicji granicy ciągu mamy

$\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N : | a_{n} - g | < ε, czyli g - ε < a_{n} < g + ε, & \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N : | c_{n} - g | < ε, czyli g - ε < c_{n} < g + ε . \end{aligned}$

Niech $N_{3} = \max {N, N_{1}, N_{2}}$ . Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że

\forall n \geq N_{3} : g - ε < a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} < g + ε

,

zatem

\forall n \geq N_{3} : | b_{n} - g | < ε

,

co dowodzi, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g$ .

Przykład 4.12.

Obliczyć granicę ciągu $\lim_{n \to + \infty} [2 + (- 1)^{n}] \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1}$ .

Niech $x_{n} = [2 + (- 1)^{n}] \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1}$ .

Zauważmy, że $x_{n} = y_{n} b_{n}$ , gdzie $y_{n} = 2 + (- 1)^{n}$ oraz $b_{n} = \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1}$ . W celu obliczenia $\lim_{n \to + \infty} b_{n}$ zauważmy, że

\frac{3 n^{2}}{4 n^{4} + 3 n^{4} + n^{4}} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n^{2}}{4 n^{4}}

\frac{3 n^{2}}{8 n^{4}} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} \leq \frac{5 n^{2}}{4 n^{4}}

\frac{3}{8} \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} \leq \frac{5}{4} \frac{1}{n^{2}}

granica ciągu $\frac{3}{8} \frac{1}{n^{2}}$ oraz $\frac{5}{4} \frac{1}{n^{2}}$ wynosi zero. Zbieżności te wynikają z twierdzenia o granicy iloczynu ciągu (patrz twierdzenie 4.9. (3)), to znaczy

\lim_{n \to + \infty} \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{n^{2}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{3}{8} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = \frac{3}{8} \cdot 0 \cdot 0 = 0

i podobnie $\lim_{n \to + \infty} \frac{5}{4} \frac{1}{n^{2}} = 0$ .

Teraz, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz twierdzenie 4.11) dostajemy, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = 0$ .

Odnośnie ciągu ${y_{n}}$ zauważmy, że

\forall n \in ℕ : 1 \leq y_{n} \leq 3

,

a zatem ciąg ${y_{n}}$ jest ograniczony.

W końcu, korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz twierdzenie 4.7.) dostajemy, że

\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 0

.

Kolejne twierdzenie mówi, w jaki sposób nierówności między wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych ciągów i na odwrót. Mianowicie, jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są dwoma ciągami mającymi granice (właściwe lub niewłaściwe) oraz wyrazy ciągu ${b_{n}}$ są większe lub równe od wyrazów ciągu ${a_{n}}$ , to nierówność ta zachodzi także dla granic ciągów. Na odwrót, jeśli granica ciągu ${b_{n}}$ jest silnie większa od granicy ciągu ${a_{n}}$ , to nierówność ta zachodzi także dla wyrazów ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ , przynajmniej od pewnego miejsca.

Twierdzenie 4.13. [O dwóch ciągach]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a \in \overline{ℝ}$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = b \in \overline{ℝ}$ , to prawdziwe są implikacje:

(1) $[a = + \infty \land \forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}] ⟹ [b = + \infty]$ ;

(2) $[b = - \infty \land \forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}] ⟹ [a = - \infty]$ ;

(3) $[\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}] ⟹ [a \leq b]$ ;

(4) $[a < b] ⟹ [\exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} < b_{n}]$ .

Dowód 4.13. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Zakładamy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty$ oraz $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}$ .
Ustalmy dowolne $M > 0$ . Ponieważ $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty$ , więc

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \geq M

Zatem dla dowolnego $n \geq N$ mamy

b_{n} \geq a_{n} \geq M

Ponieważ $M > 0$ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

\forall M > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : b_{n} \geq M

,

a to oznacza, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = + \infty$ .
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu (1).
(Ad (3)) Niech $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a \in \overline{ℝ}, \lim_{n \to + \infty} b_{n} = b \in \overline{ℝ}$ oraz $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}$ .
"Przypadek $1^{o}$ ." Niech $a, b \in ℝ$ .

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $a > b$ . Ustalmy $ε = \frac{a - b}{2} > 0$ . Z definicji granicy ciągu mamy

\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : | a_{n} - a | < \frac{a - b}{2}, \\ \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : | b_{n} - b | < \frac{a - b}{2}, \end{aligned}

i w szczególności

\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : a_{n} > \frac{a + b}{2}, \\ \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : b_{n} < \frac{a + b}{2}, \end{aligned}

Niech $k = \max {N_{1}, N_{2}}$ . Wówczas dla wyrazów $a_{k}$ i $b_{k}$ mamy

a_{k} > \frac{a + b}{2} > b_{k}

,

co jest sprzeczne z założeniem. Zatem pokazaliśmy, że $a \leq b$ .

"Przypadek $2^{o}$ ." $a = + \infty$ lub $b = - \infty$ . Wówczas teza wynika z (1) lub (2).

"Przypadek $3^{o}$ ." $a = - \infty$ lub $b = + \infty$ . Wówczas zawsze zachodzi nierówność $a \leq b$ .

(Ad (4)) "Przypadek $1^{o}$ ." Niech $a, b \in ℝ$ . Ustalmy $ε = \frac{b - a}{2}$ . Ponieważ $b > a$ , więc $ε > 0$ . Z definicji granicy ciągu mamy

\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : | a_{n} - a | < \frac{b - a}{2}, \\ \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : | b_{n} - b | < \frac{b - a}{2} . \end{aligned}

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}}$ . W szczególności mamy

\forall n \geq N : a_{n} < \frac{a + b}{2} < b_{n}

,

co należało pokazać.

"Przypadek $2^{o}$ ." $a = - \infty$ . Niech $ε = 1$ i $M = b - 1$ . Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej mamy

\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : a_{n} < b - 1, \\ \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : | b_{n} - b | < 1 . \end{aligned}

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}}$ . W szczególności mamy

\forall n \geq N : a_{n} < b - 1 < b_{n}

,

co należało pokazać.

"Przypadek $3^{o}$ ." $b = + \infty$ . Dowód jest analogiczny jak w przypadku $2^{o}$ .

Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego (ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu (patrz rysunek w twierdzeniu 4.15).

Twierdzenie 4.14.

Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem, to
(1) jeśli ${a_{n}}$ jest rosnący, to ${a_{n}}$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \sup {a_{n} : n \in ℕ};

(2) jeśli ${a_{n}}$ jest malejący, to ${a_{n}}$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \inf {a_{n} : n \in ℕ}

Dowód 4.14. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Załóżmy, że ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem rosnącym oraz niech

g \overset{d f}{=} \sup {a_{n} : n \in ℕ}

(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem $ℝ$ lub wynosi $+ \infty$ , gdyż zbiór jest niepusty). Pokażemy, że $g$ jest granicą ciągu ${a_{n}}$ .
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek $1^{o}$ . Niech $g \in ℝ$ . Ustalmy dowolne $ε > 0$ . Z własności supremum mamy, że

\exists N \in ℕ : g - ε < a_{N}

(de facto z własności supremum wynika, że takich indeksów $N$ istnieje nieskończenie wiele, ale nam wystarczy wybór jednego z nich). Ponieważ ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący oraz $\forall n \in N : a_{n} \leq g$ (z definicji supremum), więc

\forall n \geq N : g - ε < a_{N} \leq a_{n} \leq g

Ponieważ $ε > 0$ był dowolnie wybrany, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : | a_{n} - g | < ε

zatem pokazaliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = g$ .
Przypadek $2^{o}$ . Niech $g = + \infty$ . Ustalmy $M \in ℝ$ . Z definicji supremum mamy, że

\exists N \in ℕ : M < a_{N}

(bo w przeciwnym razie byłoby $g \leq M$ , sprzeczność).

Ponieważ ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący, więc

\forall n \geq N : M < a_{N} \leq a_{n}

Ponieważ $M \in ℝ$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall M \in ℝ \exists N \in ℕ \forall n \geq N : M < a_{n}

Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = g$ .
(Ad (2)) Dowód jest analogiczny jak dla (1).

Plik:AM1.M04.W.R10.mp4

Ciąg rosnący i ograniczony z góry

Twierdzenie 4.15. [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]

(1) Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.

(2) Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.

Dowód 4.15.

(Ad (1)) Jeśli ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący, to z twierdzenia 4.14 (1) wynika, że ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \sup {a_{n} : n \in ℕ}

Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc

\sup {a_{n} : n \in ℕ} < + \infty

,

zatem granica jest właściwa, czyli ciąg jest zbieżny.
(Ad (2)) Dowód analogiczny jak w (1).
(Ad (3)) Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2) (to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony). W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.
Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez założenia monotoniczności). Wynika to z twierdzenia 3.25.

Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię

Twierdzenie 4.16. [Bolzano-Weierstrassa]

Każdy ciąg ograniczony ${a_{n}} \subseteq ℝ$ zawiera podciąg zbieżny.

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat:

Lemat 4.17.

Każdy ciąg liczbowy

{a_{n}} \subseteq ℝ

zawiera podciąg monotoniczny.

Dowód 4.17.

[Szkic] Dla ciągu ${a_{n}}$ zdefiniujmy następujący zbiór:

$Z \overset{d f}{=} {n \in ℕ : \forall m \in ℕ [m > n ⟹ a_{m} > a_{n}]}$

Możliwe są dwa przypadki.
Jeśli $# Z = \infty$ (to znaczy zbiór $Z$ jest nieskończony), to możemy z ciągu ${a_{n}}$ wybrać podciąg rosnący (wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu ${a_{n}}$ , których indeksy należą do zbioru $Z$ ).
Jeśli $# Z < \infty$ (to znaczy zbiór $Z$ jest skończony), to możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób. Niech $n_{1} \in ℕ$ będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze zbioru $Z$ . Ponieważ $n_{1} \in̸ Z$ , więc

$\exists n_{2} > n_{1} : a_{n_{2}} \leq a_{n_{1}}$

Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy $n_{1} < \dots < n_{k}$ , to z definicji zbioru $Z$ i faktu, że $n_{k} \in̸ Z$ wynika, że

$\exists n_{k + 1} > n_{k} : a_{n_{k + 1}} \leq a_{n_{k}}$

Skonstruowany w ten sposób podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ jest malejący.

Plik:AM1.M04.W.R11.mp4

Podciąg monotoniczny ciągu

Możemy teraz powrócić do dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa:

Dowód 4.16.

Niech ${a_{n}} \in ℝ$ będzie ciągiem ograniczonym. Z lematu 4.17. wynika, że możemy z niego wybrać podciąg monotoniczny ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ . Oczywiście podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ jest także ograniczony, zatem z twierdzenia 4.15. (3) wynika, że podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ jest zbieżny.

Wniosek 4.18.

Z każdego ciągu liczbowego ${a_{n}} \subseteq ℝ$ można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą).

Dowód 4.18.

Z lematu 4.17. wiemy, że z ciągu ${a_{n}}$ można wybrać podciąg monotoniczny. Jeśli jest on ograniczony, to z twierdzenia 4.15. wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą). Jeśli zaś jest nieograniczony, to skoro jest monotoniczny, to granicą jest $+ \infty$ lub $- \infty$ .

Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe

Ciągi liczbowe

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia