Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Ciągi liczbowe

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R01.swf|width=375|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg liczbowy

W tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych. Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony, granice niewłaściwe. Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów, twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w twierdzenie o trzech ciągach, twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Definicja 4.1. [ciąg liczbowy]

Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w (to znaczy w zbiorze liczbowym traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką euklidesową). Piszemy krótko

Ponieważ w zbiorze liczbowym mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.

Definicja 4.2.

(1) Mówimy, że ciąg jest malejący, jeśli


(2) Mówimy, że ciąg jest silnie malejący, jeśli

(3) Mówimy, że ciąg jest rosnący, jeśli

(4) Mówimy, że ciąg jest silnie rosnący, jeśli

(5) Mówimy, że ciąg jest monotoniczny, jeśli jest on malejący lub rosnący.
(6) Mówimy, że ciąg jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie malejący lub silnie rosnący.

<flash>file=AM1.M04.W.R02.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg malejący

<flash>file=AM1.M04.W.R03.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg silnie malejący

<flash>file=AM1.M04.W.R04.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg rosnący

<flash>file=AM1.M04.W.R05.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg silnie rosnący

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R06.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg zbieżny do granicy

W przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry (ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące definicje.

Definicja 4.3.

(1) Mówimy, że ciąg jest ograniczony, jeśli
(2) Mówimy, że ciąg jest ograniczony z dołu, jeśli
(3) Mówimy, że ciąg jest ograniczony z góry, jeśli

Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest następujący związek między ograniczonością a ograniczonością z góry i z dołu.

Stwierdzenie 4.4. [O ciągu ograniczonym w ]

Jeśli jest ciągiem to jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony z dołu i z góry.

Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w dowolnych przestrzeniach metrycznych. Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w mamy metrykę euklidesową.

Definicja 4.5.

(1) Mówimy, że liczba jest granicą ciągu jeśli

i piszemy

(2) Mówimy, że ciąg jest zbieżny, jeśli

W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej przestrzeni metrycznej).

Definicja 4.6. [Uzupelnij]

(1) Mówimy, że ciąg liczbowy ma granicę niewłaściwą jeśli

Mówimy wówczas, że ciąg jest rozbieżny do i piszemy
(2) Mówimy, że ciąg liczbowy ma granicę niewłaściwą jeśli

Mówimy wówczas, że ciąg jest rozbieżny do i piszemy

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R07.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg rozbieżny do

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R08.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg rozbieżny do

Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą (w sensie definicji 4.5.), gdyż nie jest to element (nie jest to liczba rzeczywista). Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w terminologii.

Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać "granica właściwa" lub "granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy o granicy niewłaściwej. O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest zbieżny. O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest rozbieżny do lub O ciągu który nie ma granicy właściwej mówimy, że jest rozbieżny.

Twierdzenie 4.7. [O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera]

Jeśli są ciągami takimi, że oraz jest ograniczony, to

Dowód 4.7.

Niech będzie stałą ograniczającą ciąg (która istnieje z założenia), to znaczy

Ustalmy Ponieważ więc

Zatem dla mamy

Ponieważ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

czyli udowodniliśmy, że

End of proof.gif

Przykład 4.8.

Obliczyć granicę .

Rozwiązanie

Dla ciągów liczbowych możliwe jest wykonywanie działań na elementach tych ciągów oraz na ich granicach. Poniższe twierdzenie podaje związki, jakie zachodzą między tymi działaniami.

Twierdzenie 4.9. [O "arytmetyce" granic ciągów]

Jeśli są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz to
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) (o ile dla oraz );
(5) (o ile działania po obu stronach są wykonalne);
(6) ;
(7)

Dowód 4.9.

(Ad 1) Niech oraz Pokażemy, że
W tym celu ustalmy Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów i wiemy, że

oraz

Niech Wówczas dla dowolnego mamy:

Ponieważ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

czyli
Analogicznie pokazuje się, że
(Ad (3)-(4), (6)-(7)) Dowody tych części są pozostawione na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 4.5. i ćwiczenie 4.6.).
(Ad (2)) Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).
(Ad (5)) Pozostawiamy to bez dowodu.

End of proof.gif

Przykład 4.10.

Obliczyć granice ciągów:
(1) ;
(2)

Rozwiązanie
Plik:AM1.M04.W.R09.svg
Ilustracja do twierdzenia o trzech ciągach

Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu leżą pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów i (przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę (właściwą lub niewłaściwą), to ciąg ma tę samą granicę

Twierdzenie 4.11. [O trzech ciągach]

Jeśli są ciągami takimi, że


to

Dowód 4.11.

Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy . Załóżmy, że oraz

Należy pokazać, że W tym celu ustalmy dowolne Z definicji granicy ciągu mamy

Niech Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że

zatem

co dowodzi, że

End of proof.gif

Przykład 4.12.

Obliczyć granicę ciągu

Niech

Zauważmy, że gdzie oraz W celu obliczenia zauważmy, że

granica ciągu oraz wynosi zero. Zbieżności te wynikają z twierdzenia o granicy iloczynu ciągu (patrz twierdzenie 4.9. (3)), to znaczy

i podobnie

Teraz, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz twierdzenie 4.11) dostajemy, że

Odnośnie ciągu zauważmy, że

a zatem ciąg jest ograniczony.

W końcu, korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz twierdzenie 4.7.) dostajemy, że

Kolejne twierdzenie mówi, w jaki sposób nierówności między wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych ciągów i na odwrót. Mianowicie, jeśli i są dwoma ciągami mającymi granice (właściwe lub niewłaściwe) oraz wyrazy ciągu są większe lub równe od wyrazów ciągu , to nierówność ta zachodzi także dla granic ciągów. Na odwrót, jeśli granica ciągu jest silnie większa od granicy ciągu , to nierówność ta zachodzi także dla wyrazów ciągów i , przynajmniej od pewnego miejsca.

Twierdzenie 4.13. [O dwóch ciągach]

Jeśli są ciągami takimi, że oraz to prawdziwe są implikacje:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4)

Dowód 4.13. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Zakładamy, że oraz
Ustalmy dowolne Ponieważ więc

Zatem dla dowolnego mamy

Ponieważ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

a to oznacza, że
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu (1).
(Ad (3)) Niech oraz
"Przypadek " Niech

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że Ustalmy Z definicji granicy ciągu mamy

i w szczególności

Niech Wówczas dla wyrazów i mamy

co jest sprzeczne z założeniem. Zatem pokazaliśmy, że

"Przypadek " lub Wówczas teza wynika z (1) lub (2).

"Przypadek " lub Wówczas zawsze zachodzi nierówność

(Ad (4)) "Przypadek " Niech Ustalmy Ponieważ , więc . Z definicji granicy ciągu mamy

Niech W szczególności mamy

co należało pokazać.

"Przypadek " Niech i Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej mamy

Niech W szczególności mamy

co należało pokazać.

"Przypadek " Dowód jest analogiczny jak w przypadku

End of proof.gif

Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego (ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu (patrz rysunek w twierdzeniu 4.15).

Twierdzenie 4.14.

Jeśli jest ciągiem, to
(1) jeśli jest rosnący, to ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

(2) jeśli jest malejący, to ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz


Dowód 4.14. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Załóżmy, że jest ciągiem rosnącym oraz niech

(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem lub wynosi gdyż zbiór jest niepusty). Pokażemy, że jest granicą ciągu
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek Niech Ustalmy dowolne Z własności supremum mamy, że

(de facto z własności supremum wynika, że takich indeksów istnieje nieskończenie wiele, ale nam wystarczy wybór jednego z nich). Ponieważ ciąg jest rosnący oraz (z definicji supremum), więc

Ponieważ był dowolnie wybrany, więc pokazaliśmy, że

zatem pokazaliśmy, że
Przypadek Niech Ustalmy Z definicji supremum mamy, że

(bo w przeciwnym razie byłoby , sprzeczność).

Ponieważ ciąg jest rosnący, więc

Ponieważ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że
(Ad (2)) Dowód jest analogiczny jak dla (1).

End of proof.gif
Plik:AM1.M04.W.R10.mp4
Ciąg rosnący i ograniczony z góry

Twierdzenie 4.15. [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]

(1) Jeśli jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.

(2) Jeśli jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.

Dowód 4.15.

(Ad (1)) Jeśli ciąg jest rosnący, to z twierdzenia 4.14 (1) wynika, że ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz




Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc




zatem granica jest właściwa, czyli ciąg jest zbieżny.
(Ad (2)) Dowód analogiczny jak w (1).
(Ad (3)) Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2) (to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony). W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.
Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez założenia monotoniczności). Wynika to z twierdzenia 3.25.

End of proof.gif
Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię

Twierdzenie 4.16. [Bolzano-Weierstrassa]

Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat:

Lemat 4.17.

Każdy ciąg liczbowy zawiera podciąg monotoniczny.

Dowód 4.17.

[Szkic] Dla ciągu zdefiniujmy następujący zbiór:

Możliwe są dwa przypadki.
Jeśli (to znaczy zbiór jest nieskończony), to możemy z ciągu wybrać podciąg rosnący (wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu których indeksy należą do zbioru ).
Jeśli (to znaczy zbiór jest skończony), to możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób. Niech będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze zbioru Ponieważ więc

Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy to z definicji zbioru i faktu, że wynika, że

Skonstruowany w ten sposób podciąg jest malejący.

End of proof.gif
Plik:AM1.M04.W.R11.mp4
Podciąg monotoniczny ciągu

Możemy teraz powrócić do dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa:

Dowód 4.16.

Niech będzie ciągiem ograniczonym. Z lematu 4.17. wynika, że możemy z niego wybrać podciąg monotoniczny Oczywiście podciąg jest także ograniczony, zatem z twierdzenia 4.15. (3) wynika, że podciąg jest zbieżny.

End of proof.gif

Wniosek 4.18.

Z każdego ciągu liczbowego można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą).

Dowód 4.18.

Z lematu 4.17. wiemy, że z ciągu można wybrać podciąg monotoniczny. Jeśli jest on ograniczony, to z twierdzenia 4.15. wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą). Jeśli zaś jest nieograniczony, to skoro jest monotoniczny, to granicą jest lub .

End of proof.gif