Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Ćwiczenie 2.1.

Niech $(X, d)$ będzie przestrzenią metryczną, niech ${x_{n}} \subseteq X$ będzie ciągiem oraz niech $g \in X$ . Udowodnić, że jeśli $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g$ oraz ${x_{n_{k}}}$ jest dowolnym podciągiem ciągu ${x_{n}}$ , to

\lim_{k \to + \infty} x_{n_{k}} = g

Wskazówka

Rozwiązanie

Niech $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g$ Należy pokazać, że $\lim_{k \to + \infty} x_{n_{k}} = g$ Weźmy dowolne $ε > 0$ Z definicji granicy wiemy, że wszystkie wyrazy ciągu ${x_{n}}$ od pewnego miejsca leżą w kuli $K (g, ε)$ Ale to oznacza, że także wszystkie wyrazy podciągu ${x_{n_{k}}}$ od pewnego miejsca leżą w kuli $K (g, ε)$ Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, zatem z definicji granicy wnioskujemy, że $\lim_{k \to + \infty} x_{n_{k}} = g$

Ćwiczenie 2.2.

Niech $(X, d)$ będzie przestrzenią metryczną, ${x_{n}} \subseteq X$ ciągiem oraz niech $g \in X$ Udowodnić, że jeśli ${x_{n}}$ jest ciągiem zbieżnym oraz ${x_{n_{k}}}$ jest jego dowolnym podciągiem takim, że $\lim_{k \to + \infty} x_{n_{k}} = g$ to także $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g$

Wskazówka

Rozwiązanie

Z założenia wiemy, że $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g_{1}$ Z punktu (1) wynika, że także dla podciągu ${x_{n_{k}}}$ mamy $\lim_{k \to + \infty} x_{n_{k}} = g_{1}$ Z jedyności granicy (patrz twierdzenie 2.6.) mamy, że $g = g_{1}$ , co należało dowieść.

Ćwiczenie 2.3.

Niech $(X_{i}, d_{i})$ będą przestrzeniami metrycznymi dla $i = 1, \dots k, X = X_{1} \times \dots \times X_{k}, {a_{n}} \subseteq X$ ciągiem w $X$ (w szczególności $a_{n} = (a_{n}^{1}, \dots, a_{n}^{k})$ dla $n \in ℕ$ oraz $a = (a^{1}, \dots, a^{k}) \in X$ ). Udowodnić, że:
(1) $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ , wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{i} = a^{i}$ dla $i = 1, \dots, k$ .

(2) Ciąg ${a_{n}}$ spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi ${a_{n}^{i}}$ spełniają warunek Cauchy'ego dla $i = 1, \dots, k$

Wskazówka

Rozwiązanie

(1) " $⟹$ ":
Załóżmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ Ustalmy $i_{0} \in {1, \dots, k}$ . Należy pokazać, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{i_{0}} = a^{i_{0}}$ Ustalmy dowolne $ε > 0$ Z definicji granicy ciągu wiemy, że

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : d (a_{n}, a) < ε

,

gdzie

d (a_{n}, a) = \sqrt{d_{1} (a_{n}^{1}, a^{1})^{2} + \dots + d_{k} (a_{n}^{k}, a^{k})^{2}}

Zatem dla $n \geq N$ mamy

d_{i_{0}} (a_{n}^{i_{0}}, a^{i_{0}}) \leq \sqrt{d_{1} (a_{n}^{1}, a^{1})^{2} + \dots + d_{k} (a_{n}^{k}, a^{k})^{2}} = d (a_{n}, a) < ε

Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : d_{i_{0}} (a_{n}^{i_{0}}, a^{i_{0}}) < ε

co oznacza, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{i_{0}} = a^{i_{0}}$
" $⟸$ ":
Załóżmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{i} = a^{i}$ dla każdego $i \in {1, \dots, k}$ . Należy pokazać, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ W tym celu ustalmy dowolne $ε > 0$ . Z definicji granicy ciągu wynika, że

\forall i \in {1, \dots, k} \exists N_{i} \in ℕ \forall n \geq N_{i} : d_{i} (a_{n}^{i}, a^{i}) < \frac{ε}{\sqrt{k}}

Niech $N = \max {N_{1}, \dots, N_{k}}$ Wówczas dla $n \geq N$ mamy

d (a_{n}, a) = \sqrt{d_{1} (a_{n}^{1}, a^{1})^{2} + \dots + d_{k} (a_{n}^{k}, a^{k})^{2}} < \sqrt{k \cdot \frac{ε^{2}}{k}} = ε

Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : d (a_{n}, a) < ε

,

co oznacza, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$

(2) " $⟹$ ":
Załóżmy, że ciąg ${a_{n}}$ spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy $i_{0} \in {1, \dots, k}$ Należy pokazać, że ciąg ${a_{n}^{i_{0}}}$ spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy dowolne $ε > 0$ Z definicji warunku Cauchy'ego wiemy, że

\exists N \in ℕ \forall n, m \geq N : d (a_{n}, a_{m}) < ε

gdzie

d (a_{n}, a_{m}) = \sqrt{d_{1} (a_{n}^{1}, a_{m}^{1})^{2} + \dots + d_{k} (a_{n}^{k}, a_{m}^{k})^{2}}

Zatem dla $n, m \geq N$ mamy

d_{i_{0}} (a_{n}^{i_{0}}, a_{m}^{i_{0}}) \leq \sqrt{d_{1} (a_{n}^{1}, a_{m}^{1})^{2} + \dots + d_{k} (a_{n}^{k}, a_{m}^{k})^{2}} = d (a_{n}, a_{m}) < ε

Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n, m \geq N : d_{i_{0}} (a_{n}^{i_{0}}, a_{m}^{i_{0}}) < ε

co oznacza, że ciąg ${a_{n}^{i_{0}}}$ spełnia warunek Cauchy'ego.

" $⟸$ ":
Załóżmy, że ciąg ${a_{n}^{i}}$ spełnia warunek Cauchy'ego dla każdego $i \in {1, \dots, k}$ . Należy pokazać, że ciąg ${a_{n}}$ spełnia warunek Cauchy'ego. W tym celu ustalmy dowolne $ε > 0$ Z definicji warunku Cauchy'ego wynika, że

\forall i \in {1, \dots, k} \exists N_{i} \in ℕ \forall n, m \geq N_{i} : d_{i} (a_{n}^{i}, a_{m}^{i}) < \frac{ε}{\sqrt{k}}

Niech $N = \max {N_{1}, \dots, N_{k}}$ Wówczas dla $n, m \geq N$ mamy

d (a_{n}, a_{m}) = \sqrt{d_{1} (a_{n}^{1}, a_{m}^{1})^{2} + \dots + d_{k} (a_{n}^{k}, a_{m}^{k})^{2}} < \sqrt{k \cdot \frac{ε^{2}}{k}} = ε

Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n, m \geq N : d (a_{n}, a_{m}) < ε

co oznacza, że ciąg ${a_{n}}$ spełnia warunek Cauchy'ego.

Ćwiczenie 2.4.

Pokazać z definicji, że $ℝ^{2}$ (z metryką euklidesową) nie jest zbiorem zwartym.

Wskazówka

Rozwiązanie

Rozważmy rodzinę zbiorów otwartych ${K ((0, 0), n)}_{n \in ℕ}$ Ponieważ

ℝ^{2} = ⋃_{n \in ℕ} K ((0, 0), n)

zatem rodzina ta jest pokryciem zbioru $ℝ^{2}$ Pokażemy, że z tego pokrycia nie można wybrać podpokrycia skończonego. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że istnieje podpokrycie skończone ${K ((0, 0), n_{i})}_{i = 1}^{k}$ Zdefiniujmy $n_{0} = \max {n_{1}, \dots, n_{k}}$ Wówczas

⋃_{i = 1}^{k} K ((0, 0), n_{i}) = K ((0, 0), n_{0}) ⊊ ℝ^{2}

(ostatnie istotne zawieranie wynika na przykład z faktu, że punkt $(0, n_{0} + 1) \in ℝ^{2} ∖ K ((0, 0), n_{0})$ ) Otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem zbiór $ℝ^{2}$ nie jest zwarty.

Ćwiczenie 2.5.

Jakie zbiory są zwarte w przestrzeni metrycznej dyskretnej? Odpowiedź uzasadnij.

Wskazówka

Rozwiązanie

W przestrzeni metrycznej dyskretnej zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończony.
" $⟸$ "
Jeśli $A$ jest zbiorem skończonym, to jest zwarty (w dowolnej przestrzeni metrycznej; patrz twierdzenia 1.19. (1)).
" $⟹$ "
Niech $A$ będzie zbiorem zwartym w przestrzeni metrycznej dyskretnej. Należy pokazać, że zbiór $A$ jest skończony. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że zbiór $A$ jest nieskończony. Rozważmy następującą rodzinę zbiorów otwartych ${K (x, 1)}_{x \in A}$ . Ponieważ $K (x, 1) = {x}$ zatem rodzina ta jest pokryciem otwartym (i nieskończonym) zbioru $A$ zbiorami jednopunktowymi. Zauważmy, że po usunięciu z tej rodziny dowolnego zbioru, przestaje ona być pokryciem zbioru $A$ . Zatem nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego. Zatem zbiór $A$ nie jest zwarty i otrzymujemy sprzeczność.

Ćwiczenie 2.6.

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A, B \subseteq X$ . Które z implikacji są prawdziwe:
"jeśli zbiory $A$ i $B$ są spójne, to zbiór $A \cap B$ jest spójny";
"jeśli zbiory $A$ i $B$ są spójne, to zbiór $A \cup B$ jest spójny";
"jeśli zbiór $A \cup B$ jest spójny, to zbiory $A$ i $B$ są spójne".

Wskazówka

Ewentualnych kontrprzykładów można szukać w $ℝ^{2}$ .

Rozwiązanie

Przecięcie zbiorów spójnych nie musi być zbiorem spójnym. Rysunek przedstawia dwa zbiory spójne $A, B \subseteq ℝ^{2}$ , których przecięcie $A \cap B$ nie jest spójne.
Suma zbiorów spójnych nie musi być zbiorem spójnym. Wystarczy wziąć dwa przedziały w $ℝ$ : $A = (0, 1)$ i $B = (2, 3)$ (są to zbiory spójne; porównaj twierdzenia 1.25.). Ich suma $A \cup B = (0, 1) \cup (2, 3)$ nie jest zbiorem spójnym, gdyż nie jest przedziałem. Oczywiście, aby zachodził kontrprzykład, zbiory $A$ i $B$ muszą być rozłączne. W przeciwnym razie z twierdzenia 1.26. wynikałoby, że suma jest zbiorem spójnym.
Jeśli zbiór $A \cup B$ jest spójny, to zbiory $A$ i $B$ nie muszą być spójne. Jako przykład weźmy zbiory $A = (1, 3) \cup (4, 7)$ oraz $B = [2, 5] \cup [6, 8]$ . Wówczas zbiory $A, B \subseteq ℝ$ nie są spójne, ale zbiór $A \cup B = (1, 8]$ jest spójny (patrz twierdzenia 1.26.).

Suma zbiorów spójnych nie musi być zbiorem spójnym

Ze spójności sumy zbiorów nie wynika spójność ich składowych

Ćwiczenie 2.7.

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A, B \subseteq X$ . Które z implikacji są prawdziwe:
"jeśli zbiory $A$ i $B$ są zwarte, to zbiór $A \cup B$ jest zwarty";
"jeśli zbiór $A \cup B$ jest zwarty, to zbiory $A$ i $B$ są zwarte".

Wskazówka

Ewentualnych kontrprzykładów można szukać w $ℝ$ .

Rozwiązanie

Plik:Am2.M02.C.R04.svg

Ze zwartości sumy zbiorów nie wynika zwartość ich składowych

Jeśli zbiory $A$ i $B$ są zwarte, to zbiór $A \cup B$ jest zwarty.

Aby to pokazać, weźmy dowolne pokrycie otwarte ${U_{s}}_{s \in S}$ zbioru $A \cup B$ . Wówczas jest to zarówno pokrycie zbioru $A$ jak i zbioru $B$ . Ponieważ zbiory $A$ i $B$ są zwarte, więc możemy wybrać podpokrycia skończone ${U_{s_{i}}}_{i = 1}^{k}$ zbioru $A$ oraz ${U_{s_{i}}}_{i = k + 1}^{l}$ zbioru $B$ . Wówczas ${U_{s_{i}}}_{i = 1}^{l}$ jest pokryciem skończonym zbioru $A \cup B$ (jeśli zbiór otwarty powtarza się w pierwszym i drugim podpokryciu, to bierzemy go tylko raz w ${U_{s_{i}}}_{i = 1}^{l}$ ).

Jeśli zbiór $A \cup B$ jest zwarty, to zbiory $A$ i $B$ nie muszą być zwarte. Jako przykład weźmy przedziały w $ℝ$ : $A = [1, 3)$ i $B = (2, 4]$ . Wówczas zbiory $A$ i $B$ nie są zwarte, ale zbiór $A \cup B$ jest zwarty (patrz twierdzenia 1.21.).

Ćwiczenie 2.8.

Opisać jak wyglądają ciągi Cauchy'ego w przestrzeni metrycznej dyskretnej.

Wskazówka

Wziąć $ε = \frac{1}{2}$ i zastosować w definicji ciągu Cauchy'ego.

Rozwiązanie

Niech ${x_{n}}$ będzie ciągiem Cauchy'ego przestrzeni metrycznej dyskretnej. Wówczas w szczególności dla $ε = \frac{1}{2}$ mamy

$\exists N \in ℕ \forall n, m \geq N : d (x_{n}, x_{m}) < \frac{1}{2}$

Ale metryka dyskretna przyjmuje tylko wartości $0$ i $1$ , zatem dla dowolnych $n, m \geq N$ mamy $d (x_{n}, x_{m}) = 0$ , a to z kolei oznacza, że $x_{n} = x_{m}$ . Zatem pokazaliśmy, że

$\forall n \geq N : x_{n} = x_{N}$ ,

czyli ciąg jest stały od pewnego miejsca.

Zauważmy teraz, że zachodzi także implikacja odwrotna, gdyż każdy ciąg stały jest zbieżny, więc w szczególności jest ciągiem Cauchy'ego.
Odpowiedź: W przestrzeni metrycznej dyskretnej ciąg spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy jest stały od pewnego miejsca.

Ćwiczenie 2.9.

Rozważmy płaszczyznę $ℝ^{2}$ z metryką kolejową z węzłem $O (0, 0)$ . Zbadać zbieżność dwóch ciągów: ${x_{n}}$ i ${y_{x}}$ w tej metryce, gdy $x_{n} = (\frac{1}{n}, 1)$ oraz $y_{n} = (0, 1 + \frac{1}{n})$ dla $n \in ℕ$ .

Wskazówka

Rozwiązanie

(1) Dla ciągu ${x_{n}}$ zauważmy, że

\begin{array}{lll} d (x_{n}, x_{n + 1}) & = & d_{2} (x_{n}, Θ) + d_{2} (x_{n + 1}, Θ) \\ = & \sqrt{(\frac{1}{n})^{2} + 1^{2}} + \sqrt{(\frac{1}{n + 1})^{2} + 1^{2}} \geq 2, \end{array}

(gdzie $Θ$ oznacza $((0, 0) \in ℝ^{2})$ ,

zatem ciąg ${x_{n}}$ nie spełnia warunku Cauchy'ego, a zatem nie jest zbieżny.

(2) Pokażemy, że ciąg ${y_{n}}$ ma granicę $y_{0} = (0, 1)$ . Obliczmy

d (y_{n}, y_{0}) = d (y_{n}, y_{0}) = \sqrt{0^{2} + (1 + \frac{1}{n} - 1)} = \frac{1}{n}

,

zatem $d (y_{n}, y_{0}) ⟶ 0$ , gdy $n \to + \infty$ , a to oznacza, że $y_{n} \to_{d}^{} y_{0} = (1, 0)$ .

Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia