Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

Ćwiczenie 4.1.

Zbadać zbieżność (oraz rodzaj zbieżności) ciągów funkcyjnych:
(1) $f(x)=\frac{\sin x}{n}$ w $\mathbb{ℝ},$
(2) $f(x)=(1-x{)}^n$ w przedziale $[0,1].$

Wskazówka

(1) Wyznaczyć granicę punktową tego ciągu funkcyjnego. Zbadać (bezpośrednio z definicji), czy ciąg ten jest zbieżny jednostajnie do swojej granicy punktowej.
(2) Wyznaczyć granicę punktową tego ciągu funkcyjnego. Czy na podstawie postaci tej granicy punktowej można wnioskować o zbieżności jednostajnej?

Rozwiązanie

(1) Dla dowolnego ustalonego $x\in \mathbb{ℝ}$ mamy

$\left|\frac{\sin x}{n}\right|\le \frac{1}{n}⟶0.$

Zatem

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{ℝ}:\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{f}_n(x)=0,$

to znaczy $f_n⟶f,$ gdzie $f\equiv 0.$

Aby sprawdzić, czy funkcja $f\equiv 0$ jest granicą jednostajną, obliczamy

$\underset{x\in \mathbb{ℝ}}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=\underset{x\in \mathbb{ℝ}}{\sup }\left|\frac{\sin x}{n}\right|=\frac{1}{n}⟶0,$

zatem $f\rightrightarrows f\equiv 0$ w $\mathbb{ℝ}.$

Wykresy funkcji $f_n(x)=\frac{\sin x}{n}$ dla $n=1,2,3,...$ oraz funkcji granicznej

Plik:Am2.m04.c.r02.svg Wykresy funkcji $f_n(x)=\frac{\sin x}{n}$ dla $n=1,2,3,...$ oraz funkcji granicznej

(2) Dla dowolnego $x\in (0,1]$ mamy $1-x\in [0,1),$ zatem:

$\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{f}_n(x)=\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}(1-x{)}^n=0,$

gdyż jest to ciąg geometryczny. Dla $x=0$ mamy $1-x=1,$ zatem

$\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{f}_n(0)=\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}1=1.$

Zatem $f_n⟶f,$ gdzie

$f(x)=\{\begin{array}{lll}1& \text{dla}& x=0,\\ 0& \text{dla}& x\in (0,1].\end{array}$

Ponieważ funkcje $f_n$ są ciągłe dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ oraz ich granica punktowa $f$ nie jest funkcją ciągłą, więc $f_n\rightrightarrows ̸f$ (patrz twierdzenie 4.13.).

Wykresy funkcji $f_n(x)=(1-x{)}^n$ dla $n=1,2,3,...$ oraz funkcji granicznej

Plik:Am2.m04.c.r04.svg Wykresy funkcji $f_n(x)=(1-x{)}^n$ dla $n=1,2,3,...$ oraz funkcji granicznej

Ćwiczenie 4.2.

Zbadać zbieżność (oraz rodzaj zbieżności) ciągu funkcyjnego $f_n(x)=\frac{nx}{n^2+x^2}$ w $\mathbb{ℝ}.$

Wskazówka

Obliczyć punktową granicę $f$ ciągu funkcyjnego. W celu zbadania zbieżności jednostajnej (z definicji) wyznaczyć największą wartość funkcji $|f_n-f|$

Rozwiązanie

Dla dowolnego $x\in \mathbb{ℝ}$ mamy

$|f_n(x)|=\left|\frac{nx}{n^2+x^2}\right|\le \left|\frac{nx}{n^2}\right|=\left|\frac{x}{n}\right|\to [n\to +\mathrm{\infty }]0$

Zatem $f_n⟶f\equiv 0$

W celu zbadania, czy funkcja $f\equiv 0$ jest granicą jednostajną, należy obliczyć

$\underset{x\in \mathbb{ℝ}}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=\underset{x\in \mathbb{ℝ}}{\sup }\left|\frac{nx}{n^2+x^2}\right|$

W tym celu wyznaczmy wartość największą funkcji $|f_n|$ Zauważmy, że funkcje $f_n$ są nieparzyste. Aby wyznaczyć ekstrema, obliczamy pochodną

${f_n}^{\prime }(x)=\frac{n(n^2+x^2)-2n{x}^2}{(n^2+x^2{)}^2}=\frac{n^3-n{x}^2}{(n^2+x^2{)}^2}=\frac{n(n-x)(n+x)}{(n^2+x^2{)}^2}$

Zatem ${f_n}^{\prime }(x)=0$ dla $x=n$ oraz $x=-n$ Ponieważ $f_n(x)\ge 0\text{dla}x\ge 0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=0$ więc funkcja $f_n$ ma maksimum globalne dla $x=n$ (i ponieważ jest nieparzysta, więc ma minimum globalne dla $x=-n$). Ponadto $f_n(n)=\frac{n^2}{n^2+n^2}=\frac{1}{2}$ Zatem

$\underset{x\in \mathbb{ℝ}}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=\frac{1}{2}⟶̸0$

czyli $f_n\rightrightarrows ̸f$

Wykresy funkcji $f_n(x)=\frac{nx}{n^2+x^2}$ dla $n=1,2,3,...$

Plik:Am2.m04.c.r06.svg Wykresy funkcji $f_n(x)=\frac{nx}{n^2+x^2}$ dla $n=1,2,3,...$

Ćwiczenie 4.3.

Zbadać zbieżność (zbieżność jednostajną) szeregu funkcyjnego w podanym obszarze:
(1) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2+3n^3{x}^2},x\in [a,+\mathrm{\infty })$ (gdzie $a>0,$)
(2) $\cdot$

Wskazówka

(1)-(2) Skorzystać kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.).

Rozwiązanie

(1) Ponieważ

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}},x\in [a,+\mathrm{\infty }):\left|\frac{1}{2+3n^3{x}^2}\right|\le \frac{1}{3n^3{x}^2}\le \frac{1}{3a^2{n}^3}$

oraz szereg liczbowy $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3a^2{n}^3}=\frac{1}{3a^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}$ jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem $\alpha =3>1$; patrz Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.), więc na mocy kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.) wnioskujemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2+3n^3{x}^2}$ jest zbieżny jednostajnie w obszarze $[a,+\mathrm{\infty }).$
Odpowiedź: Szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2+3n^3{x}^2}$ jest zbieżny jednostajnie w obszarze $[a,+\mathrm{\infty }).$

(2) Ponieważ

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}},x\in \mathbb{ℝ}:\left|\frac{\cos nx}{\sqrt[3]{n^4+x^2}}\right|\le \frac{1}{\sqrt[3]{n^4+x^2}}\le \frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$

oraz szereg liczbowy $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem $\alpha =\frac{4}{3}>1$; patrz Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.), więc na mocy kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.) wnioskujemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos nx}{\sqrt[3]{n^4+x^2}}$ jest zbieżny jednostajnie w $\mathbb{ℝ}.$
Odpowiedź: Szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos nx}{\sqrt[3]{n^4+x^2}}$ jest zbieżny jednostajnie w $\mathbb{ℝ}.$

Ćwiczenie 4.4.

Zbadać obszar zbieżności szeregu funkcyjnego $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{nx}{e^{nx}}.$

Wskazówka

(1) Zastosować kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.), dla szeregu liczbowego przy ustalonym $x\in \mathbb{ℝ}.$

Rozwiązanie

(1) W celu zastosowania kryterium d'Alemberta obliczamy

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)x}{e^{(n+1)x}}\frac{e^{nx}}{nx}=\frac{n+1}{n}{e}^{-x},$

zatem

$\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{n+1}{n}{e}^{-x}=e^{-x}.$

Gdy $e^{-x}<1,$ czyli $x>0,$ to szereg na mocy kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.) jest zbieżny.

Gdy $e^{-x}>1,$ czyli $x<0,$ to szereg na mocy kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.) jest rozbieżny.

Pozostaje do sprawdzenia przypadek $x=0.$ Wówczas otrzymujemy szereg zerowy $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}0,$ który jest zbieżny.
Odpowiedź: Obszarem zbieżności szeregu $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{nx}{e^{nx}}$ jest przedział $[0,+\mathrm{\infty }).$

Ćwiczenie 4.5.

Zbadać obszar zbieżności szeregu funkcyjnego $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+x^n}.$

Wskazówka

Rozważyć osobno przypadki: $|x|>1,|x|<1,x=1$ i $x=-1.$ Skorzystać z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) oraz sprawdzić warunek konieczny zbieżności szeregów.

Rozwiązanie

Dla $|x|>1$ mamy

$|1+x^n|>|x{|}^n-1>|x{|}^n-\frac{|x{|}^n}{2}=\frac{|x{|}^n}{2},$

zatem

$\left|\frac{1}{1+x^n}\right|<\frac{2}{|x{|}^n}.$

Ponieważ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{|x{|}^n}=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|x{|}^n}$ jest szeregiem geometrycznym zbieżnym (gdyż $|x|>1$), zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.), szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+x^n}$ jest w tym przypadku zbieżny.

Dla $|x|<1$ mamy

$\frac{1}{1+x^n}>\frac{1}{1-|x|},$

a zatem szereg liczbowy nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów. Więc w tym przypadku szereg jest rozbieżny.

Dla $x=-1$ szereg nie jest określony.

Dla $x=1$ mamy szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2},$ który jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów.
Odpowiedź: Obszarem zbieżności szeregu jest $\mathbb{ℝ}\setminus [-1,1].$

Ćwiczenie 4.6.

Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje:
(1) $f(x)=x^3+5x^2+13x+1$
(2) $f(x)={\sin }^{2}x$

Wskazówka

(1) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $f$ w $0.$
(2) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $f$ w $0$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $f^{(n)}(0).$

Rozwiązanie

(1) Liczymy kolejne pochodne funkcji $f$ oraz pochodne dla $x_0=0$:

$\begin{array}{rlrl}f(x)& =x^3+5x^2+13x+1,& f(0)& =1,\\ f^{\prime }(x)& =3x^2+10x+13,& f^{\prime }(0)& =13,\\ f^{″}(x)& =6x+10,& f^{″}(0)& =10,\\ f^{‴}(x)& =6,& f^{‴}(0)& =6,\\ f^{(n)}(x)& =0,& f^{(n)}(0)& =0\text{dla}n\ge 4.\end{array}$

Podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina, mamy

$\begin{array}{rl}S(x)& =f(0)+\frac{1}{1!}{f}^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{″}(0)x^2+\frac{1}{3!}{f}^{‴}(0)x^3+\frac{1}{4!}{f}^{(4)}(0)x^4+\dots \\ & =1+13x+\frac{10}{2}{x}^2+\frac{6}{6}{x}^3=1+13x+5x^2+x^3.\end{array}$

Zauważmy, że otrzymany szereg Maclaurina jest skończony oraz jest równy wyjściowemu wielomianowi, to znaczy $S(x)=f(x)$ dla każdego $x\in \mathbb{ℝ}.$ Nie jest to przypadek, jak zobaczymy na następnym wykładzie.

(2) Liczymy kolejne pochodne funkcji $f$:

$\begin{array}{rl}f(x)& ={\sin }^{2}x,\\ f^{\prime }(x)& =2\sin x\cos x=\sin 2x,\\ f^{″}(x)& =2\cos 2x,\\ f^{‴}(x)& =-4\sin 2x,\\ f^{(4)}(x)& =-8\cos 2x,\\ f^{(5)}(x)& =16\sin 2x,\end{array}$

oraz ogólnie dla $n\ge 1$ mamy

$f^{(n)}(x)=\{\begin{array}{lll}-2^{n-1}\cos 2x& \text{dla}& n=4k,\\ 2^{n-1}\sin 2x& \text{dla}& n=4k+1,\\ 2^{n-1}\cos 2x& \text{dla}& n=4k+2,\\ -2^{n-1}\sin 2x& \text{dla}& n=4k+3,\\ \end{array}$
$f^{(n)}(0)=\{\begin{array}{lll}-2^{n-1}& \text{dla}& n=4k,\\ 0& \text{dla}& n=4k+1,\\ 2^{n-1}& \text{dla}& n=4k+2,\\ 0& \text{dla}& n=4k+3,\\ \end{array}$

lub krócej

$f^{(n)}(0)=\{\begin{array}{lll}(-1{)}^{k+1}{2}^{2k-1}& \text{dla}& n=2k\\ 0& \text{dla}& n=2k+1.\\ \end{array}$

Zatem szereg Maclaurina jest postaci

$S(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}}{n!}{x}^n=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{2}^{2k-1}}{(2k)!}{x}^{2k}.$

Można dodatkowo sprawdzić, że obszarem zbieżności tego szeregu jest $\mathbb{ℝ}.$ Na kolejnym wykładzie dowiemy się, że sumą tego szeregu jest wyjściowa funkcja $f(x)={\sin }^{2}x.$

Ćwiczenie 4.7.

Rozwinąć funkcję $f(x)=\frac{1}{1-x}$ w szereg Maclaurina.

Wskazówka

Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $f$ w $0$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $f^{(n)}(0).$

Rozwiązanie

Liczymy kolejne pochodne funkcji $f$ oraz pochodne dla $x_0=0$:

$\begin{array}{cclc}f(x)& =\frac{1}{1-x},& f(0)& =1,\\ \\ f^{\prime }(x)& =\frac{1}{(1-x{)}^2},& f^{\prime }(0)& =1!,\\ \\ f^{″}(x)& =\frac{1\cdot 2}{(1-x{)}^3},& f^{″}(0)& =2!,\\ \\ f^{‴}(x)& =\frac{1\cdot 2\cdot 3}{(1-x{)}^4},& f^{‴}(0)& =3!,\\ \\ f^{(n)}(x)& =\frac{1\cdot 2\cdot \dots \cdot n}{(1-x{)}^n},& f^{(n)}(0)& =n!\text{dla}n\ge 1.\end{array}$

Podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina, mamy

$\begin{array}{rl}S(x)& =f(0)+\frac{1}{1!}{f}^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{″}(0)x^2+\frac{1}{3!}{f}^{‴}(0)x^3+\frac{1}{4!}{f}^{(4)}(0)x^4+\dots \\ & =1+x+x^2+x^3+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n.\end{array}$

Zauważmy, że otrzymany szereg Maclaurina jest szeregiem geometrycznym (dla każdego $x\in \mathbb{ℝ}$) oraz jego obszarem zbieżności jest przedział $(-1,1).$ Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, widzimy także, że $S(x)=f(x)$ dla $x\in (-1,1)$

Ćwiczenie 4.8.

Rozwinąć następujące funkcje w szereg Taylora o środku w punkcie $x_0$:
(1) $f(x)=x^3+5x^2+13x+1,x_0=1,$
(2) $f(x)=\frac{1}{x},x_0=3.$

Wskazówka

(1)-(2) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $f$ w punkcie $x_0$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $f^{(n)}(0).$

Rozwiązanie

(1) Liczymy kolejne pochodne funkcji $f$ oraz pochodne dla $x_0=1$:

$\begin{array}{rlrl}f(x)& =x^3+5x^2+13x+1,& f(1)& =20,\\ f^{\prime }(x)& =3x^2+10x+13,& f^{\prime }(1)& =26,\\ f^{″}(x)& =6x+10,& f^{″}(1)& =16,\\ f^{‴}(x)& =6,& f^{‴}(1)& =6,\\ f^{(n)}(x)& =0,& f^{(n)}(1)& =0\text{dla}n\ge 4.\end{array}$

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

$\begin{array}{rl}S(x)& =f(0)+\frac{1}{1!}{f}^{\prime }(0)(x-1)+\frac{1}{2!}{f}^{″}(0)(x-1{)}^2+\frac{1}{3!}{f}^{‴}(0)(x-1{)}^3+\frac{1}{4!}{f}^{(4)}(0)(x-1{)}^4+\dots \\ & =20+26(x-1)+\frac{16}{2}(x-1{)}^2+\frac{6}{6}(x-1{)}^3\\ & =20+26(x-1)+8(x-1{)}^2+(x-1{)}^3.\end{array}$

Zauważmy, że otrzymany szereg Taylora jest skończony (czyli jest wielomianem), więc jego obszarem zbieżności jest $\mathbb{ℝ}.$ Oczywiście, gdybyśmy wykonali działania w powyższym wielomianie, to otrzymalibyśmy postać w jakiej podana była funkcja $f,$ zatem $S(x)=f(x)$ dla $x\in \mathbb{ℝ}.$

(2) Liczymy kolejne pochodne funkcji $f$ oraz pochodne dla $x_0=3$:

$\begin{array}{cclc}f(x)& =\frac{1}{x},& f^{\prime }(3)& =\frac{1}{3^1}=\frac{0!}{3^1},\\ \\ f^{\prime }(x)& =\frac{-1}{x^2},& f^{″}(3)& =\frac{-1}{3^2}=\frac{-1!}{3^2},\\ \\ f^{″}(x)& =\frac{1\cdot 2}{x^3},& f^{‴}(3)& =\frac{2!}{3^3},\\ \\ f^{‴}(x)& =\frac{-1\cdot 2\cdot 3}{x^4},& f^{(4)}(3)& =\frac{-3!}{3^4},\\ \\ f^{(n)}(x)& =\frac{(-1{)}^{n}n!}{x^{n+1}},& f^{(n)}(3)& =\frac{(-1{)}^{n}n!}{3^{n+1}}\text{dla}n\ge 0.\end{array}$

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

$\begin{array}{rl}S(x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(3)}{n!}(x-3{)}^n\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}n!}{3^{n+1}n!}(x-3{)}^n\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(x-3{)}^n}{3^{n+1}}\end{array}$

Łatwo sprawdzić, że obszarem zbieżności powyższego szeregu jest przedział $(0,6).$

Ćwiczenie 4.9.

Rozwinąć funkcję $f(x)=\ln x$ w szereg Taylora o środku w punkcie $x_0=1.$

Wskazówka

Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $f$ w punkcie $x_0$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $f^{(n)}(0).$

Rozwiązanie

Liczymy kolejne pochodne funkcji $f$ oraz pochodne dla $x_0=1$:

$\begin{array}{cclc}f(x)& =\ln x,& f(1)& =0,\\ \\ f^{\prime }(x)& =\frac{1}{x},& f^{\prime }(1)& =1=0!,\\ \\ f^{″}(x)& =\frac{-1}{x^2},& f^{″}(1)& =-1=-1!,\\ \\ f^{‴}(x)& =\frac{1\cdot 2}{x^3},& f^{‴}(1)& =2!,\\ \\ f^{(4)}(x)& =\frac{-1\cdot 2\cdot 3}{x^4},& f^{(4)}(1)& =-3!,\\ \\ f^{(n)}(x)& =\frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{x^n},& f^{(n)}(1)& =(-1{)}^{n-1}(n-1)!\text{dla}n\ge 1.\end{array}$

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

$\begin{array}{rl}S(x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1{)}^n\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{n!}(x-1{)}^n\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{(x-1{)}^n}{n}\end{array}$

Łatwo sprawdzić, że obszarem zbieżności powyższego szeregu jest przedział $(0,2].$