Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności

Niniejszy wykład jest kontynuacją poprzedniego wykładu dotyczącego szeregów liczbowych. Poznajemy tu dalsze kryteria zbieżności szeregów: d'Alemberta, Cauchy'ego, Leibniza, Dirichleta oraz asymptotyczne. Na zakończenie pokazujemy, że liczna jest sumą pewnego szeregu.

Na poprzednim wykładzie zostało wprowadzone pojęcie szeregu (patrz definicja 6.1.). Podany został warunek konieczny zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 6.3.) oraz kryterium porównawcze zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 6.9.). Poniżej podane zostaną inne ważne kryteria (czyli warunki wystarczające) zbieżności szeregów.

Kryteria zbieżności szeregów pozwalają, badając zachowanie się wyrazów szeregu , wnioskować o zbieżności (lub rozbieżności) ciągu sum częściowych (czyli zbieżności szeregu).

Szeregi o wyrazach nieujemnych

Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783)
Zobacz biografię

Twierdzenie 7.1. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]

Jeśli jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy dla ), to
(1) szereg  jest zbieżny
(2) szereg  jest rozbieżny

Dowód 7.1.

(Ad (1)) Warunek dla oznacza, że

Zatem dla mamy

Oznaczając mamy

zatem wyrazy szeregu są oszacowane (od pewnego miejsca) przez wyrazy szeregu geometrycznego który jest zbieżny

(gdyż ). Korzystając z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) wnioskujemy, że szereg jest zbieżny.

(Ad (2)) Z założenia wiemy, że istnieje takie, że

Wówczas dla dowolnego mamy

czyli

Zatem oczywiście i stąd szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów (patrz twierdzenie 6.3.), czyli jest rozbieżny.

End of proof.gif

Z powyższego kryterium można wywnioskować jego wersję słabszą, ale częściej używaną w zastosowaniach. Mówi ona, że dla szeregów o wyrazach dodatnich, jeśli granica ciągu ilorazów kolejnych wyrazów szeregu istnieje i jest różna od jeden, to potrafimy rozstrzygnąć, czy szereg jest zbieżny. Dowód tego wniosku oparty na twierdzeniu 7.1. pozostawiamy jako proste (choć nadobowiązkowe) ćwiczenie.

Wniosek 7.2. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]

Przy powyższych założeniach:
(1) Jeśli to szereg jest zbieżny.

(2) Jeśli to szereg jest rozbieżny.

(3) Jeśli to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny.

Przykład 7.3.

Zbadać zbieżność szeregów:
(1)

(2)

(3)

(4)

Rozwiązanie

Kolejne kryterium zbieżności szeregów bada zachowanie się ciągu -tych pierwiastków z kolejnych wyrazów

Twierdzenie 7.4. [Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię
Jeśli

jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy dla ), to
(1) szereg   jest zbieżny

(2)  dla nieskończenie wielu  szereg   jest rozbieżny

Dowód 7.4.

(Ad (1)) Załóżmy, że dla czyli

Zatem wyrazy szeregu są oszacowane (od pewnego miejsca) przez wyrazy szeregu geometrycznego który jest zbieżny (bo ). Zatem z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.), wynika, że szereg jest zbieżny.
(Ad (2)) Jeśli dla nieskończenie wielu to także

dla nieskończenie wielu

zatem czyli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregów.

End of proof.gif

Podobnie jak w przypadku kryterium d'Alemberta, tak i w przypadku kryterium Cauchy'ego podamy słabszą, ale bardziej praktyczną wersję tego kryterium. Mówi ona, że istnienie granicy pierwiastków -tego stopnia z kolejnych wyrazów szeregu różnej od rozstrzyga o zbieżności tego szeregu.

Wniosek 7.5. [Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]

Przy powyższych założeniach:
(1) Jeśli to szereg jest zbieżny.

(2) Jeśli to szereg jest rozbieżny.

(3) Jeśli to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny.

Przykład 7.6.

Zbadać zbieżność szeregów:
(1)
(2)

(3)

Rozwiązanie

Zachodzi pewien związek między kryteriami Cauchy'ego i d'Alemberta. Będzie on wynikał z następującego lematu (który pozostawiamy tu bez dowodu).

Lemat 7.7.

Jeśli jest ciągiem o wyrazach dodatnich, to

<flashwrap>file=AM1.M07.W.R01.swf|width=375|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Wykres ciągu

Wniosek 7.8.

(1) Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze od kryterium d'Alemberta, to znaczy, jeśli kryterium d'Alemberta rozstrzyga o zbieżności szeregu, to kryterium Cauchy'ego także rozstrzyga. Jeszcze inaczej można powiedzieć, że klasa szeregów do której stosuje się kryterium Cauchy'ego, zawiera w sobie klasę szeregów, do których stosuje się kryterium d'Alemberta. Prosty dowód oparty na powyższym lemacie pozostawiamy jako ćwiczenie.
(2) Klasa szeregów, dla których stosuje się kryterium Cauchy'ego, jest istotnie większa od klasy szeregów, dla których stosuje się kryterium d'Alemberta. Aby to zobaczyć, rozważmy szereg




Ponieważ




zatem kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy ten szereg jest zbieżny.
Z kolei

zatem z kryterium Cauchy'ego wnioskujemy, że szereg jest zbieżny.

Lemat 7.7. można wykorzystać do obliczania granic pewnych ciągów.

Przykład 7.9.

Obliczyć granicę ciągu gdzie

Rozwiązanie

Kolejne kryterium, zwane kryterium asymptotycznym (ilorazowym lub limesowym), jest odmianą kryterium porównawczego i mówi, że jeśli granica ciągu ilorazów wyrazów dwóch szeregów istnieje i jest liczbą dodatnią, to oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.

Twierdzenie 7.10. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]

Jeśli i są szeregami; oraz to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny.

Dowód 7.10.

Ustalmy dowolne Ponieważ więc z definicji granicy

czyli

Stosując kryterium porównawcze (patrz twierdzenie 6.9.), z pierwszej nierówności powyżej, wnioskujemy, że zbieżność szeregu implikuje zbieżność szeregu a z drugiej nierówności powyżej wnioskujemy, że zbieżność szeregu implikuje zbieżność szeregu

End of proof.gif

Przykład 7.11.

Zbadać zbieżność szeregu

Rozwiązanie

Szeregi o wyrazach znakozmiennych

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)
Zobacz biografię

W tym rozdziale podamy dwa kryteria dotyczące szeregów, których wyrazy zmieniają znak.

Twierdzenie 7.12. [Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów]

Jeśli jest szeregiem, którego ciąg sum częściowych jest ograniczony, jest ciągiem malejącym (słabo) oraz zbieżnym do zera (to znaczy ), to szereg jest zbieżny.

Dowód 7.12.

Oznaczmy przez ciąg sum częściowych szeregu to znaczy

Z założenia wiemy, że ciąg jest ograniczony, to znaczy

Ustalmy dowolne Ponieważ więc

Dla mamy

Zatem

Zatem pokazaliśmy, że szereg spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny (patrz twierdzenie 6.7.).

End of proof.gif

Szczególną wersją powyższego kryterium jest następujące kryterium Leibniza dotyczące szeregów naprzemiennych.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Zobacz biografię

Wniosek 7.13. [Kryterium Leibniza zbieżności szeregów]

Jeśli jest ciągiem malejącym (słabo) oraz zbieżnym do zera (to znaczy ), to szereg jest zbieżny.

Dowód 7.13.

Wystarczy przyjąć Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest postaci

a więc jest ograniczony, zatem możemy zastosować kryterium Dirichleta i wywnioskować, że szereg jest zbieżny.

End of proof.gif

Przykład 7.14.

Następujący szereg zwany szeregiem anharmonicznym:

jest zbieżny. Jest to natychmiastowa konsekwencja kryterium Leibniza.

Założenie, że zbieżność ciągu do zera jest monotoniczna (w kryteriach Dirichleta i Leibniza) jest istotne. Pokazuje to poniższy przykład.

Przykład 7.15.

Zbadać zbieżność szeregu

Rozwiązanie

Liczba e

Przypomnijmy, że liczba była zdefiniowana jako granica pewnego ciągu (patrz twierdzenie 5.1.). Okazuje się, że liczbę tę można także otrzymać jako sumę pewnego szeregu liczbowego. Dzięki tej własności będziemy także mogli wykazać niewymierność liczby

Twierdzenie 7.16. [O liczbie ]

(1) Szereg jest zbieżny oraz ;
(2)

Dowód 7.16.

(Ad (1)) Przypomnijmy, że

Niech

to znaczy jest ciągiem sum częściowych szeregu Ze wzoru dwumianowego Newtona (patrz twierdzenie 1.40.), dla dowolnego dostajemy

Zatem

Ustalmy dowolne Wówczas dla dowolnego mamy

Przechodząc do granicy z po obu stronach powyższej nierówności, otrzymujemy:

Powyższa nierówność jest prawdziwa dla dowolnego zatem możemy przejść do granicy z i dostajemy

Zatem ostatecznie dostajemy

co należało dowieść.
(Ad (2)) Oczywiście jest ciągiem rosnącym zbieżnym do zatem

Z pierwszej części dowodu wynika, że

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że tzn. gdzie oraz Z powyższego oszacowania wynika w szczególności, że

Niech Wówczas

Ale z definicji mamy czyli sprzeczność.

End of proof.gif