Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 10: Wielowymiarowa całka Riemanna

Wielowymiarowa całka Riemanna

Ćwiczenie 10.1.

Policzyć z definicji następującą całkę

$\underset{K}{\iint }xydxdy,$

gdzie $K=[0,1]\times [0,1]$.

Wskazówka

Podzielić $K$ na równe kwadraty (o boku $\frac{1}{n}$) i utworzyć sumę całkową. Zobaczyć do czego zmierza ta suma, gdy $n\to \mathrm{\infty }$.

Rozwiązanie

Plik:AM2.M10.C.R01.svg

Podział kostki w ${\mathbb{ℝ}}^2$

Skoro funkcja $f(x,y)=xy$ jest ciągła na kostce $K,$ to całka Riemanna z tej funkcji istnieje. W takim razie wystarczy wziąć jakikolwiek normalny ciąg podziałów $P_n,n\in \mathbb{\mathbb{N}},$ utworzyć sumę całkową i znaleźć jej granicę przy $n\to \mathrm{\infty }$.

Weźmy następujący podział $P_n$ kostki $K$. Podzielmy każdy z odcinków $[0,1]$ na $n$ równych części. Każda z nich będzie miała długość $\frac{1}{n}$. Biorąc iloczyn kartezjański tych małych odcinków, dostajemy podział $P_n$ kwadratu $K$ na kwadraty $K_{ij},i,j=1,\dots ,n$ o boku $\frac{1}{n},$ a zatem o objętości $v(K_{ij})=\frac{1}{n^2}:$

$K_{ij}=[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}]\times [\frac{j}{n},\frac{j+1}{n}].$

Oczywiście $P_n$ jest normalnym ciągiem podziałów.

Jako punkty pośrednie w kwadratach (kostkach) $K_{ij}$ weźmy lewe dolne rogi tych kwadratów, czyli punkty $p_{ij}$ o współrzędnych $p_{ij}:=(\frac{i}{n},\frac{j}{n})$. Wartość funkcji $f(x,y)=xy$ w punktach $p_{ij},i,j=1,\dots ,n$ jest równa zatem $\frac{ij}{n^2}$.

Utwórzmy $n$-tą sumę całkową:

$S(f,P_n,p_{11},p_{12},\dots ,p_{nn})=\sum _{i,j=1}^{n}f(p_{ij})v(K_{ij})=\sum _{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot \frac{1}{n^2}.$

Musimy policzyć granicę tej ostatniej sumy przy $n\to \mathrm{\infty }$. Otóż

$\sum _{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot \frac{1}{n^2}=\frac{1}{n^4}\sum _{i,j=1}^{n}ij.$

Teraz wystarczy zauważyć, że

$\sum _{i,j=1}^{n}ij=1\sum _{i,j=1}^{n}j+2\sum _{i,j=1}^{n}j+\dots +n\sum _{i,j=1}^{n}j=(1+2+\dots +n)\sum _{i,j=1}^{n}j={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2,$

bo $\sum _{i,j=1}^{n}j=\frac{n(n+1)}{2}$. A zatem

$\sum _{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot \frac{1}{n^2}=\frac{1}{n^4}{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }\frac{1}{4}.$

Tak więc dla $K=[0,1]\times [0,1],$

$\underset{K}{\iint }xydxdy=\frac{1}{4}.$

Ćwiczenie 10.2.

Policzyć z definicji całkę

$\underset{K}{\iiint }xdxdydz,$

gdzie $K=[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$.

Wskazówka

Podzielić $K$ na równe sześciany (o boku $\frac{1}{n}$) i utworzyć sumę całkową. Zobaczyć do czego zmierza ta suma, gdy $n\to \mathrm{\infty }$.

Rozwiązanie

Analogicznie jak w poprzednim zadaniu widzimy, że funkcja $f(x,y,z)=x$ jest ciągła (i ograniczona na $K$), a zatem jest całkowalna w sensie Riemanna.

Utwórzmy zatem ciąg $P_n$ podziałów kostki $K$ na kostki $K_{ijt},i,j,t=1,\dots n$ określone jako

$K_{ijt}=[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}]\times [\frac{j}{n},\frac{j+1}{n}]\times [\frac{t}{n},\frac{t+1}{n}].$

Objętość takiej kostki wynosi $v(K_{ijt})=\frac{1}{n^3}$.

Jako punkty pośrednie weźmy

$p_{ijt}=(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{t}{n}).$

Wartość $f$ w punkcie pośrednim wynosi $f(p_{ijt})=f(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{t}{n})=\frac{i}{n}$.

Utwórzmy sumę całkową

$S(f,P_n,p_{111},p_{112},\dots ,p_{nnn})=\sum _{i,j,t=1}^{n}f(p_{ijt})v(K_{ijt})=\sum _{i,j,t=1}^n\frac{i}{n}\frac{1}{n^3}=\frac{1}{n^4}\sum _{i,j,t=1}^{n}i.$

Teraz wystarczy zauważyć, że $\sum _{i,j,t=1}^{n}i=n^2\sum {i=1}^{n}i=n^2\frac{n(n+1)}{2}$. Zatem

$S(f,P_n,p_{111},p_{112},\dots ,p_{nnn})=\frac{1}{n^4}{n}^2\frac{n(n+1)}{2}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\frac{1}{2}.$

Ćwiczenie 10.3.

Policzyć całkę

$\underset{K}{\iiint }(x+y)dxdydz,$

gdzie $K=[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$.

Wskazówka

Należy skorzystać z liniowości całki (patrz stwierdzenie 10.8.) i z ćwiczenia 10.2.

Rozwiązanie

Z liniowości całki mamy

$\underset{K}{\iiint }(x+y)dxdydz=\underset{K}{\iiint }xdxdydz+\underset{K}{\iiint }ydxdydz.$

Całkę $\underset{K}{\iiint }xdxdydz$ policzyliśmy w ćwiczeniu 10.2. Po dokładnie takich samych obliczeniach dostajemy też $\underset{K}{\iiint }ydxdydz=\frac{1}{2}$. A zatem

$\underset{K}{\iiint }(x+y)dxdydz=1.$

Ćwiczenie 10.4.

Wykazać, że zbiór $B\subset {\mathbb{ℝ}}^N$ o objętości zero jest zbiorem miary zero.

Wskazówka

Punkty też są kostkami.

Rozwiązanie

Niech dane będzie $\epsilon >0$. Szukamy kostek $K_1,K_2,\dots$ takich, że

$B\subset K_1\cup K_2\cup \dots =\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_j$

oraz

$\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}v(K_j)\le \epsilon .$

Wiemy, że zbiór $B$ ma objętość zero, czyli istnieją kostki $K_1,\dots ,K_s$ takie, że

$B\subset K_1\cup \dots \cup K_s$

oraz

$\sum _{j=1}^{s}v(K_j)\le \epsilon .$

Zauważmy, że jeden punkt $Q=(q_1,\dots ,q_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ możemy traktować jako kostkę $[q_1,q_1]\times \dots \times [q_N,q_N]$ o objętości oczywiście zero. Wystarczy teraz zdefiniować

$K_{s+1}=K_{s+2}=\dots =Q.$

Wtedy

$B\subset K_1\cup \dots \cup K_s\subset K_1\cup \dots \cup K_s\cup K_{s+1}\cup K_{s+2}\cup \dots$

oraz

$\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}v(K_j)=\sum _{j=1}^{s}v(K_j)+0+0+\dots \le \epsilon .$

Ćwiczenie 10.5.

Wykazać, że odcinek $T\subset {\mathbb{ℝ}}^2$ ma objętość zero.

Wskazówka

Odcinek można zmieścić w jednej kostce.

Rozwiązanie

Możemy tak dobrać układ współrzędnych w ${\mathbb{ℝ}}^2,$ że nasz odcinek $T$ jest odcinkiem osi $Oy,$ to znaczy $T=\{(0,y):y\in [0,a]\}$. Weźmy dowolne $\epsilon >0$. Odcinek $T$ zawiera się w kostce $[\frac{-\epsilon }{2a},\frac{\epsilon }{2a}]\times [0,a]$. Objętość (pole) tej kostki wynosi $\epsilon ,$ a zatem $T$ ma objętość zero.

Ćwiczenie 10.6.

(Zadanie nadobowiązkowe.)
Wykazać, że suma przeliczalnej ilości zbiorów miary zero jest zbiorem miary zero.

Wskazówka

Dla każdego ze zbiorów $B_j,j\in \mathbb{\mathbb{N}}$ miary zero, znaleźć pokrycie kostkami o łącznej objętości co najwyżej $\frac{\epsilon }{2^j}$.

Rozwiązanie

Weźmy zbiór $B$ będący przeliczalną sumą zbiorów miary zero, czyli

$B=\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_j$

oraz $m(B_j)=0,j=1,2,3,\dots$ Weźmy $\epsilon >0$. Ponieważ zbiór $B_j$ jest miary zero, istnieje przeliczalna ilość kostek $K_1^j,K_2^j,\dots$ takich, że

$B_j\subset \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_i^j$

oraz

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}v(K_i^j)\le \frac{\epsilon }{2^j}.$

Weźmy teraz wszystkie kostki $\{K_i^j,i,j\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$. Ten zbiór jest przeliczalny (bo dla każdego $j$ mamy przeliczalną ilość kostek $K_i^j,i\in \mathbb{\mathbb{N}},$ a suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym), zatem możemy te wszystkie kostki ustawić w ciąg, powiedzmy $(K_1^1,K_1^2,K_2^1,K_1^3,K_2^2,K_3^1,\dots )$. Mamy zatem:

$B\subseteq \bigcup _{i,j=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_i^j$

oraz

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}v(K_i^j)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}v(K_i^j))\le \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\epsilon }{2^j}=\epsilon .$

A zatem dla dowolnego $\epsilon >0$ zbiór $B$ zawarliśmy w przeliczalnej sumie kostek o łącznej objętości co najwyżej $\epsilon$. To kończy zadanie.

Ćwiczenie 10.7.

Wykazać, że prosta w ${\mathbb{ℝ}}^2$ ma miarę zero.

Wskazówka

Wykorzystać ćwiczenie 10.5 i ćwiczenia 10.6.

Rozwiązanie

Dobierzmy układ współrzędnych tak, by nasza prosta była osią układu, na przykład osią $Ox$. Możemy ją przedstawić jako przeliczalną sumę odcinków, $[0,1]\cup [1,2]\cup [-1,0]\cup [2,3]\cup [-2,-1]\cup \dots$ W zadaniu 10.4 udowodniliśmy, że odcinki w ${\mathbb{ℝ}}^2$ mają miarę zero, w ćwiczenia 10.6 pokazaliśmy, że suma przeliczalnej ilości zbiorów miary zero jest zbiorem miary zero, a zatem prosta w ${\mathbb{ℝ}}^2$ ma miarę zero.

Uwaga. To zadanie można zrobić, nie korzystając z ćwiczenia 10.6. Podzielmy prostą na odcinki, tak jak wyżej. Utwórzmy sumę kostek:

$([0,1]\times [\frac{-\epsilon }{2^2},\frac{\epsilon }{2^2}])\cup ([1,2]\times [\frac{-\epsilon }{2^3},\frac{\epsilon }{2^3}])\cup ([-1,0]\times [\frac{-\epsilon }{2^4},\frac{\epsilon }{2^4}])\cup ([2,3]\times [\frac{-\epsilon }{2^5},\frac{\epsilon }{2^5}])\cup ([-2,-1]\times [\frac{-\epsilon }{2^6},\frac{\epsilon }{2^6}])\cup \dots$

Oczywiście prosta zawiera się w sumie tych kostek, a suma objętości tych kostek wynosi

$\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2^2}+\frac{\epsilon }{2^3}+\frac{\epsilon }{2^4}+\frac{\epsilon }{2^5}+\frac{\epsilon }{2^6}+\dots =\epsilon .$

Ćwiczenie 10.8.

Wykazać, że ściana kostki $K$ w ${\mathbb{ℝ}}^N$ ma miarę zero.

Wskazówka

Można zacząć od dowodu, że odcinek ma miarę zero w ${\mathbb{ℝ}}^2,$ a prostokąt ma miarę zero w ${\mathbb{ℝ}}^3$.

Rozwiązanie

Niech $K=[a_1,b_1]\times \dots \times [a_N,b_N]$. Ściany kostki to zbiory postaci

$\begin{array}{rlrlr}\{a_1\}\times [a_2,b_2]\times \dots \times [a_N,b_N],& & \{b_1\}\times [a_2,b_2]\times \dots \times [a_N,b_N],\dots [a_1,b_2]\times [a_2,b_2]\times \dots \times \{a_N\},& & [a_1,b_2]\times [a_2,b_2]\times \dots \times \{b_N\}.\end{array}$

Wykażemy na przykład, że $K_1=\{a_1\}\times [a_2,b_2]\times \dots \times [a_N,b_N]$ ma miarę zero. Weźmy dowolne $\epsilon >0$. Wystarczy zauważyć, że $K_1$ zawiera się w kostce

$[a_1-\frac{\epsilon }{2(b_2-a_2)(b_3-a_3)\dots (b_N-a_N)},a_1+\frac{\epsilon }{2(b_2-a_2)(b_3-a_3)\dots (b_N-a_N)}]\times [a_2,b_2]\times \dots \times [a_N,b_N]$

o objętości dokładnie $\epsilon$.

Ćwiczenie 10.9.

Znaleźć przykład funkcji na odcinku $[0,1],$ która jest różna od funkcji ciągłej na zbiorze miary zero, ale która nie jest ciągła w żadnym punkcie.

Wskazówka

Jaka znana funkcja nie jest ciągła w żadnym punkcie?

Rozwiązanie

Jako funkcję ciągłą na odcinku $[0,1]$ weźmy funkcję stale równą zero, to znaczy $f(x)=0$ dla $x\in [0,1]$.

Zauważmy, że zbiór $B=[0,1]\cap \mathbb{\mathbb{Q}}$ jest zbiorem miary zero (bo jest sumą przeliczalnej ilości punktów, które mają objętość zero, a więc i miarę zero; zobacz wykład i Zadanie 10.5).

Określmy funkcję

$g(x)=\{\begin{array}{lll}0& \text{gdy}& x\in [0,1]\setminus \mathbb{\mathbb{Q}},\\ 1& \text{gdy}& x\in [0,1]\cap \mathbb{\mathbb{Q}}.\end{array}$

To jest znana z wykładu Analizy Matematycznej 1, funkcja Dirichleta (patrz Analiza matematyczna 1 przykład 14.9.). Wiemy, że nie jest ona ciągła w żadnym punkcie przedziału $[0,1],$ a różni się od funkcji ciągłej $f$ tylko na zbiorze miary zero.