Analiza matematyczna 1/Wykład 14: Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
Zobacz biografię

W tym wykładzie wprowadzamy pojęcie całki Riemanna dla funkcji jednej zmiennej. Omawiamy całkowalność w sensie Riemanna i podajemy szereg własności całki Riemanna. Dowodzimy twierdzenia całkowego o wartości średniej oraz ciągłości całki jako górnej granicy całkowania. Wykazujemy podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego oraz wzory na całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie. Na koniec definiujemy całki niewłaściwe oraz podajemy kryterium całkowe zbieżności szeregów.

W praktyce spotykamy się niejednokrotnie (choć najczęściej nieświadomie) z całką Riemanna. Wyobraźmy sobie, że jedziemy samochodem; co minutę spoglądamy na wskazania szybkościomierza i zapamiętujemy naszą prędkość. Każdy potrafi obliczyć, że jeśli jechaliśmy minut, z czego pierwsze ze zmierzoną prędkością km/h (km/min), a drugie minut z prędkością km/h (km/min), to przebyliśmy drogę km, czyli km. (Właśnie policzyliśmy sumę całkową!). Skoro pomiarów prędkości dokonujemy co minutę, to oczywiście przebytą drogę policzyliśmy tylko w przybliżeniu. Widać jednak, że im częściej będziemy dokonywać pomiaru prędkości, tym dokładniej nasza suma będzie przybliżała się do rzeczywiście przebytej drogi. Obliczając granicę, do której dążą nasze sumy, gdy coraz bardziej skracamy czas między pomiarami, dostaniemy w końcu dokładną długość przebytej drogi. (Teraz właśnie policzyliśmy całkę Riemanna!).

Plik:AM1.M14.W.R01.svg
Wykres prędkości

Obejrzyjmy teraz wykres na rysunku obok.

Na tym rysunku przedstawiony jest wykres prędkości naszego samochodu w zależności od czasu. Nasza pierwsza suma to czyli suma pól prostokątów zaznaczonych na rysunku. Intuicyjnie jest oczywiste, że gdy będziemy zmniejszać długości odcinków na osi , sumy pól prostokątów będą coraz lepiej przybliżać pole powierzchni pod wykresem. W ten sposób odkryliśmy geometryczną interpretację całki Riemanna - jako pola pod wykresem funkcji.

Przejdziemy teraz do formalnego wprowadzenia tego pojęcia.

Definicja 14.1.

Niech będzie przedziałem. Wówczas

nazywamy podziałem przedziału .
Liczbę

nazywamy średnicą podziału Wprowadzamy oznaczenie dla

Ciąg podziałów nazywamy normalnym, jeśli


Definicja 14.2.

Niech będzie funkcją oraz niech

będzie podziałem przedziału Liczbę

gdzie

nazywamy sumą dolną całkową (Darboux).


<flashwrap>file=AM1.M14.W.R05.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Suma dolna całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R06.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Suma dolna całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R07.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Suma dolna całkowa

Liczbę

gdzie

nazywamy sumą górną całkową (Darboux).


<flashwrap>file=AM1.M14.W.R02.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Suma górna całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R03.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Suma górna całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R04.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Suma górna całkowa


Liczbę

dla

nazywamy sumą całkową funkcji dla podziału wyznaczoną przez punkty pośrednie

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R08.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Suma całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R09.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Suma całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R10.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Suma całkowa


<flashwrap>file=AM1.M14.W.R11.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Suma całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R12.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Suma całkowa


Wprost z definicji wynika następująca uwaga.

Uwaga 14.3.

Jeśli jest funkcją oraz jest podziałem przedziałem to
(1) dla dowolnych punktów pośrednich ;

(2) ;

(3)

Definicja 14.4.

Niech będzie funkcją ograniczoną (to znaczy ).
Funkcję nazywamy całkowalną w sensie Riemanna w przedziale jeśli dla dowolnego normalnego ciągu podziałów przedziału istnieje granica

niezależna od wyboru punktów pośrednich. Granicę tę nazywamy całką Riemanna funkcji w przedziale i oznaczamy

lub
Uwaga 14.5.

W definicji brak jest żądania, aby granica była taka sama dla dowolnego ciągu podziałów. Mimo to definicja jest poprawna, to znaczy całka Riemanna jest jednoznacznie określona (to znaczy nie zależy od wyboru ciągu podziałów ).

Dowód 14.5. [nadobowiązkowy]

Aby to zobaczyć niech będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna. Niech i będą dwoma normalnymi ciągami podziałów przedziału Zdefiniujmy nowy ciąg podziałów jako:

Jest to oczywiście ciąg podziałów normalnych przedziału i ponieważ funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, więc granica

istnieje i nie zależy od wyboru punktów pośrednich. Zatem dla podciągów i granice muszą być takie same, więc

End of proof.gif

Kolejne twierdzenie podaje związek między całkowalnością w sensie Riemanna a sumami górną i dolną Darboux. Dowód pomijamy.

Twierdzenie 14.6.

Jeśli jest funkcją ograniczoną, to jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale , wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu podziałów normalnych zachodzi

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R13.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Różnica między górną i dolną sumą całkową

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R14.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Różnica między górną i dolną sumą całkową

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R15.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Różnica między górną i dolną sumą całkową


Definicja 14.7.

Niech będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna. Przyjmuje się następujące oznaczenia:

Uwaga 14.8.

Wprost z definicji całki Riemanna wynika, że dla funkcji nieujemnej całkę możemy interpretować jako pole pod wykresem funkcji na przedziale .

Zanim podamy klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna (to znaczy takich, dla których całka w sensie Riemanna istnieje) podamy przykład funkcji, dla której całka Riemanna nie istnieje.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)
Zobacz biografię

Przykład 14.9

Funkcja Dirichleta zdefiniowana przez



nie jest całkowalna w sensie Riemanna.
Aby to pokazać, wybierzmy dowolny podział odcinka :



Z własności zbioru liczb rzeczywistych wiemy, że w każdym przedziale znajduje się zarówno liczba wymierna jak i niewymierna. Zatem



Zatem z twierdzenia 14.6. wnioskujemy, że funkcja nie jest całkowalna w sensie Riemanna.

Poniższe twierdzenie podaje, jakie klasy funkcji są całkowalne w sensie Riemanna. Twierdzenie to podajemy bez dowodu. Warto tutaj zaznaczyć, że istnieje pełna charakteryzacja funkcji całkowalnych w sensie Riemanna (to znaczy twierdzenie, które podaje warunek konieczny i wystarczający dla całkowalności w sensie Riemanna). Wykracza to jednak poza niniejszy kurs analizy (temat ten będzie dokładniej omówiony na wykładzie z Analizy Matematycznej 2. (Moduł 10)).


Twierdzenie 14.10. [Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna]

Niech będzie funkcją ograniczoną.
(1) Jeśli jest ciągła, to jest całkowalna w sensie Riemanna.
(2) Jeśli ma skończoną ilość punktów nieciągłości, to jest całkowalna w sensie Riemanna.
(3) Jeśli jest monotoniczna, to jest całkowalna w sensie Riemanna.

W kolejnym twierdzeniu zebrano szereg własności całki Riemanna. Dowody wynikające wprost z definicji całki pomijamy.

Plik:AM1.M14.W.R16.mp4
Addytywność całki jako funkcji zbioru
Plik:AM1.M14.W.R17.mp4
Całka z funkcji stałej na przedziale
Plik:AM1.M14.W.R18.mp4
Monotoniczność całki
Plik:AM1.M14.W.R19.mp4
Rysunek do twierdzenia całkowego o wartości średniej

Twierdzenie 14.11. [Własności całki Riemanna]

Jeśli są funkcjami całkowalnymi w sensie Riemanna, to:
(1) Liniowość całki. Funkcje (o ile dla ) są całkowalne w sensie Riemanna oraz

i


(2) funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna oraz

(3) jeśli to jest całkowalna w sensie Riemanna;
(4) jeśli zmienimy wartości funkcji w skończonej ilości punktów, to funkcja nadal pozostanie całkowalna w sensie Riemanna i jej całka nie ulegnie zmianie;

(5)

(6)

w szczególności

(7) jeśli (to znaczy ), to ;
jeśli to ;

(8) Monotoniczność całki. Jeśli to ;
jeśli to ;


(9) jeśli są dwoma ciągami takimi, że oraz dla
to


Twierdzenie 14.12. [Twierdzenie całkowe o wartości średniej]

Jeśli jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna oraz
to


Dowód 14.12.

Z własności monotoniczności całki wynika, że

Dzieląc stronami przez dostajemy:

Zatem, jeśli zdefiniujemy to otrzymujemy tezę twierdzenia.

End of proof.gif

Kolejne twierdzenia doprowadzą nas do związku całki Riemanna z całką nieoznaczoną. Pierwsze z twierdzeń mówi, jak za pomocą całki Riemanna z funkcji ciągłej (wówczas całka Riemanna zawsze istnieje) uzyskać wzór na pierwotną funkcji podcałkowej.

Twierdzenie 14.13. [Własności całki jako funkcji górnej granicy całkowania]

Jeśli jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna oraz

dla to
(1) jest ciągła w ;
(2) jeśli jest ciągła w punkcie to funkcja jest różniczkowalna w oraz ;
(3) jeśli jest funkcją ciągłą, to jest funkcją pierwotną dla

Dowód 14.13. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Pokażemy ciągłość prawostronną funkcji w dowolnym punkcie (dowód lewostronnej ciągłości w punktach przedziału jest analogiczny; z obu tych faktów wynika ciągłość funkcji w przedziale ; patrz twierdzenie 8.17.). Niech będzie ciągiem takim, że Należy wykazać, że ). Bez straty ogólności można założyć, że jest ciągiem monotonicznie malejącym do (piszemy ). Z definicji funkcji oraz twierdzenie 14.11. (2) mamy

Ponieważ więc z twierdzenie 14.11. (9) mamy

czyli pokazaliśmy, że jest prawostronnie ciągła w punkcie
(Ad (2)) Niech Dla mamy

Ustalmy dowolne Ponieważ funkcja jest ciągła w więc

Niech będzie takie, że Wówczas

Zatem pokazaliśmy, że

czyli
(Ad (3)) Wynika natychmiast z (2).

End of proof.gif

Natychmiastową konsekwencją powyższego twierdzenia jest następujący wniosek.

Wniosek 14.14.

Jeśli to

Kolejne twierdzenie podaje związek między pierwotną a całką Riemanna. Mówi ono, że do policzenia całki Riemanna z funkcji ciągłej na przedziale, wystarczy znać wartości pierwotnej na końcach tego przedziału.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Zobacz biografię

Twierdzenie 14.15. [Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego; Twierdzenie Newtona-Leibniza]

Jeśli jest funkcją ciągłą, jest pierwotną funkcji to



Oznaczenie:

Dowód 14.15.

Z twierdzenia 14.13. (2) wynika, że funkcja



jest pierwotną funkcji Ponieważ jest także pierwotną, więc korzystając z faktu, że każde dwie pierwotne różnią się o stałą, dostajemy

zatem także

czyli

co należało dowieść.

End of proof.gif

Natychmiastową konsekwencją powyższego twierdzenia jest następujący wniosek.

Wniosek 14.16.

Jeśli to

Kolejne twierdzenie podaje wersję wzoru całkowania przez części dla całki Riemanna. Dowód, analogiczny jak dla całki nieoznaczonej, pomijamy.

Twierdzenie 14.17. [Całkowanie przez części]

(1) Jeśli to

(2) Jeśli to

Przykład 14.18.

Obliczyć .

Liczymy

Kolejne twierdzenie podaje wzór na zmianę zmiennych w całce Riemanna. Ze względu na prostotę dowodu podamy go tutaj dla funkcji ciągłej. Twierdzenie to zachodzi także przy słabszych założeniach.

Twierdzenie 14.19. [Całkowanie przez podstawienie; Zmiana zmiennych w całce]

Jeśli jest funkcją ciągłą (a zatem w szczególności całkowalną w sensie Riemanna), jest przedziałem o końcach
i (to znaczy lub ), jest funkcją klasy to

Dowód 14.19.

Pierwotną funkcji (która istnieje, gdyż jest ciągła) oznaczmy przez to znaczy Zdefiniujmy funkcję Wówczas jest funkcją klasy oraz

to znaczy funkcja jest pierwotną funkcji Z twierdzenia 14.15. mamy

End of proof.gif

Przykład 14.20.

Obliczyć całkę

W niniejszym przykładzie zastosujemy dość nietypowe podstawienie

Przekształcając wyrażenie trygonometryczne korzystając ze wzoru

otrzymujemy

Wracając do naszej całki, mamy

Policzmy każdą z całek i osobno:

Ponieważ więc niepotrzebna jest nam znajomość całek i (wystarczy nam wiedza, że one istnieją), gdyż

Zdefiniowana do tej pory całka Riemanna mogła być określona tylko dla funkcji ograniczonej na przedziale ograniczonym. Nietrudno jest zauważyć, że oba te założenia były konieczne, aby granice całkowe Darboux były skończone. Z praktycznego punktu widzenia rozważa się także całki niewłaściwe (gdy obszar jest nieograniczony lub gdy funkcja jest nieograniczona). Definicje takich całek można postawić na bazie całki Riemanna z funkcji ograniczonej na zbiorze ograniczonym.

Plik:AM1.M14.W.R20.mp4
Całka niewłaściwa
Plik:AM1.M14.W.R21.mp4
Całka niewłaściwa

Definicja 14.21. [Całki niewłaściwe]

(1) Niech oraz niech będzie funkcją. Przez całkę niewłaściwą funkcji na przedziale rozumiemy

o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.


(2) Niech oraz niech będzie funkcją. Przez całkę niewłaściwą funkcji na przedziale rozumiemy

o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.
(3) Niech oraz niech będzie funkcją. Przez całkę niewłaściwą funkcji na przedziale rozumiemy

o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.

Gdy całka niewłaściwa istnieje, to mówimy, że całka jest zbieżna (w przeciwnym razie mówimy, że całka jest rozbieżna). Jeśli całka niewłaściwa istnieje to mówimy, że całka jest bezwzględnie zbieżna (oczywiście zbieżność bezwzględna całki implikuje zbieżność całki; Patrz twierdzenie 14.11. (2)).

Uwaga 14.22.

Jeśli funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, to całki niewłaściwe z funkcji oraz są równe dokładnie całce Riemanna. Wynika to wprost z twierdzenie 14.11. (9).

Plik:AM1.M14.W.R22.mp4
Wykres funkcji

Przykład 14.23.

Udowodnić zbieżność całki dla oraz

Wprowadźmy oznaczenie:


Pokażemy, że funkcja spełnia warunek Cauchy'ego w co będzie implikowało istnienie granicy W tym celu ustalmy dowolne Niech będzie odpowiednio duże, tak aby Dla dowolnych mamy

Całkę powyższą możemy teraz oszacować:

Zatem mamy

Zatem funkcja spełnia warunek Cauchy'ego w a więc ma granicę (skończoną) w
Warto tu dodać, że pomimo dowodu istnienia całki niewłaściwej nie znamy sposobów wyliczenie tej całki dla dowolnego nawet w przypadku (przypomnijmy, że dla funkcji pierwotna nie jest funkcją elementarną). Dla pewnych wartości całkę tę daje się wyliczyć metodami, których nie poznamy w ramach tego kursu. Dla przykładu dla całka ta wynosi

Plik:AM1.M14.W.R23.svg
Wykresy funkcji , ,
Plik:AM1.M14.W.R24.svg
Wykresy funkcji , ,

Przykład 14.24.

Udowodnić, że:
(1) Całka jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy ;

(2) Całka jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy ;

(3) Całka jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy (gdzie ).

(Ad (1)) Ponieważ

więc rozważmy osobno dwa przypadki.
Przypadek 1.

Przypadek 2.

Wykazaliśmy zatem, że całka jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu w części (1) pozostawiamy jako ćwiczenie.
(Ad (3)) Gdy to możemy oszacować:


Gdy to mamy

Możemy także ustalić takie, że Wówczas mamy:

Przedostatnia równość wynika z faktu, że natomiast ostatnia z faktu, że szereg harmoniczny jest rozbieżny.

Uwaga 14.25.

W rachunkach będziemy pisać krótko

oraz

Plik:AM1.M14.W.R25.mp4
Rysunek do kryterium całkowego zbieżności szeregów

Na zakończenie podamy jeden z wielu związków całki z szeregiem. Następujące twierdzenie jest jeszcze jednym kryterium zbieżności szeregów. Może być ono wykorzystane także do badania zbieżności całki przy pomocy badania zbieżności szeregu.

Twierdzenie 14.26. [Kryterium całkowe zbieżności szeregów]

Jeśli oraz jest funkcją malejącą oraz całkowalną w sensie Riemanna, to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy całka jest zbieżna.


Dowód tego twierdzenia pozostawiamy jako proste ćwiczenie oparte na następującym sugestywnym rysunku:


Przykład 14.27.

Zbadać zbieżność szeregu

Zauważmy, że funkcja jest ciągła i malejąca na przedziale Można zatem stosować kryterium całkowe zbieżności szeregów. Zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności całki Liczymy

Zatem korzystając z kryterium całkowego

zbieżności szeregów, otrzymujemy, że szereg jest zbieżny.