Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 10:17, 28 sie 2023

Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Ćwiczenie 2.1.

Niech $(X, d)$ będzie przestrzenią metryczną, niech ${x_{n}} \subseteq X$ będzie ciągiem oraz niech $g \in X .$ Udowodnić, że jeśli $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g$ oraz ${x_{n_{k}}}$ jest dowolnym podciągiem ciągu ${x_{n}},$ to

\lim_{k \to + \infty} x_{n_{k}} = g .

Wskazówka

Rozwiązanie

Niech $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g .$ Należy pokazać, że $\lim_{k \to + \infty} x_{n_{k}} = g .$ Weźmy dowolne $ε > 0 .$ Z definicji granicy wiemy, że wszystkie wyrazy ciągu ${x_{n}}$ od pewnego miejsca leżą w kuli $K (g, ε) .$ Ale to oznacza, że także wszystkie wyrazy podciągu ${x_{n_{k}}}$ od pewnego miejsca leżą w kuli $K (g, ε) .$ Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, zatem z definicji granicy wnioskujemy, że $\lim_{k \to + \infty} x_{n_{k}} = g .$

Ćwiczenie 2.2.

Niech $(X, d)$ będzie przestrzenią metryczną, ${x_{n}} \subseteq X$ ciągiem oraz niech $g \in X .$ Udowodnić, że jeśli ${x_{n}}$ jest ciągiem zbieżnym oraz ${x_{n_{k}}}$ jest jego dowolnym podciągiem takim, że $\lim_{k \to + \infty} x_{n_{k}} = g,$ to także $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g .$

Wskazówka

Rozwiązanie

Z założenia wiemy, że $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g_{1} .$ Z punktu (1) wynika, że także dla podciągu ${x_{n_{k}}}$ mamy $\lim_{k \to + \infty} x_{n_{k}} = g_{1} .$ Z jedyności granicy (patrz twierdzenie 2.6.) mamy, że $g = g_{1},$ co należało dowieść.

Ćwiczenie 2.3.

Niech $(X_{i}, d_{i})$ będą przestrzeniami metrycznymi dla $i = 1, \dots k, X = X_{1} \times \dots \times X_{k}, {a_{n}} \subseteq X$ ciągiem w $X$ (w szczególności $a_{n} = (a_{n}^{1}, \dots, a_{n}^{k})$ dla $n \in ℕ$ oraz $a = (a^{1}, \dots, a^{k}) \in X$ ). Udowodnić, że:
(1) $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ , wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{i} = a^{i}$ dla $i = 1, \dots, k .$

(2) Ciąg ${a_{n}}$ spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi ${a_{n}^{i}}$ spełniają warunek Cauchy'ego dla $i = 1, \dots, k .$

Wskazówka

Rozwiązanie

(1) " $⟹$ ":
Załóżmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a .$ Ustalmy $i_{0} \in {1, \dots, k} .$ Należy pokazać, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{i_{0}} = a^{i_{0}} .$ Ustalmy dowolne $ε > 0 .$ Z definicji granicy ciągu wiemy, że

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : d (a_{n}, a) < ε,

gdzie

d (a_{n}, a) = \sqrt{d_{1} (a_{n}^{1}, a^{1})^{2} + \dots + d_{k} (a_{n}^{k}, a^{k})^{2}} .

Zatem dla $n \geq N$ mamy

d_{i_{0}} (a_{n}^{i_{0}}, a^{i_{0}}) \leq \sqrt{d_{1} (a_{n}^{1}, a^{1})^{2} + \dots + d_{k} (a_{n}^{k}, a^{k})^{2}} = d (a_{n}, a) < ε .

Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : d_{i_{0}} (a_{n}^{i_{0}}, a^{i_{0}}) < ε,

co oznacza, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{i_{0}} = a^{i_{0}} .$
" $⟸$ ":
Załóżmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{i} = a^{i}$ dla każdego $i \in {1, \dots, k} .$ Należy pokazać, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a .$ W tym celu ustalmy dowolne $ε > 0 .$ Z definicji granicy ciągu wynika, że

\forall i \in {1, \dots, k} \exists N_{i} \in ℕ \forall n \geq N_{i} : d_{i} (a_{n}^{i}, a^{i}) < \frac{ε}{\sqrt{k}},

Niech $N = \max {N_{1}, \dots, N_{k}} .$ Wówczas dla $n \geq N$ mamy

d (a_{n}, a) = \sqrt{d_{1} (a_{n}^{1}, a^{1})^{2} + \dots + d_{k} (a_{n}^{k}, a^{k})^{2}} < \sqrt{k \cdot \frac{ε^{2}}{k}} = ε .

Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : d (a_{n}, a) < ε,

co oznacza, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a .$

(2) " $⟹$ ":
Załóżmy, że ciąg ${a_{n}}$ spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy $i_{0} \in {1, \dots, k} .$ Należy pokazać, że ciąg ${a_{n}^{i_{0}}}$ spełnia warunek Cauchy'ego. Ustalmy dowolne $ε > 0 .$ Z definicji warunku Cauchy'ego wiemy, że

\exists N \in ℕ \forall n, m \geq N : d (a_{n}, a_{m}) < ε,

gdzie

d (a_{n}, a_{m}) = \sqrt{d_{1} (a_{n}^{1}, a_{m}^{1})^{2} + \dots + d_{k} (a_{n}^{k}, a_{m}^{k})^{2}} .

Zatem dla $n, m \geq N$ mamy

d_{i_{0}} (a_{n}^{i_{0}}, a_{m}^{i_{0}}) \leq \sqrt{d_{1} (a_{n}^{1}, a_{m}^{1})^{2} + \dots + d_{k} (a_{n}^{k}, a_{m}^{k})^{2}} = d (a_{n}, a_{m}) < ε .

Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n, m \geq N : d_{i_{0}} (a_{n}^{i_{0}}, a_{m}^{i_{0}}) < ε,

co oznacza, że ciąg ${a_{n}^{i_{0}}}$ spełnia warunek Cauchy'ego.

" $⟸$ ":
Załóżmy, że ciąg ${a_{n}^{i}}$ spełnia warunek Cauchy'ego dla każdego $i \in {1, \dots, k} .$ Należy pokazać, że ciąg ${a_{n}}$ spełnia warunek Cauchy'ego. W tym celu ustalmy dowolne $ε > 0 .$ Z definicji warunku Cauchy'ego wynika, że

\forall i \in {1, \dots, k} \exists N_{i} \in ℕ \forall n, m \geq N_{i} : d_{i} (a_{n}^{i}, a_{m}^{i}) < \frac{ε}{\sqrt{k}} .

Niech $N = \max {N_{1}, \dots, N_{k}} .$ Wówczas dla $n, m \geq N$ mamy

d (a_{n}, a_{m}) = \sqrt{d_{1} (a_{n}^{1}, a_{m}^{1})^{2} + \dots + d_{k} (a_{n}^{k}, a_{m}^{k})^{2}} < \sqrt{k \cdot \frac{ε^{2}}{k}} = ε .

Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n, m \geq N : d (a_{n}, a_{m}) < ε,

co oznacza, że ciąg ${a_{n}}$ spełnia warunek Cauchy'ego.

Ćwiczenie 2.4.

Pokazać z definicji, że $ℝ^{2}$ (z metryką euklidesową) nie jest zbiorem zwartym.

Wskazówka

Rozwiązanie

Rozważmy rodzinę zbiorów otwartych ${K ((0, 0), n)}_{n \in ℕ} .$ Ponieważ

ℝ^{2} = ⋃_{n \in ℕ} K ((0, 0), n),

zatem rodzina ta jest pokryciem zbioru $ℝ^{2} .$ Pokażemy, że z tego pokrycia nie można wybrać podpokrycia skończonego. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że istnieje podpokrycie skończone ${K ((0, 0), n_{i})}_{i = 1}^{k} .$ Zdefiniujmy $n_{0} = \max {n_{1}, \dots, n_{k}} .$ Wówczas

⋃_{i = 1}^{k} K ((0, 0), n_{i}) = K ((0, 0), n_{0}) ⊊ ℝ^{2}

(ostatnie istotne zawieranie wynika na przykład z faktu, że punkt $(0, n_{0} + 1) \in ℝ^{2} ∖ K ((0, 0), n_{0})$ ). Otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem zbiór $ℝ^{2}$ nie jest zwarty.

Ćwiczenie 2.5.

Jakie zbiory są zwarte w przestrzeni metrycznej dyskretnej? Odpowiedź uzasadnij.

Wskazówka

Rozwiązanie

W przestrzeni metrycznej dyskretnej zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończony.
" $⟸$ "
Jeśli $A$ jest zbiorem skończonym, to jest zwarty (w dowolnej przestrzeni metrycznej; patrz twierdzenia 1.19. (1)).
" $⟹$ "
Niech $A$ będzie zbiorem zwartym w przestrzeni metrycznej dyskretnej. Należy pokazać, że zbiór $A$ jest skończony. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że zbiór $A$ jest nieskończony. Rozważmy następującą rodzinę zbiorów otwartych ${K (x, 1)}_{x \in A} .$ Ponieważ $K (x, 1) = {x}$ zatem rodzina ta jest pokryciem otwartym (i nieskończonym) zbioru $A$ zbiorami jednopunktowymi. Zauważmy, że po usunięciu z tej rodziny dowolnego zbioru, przestaje ona być pokryciem zbioru $A .$ Zatem nie można z niego wybrać podpokrycia skończonego. Zatem zbiór $A$ nie jest zwarty i otrzymujemy sprzeczność.

Ćwiczenie 2.6.

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A, B \subseteq X .$ Które z implikacji są prawdziwe:
"jeśli zbiory $A$ i $B$ są spójne, to zbiór $A \cap B$ jest spójny";
"jeśli zbiory $A$ i $B$ są spójne, to zbiór $A \cup B$ jest spójny";
"jeśli zbiór $A \cup B$ jest spójny, to zbiory $A$ i $B$ są spójne".

Wskazówka

Ewentualnych kontrprzykładów można szukać w $ℝ^{2} .$

Rozwiązanie

Przecięcie zbiorów spójnych nie musi być zbiorem spójnym. Rysunek przedstawia dwa zbiory spójne $A, B \subseteq ℝ^{2},$ których przecięcie $A \cap B$ nie jest spójne.
Suma zbiorów spójnych nie musi być zbiorem spójnym. Wystarczy wziąć dwa przedziały w $ℝ$ : $A = (0, 1)$ i $B = (2, 3)$ (są to zbiory spójne; porównaj twierdzenia 1.25.). Ich suma $A \cup B = (0, 1) \cup (2, 3)$ nie jest zbiorem spójnym, gdyż nie jest przedziałem. Oczywiście, aby zachodził kontrprzykład, zbiory $A$ i $B$ muszą być rozłączne. W przeciwnym razie z twierdzenia 1.26. wynikałoby, że suma jest zbiorem spójnym.
Jeśli zbiór $A \cup B$ jest spójny, to zbiory $A$ i $B$ nie muszą być spójne. Jako przykład weźmy zbiory $A = (1, 3) \cup (4, 7)$ oraz $B = [2, 5] \cup [6, 8] .$ Wówczas zbiory $A, B \subseteq ℝ$ nie są spójne, ale zbiór $A \cup B = (1, 8]$ jest spójny (patrz twierdzenia 1.26.).

Suma zbiorów spójnych nie musi być zbiorem spójnym

Ze spójności sumy zbiorów nie wynika spójność ich składowych

Ćwiczenie 2.7.

Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną oraz $A, B \subseteq X .$ Które z implikacji są prawdziwe:
"jeśli zbiory $A$ i $B$ są zwarte, to zbiór $A \cup B$ jest zwarty";
"jeśli zbiór $A \cup B$ jest zwarty, to zbiory $A$ i $B$ są zwarte".

Wskazówka

Ewentualnych kontrprzykładów można szukać w $ℝ .$

Rozwiązanie

Plik:Am2.M02.C.R04.svg

Ze zwartości sumy zbiorów nie wynika zwartość ich składowych

Jeśli zbiory $A$ i $B$ są zwarte, to zbiór $A \cup B$ jest zwarty.

Aby to pokazać, weźmy dowolne pokrycie otwarte ${U_{s}}_{s \in S}$ zbioru $A \cup B .$ Wówczas jest to zarówno pokrycie zbioru $A$ jak i zbioru $B .$ Ponieważ zbiory $A$ i $B$ są zwarte, więc możemy wybrać podpokrycia skończone ${U_{s_{i}}}_{i = 1}^{k}$ zbioru $A$ oraz ${U_{s_{i}}}_{i = k + 1}^{l}$ zbioru $B .$ Wówczas ${U_{s_{i}}}_{i = 1}^{l}$ jest pokryciem skończonym zbioru $A \cup B$ (jeśli zbiór otwarty powtarza się w pierwszym i drugim podpokryciu, to bierzemy go tylko raz w ${U_{s_{i}}}_{i = 1}^{l}$ ).

Jeśli zbiór $A \cup B$ jest zwarty, to zbiory $A$ i $B$ nie muszą być zwarte. Jako przykład weźmy przedziały w $ℝ$ : $A = [1, 3)$ i $B = (2, 4] .$ Wówczas zbiory $A$ i $B$ nie są zwarte, ale zbiór $A \cup B$ jest zwarty (patrz twierdzenia 1.21.).

Ćwiczenie 2.8.

Opisać jak wyglądają ciągi Cauchy'ego w przestrzeni metrycznej dyskretnej.

Wskazówka

Wziąć $ε = \frac{1}{2}$ i zastosować w definicji ciągu Cauchy'ego.

Rozwiązanie

Niech ${x_{n}}$ będzie ciągiem Cauchy'ego przestrzeni metrycznej dyskretnej. Wówczas w szczególności dla $ε = \frac{1}{2}$ mamy

$\exists N \in ℕ \forall n, m \geq N : d (x_{n}, x_{m}) < \frac{1}{2} .$

Ale metryka dyskretna przyjmuje tylko wartości $0$ i $1,$ zatem dla dowolnych $n, m \geq N$ mamy $d (x_{n}, x_{m}) = 0,$ a to z kolei oznacza, że $x_{n} = x_{m} .$ Zatem pokazaliśmy, że

$\forall n \geq N : x_{n} = x_{N},$

czyli ciąg jest stały od pewnego miejsca.

Zauważmy teraz, że zachodzi także implikacja odwrotna, gdyż każdy ciąg stały jest zbieżny, więc w szczególności jest ciągiem Cauchy'ego.
Odpowiedź: W przestrzeni metrycznej dyskretnej ciąg spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy jest stały od pewnego miejsca.

Ćwiczenie 2.9.

Rozważmy płaszczyznę $ℝ^{2}$ z metryką kolejową z węzłem $O (0, 0) .$ Zbadać zbieżność dwóch ciągów: ${x_{n}}$ i ${y_{x}}$ w tej metryce, gdy $x_{n} = (\frac{1}{n}, 1)$ oraz $y_{n} = (0, 1 + \frac{1}{n})$ dla $n \in ℕ .$

Wskazówka

Rozwiązanie

(1) Dla ciągu ${x_{n}}$ zauważmy, że

\begin{array}{lll} d (x_{n}, x_{n + 1}) & = & d_{2} (x_{n}, Θ) + d_{2} (x_{n + 1}, Θ) \\ = & \sqrt{(\frac{1}{n})^{2} + 1^{2}} + \sqrt{(\frac{1}{n + 1})^{2} + 1^{2}} \geq 2, \end{array}

(gdzie $Θ$ oznacza $((0, 0) \in ℝ^{2})$ ,

zatem ciąg ${x_{n}}$ nie spełnia warunku Cauchy'ego, a zatem nie jest zbieżny.

(2) Pokażemy, że ciąg ${y_{n}}$ ma granicę $y_{0} = (0, 1) .$ Obliczmy

d (y_{n}, y_{0}) = d (y_{n}, y_{0}) = \sqrt{0^{2} + (1 + \frac{1}{n} - 1)} = \frac{1}{n},

zatem $d (y_{n}, y_{0}) ⟶ 0$ , gdy $n \to + \infty,$ a to oznacza, że $y_{n} \to_{d}^{} y_{0} = (1, 0) .$

Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 10:17, 28 sie 2023

Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 3: / Linia 3: @@
 {{cwiczenie|2.1.|cw_2_1|
-Niech <math>\displaystyle(X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną, niech
+Niech <math>(X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną, niech
-<math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq X</math> będzie ciągiem oraz niech <math>g\in X.</math>
+<math>\{x_n\}\subseteq X</math> będzie ciągiem oraz niech <math>g\in X.</math>
 Udowodnić, że
-jeśli <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g</math> oraz
+jeśli <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g</math> oraz
-<math>\displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}</math> jest dowolnym podciągiem ciągu
+<math>\big\{x_{n_k}\big\}</math> jest dowolnym podciągiem ciągu
-<math>\displaystyle\{x_n\},</math> to
+<math>\{x_n\},</math> to
 <center><math>\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k}
@@ Linia 24: / Linia 24: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.</math>
+Niech <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.</math>
-Należy pokazać, że <math>\displaystyle\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k}=g.</math>
+Należy pokazać, że <math>\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k}=g.</math>
 Weźmy dowolne <math>\varepsilon>0.</math>
 Z definicji granicy wiemy, że wszystkie
-wyrazy ciągu <math>\displaystyle\{x_n\}</math>
+wyrazy ciągu <math>\{x_n\}</math>
 od pewnego miejsca leżą w kuli <math>K(g,\varepsilon).</math>
 Ale to oznacza, że także
@@ Linia 35: / Linia 35: @@
 Ponieważ <math>\varepsilon>0</math> było dowolnie wybrane,
 zatem z definicji granicy
-wnioskujemy, że <math>\displaystyle\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k}=g.</math>
+wnioskujemy, że <math>\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k}=g.</math>
 </div></div>
 {{cwiczenie|2.2.|cw_2_2|
-Niech <math>\displaystyle(X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną,
+Niech <math>(X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną,
-<math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq X</math> ciągiem oraz niech <math>g\in X.</math>
+<math>\{x_n\}\subseteq X</math> ciągiem oraz niech <math>g\in X.</math>
 Udowodnić, że
-jeśli <math>\displaystyle\{x_n\}</math> jest ciągiem zbieżnym oraz
+jeśli <math>\{x_n\}</math> jest ciągiem zbieżnym oraz
-<math>\displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}</math> jest jego dowolnym podciągiem takim,
+<math>\big\{x_{n_k}\big\}</math> jest jego dowolnym podciągiem takim,
 że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k}=g,</math>
+<math>\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k}=g,</math>
-to także <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.</math>
+to także <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.</math>
 }}
@@ Linia 56: / Linia 56: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Z założenia wiemy, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g_1.</math>
+Z założenia wiemy, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g_1.</math>
-Z punktu (1) wynika, że także dla podciągu <math>\displaystyle\{x_{n_k}\}</math>
+Z punktu (1) wynika, że także dla podciągu <math>\{x_{n_k}\}</math>
-mamy <math>\displaystyle\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k}=g_1.</math>
+mamy <math>\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k}=g_1.</math>
 Z jedyności granicy
 (patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych#tw_2_6|twierdzenie 2.6.]]) mamy, że
@@ Linia 66: / Linia 66: @@
 <span id="cw_2_3">{{cwiczenie|2.3.||
-Niech <math>\displaystyle(X_i,d_i)</math> będą przestrzeniami metrycznymi dla <math>i=1,\ldots k,X=X_1\times\ldots\times X_k,\displaystyle\{a_n\}\subseteq X</math> ciągiem w <math>X</math>
+Niech <math>(X_i,d_i)</math> będą przestrzeniami metrycznymi dla <math>i=1,\ldots k,X=X_1\times\ldots\times X_k,\{a_n\}\subseteq X</math> ciągiem w <math>X</math>
 (w
 szczególności
@@ Linia 73: / Linia 73: @@
 Udowodnić, że:<br>
 '''(1)'''
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math>,
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math>,
 wtedy i tylko wtedy, gdy
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^i= a^i</math>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^i= a^i</math>
 dla <math>i=1,\ldots,k.</math><br>
 <br>
 '''(2)''' Ciąg
-<math>\displaystyle\{a_n\}</math> spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy
+<math>\{a_n\}</math> spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy
-ciągi <math>\displaystyle\{a^i_n\}</math> spełniają warunek Cauchy'ego dla <math>i=1,\ldots,k.</math>
+ciągi <math>\{a^i_n\}</math> spełniają warunek Cauchy'ego dla <math>i=1,\ldots,k.</math>
 }}<span>
@@ Linia 94: / Linia 94: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 '''(1)'''
-"<math>\displaystyle\Longrightarrow</math>":<br>
+"<math>\Longrightarrow</math>":<br>
-Załóżmy, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a.</math>
+Załóżmy, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a.</math>
 Ustalmy <math>i_0\in\{1,\ldots,k\}.</math>
-Należy pokazać, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{i_0}= a^{i_0}.</math>
+Należy pokazać, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{i_0}= a^{i_0}.</math>
-Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+Ustalmy dowolne <math>\varepsilon>0.</math>
 Z definicji granicy ciągu wiemy, że
@@ Linia 123: / Linia 123: @@
 </math></center>
-Ponieważ <math>\displaystyle\varepsilon>0</math> było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że
+Ponieważ <math>\varepsilon>0</math> było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że
 <center><math>\forall\varepsilon>0
@@ Linia 130: / Linia 130: @@
 </math></center>
-co oznacza, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{i_0}= a^{i_0}.</math><br>
+co oznacza, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{i_0}= a^{i_0}.</math><br>
-"<math>\displaystyle\Longleftarrow</math>":<br>
+"<math>\Longleftarrow</math>":<br>
-Załóżmy, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^i= a^i</math> dla każdego
+Załóżmy, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^i= a^i</math> dla każdego
 <math>i\in\{1,\ldots,k\}.</math>
-Należy pokazać, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a.</math>
+Należy pokazać, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a.</math>
-W tym celu ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+W tym celu ustalmy dowolne <math>\varepsilon>0.</math>
 Z definicji granicy ciągu wynika, że
@@ Linia 155: / Linia 155: @@
 </math></center>
-Ponieważ <math>\displaystyle\varepsilon>0</math> było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że
+Ponieważ <math>\varepsilon>0</math> było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że
 <center><math>\forall\varepsilon>0
@@ Linia 162: / Linia 162: @@
 </math></center>
-co oznacza, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n= a.</math><br>
+co oznacza, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n= a.</math><br>
 <br>
 '''(2)'''
-"<math>\displaystyle\Longrightarrow</math>":<br>
+"<math>\Longrightarrow</math>":<br>
-Załóżmy, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}</math> spełnia warunek Cauchy'ego.
+Załóżmy, że ciąg <math>\{a_n\}</math> spełnia warunek Cauchy'ego.
 Ustalmy <math>i_0\in\{1,\ldots,k\}.</math>
-Należy pokazać, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n^{i_0}\}</math>
+Należy pokazać, że ciąg <math>\{a_n^{i_0}\}</math>
 spełnia warunek Cauchy'ego.
-Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+Ustalmy dowolne <math>\varepsilon>0.</math>
 Z definicji warunku Cauchy'ego wiemy, że
@@ Linia 195: / Linia 195: @@
 </math></center>
-Ponieważ <math>\displaystyle\varepsilon>0</math> było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że
+Ponieważ <math>\varepsilon>0</math> było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że
 <center><math>\forall\varepsilon>0
@@ Linia 202: / Linia 202: @@
 </math></center>
-co oznacza, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n^{i_0}\}</math>
+co oznacza, że ciąg <math>\{a_n^{i_0}\}</math>
 spełnia warunek Cauchy'ego.<br>
 <br>
-"<math>\displaystyle\Longleftarrow</math>":<br>
+"<math>\Longleftarrow</math>":<br>
-Załóżmy, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n^i\}</math> spełnia warunek Cauchy'ego dla każdego
+Załóżmy, że ciąg <math>\{a_n^i\}</math> spełnia warunek Cauchy'ego dla każdego
 <math>i\in\{1,\ldots,k\}.</math>
-Należy pokazać, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}</math>
+Należy pokazać, że ciąg <math>\{a_n\}</math>
 spełnia warunek Cauchy'ego.
-W tym celu ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+W tym celu ustalmy dowolne <math>\varepsilon>0.</math>
 Z definicji warunku Cauchy'ego wynika, że
@@ Linia 230: / Linia 230: @@
 </math></center>
-Ponieważ <math>\displaystyle\varepsilon>0</math> było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że
+Ponieważ <math>\varepsilon>0</math> było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że
 <center><math>\forall\varepsilon>0
@@ Linia 237: / Linia 237: @@
 </math></center>
-co oznacza, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}</math>
+co oznacza, że ciąg <math>\{a_n\}</math>
 spełnia warunek Cauchy'ego.
 </div></div>
@@ Linia 243: / Linia 243: @@
 {{cwiczenie|2.4.|cw_2_4|
-Pokazać z definicji, że <math>\displaystyle\mathbb{R}^2</math> (z metryką euklidesową) nie jest zbiorem
+Pokazać z definicji, że <math>\mathbb{R}^2</math> (z metryką euklidesową) nie jest zbiorem
 zwartym.
 }}
@@ Linia 253: / Linia 253: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 Rozważmy rodzinę zbiorów otwartych
-<math>\displaystyle\big\{K\big((0,0),n\big)\big\}_{n\in\mathbb{N}}.</math>
+<math>\big\{K\big((0,0),n\big)\big\}_{n\in\mathbb{N}}.</math>
 Ponieważ
@@ Linia 261: / Linia 261: @@
 </math></center>
-zatem rodzina ta jest pokryciem zbioru <math>\displaystyle\mathbb{R}^2.</math>
+zatem rodzina ta jest pokryciem zbioru <math>\mathbb{R}^2.</math>
 Pokażemy, że z tego pokrycia nie można wybrać podpokrycia
 skończonego. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że istnieje
 podpokrycie skończone
-<math>\displaystyle\big\{K\big((0,0),n_i\big)\big\}_{i=1}^k.</math>
+<math>\big\{K\big((0,0),n_i\big)\big\}_{i=1}^k.</math>
 Zdefiniujmy <math>n_0=\max\{n_1,\ldots, n_k\}.</math>
 Wówczas
@@ Linia 276: / Linia 276: @@
 (ostatnie istotne zawieranie wynika na przykład z faktu,
-że punkt <math>\displaystyle(0,n_0+1)\in\mathbb{R}^2\setminus K\big((0,0),n_0\big)</math>).
+że punkt <math>(0,n_0+1)\in\mathbb{R}^2\setminus K\big((0,0),n_0\big)</math>).
 Otrzymaliśmy sprzeczność.
-Zatem zbiór <math>\displaystyle\mathbb{R}^2</math> nie jest zwarty.
+Zatem zbiór <math>\mathbb{R}^2</math> nie jest zwarty.
 </div></div>
@@ Linia 299: / Linia 299: @@
 zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy
 jest skończony.<br>
-"<math>\displaystyle\Longleftarrow</math>"<br>
+"<math>\Longleftarrow</math>"<br>
 Jeśli <math>A</math> jest zbiorem skończonym, to jest zwarty
 (w dowolnej przestrzeni metrycznej;
 patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 1: Przestrzenie metryczne#tw_1_19|twierdzenia 1.19.]] (1)).<br>
-"<math>\displaystyle\Longrightarrow</math>"<br>
+"<math>\Longrightarrow</math>"<br>
 Niech <math>A</math> będzie zbiorem zwartym w przestrzeni metrycznej
 dyskretnej.
@@ Linia 310: / Linia 310: @@
 zbiór <math>A</math> jest nieskończony.
 Rozważmy następującą rodzinę zbiorów otwartych
-<math>\displaystyle\{K(x,1)\}_{x\in A}.</math>
+<math>\{K(x,1)\}_{x\in A}.</math>
 Ponieważ <math>K(x,1)=\{x\}</math> zatem rodzina ta jest pokryciem
 otwartym (i nieskończonym) zbioru
@@ Linia 333: / Linia 333: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 Ewentualnych kontrprzykładów można szukać w
-<math>\displaystyle\mathbb{R}^2.</math>
+<math>\mathbb{R}^2.</math>
 </div></div>
@@ Linia 343: / Linia 343: @@
 których przecięcie <math>A\cap B</math> nie jest spójne.<br>
 Suma zbiorów spójnych nie musi być zbiorem
-spójnym. Wystarczy wziąć dwa przedziały w <math>\displaystyle\mathbb{R}</math>:
+spójnym. Wystarczy wziąć dwa przedziały w <math>\mathbb{R}</math>:
 <math>A=(0,1)</math> i  <math>B=(2,3)</math> (są to zbiory spójne;
 porównaj [[Analiza matematyczna 2/Wykład 1: Przestrzenie metryczne#tw_1_25|twierdzenia 1.25.]]).
@@ Linia 377: / Linia 377: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 Ewentualnych kontrprzykładów można szukać w
-<math>\displaystyle\mathbb{R}.</math>
+<math>\mathbb{R}.</math>
 </div></div>
@@ Linia 387: / Linia 387: @@
 Aby to pokazać, weźmy dowolne pokrycie otwarte
-<math>\displaystyle\{U_s\}_{s\in S}</math>
+<math>\{U_s\}_{s\in S}</math>
 zbioru <math>A\cup B.</math> Wówczas jest to zarówno pokrycie zbioru <math>A</math>
 jak i zbioru <math>B.</math> Ponieważ zbiory <math>A</math> i <math>B</math> są zwarte, więc
 możemy wybrać podpokrycia skończone
-<math>\displaystyle\{U_{s_i}\}_{i=1}^k</math> zbioru <math>A</math> oraz
+<math>\{U_{s_i}\}_{i=1}^k</math> zbioru <math>A</math> oraz
-<math>\displaystyle\{U_{s_i}\}_{i=k+1}^l</math> zbioru <math>B.</math>
+<math>\{U_{s_i}\}_{i=k+1}^l</math> zbioru <math>B.</math>
-Wówczas <math>\displaystyle\{U_{s_i}\}_{i=1}^l</math> jest pokryciem skończonym zbioru <math>A\cup B</math>
+Wówczas <math>\{U_{s_i}\}_{i=1}^l</math> jest pokryciem skończonym zbioru <math>A\cup B</math>
 (jeśli zbiór otwarty powtarza się w pierwszym i drugim podpokryciu,
-to bierzemy go tylko raz w <math>\displaystyle\{U_{s_i}\}_{i=1}^l</math>).
+to bierzemy go tylko raz w <math>\{U_{s_i}\}_{i=1}^l</math>).
 Jeśli zbiór <math>A\cup B</math> jest zwarty, to zbiory <math>A</math> i <math>B</math> nie
-muszą być zwarte. Jako przykład weźmy przedziały w <math>\displaystyle\mathbb{R}</math>:
+muszą być zwarte. Jako przykład weźmy przedziały w <math>\mathbb{R}</math>:
 <math>A=[1,3)</math> i <math>B=(2,4].</math> Wówczas zbiory <math>A</math> i <math>B</math> nie są zwarte,
 ale zbiór <math>A\cup B</math> jest zwarty
@@ Linia 411: / Linia 411: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Wziąć <math>\displaystyle\varepsilon=\frac{1}{2}</math> i zastosować w definicji ciągu Cauchy'ego.
+Wziąć <math>\varepsilon=\frac{1}{2}</math> i zastosować w definicji ciągu Cauchy'ego.
 </div></div>
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Niech <math>\displaystyle\{x_n\}</math> będzie ciągiem Cauchy'ego przestrzeni metrycznej
+Niech <math>\{x_n\}</math> będzie ciągiem Cauchy'ego przestrzeni metrycznej
 dyskretnej.
-Wówczas w szczególności dla <math>\displaystyle\varepsilon=\frac{1}{2}</math> mamy
+Wówczas w szczególności dla <math>\varepsilon=\frac{1}{2}</math> mamy
 <center>
@@ Linia 448: / Linia 448: @@
 {{cwiczenie|2.9.|cw_2_9|
-Rozważmy płaszczyznę <math>\displaystyle\mathbb{R}^2</math> z metryką kolejową z węzłem
+Rozważmy płaszczyznę <math>\mathbb{R}^2</math> z metryką kolejową z węzłem
 <math>O(0,0).</math>
 Zbadać zbieżność dwóch ciągów:
-<math>\displaystyle\{x_n\}</math> i <math>\displaystyle\{y_x\}</math> w tej metryce, gdy
+<math>\{x_n\}</math> i <math>\{y_x\}</math> w tej metryce, gdy
-<math>\displaystylex_n=\bigg(\frac{1}{n},1\bigg)</math> oraz
+<math>x_n=\bigg(\frac{1}{n},1\bigg)</math> oraz
-<math>\displaystyley_n=\bigg(0,1+\frac{1}{n}\bigg)</math> dla <math>n\in\mathbb{N}.</math>
+<math>y_n=\bigg(0,1+\frac{1}{n}\bigg)</math> dla <math>n\in\mathbb{N}.</math>
 }}
@@ Linia 464: / Linia 464: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-'''(1)''' Dla ciągu <math>\displaystyle\{x_n\}</math> zauważmy, że
+'''(1)''' Dla ciągu <math>\{x_n\}</math> zauważmy, że
 <center><math>\begin{array}{lll}
 d(x_n,x_{n+1})&=&
 d_2(x_n,\Theta)+d_2(x_{n+1},\Theta)\\
-&=&\displaystyle
+&=&
 \sqrt{\bigg(\frac{1}{n}\bigg)^2+1^2}
 +
@@ Linia 475: / Linia 475: @@
 \end{array}</math></center>
-(gdzie <math>\displaystyle\Theta</math> oznacza <math>((0,0)\in\mathbb{R}^2)</math>,
+(gdzie <math>\Theta</math> oznacza <math>((0,0)\in\mathbb{R}^2)</math>,
-zatem ciąg <math>\displaystyle\{x_n\}</math> nie spełnia warunku Cauchy'ego, a zatem nie jest zbieżny.<br>
+zatem ciąg <math>\{x_n\}</math> nie spełnia warunku Cauchy'ego, a zatem nie jest zbieżny.<br>
 <br>
 '''(2)'''
-Pokażemy, że ciąg <math>\displaystyle\{y_n\}</math> ma granicę
+Pokażemy, że ciąg <math>\{y_n\}</math> ma granicę
 <math>y_0=(0,1).</math> Obliczmy