Programowanie funkcyjne/Procedury wyższych rzędów/Ćwiczenia: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycjanastępna edycja →
WizualnieWikikod
Kubica (dyskusja | edycje)
630 edycji
Kubica (dyskusja | edycje)
630 edycji
Linia 56: Linia 56:
Uwaga: W jaki sposób wagi zależą od <math>n</math>?
Uwaga: W jaki sposób wagi zależą od <math>n</math>?
}}
}}
{{rozwiazanie|||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"> <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Uśrednienie funkcji <math>f</math> z wagą <math>a</math> możemy zdefiniować następująco:
  '''let''' usrednij a f x = a *. (f x) +. (1. -. a) *. x;;
  ''val usrednij : float -> (float -> float) -> float -> float = <fun>''
Żeby iterowanie przekształcenia <math>y \to \frac{x}{y^{n-1}}</math> było zbieżne do jego punktu stałego, musimy je uśrednić ze współczynnikiem mniejszym od <math>\frac{2}{n}</math>, np. <math>\frac{2}{n+1}</math>.
  '''let''' root n x =
    punkt_staly (usrednij (2. /. float(n+1)) (fun y -> x /. potega y (n-1))) 1.;;
</div></div>}}

Wersja z 11:55, 23 paź 2007

Praca domowa

  • Wygładzenie funkcji z odstępem dx polega na uśrednieniu f(x−dx), f(x) i f(x+dx). Napisz procedurę wygładzającą daną funkcję z zadanym odstępem.
  • Jaki typ ma procedura compose zastosowana w wyrażeniu:
compose twice twice;;

Ćwiczenia

Ćwiczenie [Semantyka wyrażeń]

Przypomnij sobie zadanie dotyczące wyliczania wartości wyrażeń. Rozszerz składnię wyrażeń o zmienne. Procedura obliczająca wartość wyrażenia będzie wymagać dodatkowego parametru -- wartościowania zmiennych, czyli procedury, która nazwie zmiennej przyporządkowuje jej wartość.

Ćwiczenie [Przybliżanie zer przez bisekcję]

Zaimplementuj przybliżanie zer funkcji przez bisekcję. Parametrami powinny być:

  • funkcja f, której zer szukamy,
  • dwa punkty, w których funkcja przyjmuje wartości przeciwnych znaków,
  • precyzja poszukiwać, tzn. taki ε, że jeżeli wynik x spełnia |f x|≤ε, to jest dobrym przybliżeniem zera.

Laboratorium

Ćwiczenie [Szereg Taylora]

Zaimplementuj aproksymację funkcji za pomocą szeregu Taylora. Twoja procedura powinna mieć następujące parametry: liczbę sumowanych wyrazów szeregu, punkt, w którym badana jest przybliżana funkcja. Wynikiem powinno być przybliżenie funkcji. Zastosuj przybliżenie pochodnej oraz sumy częściowe szeregów, przedstawione na wykładzie.

Rozwiązanie nieefektywne, ale proste

{{{3}}}

Ćwiczenie [Odwrotność funkcji]

Niech f:ℛ→ℛ będzie funkcją 1-1 i "na" oraz taką, że f(0)=0, f jest rosnąca i |f(x)|≥|x|. Zaimplementuj procedurę odwrotnosc, której wynikiem dla parametru f będzie przybliżenie f−1 z dokładnością zadaną przez stałą epsilon (czyli jeśli g = odwrotnosc f, to ∀x |g(x)−f−1(x)|≤epsilon).


Ćwiczenie [Pierwiastkowanie jako punkt stały [AS] ]

Przedstawione w wykładzie tłumienie przez uśrednianie opiera się na średniej arytmetycznej. Czasami zamiast średniej arytmetycznej należy użyć średniej ważonej, z odpowiednio dobraną wagą. Punktem stałym funkcji y→xyn−1 jest xn. Zaimplementuj obliczanie n-tego pierwiastka z x za pomocą obliczania punktu stałego i tłumienia przez uśrednianie z odpowiednimi wagami. Uwaga: W jaki sposób wagi zależą od n?

Rozwiązanie

{{{3}}}
Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Programowanie_funkcyjne/Procedury_wyższych_rzędów/Ćwiczenia&oldid=75080”