Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 15: Krzywe i bryły obrotowe

15. Krzywe i bryły obrotowe

Ćwiczenie 15.1.

(a) Obliczyć długość okręgu o promieniu $R$: $O=\{(x,y):x^2+y^2=R\}\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2$ trzema sposobami:
(1) wykorzystując opis parametryczny okręgu;
(2) wykorzystując współrzędne biegunowe;
(3) wykorzystując opis okręgu za pomocą wykresu funkcji.

(b) Obliczyć pole koła $K=\{(x,y):x^2+y^2\le 1\}\subseteq {\mathbb{ℝ}}^2$ trzema sposobami:
(1) wykorzystując opis parametryczny okręgu;
(2) wykorzystując współrzędne biegunowe;
(3) obliczając pole pod wykresem funkcji opisującej okrąg.

Wskazówka

(a)
(1) Parametryczne równanie okręgu to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=R\cos t\\ y=\psi(t)=R\sin t \end{array} \right. \qquad t\in[0,2\pi] }

(patrz przykład 15.2.). Długość krzywej zadanej w postaci parametrycznej obliczamy ze wzoru:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt. }

(patrz twierdzenie 15.11.).

(2) Biegunowy opis okręgu to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r=g(\vartheta) \ =\ R \quad } dla $\vartheta \in [0,2\pi ],$

a jej długość podaje wzór

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{g(\vartheta)^2+g'(\vartheta)^2}\,d\vartheta. }

(patrz przykład 15.12.).

(3) Górna część półokręgu opisana jest wykresem funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \sqrt{R^2-x^2} \quad } dla $x\in [-R,R],$

a jej długość liczymy ze wzoru

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \displaystyle\int\limits_{-R}^R\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx. }

(patrz twierdzenie 15.11.).

(b)
(1) Parametryczne równanie "górnej połowy" okręgu to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=R\cos t\\ y=\psi(t)=R\sin t \end{array} \right. \qquad t\in[0,\pi] }

(patrz przykład 15.2.). Pole obszaru pod wykresem krzywej zadanej w postaci parametrycznej obliczamy ze wzoru:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P \ =\ -\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\psi(t)\varphi'(t)\,dt. }

(patrz twierdzenie 15.20.). Należy wyjaśnić, skąd pochodzi znak minus przed całką.
(2) Biegunowy opis okręgu, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r=g(\vartheta) \ =\ R \quad } dla $\vartheta \in [0,2\pi ],$

a pole obszaru ograniczone krzywą w postaci biegunowej podaje wzór

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P \ =\ \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi} \big[g(\vartheta)\big]^2\,d\vartheta. }

(patrz przykład 15.21.).
(3) Górna część półokręgu opisana jest wykresem funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \sqrt{R^2-x^2} \quad } dla $x\in [-R,R],$

a pole pod tą krzywą liczymy ze wzoru

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P \ =\ \displaystyle\int\limits_{-R}^R f(x)\,dx. }

(patrz uwaga 15.19.).

Rozwiązanie

(a)
(1) Parametryczne równanie okręgu to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=R\cos t\\ y=\psi(t)=R\sin t \end{array} \right. \qquad t\in[0,2\pi]. }

(patrz przykład 15.2.). Długość okręgu wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll}\displaystyle l(K)& = & \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{(-R\sin t)^2+(R\cos t)^2}\,dt\\ &=& R\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}\,dt = R\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\,dt \ =\ Rt\bigg|_0^{2\pi} \ =\ 2\pi R. \end{array}}

Rysunek AM1.M15.C.R01 (stary numer AM2.9.20a)

(2) Biegunowy opis okręgu to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r=g(\vartheta) \ =\ R \quad } dla $\vartheta \in [0,2\pi ],$

a jego długość wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{R^2+0}\,d\vartheta \ =\ R\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\,d\vartheta \ =\ R\vartheta\bigg|_0^{2\pi} \ =\ 2\pi R. }

Rysunek AM1.M15.C.R02 (stary numer AM2.9.20b)

(3) Górna część półokręgu opisana jest wykresem funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \sqrt{R^2-x^2} \quad } dla $x\in [-R,R],$

zatem długość okręgu wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll}\displaystyle l(K) & = & 2\displaystyle\int\limits_{-R}^R\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx \ =\ 2\displaystyle\int\limits_{-R}^R\sqrt{1+\bigg(\frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}\bigg)^2}\,dx \ =\ 2\displaystyle\int\limits_{-R}^R\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}}\,dx\\ & = & 2\displaystyle\int\limits_{-R}^R\sqrt{\frac{R^2}{R^2-x^2}}\,dx \ =\ 2R\displaystyle\int\limits_{-R}^R\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}} \ =\ 2\displaystyle\int\limits_{-R}^R\frac{dx}{\sqrt{1-(\frac{x}{R})^2}}\\ & = & \left| \begin{array} {rcl} \frac{x}{R} & = & t\\ dx & = & R\,dt \end{array} \right| \ =\ 2R\displaystyle\int\limits_{-1}^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \ =\ 2R\arcsin t\bigg|_{-1}^1 \ =\ 2R\bigg(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\bigg) \ =\ 2\pi R. \end{array}}

Rysunek AM1.M15.C.R03 (stary numer AM2.9.20c)

(b)
(1) Parametryczne równanie "górnej połowy" okręgu to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=R\cos t\\ y=\psi(t)=R\sin t \end{array} \right. \qquad t\in[0,\pi]. }

Ponieważ przebiegając z parametrem $t$ od $0$ do $\pi$, poruszamy się po krzywej niezgodnie z osią $Ox,$ więc we wzorze na pole pojawi się znak minus przed całką. Pole koła równe jest podwojonemu polu obszaru pod wykresem powyższej krzywej:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P_{\circ} \ =\ -2\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\psi(t)\varphi'(t)\,dt \ =\ -2\displaystyle\int\limits_0^{\pi}(R\sin t)(-R\sin t)\,dt \ =\ 2R\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\sin^2 t\,dt. }

Ponieważ

$\int {\sin }^{2}tdt=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin (2t)+c,$

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P_{\circ} \ =\ 2R^2 \bigg[\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin (2t)\bigg]_0^{\pi} \ =\ 2R^2\frac{\pi}{2} \ =\ \pi R^2. }

(2) Biegunowy opis okręgu to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle r=g(\vartheta) \ =\ R \quad } dla $\vartheta \in [0,2\pi ].$

Pole obszaru ograniczonego tą krzywą wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll}\displaystyle P &=&\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\big[g(\vartheta)\big]^2\,d\vartheta \ =\ \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}R^2\,d\vartheta \ =\ \frac{1}{2}R^2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\,d\vartheta\\ &=&\displaystyle \frac{1}{2}R^2\vartheta\bigg|_0^{2\pi} \ =\ \frac{1}{2}R^2 \cdot 2\pi \ =\ \pi R^2. \end{array}}

(3) Górna część półokręgu opisana jest wykresem funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \sqrt{R^2-x^2} \quad } dla $x\in [-R,R].$

Pole koła równe jest podwojonemu polu pod tą krzywą:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P_{\circ} \ =\ 2\displaystyle\int\limits_{-R}^R f(x)\,dx \ =\ 2\displaystyle\int\limits_{-R}^R \sqrt{R^2-x^2}\,dx. }

Ponieważ

$\int \sqrt{R^2-x^2}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{R^2-x^2}+R^2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}})+c,$

więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P_{\circ} \ =\ 2\bigg[\frac{1}{2}\bigg(x\sqrt{R^2-x^2}+R^2\mathrm{arctg}\,\frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}\bigg)\bigg]_{-R}^{R} \ =\ R^2\bigg(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\bigg) \ =\ \pi R^2. }

Ćwiczenie 15.2.

(a) Obliczyć długość kardioidy, danej opisem biegunowym $r(\vartheta )=a(1+\cos \vartheta ),$ dla $\vartheta \in [0,2\pi ]$ (gdzie $a>0$).
(b) Obliczyć pole obszaru ograniczonego lemniskatą o równaniu biegunowym: $r^2=2a^2\cos 2\vartheta ,$ dla $\vartheta \in [0,2\pi ]$ (gdzie $a>0$).

Wskazówka

(a) Skorzystać ze wzoru na długość krzywej danej w postaci biegunowej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r(\vartheta)^2+r'(\vartheta)^2}\,d\vartheta. }

(patrz przykład 15.12.). Wykorzystać symetrię kardioidy.

(b) Wykonać rysunek lemniskaty. Należy wykorzystać symetrię lemniskaty, licząc pole "jednej czwartej" rozważanego obszaru za pomocą wzoru

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ 4\cdot\frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}\big[g(\vartheta)\big]^2\,d\vartheta. }

(patrz twierdzenie 15.21.).

Rozwiązanie

(a) Zauważmy, że kardioida jest symetryczna względem osi $Ox.$ Zatem możemy dwukrotnie policzyć długość "połówki" kardioidy: $r(\vartheta )=a(1+\cos \vartheta ),$ dla $\vartheta \in [0,\pi ].$ Wstawiając do wzoru na długość krzywej danej w postaci biegunowej, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll}\displaystyle l(K) & = & \displaystyle\int\limits_0^{\pi} \sqrt{r(\vartheta)^2+r'(\vartheta)^2}\,d\vartheta \ =\ 2\displaystyle\int\limits_0^{\pi} \sqrt{a^2(1+\cos\vartheta)^2+a^2\sin^2\vartheta}\,d\vartheta\\ &=&\displaystyle 2\displaystyle\int\limits_0^{\pi} \sqrt{2a^2+2a^2\cos\vartheta}\,d\vartheta = 2a\sqrt{2}\displaystyle\int\limits_0^{\pi} \sqrt{1+\cos\vartheta}\,d\vartheta. \end{array}}

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej $1+\cos \vartheta =2{\cos }^{}\frac{\vartheta }{2}$ oraz zauważając, że $\cos \frac{\vartheta }{2}\ge 0$ dla $\vartheta \in [0,\pi ],$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ 2a\sqrt{2}\displaystyle\int\limits_0^{\pi} \sqrt{2}\cos\frac{\vartheta}{2}\,d\vartheta \ =\ 4a\bigg[2\sin\frac{\vartheta}{2}\bigg]_0^{\pi} \ =\ 8a. }

Warto wiedzieć, że kardioida jest krzywą, jaką zakreśla ustalony punkt okręgu toczącego się po drugim okręgu o tym samym promieniu.

Rysunek AM1.M15.C.R04 (stary numer AM2.9.18)

Odpowiedź: Długość kardioidy wynosi $8a.$

(b) Z opisu biegunowego lemniskaty

$r^2=2a^2\cos 2\vartheta ,$ dla $\vartheta \in [0,2\pi ]$

wynika, że wyrażenie powyższe ma sens tylko wtedy, gdy $\cos \vartheta \ge 0,$ to znaczy dla $t\in [0,\frac{\pi }{4}]\cup [\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4}]\cup [\frac{7\pi }{4},2\pi ].$

Rysunek AM1.M15.C.R05 (stary numer AM2.9.21) Ponadto obszar ograniczony lemniskatą jest symetryczny zarówno względem osi $Ox$ jak i $Oy.$ Zatem możemy policzyć pole "jednej czwartej" części lemniskaty i pomnożyć przez $4.$ Korzystając ze wzoru na pole obszaru ograniczonego krzywą zadaną w postaci biegunowej, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ 4\cdot\frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}2a^2\cos 2\vartheta\,d\vartheta \ =\ 4a^2\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}\cos 2\vartheta\,d\vartheta \ =\ 2a^2\big[\sin 2\vartheta\big]_0^{\frac{\pi}{4}} \ =\ 2a^2. }

Odpowiedź: Pole obszaru ograniczonego lemniskatą wynosi $2a^2.$

Ćwiczenie 15.3.

Obliczyć długość krzywej zadanej wykresem funkcji $f(x)=\sqrt{x}$ w przedziale $[0,1].$

Wskazówka

Skorzystać ze wzoru na długość krzywej danej wykresem funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle l(K) \ =\ \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx. }

(patrz twierdzenie 15.11.).

Rozwiązanie

Sposób I.
Obliczamy długość krzywej zadanej wykresem funkcji $f(x)=\sqrt{x}$ na przedziale $[0,1].$ Ponieważ $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},$ zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned l(K) & = & \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{1+\frac{1}{4x}}\,dx \ =\ \frac{1}{2} \displaystyle\int\limits_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{1+4x}\,dx. \endaligned}

Jest to całka typu $\int x^m(a+b{x}^n{)}^{p}dx,$ przy czym $\frac{m+1}{n}+p=\frac{-\frac{1}{2}+1}{1}+\frac{1}{2}=1\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ (patrz twierdzenie 13.22.), zatem stosujemy podstawienie $x^{-1}+4=t^2.$ Stąd

$x=\frac{1}{t^2-4};dx=\frac{-2t}{(t^2-4{)}^2};\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{\frac{1}{x}+4}=+\mathrm{\infty }.$

Zatem po zmianie zmiennych otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned l(K) & = & \frac{1}{2} \displaystyle\int\limits_{+\infty}^{\sqrt{5}} \sqrt{t^2-4}\cdot\sqrt{1+\frac{4}{t^2-4}} \cdot\frac{-2t}{(t^2-4)^2}\,dt \ =\ \displaystyle\int\limits_{\sqrt{5}}^{+\infty} \frac{t^2}{(t^2-4)^2}\,dt. \endaligned}

Szukamy rozkładu funkcji wymiernej podcałkowej na ułamki proste w postaci

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{t^2}{(t^2-4)^2} \ =\ \frac{t^2}{(t-2)^2(t+2)^2} \ =\ \frac{a}{(t-2)} +\frac{b}{(t-2)^2} +\frac{c}{(t+2)} +\frac{d}{(t+2)^2}. }

Mnożąc stronami przez wspólny mianownik $(t-2{)}^2(t+2{)}^2$, dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle t^2 \ =\ a(t-2)(t+2)^2 +b(t+2)^2 +c(t-2)^2(t+2) +d(t-2)^2. }

Podstawiając kolejno $t=2$ oraz $t=-2$, dostajemy, że $b=\frac{1}{4}$ oraz $d=\frac{1}{4}.$ Wstawiając otrzymane stałe i przekształcając dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2}t^2-2 \ =\ a(t-2)(t+2)^2 +c(t-2)^2(t+2), }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2}(t-2)(t+2) \ =\ a(t-2)(t+2)^2 +c(t-2)^2(t+2). }

Dzieląc obustronnie przez $(t-2)(t+2)$, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2} \ =\ a(t+2) +c(t-2). }

Podstawiając kolejno $t=2$ oraz $t=-2$, dostajemy, że $a=\frac{1}{8}$ oraz $c=-\frac{1}{8}.$ Wstawmy otrzymane stałe i obliczmy całkę nieoznaczoną:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{array}{lll} \int\frac{t^2}{(t^2-4)^2}\,dt & = &\displaystyle \frac{1}{8}\int\frac{dt}{t-2} +\frac{1}{4}\int\frac{dt}{(t-2)^2} -\frac{1}{8}\int\frac{dt}{t+2} +\frac{1}{4}\int\frac{dt}{(t+2)^2}\\ & = &\displaystyle \frac{1}{8}\ln|t-2| -\frac{1}{4(t-2)} -\frac{1}{8}\ln|t+2| -\frac{1}{4(t+2)}+c \ =\ \ln\sqrt[8]{\left|\frac{t-2}{t+2}\right|} -\frac{t}{2(t^2-4)}+c \end{array}}

(zauważmy, że wykonanie ostatniego odejmowania logarytmów jest niezbędne do dalszego obliczenia całki oznaczonej). Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned l(K) & = & \bigg[ \ln\sqrt[8]{\frac{t-2}{t+2}} -\frac{t}{2(t^2-4)} \bigg]\bigg|_{\sqrt{5}}^{+\infty} \ =\ \frac{1}{8}\ln\bigg(\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\bigg) +\frac{1}{2}\sqrt{5} \ =\ \frac{1}{4}\ln\big(\sqrt{5}+2\big) +\frac{1}{2}\sqrt{5}. \endaligned}

Sposób II.
Otrzymaną całkę:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned l(K) & = & \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{1+\frac{1}{4x}}\,dx \ =\ \frac{1}{2} \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{\frac{1+4x}{x}}\,dx \ =\ \frac{1}{2} \displaystyle\int\limits_0^1\frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}}\,dx \endaligned}

możemy policzyć metodą współczynników nieoznaczonych. Wiemy, że całka nieoznaczona jest postaci:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}}\,dx \ =\ a\sqrt{4x^2+x} +k \int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+x}}. }

Aby wyznaczyć $a$ i $k,$ różniczkujemy stronami i dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}} \ =\ \frac{a(8x+1)}{2\sqrt{4x^2+x}} +\frac{k}{\sqrt{4x^2+x}}, }

a mnożąc stronami przez $\sqrt{4x^2+x},$ dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1+4x \ =\ 4ax+\frac{1}{2}a+k, }

stąd $a=1$ i $k=\frac{1}{2}.$ Ponadto obliczamy całkę

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll}\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+x}} & = &\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{(2x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}}} \ =\ \left| \begin{array} {rcl} 2x+\frac{1}{4} & = & t \\ \,dx & = & \frac{1}{2}\,dt \end{array} \right| \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-\frac{1}{16}}}\\\\ & = &\displaystyle \frac{1}{2} \ln\left|t+\sqrt{t^2-\frac{1}{16}}\right|+c \ =\ \frac{1}{2} \ln\left|2x+\frac{1}{4}+\sqrt{4x^2+x}\right|+c. \end{array}}

Wracając do naszej całki, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{array}{lll} l(K) & = &\displaystyle \frac{1}{2}\bigg[ 1\cdot\sqrt{4x^2+x} +\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} \ln\left|2x+\frac{1}{4}+\sqrt{4x^2+x}\right| \bigg]\bigg|_0^1 \ =\ \frac{1}{2} \bigg[\sqrt{5}+\frac{1}{4}\ln\bigg(\frac{9}{4}+\sqrt{5}\bigg) -\frac{1}{4}\ln\frac{1}{4}\bigg]\\\\ & = &\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{8}\ln(9+4\sqrt{5}) \ =\ \frac{1}{2}\sqrt{--~~~~5}+\frac{1}{8}\ln(2+\sqrt{5})^2 \ =\ \frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\ln(2+\sqrt{5}). \end{array}}

Sposób III.
Zauważmy, że nasza krzywa ma tę samą długość ,co krzywa będąca wykresem funkcji $g(x)=x^2$ dla $x\in [0,1]$ (gdyż jedna z krzywych powstaje z drugiej przez odbicie symetryczne względem prostej $y=x$). Zatem wystarczy policzyć długość nowej krzywej:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned l(K) & = & \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{1+g'(x)^2}\,dx \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{1+4x^2}\,dx. \endaligned}

Jest to całka typu $\int x^m(a+b{x}^n{)}^{p}dx,$ przy czym $\frac{m+1}{n}+p=\frac{0+1}{2}+\frac{1}{2}=2\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ (patrz twierdzenie 13.22.), zatem stosujemy podstawienie $x^{-2}+4=t^2.$ Stąd

$x=\frac{1}{\sqrt{t^2-4}};dx=\frac{-t}{(t^2-4)\sqrt{t^2-4}};\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{\frac{1}{x^2}+4}=+\mathrm{\infty }.$

Zatem po zmianie zmiennych otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned l(K) & = & \displaystyle\int\limits_{+\infty}^{\sqrt{5}} \sqrt{1+\frac{4}{t^2-4}} \cdot\frac{-t}{(t^2-4)\sqrt{t^2-4}}\,dt \ =\ \displaystyle\int\limits_{\sqrt{5}}^{+\infty} \frac{t^2}{(t^2-4)^2}\,dt, \endaligned}

zatem otrzymaliśmy tę samą całkę co w rozwiązaniu I.

Sposób IV.
Podobnie jak w rozwiązaniu III rozważamy krzywą o tej samej długości, a mianowicie $g(x)=x^2$ dla $x\in [0,1].$ Liczymy więc długość:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned l(K) & = & \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{1+g'(x)^2}\,dx \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\sqrt{1+4x^2}\,dx \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\,dx \endaligned}

metodą współczynników nieoznaczonych. Wiemy, że całka nieoznaczona jest postaci:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\,dx \ =\ (ax+b)\sqrt{1+4x^2} +k \int\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}. }

Aby wyznaczyć $a,b$ i $k,$ różniczkujemy stronami i dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}} \ =\ a\sqrt{1+4x^2} +\frac{(ax+b)\cdot 8x}{2\sqrt{1+4x^2}} +\frac{k}{\sqrt{1+4x^2}}, }

a mnożąc stronami przez $\sqrt{1+4x^2},$ dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1+4x^2 \ =\ a(1+4x^2) +4ax^2+4bx+k, }

stąd $a=\frac{1}{2},b=0$ i $k=\frac{1}{2}.$ Ponadto obliczamy całkę

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll}\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}} & = &\displaystyle \left| \begin{array} {rcl} 2x & = & t \\ \,dx & = & \frac{1}{2}\,dt \end{array} \right| \ =\ \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}\\\\ & = &\displaystyle \frac{1}{2} \ln\left|t+\sqrt{t^2+1}\right|+c \ =\ \frac{1}{2} \ln\left|2x+\sqrt{1+4x^2}\right|+c. \end{array}}

Wracając do naszej całki mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned l(K) & = & \bigg[ \frac{1}{2}x\cdot\sqrt{1+4x^2} +\frac{1}{4} \ln\left|2x+\sqrt{1+4x^2}\right| \bigg]\bigg|_0^1 \ =\ \frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\ln(2+\sqrt{5}). \endaligned}

Inne sposoby.
Całkę, która powstaje w rozwiązaniu II: $\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1+4x}{\sqrt{4x^2+x}}dx$, można policzyć z I lub III podstawienia Eulera.
Całkę, która powstaje w rozwiązaniu III: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+4x^2}dx$, można policzyć z I lub II podstawienia Eulera.
Odpowiedź: Długość zadanej krzywej wynosi $\frac{2\sqrt{5}+\ln (2+\sqrt{5})}{4}.$

Ćwiczenie 15.4.

Obliczyć objętość i pole powierzchni:
(1) kuli o promieniu $R>0$ w ${\mathbb{ℝ}}^3$ (traktując ją jako bryłę powstałą z obrotu koła dookoła osi $Ox$)
(2) bryły powstałej z obrotu obszaru pod odcinkiem $y=1-x$ dla $x\in [0,1]$ dookoła osi $Ox$ (czyli stożka)

Wskazówka

(1) Objętość można policzyć dwoma sposobami:
Sposób I. Wykorzystać wzór na objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu obszaru pod wykresem funkcji opisującej górny półokrąg $f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ dla $x\in [-R,R]$ w postaci

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_x| \ =\ \pi \displaystyle\int\limits_{-R}^R f(x)^2\,dx }

(patrz twierdzenie 15.23.).
Sposób II. Wykorzystać wzór na objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu obszaru pod wykresem krzywej opisującej górny półokrąg danej w postaci parametrycznej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=R\cos t\\ y=\psi(t)=R\sin t \end{array} \right.} dla $t\in [0,\pi ]$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_x| \ =\ -\pi \displaystyle\int\limits_0^{\pi} \psi(t)^2\varphi'(t)\,dt }

(patrz twierdzenie 15.23.). Wyjaśnić dlaczego przed znakiem całki jest minus.
Do policzenia pola powierzchni wykorzystać wzór z twierdzenie 15.22.

(2) Zrobić analogicznie do zadania w punkcie (1).

Rozwiązanie

(1) Najpierw policzmy objętość kuli.
Sposób I. Kulę można otrzymać jako bryłę obrotową powstałą z obrotu obszaru pod wykresem funkcji opisującej górny półokrąg $f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ dla $x\in [-R,R].$ Wówczas objętość tej bryły wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll}\displaystyle |V_x| &=&\displaystyle \pi\displaystyle\int\limits_{-R}^R f(x)^2\,dx \ =\ \pi\displaystyle\int\limits_{-R}^R (R^2-x^2)\,dx\\ &=&\displaystyle \pi\bigg[R^2x-\frac{1}{3}x^3\bigg]_{-R}^R \ =\ \pi\bigg(R^3-\frac{R^3}{3}+R^3-\frac{R^3}{3}\bigg) \ =\ \frac{4}{3}\pi R^3. \end{array} }

Rysunek AM1.M15.C.R06 (stary numer AM2.9.23) animacja

Sposób II. Kulę można otrzymać jako bryłę obrotową powstałą z obrotu obszaru pod wykresem krzywej opisującej górny półokrąg danej w postaci parametrycznej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=R\cos t\\ y=\psi(t)=R\sin t \end{array} \right. \quad t\in[0,\pi]. }

Ponieważ przy zmianie $t$ od $0$ do $\pi$ krzywa obiegana jest niezgodnie z kierunkiem osi $Ox,$ więc we wzorze jest znak minus przed całką. Objętość kuli wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_x| \ =\ -\pi\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\psi(t)^2\varphi'(t)\,dt \ =\ -\pi\displaystyle\int\limits_0^{\pi}(R\sin t)^2(-R\sin t)\,dt \ =\ \pi R^3\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\sin^3t\,dt. }

Ponieważ $\int {\sin }^{3}tdt=-\frac{3}{4}\cos x+\frac{1}{12}\cos 3x+c,$ zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_x| \ =\ \bigg[ -\frac{3}{4}\cos x+\frac{1}{12}\cos 3x \bigg]_0^{\pi} \ =\ \pi R^3 \bigg[ \frac{3}{4}-\frac{1}{12} +\frac{3}{4}-\frac{1}{12} \bigg] \ =\ \frac{4}{3}\pi R^3. }

Teraz obliczymy pole powierzchni sfery traktowanej jako powierzchnia powstająca z obrotu wykresu funkcji $f(x)=\sqrt{R^2-x^2}.$ Korzystając z symetrii, pole powierzchni kuli wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll}\displaystyle|P| & = & 4\pi\displaystyle\int\limits_0^R\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}}\,dx \ =\ 4\pi\displaystyle\int\limits_0^R R\,dx\\ & = & 4\pi Rx\bigg|_0^R \ =\ 4\pi R^2. \end{array}}

Odpowiedź: Objętość kuli wynosi $\frac{4}{3}\pi R^3,$ a pole powierzchni $4\pi R^2.$

(2) Objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu obszaru pod wykresem funkcji $f(x)=1-x$ dla $x\in [0,1]$ wokół osi $Ox$ wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_x| \ =\ \pi\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)^2\,dx \ =\ \pi\displaystyle\int\limits_0^1 (1-x)^2\,dx \ =\ \pi\bigg[x-x^2+\frac{1}{3}x^3\bigg]_0^1 \ =\ \frac{1}{3}\pi. }

Jest to dokładnie objętość opisanego stożka.

Rysunek AM1.M15.C.R07 (stary numer AM2.9.24a)

Rysunek AM1.M15.C.R08 (stary numer AM2.9.24b) animacja

Liczymy powierzchnię stożka powstałego z obrotu wykresu funkcji $f(x)=1-x$ wokół osi $Ox$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P| \ =\ 2\pi\displaystyle\int\limits_0^1(1-x)\sqrt{1}\,dx \ =\ 2\pi\bigg[x-\frac{1}{2}x^2\bigg]_0^1 \ =\ \pi }

Odpowiedź: Objętość stożka wynosi $\frac{1}{3}\pi$ a pole powierzchni $\pi .$

Ćwiczenie 15.5.

Obliczyć pole powierzchni i objętość bryły powstałej przez obrót obszaru pod wykresem krzywej $f(x)=\frac{1}{x}$ dla $x\in [1,+\mathrm{\infty })$ wokół osi $Ox.$

Wskazówka

Wykorzystać wzory na objętość i pole powierzchni bryły obrotowej. Wzory te zastosować na przedziale ograniczonym $[1,A]$ i przejść do granicy, gdy $A\to +\mathrm{\infty }.$

Rozwiązanie

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót obszaru pod wykresem krzywej $f(x)=\frac{1}{x}$ dla $x\in [1,A]$ wokół osi $Ox,$ wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle V_A \ =\ \pi\displaystyle\int\limits_1^A\frac{1}{x^2}\,dx \ =\ -\pi\frac{1}{x}\bigg|_1^A \ =\ \pi \bigg(1-\frac{1}{A}\bigg). }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle V \ =\ \lim_{A\rightarrow +\infty}|V_A| \ =\ \pi. }

Pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu krzywej $f(x)=\frac{1}{x}$ dla $x\in [1,A]$ wokół osi $Ox$ wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P_A| \ =\ 2\pi\displaystyle\int\limits_1^A \frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}\,dx. }

Funkcja ta ma pierwotną elementarną (porównaj twierdzenie 13.22.), ale łatwiej możemy ją oszacować i pokazać, że jest granicą dla $A\to +\mathrm{\infty }$ jest $+\mathrm{\infty }.$ Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |P_A| \ =\ 2\pi\displaystyle\int\limits_1^A \frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}\,dx \ \ge\ 2\pi\displaystyle\int\limits_1^A \frac{1}{x} \ =\ 2\pi \ln x\bigg|_1^A \ =\ 2\pi\ln A, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{A\rightarrow +\infty}|P_A| \ =\ +\infty. }

Odpowiedź: Objętość bryły wynosi $\pi ,$ a powierzchnia jest nieskończona.

Ćwiczenie 15.6.

Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu obszaru pod cykloidą $\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}$ dla $t\in [0,2\pi ]$ (gdzie $a>0$)
(1) dookoła osi $Ox,$
(2) dookoła osi $Oy,$
(3) dookoła prostej $y=2a.$

Wskazówka

(1) Postąpić analogicznie jak w ćwiczeniu 15.4..
(2) Wykorzystać wzór na objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu obszaru pod wykresem krzywej danej w postaci parametrycznej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=a(t-\sin t)\\ y=\psi(t)=a(1-\cos t) \end{array} \right. \quad } dla $t\in [0,2\pi ],$

dookoła osi $Oy,$ w postaci

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_y| \ =\ 2\pi \displaystyle\int\limits_0^{2\pi} \varphi(t)\psi(t)\varphi'(t)\,dt }

(patrz twierdzenie 15.24.).
(3) Przesunąć krzywą tak, by osią obrotu była oś $Ox.$ Należy zauważyć, że objętość rozważanej bryły jest różnicą objętości dwóch brył obrotowych.

Rozwiązanie

(1) Zauważmy że powstała bryła składa się z dwóch symetrycznych brył: jedna odpowiadająca parametrom $t\in [0,\pi ],$ a druga parametrom $t\in [\pi ,2\pi ].$ Zatem możemy policzyć objętość jednej z nich i pomnożyć przez $2.$ Wstawiając do wzoru na objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu obszaru pod wykresem "połowy" cykloidy

$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)=a(t-\sin t)\\ y=\psi (t)=a(1-\cos t)\end{array}t\in [0,\pi ],$

dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_x| \ =\ 2\pi\displaystyle\int\limits_0^{\pi} \psi(t)^2\varphi'(t)\,dt \ =\ 2\pi\displaystyle\int\limits_0^{\pi} a^3(1-\cos t)^3\,dt. }

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej $1-\cos t=2{\sin }^{}\frac{t}{2}$ oraz stosując wzór na zmianę zmiennych w całce, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V_x| \ =\ 2\pi a^3\displaystyle\int\limits_0^{\pi} 8\sin^6\frac{t}{2}\,dt \ =\ \left| \begin{array} {rcl} \frac{t}{2} & = & z\\ dt & = & 2\,dz \end{array} \right| \ =\ 32\pi a^3\displaystyle\int\limits_0^{\pi} \sin^6 z\,dz. }

Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\sin^6 z\,dz \ =\ \frac{5}{16}z-\frac{15}{64}\sin(2z)+\frac{3}{64}\sin(4z)-\frac{1}{192}\sin(6z)+c, }

dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle |V_x|& =& 32\pi a^3 \bigg[ \frac{5}{16}z-\frac{15}{64}\sin(2z)+\frac{3}{64}\sin(4z)-\frac{1}{192}\sin(6z) \bigg]_0^{\pi}\\ &=&\displaystyle 32\pi a^3 \cdot \frac{5\pi}{16} \ =\ 10\pi^2 a^3.\end{array} }

Rysunek AM1.M15.C.R09 (stary numer AM2.9.25a) animacja

Odpowiedź: Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru pod cykloidą dookoła osi $Ox$ wynosi $10{\pi }^2{a}^3.$

(2) Objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu obszaru pod wykresem cykloidy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=a(t-\sin t)\\ y=\psi(t)=a(1-\cos t) \end{array} \right. \quad } dla $t\in [0,2\pi ]$

Rysunek AM1.M15.C.R10 (stary numer AM2.9.25b)

dookoła osi $Oy,$ wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll}\displaystyle |V_y| & = &\displaystyle 2\pi\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\varphi(t)\psi(t)\varphi'(t)\,dt \ =\ 2\pi\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}a(t-\sin t)a(1-\cos t)a(1-\cos t)\,dt \ =\ 2\pi a^3\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}(t-\sin t)(1-\cos t)^2\,dt\\ & = &\displaystyle 2\pi a^3\displaystyle\int\limits_0^{2\pi} \big(t-\sin t-2t\cos t+2\sin t\cos t+t\cos^2 t-\sin t\cos^2 t\big)\,dt\\ & = &\displaystyle 2\pi a^3 \bigg[ \frac{3t^2}{4} -\frac{3}{4}\cos t -\frac{1}{2}\cos^2t +\frac{1}{8}\cos 2t +\frac{1}{12}\cos 3t -2t\sin t +\frac{1}{4}t\sin 2t \bigg]_0^{2\pi}\\\\ & = &\displaystyle 2\pi a^3 \cdot 3\pi^2 \ =\ 6\pi^3a^3. \end{array}}

(3) Zauważmy, że jeśli przesuniemy cykloidę o $2a$ "w dół", to nasza bryła będzie powstanie teraz z obrotu obszaru między cykloidą o prostą o równaniu $y=-2a$ w przedziale $[0,2\pi a].$ Bryła ta jest różnicą walca (powstałego z obrotu odcinka $f(x)=-2a$ w przedziale $[0,2\pi a]$) oraz obszaru pod wykresem cykloidy ("pod wykresem" oznacza między osią $Ox$ a wykresem, więc w tym wypadku należałoby powiedzieć "nad wykresem").

Rysunek AM1.M15.C.R11 (stary numer AM2.9.25c) animacja

Rysunek AM1.M15.C.R12 (stary numer AM2.9.25d) animacja

Równanie parametryczne przesuniętej cykloidy, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\varphi(t)=a(t-\sin t)\\ y=\psi(t)=a(1-\cos t)-2a \end{array} \right. \quad } dla $t\in [0,2\pi ].$

Objętość walca, wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll}\displaystyle |V_1|&=&\pi\displaystyle\int\limits_0^{2\pi a}f(x)^2\,dt = \pi\displaystyle\int\limits_0^{2\pi a}(-2a)^2\,dt\\ &=& 4\pi a^2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi a}\,dt \ =\ 4\pi a^2 t\bigg|_0^{2\pi a} \ =\ 8\pi^2 a^3. \end{array} }

Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru pod przesuniętą cykloidą, wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll}\displaystyle |V_2| & = & \pi\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\psi(t)^2\varphi'(t)\,dt \ =\ \pi\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\big[a(1-cos t)-2a\big]^2a(1-\cos t)\,dt\\ & =& \pi a^3\displaystyle\int\limits_0^{2\pi} \big[1+\cos t-\cos^2t-\cos^3t\bigg]\,dt = \pi\bigg[ \frac{1}{2}t +\frac{1}{4}\sin t -\frac{1}{4}\sin 2t -\frac{1}{12}\sin 3t \bigg]_0^{2p} \ =\ \pi^2 a^3. \end{array}}

Objętość rozważanej bryły wynosi zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |V| \ =\ |V_1|-|V_2| \ =\ 8\pi^2 a^3-\pi^2 a^3 \ =\ 7\pi^2 a^3. }