Analiza matematyczna 1/Wykład 15: Krzywe i bryły obrotowe

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Krzywe i bryły obrotowe

W tym wykładzie wprowadzamy pojęcie krzywej i krzywej zwyczajnej. Definiujemy długość krzywej i krzywą prostowalną. Dowodzimy, że krzywa zwyczajna klasy jest prostowalna. Wyprowadzamy wzór na długość krzywej i liczymy długości cykloidy i asteroidy. W drugiej części wykładu podajemy wzory na pola powierzchni i objętości brył obrotowych.

Długość krzywej

Definicja 15.1.

Niech Krzywą nazywamy zbiór punktów

gdzie są dwiema funkcjami ciągłymi. Piszemy:

Powyższe równanie nazywamy też równaniem parametrycznym krzywej.

<flash>file=AM1.M15.W.R01.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Krzywa

<flash>file=Am1.M15.W.R02.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Parametryczny opis okręgu
Plik:AM1.M15.W.R03.mp4
Krzywa z punktem wielokrotnym (potrójnym)

Przykład 15.2.

Zapiszmy parametryczne równanie okręgu o promieniu w Jeśli jako parametr przyjmiemy kąt jaki tworzy promień poprowadzony do punktu na okręgu, to widzimy (patrz rysunek), że i Zatem następująca krzywa:

opisuje okrąg.

Definicja 15.3.

Mówimy, że punkt jest punktem wielokrotnym krzywej jeśli



Krzywą nazywamy zwyczajną, jeśli nie zawiera punktów wielokrotnych, to znaczy


Plik:AM1.M15.W.R04.svg
Krzywe zwyczajne

Definicja 15.4.

Niech


będzie podziałem przedziału Łamaną łączącą punkty:



nazywamy łamaną wpisaną w krzywą . Przez oznaczamy długość łamanej (to znaczy sumę długości odcinków

wchodzących w skład łamanej).

Definicja 15.5.

Długością krzywej nazywamy liczbę:

gdzie supremum jest brane po wszystkich łamanych wpisanych w


<flashwrap>file=AM1.M15.W.R05.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Łamana wpisana w krzywą

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R06.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Łamana wpisana w krzywą

Definicja 15.6.

Jeśli , to mówimy, że krzywa jest prostowalna.

Twierdzenie 15.7.

Niech będą klasy oraz niech będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas krzywa jest prostowalna.

Plik:AM1.M15.W.R07.mp4
Łamana wpisana w krzywą

Dowód 15.7. [nadobowiązkowy]

Niech będzie dowolną łamaną wpisaną w krzywą to znaczy istnieje podział

taki, że jest łamaną o wierzchołkach dla gdzie

Długość łamanej wyraża się wzorem:

Ponieważ więc z twierdzenia o wartości średniej (patrz twierdzenie 9.37.) mamy

gdzie

Zatem

Ponieważ i przedział jest zwarty, więc funkcje są ograniczone.
Definiujemy

Zatem

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla dowolnej łamanej wpisanej w krzywą więc przechodząc do supremum po wszystkich takich łamanych, dostajemy

a zatem krzywa jest prostowalna.

End of proof.gif
Uwaga 15.8.

W powyższym twierdzeniu (jak i twierdzeniach następnych) zakładamy, że krzywa jest klasy (to znaczy , są klasy ) W zastosowaniach okaże się jednak, że często będziemy mieli do czynienia z krzywymi, które są tylko ciągłe, zwyczajne oraz "kawałkami" klasy to znaczy krzywą można otrzymać jako "sklejenie" kilku krzywych klasy (przy sklejaniu początek następnej krzywej jest końcem poprzedniej). Wszystkie wypowiadane tu twierdzenia dla krzywych klasy stosują się także do krzywych kawałkami klasy

Definicja 15.9.

Niech będzie krzywą. Zdefiniujmy:

oraz

(długośćkrzywejK(t))

W szczególności

Twierdzenie 15.10.

Niech będą klasy oraz niech będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas

Dowód 15.10. [nadobowiązkowy]

Niech Analogicznie do ostatniego oszacowania w dowodzie twierdzenia 15.7. dostajemy:

gdzie

Dzielimy wszystkie strony powyższego oszacowania przez dostając:

Ponieważ funkcje i są ciągłe, więc dostajemy

Z powyższych oszacowań oraz z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy:

End of proof.gif

Twierdzenie 15.11. [O długości krzywej]

Niech będą klasy oraz niech będzie krzywą zwyczajną. Wówczas długość krzywej wyraża się wzorem

W szczególności, jeśli krzywa zadana jest wykresem funkcji dla to

Dowód 15.11.

W drugim przypadku krzywą zadaną przez funkcję możemy zapisać w postaci parametrycznej

i od razu otrzymujemy drugi ze wzorów.

End of proof.gif

Przykład 15.12.

Wyprowadzić wzór na długość krzywej zadanej w postaci biegunowej:

Przedstawmy tę krzywą w postaci parametrycznej:

Liczymy

Zatem

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R09.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Krzywa we współrzędnych biegunowych

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R10.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Cykloida


Definicja 15.13.

Cykloidą nazywamy krzywą kreśloną

przez ustalony punkt na okręgu toczącym się po prostej

Przykład 15.14.

Wyprowadzić wzór parametryczny cykloidy.

Oznaczenia:
- promień okręgu;
- początkowy punkt styczności okręgu i prostej ;
- nowy punkt styczności;
- nowe położenie punktu ;
- parametr określający położenie punktu

Liczymy współrzędne punktu :


Zatem

lub

Przykład 15.15.

Obliczyć długość łuku cykloidy:


Zatem

Przykład 15.16.

Obliczyć długość łuku asteroidy:

Równanie parametryczne asteroidy, to:

Liczymy

Zatem

<flash>file=AM1.M15.W.R12.swf|width=272|height=272</flash>

<div.thumbcaption>Asteroida

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R13.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Asteroida

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R14.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Asteroida

Całka krzywoliniowa

Niech będzie krzywą klasy :

Przypuśćmy, że określona jest funkcja ciągła to znaczy funkcja, która każdemu punktowi krzywej przyporządkowuje pewną wartość rzeczywistą Okazuje się, że dla takich funkcji możemy także zdefiniować całkę oznaczoną, to znaczy całkę z funkcji po krzywej

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
Zobacz biografię

Całkę tę wprowadza się analogicznie jak całkę Riemanna na odcinku. Pominiemy to jednak w tym miejscu, podając jedynie wzór końcowy na obliczanie takiej całki:

Tę całkę stosuje się w fizyce na przykład do obliczania masy i środka ciężkości krzywej (pręta, którego wszystkie wymiary poza długością są pomijalne).

Jeśli mamy daną krzywą (pręt) zadaną jak wyżej, o gęstości w każdym jej punkcie danej funkcją ciągłą to masa tego pręta wyraża się wzorem

Współrzędne środka ciężkości pręta możemy policzyć ze wzorów

Przykład 15.17.

Obliczyć masę pręta półkolistego o gęstości

Masa krzywej o gęstości dana jest wzorem

Stosując wzór na całkę krzywoliniową oraz korzystając z parametryzacji półokręgu:

mamy

Odpowiedź:

Masa pręta wynosi

.

Przykład 15.18.

Obliczyć masę i współrzędne środka ciężkości odcinka łączącego punkt z punktem o gęstości wprost proporcjonalnej do odległości punktu od środka układu i równej w punkcie

Skoro gęstość jest proporcjonalna do odległości punktu od środka układu i wynosi w punkcie to

oraz

stąd Parametryzacją odcinka jest na przykład

zatem masa wynosi

Pierwszą współrzędną środka ciężkości liczymy ze wzoru

Z symetrii zadania wynika, że

Pole powierzchni i objętość bryły obrotowej

W dalszej części wykładu będziemy zakładać, że krzywe są klasy Podamy liczne wzory na obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych, w większości pozostawiając je bez dowodów (podając natomiast pewne ich uzasadnienia).

Plik:AM1.M15.W.R15.svg
Pole między wykresami funkcji

Z poprzedniego wykładu znamy już związek całki Riemanna z polem obszaru ograniczonego wykresami funkcji. Dla porządku przypomnijmy ten związek.

Uwaga 15.19.

Jeśli trapez krzywoliniowy jest ograniczony z góry i z dołu krzywymi:

i

to pole tego trapezu wynosi:

Uzasadnienie: Wzór ten wynika bezpośrednio z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej.

Twierdzenie 15.20.

Pole obszaru pod wykresem krzywej zadanej w postaci parametrycznej

dla

wynosi

Uzasadnienie: Wzór ten jest konsekwencją wzoru z uwagi 15.19. i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.

Plik:AM1.M15.W.R16.mp4
Pole obszaru ograniczonego półprostymi i krzywą zadaną we współrzędnych biegunowych
Plik:AM1.M15.W.R17.svg
Trójkąt krzywoliniowy

Twierdzenie 15.21.

Jeśli obszar jest ograniczony odcinkami i (gdzie ) oraz krzywą daną w postaci biegunowej

to pole tego obszaru wynosi:

Uzasadnienie: Obszar dzielimy na trójkąty krzywoliniowe jak na rysunku

Oznaczając przez pole trójkąta krzywoliniowego, mamy

(dla małych kątów zachodzi ). Sumując pola trójkątów (analogicznie jak sumy całkowe w całce Riemanna; patrz definicja 14.4.) i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.

Twierdzenie 15.22.

(1) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

dla

wokół osi :

Wzór ten pozostawiamy bez uzasadnienia.

(2) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

dla

wokół osi :

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R18.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R21.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R19.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R20.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Powierzchnia powstała przez obrót krzywej dookoła osi

Twierdzenie 15.23.

(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

dla

wokół osi :

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka :

oraz podzielmy bryłę na "plasterki", to znaczy na bryły powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji dla Objętość takiego "plasterka" jest w przybliżeniu równa objętości walca o promieniu podstawy i wysokości czyli Sumując objętości "plasterków", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.

(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

dla

wokół osi :

Uzasadnienie: Wzór powyższy jest konsekwencją poprzedniego wzoru oraz twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R22.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R23.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R24.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi

Twierdzenie 15.24.

(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

dla

wokół osi :

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka :

oraz podzielmy bryłę na "cylindry" powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji dla wokół osi Objętość takiego "cylindra" jest w przybliżeniu równa Sumując objętości "cylindrów", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy wzór na

(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

dla

wokół osi :

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R25.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi

<flashwrap>file=AM1.M15.W.R26.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Bryła powstała przez obrót obszaru "pod" wykresem krzywej wokół osi

Przykład 15.25.

Obliczyć objętość torusa powstałego przez obrót koła

wokół osi

gdzie wykorzystano następującą całkę:

Teraz liczymy całkę inaczej:

Porównując to z otrzymujemy:

stąd

zatem

Wstawiając do otrzymujemy: