Analiza matematyczna 1/Wykład 13: Całka nieoznaczona

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Całka nieoznaczona

Leonhard Euler (1707-1783)
Zobacz biografię

W pierwszej części tego wykładu wprowadzamy pojęcia funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej. Podajemy całki pewnych funkcji elementarnych, jak również przykłady funkcji, których pierwotne nie są funkcjami elementarnymi. Dowodzimy wzorów na całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie.

Druga część wykładu jest przeglądem metod całkowania. Omawiamy kolejno metody całkowania wyrażeń wymiernych (rozkład na ułamki proste), metody całkowania pewnych wyrażeń niewymiernych (m.in. metodę współczynników nieoznaczonych, podstawienia Eulera) oraz metody całkowania wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne.

Funkcja pierwotna

Definicja 13.1.

Niech będzie przedziałem oraz niech będzie funkcją.
Funkcję nazywamy pierwotną funkcji jeśli jest różniczkowalna i

Twierdzenie 13.2.

Dwie dowolne pierwotne funkcji różnią się o stałą, to znaczy
(1) Jeśli i są pierwotnymi funkcji to dla pewnego
(2) Jeśli jest pierwotną funkcji oraz dla pewnego to też jest pierwotną funkcji

Dowód 13.2.

(Ad (1)) Jeśli i są pierwotnymi funkcji to mamy Ponieważ pochodna różnicy wynosi więc różnica ta musi być stała. Zatem istnieje takie, że
(Ad (2)) Załóżmy, że jest pierwotną funkcji oraz funkcje i różnią się o stałą, to znaczy dla pewnej stałej Ponieważ jest różniczkowalna (jako pierwotna) oraz funkcja stała jest różniczkowalna, więc także funkcja jest różniczkowalna. Licząc pochodną sumy, dostajemy

zatem jest także pierwotną funkcji

End of proof.gif

Definicja 13.3. [całka nieoznaczona, całkowanie]

Całką nieoznaczoną funkcji nazywamy zbiór jego pierwotnych i oznaczamy

lub

Całkowaniem nazywamy wyznaczanie całki.
Oczywiście, jeśli zmienna funkcji nazywa się to piszemy lub , a jeśli zmienna funkcji nazywa się na przykład to piszemy lub .

Wniosek 13.4.

Jeśli jest pierwotną funkcji to

Uwaga 13.5.

Jeśli jest jedną z pierwotnych funkcji oraz to pierwotna funkcji spełniająca (to znaczy której wykres przechodzi przez punkt ) jest równa

gdzie

Plik:AM1.M13.W.R01.svg
Wykres funkcji z przykładu 13.6.

Przykład 13.6.

Funkcja pierwotna nie zawsze istnieje.

Rozważmy następującą funkcję

Pokażemy, że nie ma pierwotnej. Dla dowodu niewprost, przypuśćmy, że funkcja ta posiada pierwotną Wówczas Na przedziale funkcja jest tożsamościowo równa zatem jej pierwotna jest stała, powiedzmy Podobnie na przedziale powiedzmy Ponieważ funkcja pierwotna jest ciągła (jako różniczkowalna), zatem

oraz Zatem pokazaliśmy, że Ale wówczas sprzeczność. Zatem tak zdefiniowana funkcja nie ma pierwotnej.

Zachodzi natomiast następujące twierdzenie (które podajemy tutaj bez dowodu).

Twierdzenie 13.7.

Każda funkcja ciągła ma pierwotną.

Całki pewnych funkcji elementarnych

Poniższe twierdzenie podaje całki nieoznaczone pewnych funkcji elementarnych. Ponieważ wiemy już, ile wynoszą pochodne pewnych funkcji elementarnych, więc łatwo stąd odgadnąć pierwotne niżej podanych funkcji.

Twierdzenie 13.8. [Całki pewnych funkcji elementarnych]

(1) ;
(2) ;
(3) dla ;
(4) ;
(5) dla (w szczególności
(6) ;
(7) ;
(8) ;
(9) ;
(10) ;
(11) ;
(12) ;
(13) .

Poniższe twierdzenie pozwoli nam liczyć całkę z sumy i różnicy funkcji oraz z iloczynu funkcji przez stałą. Wynika ono natychmiast z twierdzenia o liniowości pochodnej.

Twierdzenie 13.9. [Liniowość całki]

Jeśli są funkcjami, dla których istnieją całki nieoznaczone, to
(1) ;
(2)

W przypadku liczenia pochodnej funkcji mieliśmy także do dyspozycji wzór na pochodną iloczynu i ilorazu. Pozwalało to w praktyczny sposób policzyć pochodną dowolnej funkcji elementarnej.

W przypadku całki nieoznaczonej nie mamy do dyspozycji takiego narzędzia. Okazuje się nawet, że dla pewnych funkcji elementarnych nie istnieje funkcja pierwotna elementarna (mimo, że pierwotna na pewno istnieje, bo funkcja jest na przykład ciągła).

Uwaga 13.10. [o funkcjach elementarnych]

(1) Funkcje elementarne to funkcje, które można otrzymać z funkcji:

  • stałych,
  • potęgowych,
  • wykładniczych,
  • trygonometrycznych,

przez wykonywanie skończonej liczby operacji:

  • dodawania/odejmowania,
  • mnożenia/dzielenia,
  • złożenia,
  • odwracania.

(2) Pochodna funkcji elementarnej jest zawsze funkcją elementarną. Wynika to ze wzorów na pochodną funkcji stałej, potęgowej, wykładniczej, trygonometrycznej oraz wzorów na pochodne sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia i funkcji odwrotnej.

(3) Całka nieoznaczona funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną. Przykłady funkcji, których pierwotne nie są funkcjami elementarnymi, to między innymi

oraz tak zwane całki eliptyczne:

dla

Całkowanie przez części

Do liczenia całki nieoznaczonej z iloczynu przydatny jest następujący wzór, który w niektórych przypadkach sprowadza całkę z iloczynu (lub ilorazu) do postaci łatwiejszej do wyliczenia.

Twierdzenie 13.11. [Całkowanie przez części]

Jeśli jest przedziałem, są funkcjami różniczkowalnymi oraz istnieje całka nieoznaczona dla funkcji to istnieje także całka nieoznaczona dla funkcji oraz

Dowód 13.11.

Ponieważ funkcje i są różniczkowalne, więc różniczkowalny jest także iloczyn oraz zachodzi wzór

zatem

Ponieważ funkcja po prawej stronie jest całkowalna, więc funkcja po lewej stronie także jest całkowalna i mamy

End of proof.gif

Całkowanie przez podstawienie

Podobnie jak w przypadku iloczynu i ilorazu funkcji nie ma ogólnego wzoru na obliczanie pierwotnej, tak i w przypadku złożenia funkcji nie ma ogólnej metody wyznaczania pierwotnej (tak jak to miało miejsce w przypadku pochodnej). W przypadku złożenia pomocnym narzędziem może być następujący wzór na całkowanie przez podstawienie zwany także wzorem na zmianę zmiennych w całce. Pozwala ono w pewnych sytuacjach obliczyć całkę z funkcji zawierającej złożenie dwóch funkcji.

Twierdzenie 13.12. [Całkowanie przez podstawianie]

Jeśli są przedziałami, jest funkcją różniczkowalną oraz jest funkcją, dla której istnieje pierwotna to istnieje całka nieoznaczona dla funkcji oraz

Dowód 13.12.

Ponieważ funkcje i są różniczkowalne, więc ich złożenie także oraz mamy

Całkując obie strony, dostajemy tezę naszego twierdzenia.

End of proof.gif


Uwaga 13.13.

Wzór całkowania przez podstawianie często zapisujemy jako:

rozumiejąc, że należy "wrócić" do tej samej zmiennej po obu stronach ( po prawej lub po lewej) przez złożenie "" po prawej stronie lub "" po lewej stronie.

Przykład 13.14.

Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji

Rozwiązanie

Całkowanie funkcji wymiernych

Zacznijmy od przypomnienia znanego ze szkoły twierdzenia.

Twierdzenie 13.15. [Podstawowe twierdzenie algebry (w wersji rzeczywistej)]

Dowolny wielomian można rozłożyć na czynniki nierozkładalne stopnia co najwyżej to znaczy

gdzie stopień wielomianu wynosi

oraz

dla

Definicja 13.16. [ułamki proste]

Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne postaci:

oraz

gdzie

Podamy twierdzenie, które pozwoli na obliczanie całki z dowolnej funkcji wymiernej. Ponieważ twierdzenie to "wygląda" dość formalnie, proponujemy przestudiować najpierw poniższy przykład.

Przykład 13.17.

Obliczyć całkę z następującej funkcji wymiernej

Rozwiązanie

To, że funkcję wymierną w powyższym przykładzie udało się rozłożyć na prostsze ułamki nie jest przypadkiem.

Okazuje się, że funkcję wymierną można zawsze przedstawić jako sumę ułamków prostych. Jeśli zatem będziemy umieli scałkować ułamki proste, to dzięki liniowości całki będziemy potrafili scałkować dowolną funkcję wymierną (o ile jej mianownik efektywnie rozłożymy na czynniki stopnia co najwyżej drugiego). Kolejne twierdzenie o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste będzie więc bardzo przydatne w rachunkach.

Twierdzenie 13.18. [O rozkładzie na ułamki proste]

Niech będzie funkcją wymierną, gdzie Wówczas istnieje jedyny rozkład funkcji na ułamki proste oraz jeśli

gdzie

dla

to

Przykład 13.19.

Rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste.

Rozwiązanie
Uwaga 13.20.

Korzystając z liniowości całki nieoznaczonej dla policzenia całki z funkcji wymiernej , wystarczy umieć policzyć całki z ułamków prostych. Znamy już całki z ułamków:

Całki z ułamków prostych postaci będą policzone na ćwiczeniach (patrz ćwiczenie 13.4.).

Całkowanie funkcji niewymiernych

Zacznijmy od rozważenia następującej całki:

gdzie jest dowolnym wielomianem (stopnia ). Okazuje się, że istnieje ogólna metoda obliczania tego typu całek. Opiera się ona na twierdzeniu, które mówi, iż mamy następującą równość

gdzie jest wielomianem stopnia Współczynniki wielomianu oraz stałą znajdujemy, licząc pochodną z obu stron powyższej równości (pamiętamy, że pochodna z całki to funkcja podcałkowa!) i mnożąc potem obie strony przez Dostaniemy wtedy:

skąd, porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej znajdujemy współczynniki wielomianu oraz stałą

Pozostaje jeszcze do obliczenia

którą przez odpowiednie podstawienie sprowadzamy do jednej z całek

lub

(patrz twierdzenie 13.8.).

Policzymy teraz pewną całkę, którą w przyszłości będziemy wielokrotnie wykorzystywać.

Przykład 13.21.

Policzyć

gdzie jest stałą dodatnią. Aby użyć metody współczynników nieoznaczonych, zapiszmy

Wielomian jest stopnia , zatem

Stąd

skąd dostajemy układ równań

zatem

Pozostaje do policzenia Podstawiając (zatem ), mamy

Reasumując, mamy

Kolejne twierdzenie zawiera warunek konieczny i wystarczający istnienia pierwotnej elementarnej dla funkcji postaci oraz podaje sposób policzenia całki nieoznaczonej, jeśli pierwotna jest funkcją elementarną. Dowód twierdzenia pomijamy.

Twierdzenie 13.22.

Funkcja

gdzie

ma pierwotną elementarną wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z przypadków:
(1) (robimy podstawienie gdzie jest wspólnym mianownikiem ułamków i );
(2) (robimy podstawienie gdzie jest mianownikiem ułamka );
(3) (robimy podstawienie gdzie jest mianownikiem ułamka ).

Przykład 13.23.

Które z funkcji mają pierwotną elementarną? Sprowadzić całki z funkcji, które mają pierwotną elementarną do całek z funkcji wymiernych.
(1)
(2)
(3)

Rozwiązanie
Uwaga 13.24. [Podstawienia Eulera]

Do policzenia całki postaci

gdzie jest funkcją wymierną, można zastosować następujące podstawienia (tak zwane podstawienia Eulera):

  • Niech Podstawiamy
  • Niech Podstawiamy

  • Niech trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki to znaczy Podstawiamy

Przykład 13.25.

Całkę

sprowadzimy do całki z funkcji wymiernej, stosując pierwsze podstawienie Eulera. Podstawiamy

skąd

oraz

Podstawiając, dostajemy

czyli całkę z funkcji wymiernej, którą już umiemy policzyć.
Teraz tę samą całkę sprowadzimy do całki z funkcji wymiernej, używając drugiego podstawienia Eulera. Podstawiamy

skąd

Podstawiając, dostajemy

czyli też całkę z funkcji wymiernej - co prawda nieco bardziej skomplikowaną niż poprzednia.

Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne

Uwaga 13.26.

Aby policzyć całkę

stosujemy podstawienie

i mamy

oraz

zatem

Po podstawieniu dostajemy całkę

Przykład 13.27.

Obliczyć całkę W całce tej stosujemy podstawienie wówczas i Zatem

Uwaga 13.28.

Aby policzyć całkę

stosujemy podstawienie

i mamy

oraz

Zatem po podstawieniu dostajemy całkę

Przykład 13.29.

Obliczyć całkę

W całce tej stosujemy podstawienie wówczas i Zatem

Zauważmy, że całkę tę liczyliśmy w przykładzie 13.27. Zatem