Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Gracja (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Gracja (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Linia 58: Linia 58:
Zatem
Zatem


<center><math>\begin{displaystyle}\begin{array}{lll}
<center><math>\begin{array}{lll}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n} & = &
\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n} & = &
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1-\frac{1}{\frac{n^2+n+1}{n}}\bigg)^{\frac{n^2+n+1}{n}}
\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1-\frac{1}{\frac{n^2+n+1}{n}}\bigg)^{\frac{n^2+n+1}{n}}
\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(1-\frac{1}{\frac{n^2+n+1}{n}}\bigg)^{\frac{n^2}{n^2+n+1}}\\
\displaystyle \cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(1-\frac{1}{\frac{n^2+n+1}{n}}\bigg)^{\frac{n^2}{n^2+n+1}}\\
  & = & \displaystyle \frac{1}{e}\cdot 1^1  = \frac{1}{e}.\end{array}\end{displaystyle}
  & = & \displaystyle \frac{1}{e}\cdot 1^1  = \frac{1}{e}.\end{array}
</math></center><br>
</math></center><br>



Wersja z 10:51, 9 sie 2006

7. Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności

Ćwiczenie 7.1.

Zbadać zbieżność szeregów
(1) n=1(n2+1n2+n+1)n2
(2) n=1(n!)nnn2
(3) n=1(n+1n)n22n
(4) n=1en(n+1n)n2

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 7.2.

Zbadać zbieżność szeregów
(1) n=1(n!)3(3n)!
(2) n=1(2n)!!(2n+1)(2n1)!!
(3) n=1enn!nn

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 7.3.

Zbadać zbieżność szeregów
(1) n=1sin1ncos1n
(2) n=1sin21ncosn
(3) n=11ntg(sin1n)

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Zbadać zbieżność szeregów oraz określić rodzaj zbieżności
(1) n=1(1)nlnn
(2) n=1cosnπn
(3) n=1cosnπ2n
(4) n=1(1)nlnnn

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Zbadać zbieżność szeregów:
(1) n=1cosnn
(2) n=1sinnn
(3) n=1(1)nsinn3n
(4) n=1(1)ncosnn2

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie [Uzupelnij]

Niech n=1an będzie szeregiem liczbowym.
(1) Udowodnić, że jeśli szereg n=1an2 jest zbieżny, to szereg n=1ann jest bezwzględnie zbieżny.
(2) Pokazać, że nie zachodzi implikacja odwrotna w powyższym stwierdzeniu.

Wskazówka
Rozwiązanie