Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 4: Ciągi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 10:19, 28 sie 2023

4. Ciągi liczbowe

Ćwiczenie 4.1.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) $\lim_{n \to + \infty} \frac{2 n^{2} + 1}{3 n^{2} - 1},$
(2) $\lim_{n \to + \infty} \frac{2 n^{2} + n + 2}{n \sqrt{n}},$
(3) $\lim_{n \to + \infty} \frac{- n + 1}{n^{2} + 2} .$

Wskazówka

(1) Podzielić licznik i mianownik przez $n^{2}$ i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.
(2) Wykorzystać twierdzenie o dwóch ciągach.
(3) Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.
Sposób II. Podzielić licznik i mianownik przez $n^{2}$ oraz skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.

Rozwiązanie

(1) Dzielimy licznik i mianownik przez $n^{2}$ i dostajemy:

\lim_{n \to + \infty} \frac{2 n^{2} + 1}{3 n^{2} - 1} = \lim_{n \to + \infty} \frac{2 + \overset{\to 0}{\overset{⏞}{\frac{1}{n^{2}}}}}{3 - \underset{\to 0}{\underset{⏟}{\frac{1}{n^{2}}}}} = \frac{2}{3}

przy czym w ostatniej równości wykorzystujemy twierdzenia o arytmetyce granic (dla sumy i iloczynu; patrz twierdzenie 4.9.) oraz fakt, że $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0$ (patrz przykład 3.21. i twierdzenie 4.9.).

(2) Zauważmy, że

\frac{2 n^{2}}{n \sqrt{n}} \leq \frac{2 n^{2} + n + 2}{n \sqrt{n}}

2 \sqrt{n} \leq \frac{2 n^{2} + n + 2}{n \sqrt{n}}

przy czym $2 \sqrt{n} \to + \infty$ . Zbieżność $\lim_{n \to + \infty} \sqrt{n} = + \infty$ łatwo pokazać z definicji granicy niewłaściwej. Zatem korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach (patrz twierdzenie 4.13.(1)) wnioskujemy, że $\lim_{n \to + \infty} \frac{2 n^{2} + n + 2}{n \sqrt{n}} = + \infty$
(3) Sposób I. Zauważmy, że

\begin{array}{ccccc} - \frac{n}{n^{2}} & \leq & \frac{- n + 1}{n^{2} + 2} & \leq & 0 \\ ∥ & ↓ \\ - \frac{1}{n} & 0 \\ ↓ \\ 0 \end{array}

Zatem korzystając z twierdzenia a trzech ciągach wnioskujemy, że

\lim_{n \to + \infty} \frac{- n + 1}{n^{2} + 2} = 0 .

Sposób II. Dzieląc licznik i mianownik przez $n^{2}$ oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy

\lim_{n \to + \infty} \frac{- n + 1}{n^{2} + 2} = \lim_{n \to + \infty} \frac{\overset{\to 0}{\overset{⏞}{- \frac{1}{n}}} + \overset{\to 0}{\overset{⏞}{\frac{1}{n^{2}}}}}{1 + \underset{\to 0}{\underset{⏟}{\frac{2}{n^{2}}}}} = 0 .

Ćwiczenie 4.2.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) $\lim_{n \to + \infty} \frac{(\binom{n + 2}{n})}{n^{2}},$
(2) $\lim_{n \to + \infty} \frac{(\binom{n + 3}{n})}{n^{3}} .$

Wskazówka

(1) Rozpisać symbol Newtona. Podzielić licznik i mianownik przez $n^{2} .$
(2) Rozwiązać analogicznie do przykładu (1).

Rozwiązanie

(1) Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu

(\binom{n + 2}{n}) = \frac{(n + 2)!}{n! \cdot 2!} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2} .

Zatem liczymy:

\begin{aligned} \lim_{n \to + \infty} \frac{(\binom{n + 2}{n})}{n^{2}} & = & \lim_{n \to + \infty} \frac{(n + 1) (n + 2)}{2 n^{2}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + 3 n + 2}{2 n^{2}} \\ = & \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{2} + \underset{= 0}{\underset{⏟}{\lim_{n \to + \infty} \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{n}}} + \underset{= 0}{\underset{⏟}{\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{2}}}} = \frac{1}{2} . \end{aligned}

(2) Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu

(\binom{n + 3}{n}) = \frac{(n + 3)!}{n! \cdot 3!} = \frac{(n + 1) (n + 2) (n + 3)}{6} .

Zatem liczymy:

\begin{aligned} \lim_{n \to + \infty} \frac{(\binom{n + 3}{n})}{n^{3}} & = & \lim_{n \to + \infty} \frac{(n + 1) (n + 2) (n + 3)}{6 n^{3}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{3} + 6 n^{2} + 11 n + 6}{6 n^{3}} \\ = & \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{6} + \underset{= 0}{\underset{⏟}{\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n}}} + \underset{= 0}{\underset{⏟}{\lim_{n \to + \infty} \frac{11}{6} \cdot \frac{1}{n^{2}}}} + \underset{= 0}{\underset{⏟}{\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{3}}}} = \frac{1}{6} . \end{aligned}

Ćwiczenie 4.3.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) $\lim_{n \to + \infty} \frac{5^{n + 1} + 1 + 6^{n + 1}}{3 \cdot 6^{n}},$
(2) $\lim_{n \to + \infty} \frac{2^{n + 1} + 3^{n}}{3^{2 n} + 2},$
(3) $\lim_{n \to + \infty} \frac{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{4^{n}}}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^{n}}} .$

Wskazówka

(1) Wykonać dzielenie przez $6^{n} .$
(2) Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.
Sposób II. Podzielić licznik i mianownik przez $3^{2 n}$ i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.
(3) Wykorzystać wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz uwaga 1.10.).

Rozwiązanie

(1) Wykonując dzielenie przez $6^{n}$ , dostajemy:

\lim_{n \to + \infty} \frac{5^{n + 1} + 1 + 6^{n + 1}}{3 \cdot 6^{n}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{5}{3} (\frac{5}{6})^{n} + \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{3} (\frac{1}{6})^{n} + \lim_{n \to + \infty} 2 = 2,

gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego (patrz przykład 3.22.).

(2) Sposób I. Zauważmy, że

\begin{array}{ccccc} 0 & \leq & \frac{2^{n + 1} + 3^{n}}{3^{2 n} + 2} & \leq & \frac{2^{n + 1} + 3^{n}}{3^{2 n}} \\ ↓ & ∥ \\ 0 & 2 (\frac{2}{9})^{n} + (\frac{1}{3})^{n} \\ ↓ \\ 0 \end{array}

gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego. Zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, wnioskujemy, że

\lim_{n \to + \infty} \frac{2^{n + 1} + 3^{n}}{3^{2 n} + 2} = 0 .

Sposób II. Dzieląc licznik i mianownik przez $3^{2 n}$ oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy

\lim_{n \to + \infty} \frac{2^{n + 1} + 3^{n}}{3^{2 n} + 2} = \lim_{n \to + \infty} \frac{2 \cdot (\frac{2}{9})^{n} + (\frac{1}{3})^{n}}{1 + 2 \cdot (\frac{1}{9})^{n}} = 0 .

(3) Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz uwaga 1.10.), mamy

\lim_{n \to + \infty} \frac{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{4^{n}}}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^{n}}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{\frac{1 - \frac{1}{4^{n + 1}}}{1 - \frac{1}{4}}}{\frac{1 - \frac{1}{3^{n + 1}}}{1 - \frac{1}{3}}} =

\frac{9}{8} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1 - \overset{\to 0}{\overset{⏞}{(\frac{1}{4})^{n + 1}}}}{1 - \underset{\to 0}{\underset{⏟}{(\frac{1}{3})^{n + 1}}}} = \frac{9}{8} \cdot 1 = \frac{9}{8} .

Ćwiczenie 4.4.

Niech ${x_{n}} \subseteq ℝ$ będzie ciągiem liczbowym takim, że $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g .$ Udowodnić, że jeśli $g \neq 0$ oraz $x_{n} \neq 0$ dla dowolnego $n \in ℕ,$ to ciąg ${\frac{1}{x_{n}}}$ jest ograniczony oraz dodatkowo

\exists m > 0 : | \frac{1}{x_{n}} | \geq m

Wskazówka

Skorzystać z definicji granicy ciągu z $ε = \frac{| g |}{2} .$

Rozwiązanie

Niech $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g \neq 0 .$ Niech $ε = \frac{| g |}{2} > 0 .$ Z definicji granicy mamy

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : | x_{n} - g | < \frac{| g |}{2}

w szczególności dla tak dobranego $N \in ℕ$ mamy

\forall n \geq N : g - \frac{| g |}{2} < x_{n} < g + \frac{| g |}{2}

zatem

\forall n \geq N : \frac{| g |}{2} < | x_{n} | < \frac{3 | g |}{2}

czyli

\forall n \geq N : \frac{2}{3 | g |} < \frac{1}{| x_{n} |} < \frac{2}{| g |} .

Zdefiniujmy teraz

m = \min {\frac{2}{3 | g |}, \frac{1}{| x_{1} |}, \dots, \frac{1}{| x_{N} |}}, M = \max {\frac{2}{| g |}, \frac{1}{| x_{1} |}, \dots, \frac{1}{| x_{N} |}} .

Oczywiście $0 < m < M$ oraz

\forall n \in ℕ : m \leq | \frac{1}{x_{n}} | \leq M,

co należało dowieść.

Ćwiczenie 4.5.

Niech ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ będą ciągami liczbowymi zbieżnymi. Udowodnić następujące stwierdzenia:
(1) $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} b_{n}) = (\lim_{n \to + \infty} a_{n}) (\lim_{n \to + \infty} b_{n})$ ;
(2) $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\lim_{n \to + \infty} a_{n}}{\lim_{n \to + \infty} b_{n}}$ (o ile $b_{n} \neq 0$ dla $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} \neq 0$ ).

Wskazówka

(1) Należy skorzystać z faktu, że ciąg zbieżny jest ograniczony. Przy liczeniu granicy ciągu ${a_{n} b_{n}}$ wykorzystać oszacowanie

| a_{n} b_{n} - a b | \leq | a_{n} b_{n} - a_{n} b | + | a_{n} b - a b | .

(2) Najpierw udowodnić, że $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{\lim_{n \to + \infty} b_{n}} .$ W tym celu należy skorzystać z zadania 4.4.. Następnie wykorzystać punkt (1).

Rozwiązanie

(1) Niech $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = b .$ Należy pokazać, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : | a_{n} b_{n} - a b | < ε .

Ustalmy dowolne $ε > 0 .$

Ciąg ${a_{n}}$ jako zbieżny, jest ograniczony, to znaczy

\exists A > 0 \forall n \in ℕ : | a_{n} | \leq A .

Z definicji granicy mamy

\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ : | b_{n} - b | < \frac{ε}{2 A}, \\ \exists N_{2} \in ℕ : | a_{n} - a | < \frac{ε}{2 | b |} \end{aligned}

(przy czym jeśli $b = 0,$ to ostatnie wyrażenie $\frac{ε}{2 | b |}$ zastąpmy przez $ε$ ).

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}} .$ Wówczas dla dowolnego $n \geq N$ mamy

\begin{aligned} | a_{n} b_{n} - a b | & \leq & | a_{n} b_{n} - a_{n} b | + | a_{n} b - a b | = | a_{n} | | b_{n} - b | + | a_{n} - a | | b | \\ < & A \cdot \frac{ε}{2 A} + \frac{ε}{2 | b |} \cdot | b | = ε, \end{aligned}

zatem

\lim_{n \to + \infty} (a_{n} b_{n}) = a \cdot b = (\lim_{n \to + \infty} a_{n}) \cdot (\lim_{n \to + \infty} b_{n}) .

(2) Niech $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ i $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = b$ (gdzie $b_{n} \neq 0$ dla $n \in ℕ$ oraz $b \neq 0$ ). Pokażemy najpierw, że

\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{b} .

Ustalmy dowolne $ε > 0 .$ Z Zadania zadania 4.4. wynika, że

\exists M > 0 \forall n \in ℕ : | \frac{1}{b_{n}} | \leq M .

Z definicji granicy, zastosowanej do $\tilde{ε} = \frac{| b | ε}{M}$ , mamy także

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : | b_{n} - b | < \frac{| b | ε}{M} .

Wówczas dla $n \geq N$ mamy

| \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b} | = | \frac{b - b_{n}}{b b_{n}} | = | b_{n} - b | \cdot | \frac{1}{b} | \cdot | \frac{1}{b_{n}} | \leq \frac{| b | ε}{M} \cdot \frac{1}{| b |} \cdot M = ε,

pokazaliśmy więc, że $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{b} .$

Możemy teraz skorzystać z udowodnionego już punktu (1), a mianowicie

\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n \to + \infty} (a_{n} \cdot \frac{1}{b_{n}}) = a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b} .

Ćwiczenie 4.6.

Niech ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ będą ciągami liczbowymi zbieżnymi. Udowodnić następujące stwierdzenia:
(1) $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a ⟹ \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = | a |$ ;
(2) $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 ⟺ \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = 0$ ;

Wskazówka

(1) Udowodnić najpierw prostą nierówność:

\forall x, y \in ℝ : | | x | - | y | | \leq | x - y | .

(2) Wykorzystać jedynie definicję granicy ciągu.

Rozwiązanie

(1) Udowodnimy najpierw, że

\forall x, y \in ℝ : | | x | - | y | | \leq | x - y | .

Korzystając z nierówności trójkąta dla wartości bezwzględnej (metryki euklidesowej w $ℝ$ ), mamy

| x | = | x - y + y | \leq | x - y | + | y |,

stąd

| x | - | y | \leq | x - y | .

Analogicznie dostajemy

| y | - | x | \leq | y - x | = | x - y | .

Dwie ostatnie nierówności oznaczają, że

| | x | - | y | | \leq | x - y |,

co należało dowieść.

Załóżmy teraz, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a .$ Należy pokazać, że $\lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = | a | .$ Ustalmy dowolne $ε > 0 .$ Z definicji granicy mamy

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : | a_{n} - a | < ε .

Wówczas, korzystając z udowodnionej nierówności, dla $n \geq N$ mamy

| | a_{n} | - | a | | \leq | a_{n} - a | < ε .

Zatem pokazaliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = | a | .$

Zauważmy w tym miejscu, że nie jest ogólnie prawdziwa implikacja w drugą stronę. Rozważmy bowiem ciąg $a_{n} = (- 1)^{n}$ . Wówczas $\lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = \lim_{n \to + \infty} 1 = 1 = | 1 |$ , ale ciąg ${a_{n}}$ nie ma granicy.

(2) " $⟹$ ":
Wynika wprost z punktu (1).
" $⟸$ ":
Niech $\lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = 0 .$ Należy pokazać, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 .$ Ustalmy dowolne $ε > 0 .$ Z definicji granicy ciągu mamy

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : | | a_{n} | - 0 | < ε .

Zatem dla $n \geq N$ mamy

| a_{n} - 0 | = | a_{n} | = | | a_{n} | | = | | a_{n} | - 0 | < ε,

co oznacza, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 .$

Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 4: Ciągi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 10:19, 28 sie 2023

4. Ciągi liczbowe

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 5: / Linia 5: @@
 Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
 '''(1)'''
-<math>\displaystyle
+<math>
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2n^2+1}{3n^2-1},</math><br>
 '''(2)'''
-<math>\displaystyle
+<math>
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}},</math><br>
 '''(3)'''
-<math>\displaystyle
+<math>
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{-n+1}{n^2+2}.</math>
 }}
@@ Linia 41: / Linia 41: @@
 arytmetyce granic (dla sumy i iloczynu; patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe#twierdzenie_4_9|twierdzenie 4.9.]])
 oraz fakt, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}=0</math>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}=0</math>
 (patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi|przykład 3.21.]] i [[Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe#twierdzenie_4_9|twierdzenie 4.9.]]).<br>
 <br>
@@ Linia 51: / Linia 51: @@
 </math></center>
-przy czym <math>2\sqrt{n} \rightarrow +\infty  </math>. Zbieżność  <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt{n}=+\infty</math>
+przy czym <math>2\sqrt{n} \rightarrow +\infty  </math>. Zbieżność  <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt{n}=+\infty</math>
 łatwo pokazać z definicji granicy niewłaściwej.
 Zatem korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach
@@ Linia 64: / Linia 64: @@
 \begin{array} {ccccc}
--\frac{n}{n^2} & \le & \displaystyle\frac{-n+1}{n^2+2} & \le & 0\\
+-\frac{n}{n^2} & \le & \frac{-n+1}{n^2+2} & \le & 0\\
 \shortparallel               &     &                                 &     & \downarrow\\
 -\frac{1}{n}   &     &                                 &     & 0\\
@@ Linia 75: / Linia 75: @@
 że
-<center><math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{-n+1}{n^2+2}=0.</math></center><br>
+<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{-n+1}{n^2+2}=0.</math></center><br>
 '''Sposób II.'''
 Dzieląc licznik i mianownik przez <math>n^2</math>
@@ Linia 93: / Linia 93: @@
 Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
 '''(1)'''
-<math>\displaystyle
+<math>
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+2}{n}}{n^2},</math><br>
 '''(2)'''
-<math>\displaystyle
+<math>
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+3}{n}}{n^3}.</math>
 }}
@@ Linia 117: / Linia 117: @@
 <center><math>\begin{align}
-\displaystyle
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+2}{n}}{n^2}
 & = &
-\displaystyle
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{2n^2}
 =
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^2+3n+2}{2n^2}\\
 & = &
-\displaystyle
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{2}
 +\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{n}}_{=0}
@@ Linia 149: / Linia 149: @@
 <center><math>\begin{align}
-\displaystyle
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+3}{n}}{n^3}
 & = &
-\displaystyle
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6n^3}
 =
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^3+6n^2+11n+6}{6n^3}\\
 & = &
-\displaystyle
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{6}
 +\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}}_{=0}
@@ Linia 173: / Linia 173: @@
 Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
 '''(1)'''
-<math>\displaystyle
+<math>
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{5^{n+1}+1+6^{n+1}}{3\cdot 6^n},</math><br>
 '''(2)'''
-<math>\displaystyle
+<math>
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2},</math><br>
 '''(3)'''
-<math>\displaystyle
+<math>
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}}.</math>
 }}
@@ Linia 218: / Linia 218: @@
 \begin{array} {ccccc}
-& \le & \displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2} & \le & \displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}}\\
+& \le & \frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2} & \le & \frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}}\\
 \downarrow      &     &                                           &     & \shortparallel\\
 &     &                                           &     &2\bigg(\frac{2}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^n\\
@@ Linia 230: / Linia 230: @@
 że
-<center><math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}=0.</math></center><br>
+<center><math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}=0.</math></center><br>
 <br>
 '''Sposób II.'''
@@ Linia 253: / Linia 253: @@
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}}
 =
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle\frac{1-\frac{1}{4^{n+1}}}{1-\frac{1}{4}}}{\displaystyle\frac{1-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}}
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\frac{1-\frac{1}{4^{n+1}}}{1-\frac{1}{4}}}{\frac{1-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}}
 =</math></center>
 <center><math>
@@ Linia 285: / Linia 285: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g\ne 0.</math>
+Niech <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g\ne 0.</math>
-Niech <math>\displaystyle\varepsilon=\frac{|g|}{2}>0.</math>
+Niech <math>\varepsilon=\frac{|g|}{2}>0.</math>
 Z definicji granicy mamy
@@ Linia 337: / Linia 337: @@
 Niech
-<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
+<math>\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
 będą ciągami liczbowymi zbieżnymi.
 Udowodnić następujące stwierdzenia:<br>
@@ Linia 347: / Linia 347: @@
 =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n}</math>
 (o ile
-<math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math> oraz <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\ne 0</math>).
+<math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math> oraz <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\ne 0</math>).
 }}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 '''(1)''' Należy skorzystać z faktu, że ciąg zbieżny jest ograniczony.
-Przy liczeniu granicy ciągu <math>\displaystyle\{a_nb_n\}</math> wykorzystać oszacowanie
+Przy liczeniu granicy ciągu <math>\{a_nb_n\}</math> wykorzystać oszacowanie
 <center><math>\big|a_nb_n-ab\big| \le \big|a_nb_n-a_nb\big|
@@ Linia 367: / Linia 367: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 '''(1)'''
-Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math> i <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b.</math>
+Niech <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math> i <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b.</math>
 Należy pokazać, że
@@ Linia 376: / Linia 376: @@
 </math></center>
-Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+Ustalmy dowolne <math>\varepsilon>0.</math>
-Ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jako zbieżny, jest ograniczony, to znaczy
+Ciąg <math>\{a_n\}</math> jako zbieżny, jest ograniczony, to znaczy
 <center><math>
@@ Linia 394: / Linia 394: @@
 (przy czym jeśli <math>b=0,</math> to ostatnie wyrażenie
-<math>\displaystyle\frac{\varepsilon}{2|b|}</math> zastąpmy przez <math>\displaystyle\varepsilon</math>).
+<math>\frac{\varepsilon}{2|b|}</math> zastąpmy przez <math>\varepsilon</math>).
 Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}.</math>
@@ Linia 426: / Linia 426: @@
 '''(2)'''
-Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math> i <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b</math>
+Niech <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math> i <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b</math>
 (gdzie <math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math> oraz <math>b\ne 0</math>).
 Pokażemy najpierw, że
@@ Linia 436: / Linia 436: @@
 </math></center>
-Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+Ustalmy dowolne <math>\varepsilon>0.</math>
 Z Zadania [[#cwiczenie_4_4|zadania 4.4.]]  wynika, że
@@ Linia 447: / Linia 447: @@
 Z definicji granicy,
 zastosowanej do
-<math>\displaystyle\widetilde{\varepsilon}=\frac{|b|\varepsilon}{M}</math>, mamy także
+<math>\widetilde{\varepsilon}=\frac{|b|\varepsilon}{M}</math>, mamy także
 <center><math>
@@ Linia 468: / Linia 468: @@
 pokazaliśmy więc, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}.</math>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}.</math>
 Możemy teraz skorzystać z udowodnionego już punktu (1), a mianowicie
@@ Linia 487: / Linia 487: @@
 Niech
-<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
+<math>\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
 będą ciągami liczbowymi zbieżnymi.
 Udowodnić następujące stwierdzenia:<br>
 '''(1)'''
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =a\quad
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =a\quad
 \Longrightarrow\quad
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|</math>;<br>
 '''(2)'''
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =0\quad
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =0\quad
 \Longleftrightarrow\quad
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0</math>;
@@ Linia 525: / Linia 525: @@
 Korzystając z nierówności trójkąta dla
-wartości bezwzględnej (metryki euklidesowej w <math>\displaystyle\mathbb{R}</math>), mamy
+wartości bezwzględnej (metryki euklidesowej w <math>\mathbb{R}</math>), mamy
 <center><math>|x|=
@@ Linia 556: / Linia 556: @@
 Załóżmy teraz, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a.</math>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a.</math>
 Należy pokazać, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|.</math>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|.</math>
-Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+Ustalmy dowolne <math>\varepsilon>0.</math>
 Z definicji granicy mamy
@@ Linia 579: / Linia 579: @@
 Zatem pokazaliśmy, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|.</math><br>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|.</math><br>
 <br>
 Zauważmy w tym miejscu, że nie jest ogólnie prawdziwa implikacja
@@ Linia 587: / Linia 587: @@
 <br>
 '''(2)'''
-"<math>\displaystyle\Longrightarrow</math>":<br>
+"<math>\Longrightarrow</math>":<br>
 Wynika wprost z punktu (1).<br>
-"<math>\displaystyle\Longleftarrow</math>":<br>
+"<math>\Longleftarrow</math>":<br>
-Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0.</math>
+Niech <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0.</math>
-Należy pokazać, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.</math>
+Należy pokazać, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.</math>
-Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+Ustalmy dowolne <math>\varepsilon>0.</math>
 Z definicji granicy ciągu mamy
@@ Linia 613: / Linia 613: @@
 </math></center>
-co oznacza, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.</math>
+co oznacza, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.</math>
 </div></div>