Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 10: Wielowymiarowa całka Riemanna: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m Zastępowanie tekstu - "\aligned" na "\begin{align}"
m Zastępowanie tekstu - "\ =\" na "="
Linia 36: Linia 36:
<center>
<center>
<math>\displaystyle K_{ij}
<math>\displaystyle K_{ij}
\ =\
=
\left[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}\right]\times
\left[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}\right]\times
\left[\frac{j}{n},\frac{j+1}{n}\right].
\left[\frac{j}{n},\frac{j+1}{n}\right].
Linia 53: Linia 53:
<center>
<center>
<math>\displaystyle S(f,P_n,p_{11},p_{12},\ldots,p_{nn})
<math>\displaystyle S(f,P_n,p_{11},p_{12},\ldots,p_{nn})
\ =\
=
\sum_{i,j=1}^nf(p_{ij})v(K_{ij})
\sum_{i,j=1}^nf(p_{ij})v(K_{ij})
\ =\
=
\sum_{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot\frac{1}{n^2}.
\sum_{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot\frac{1}{n^2}.
</math>
</math>
Linia 64: Linia 64:
<center>
<center>
<math>\displaystyle \sum_{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot\frac{1}{n^2}
<math>\displaystyle \sum_{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot\frac{1}{n^2}
\ =\
=
\frac{1}{n^4}\sum_{i,j=1}^nij.
\frac{1}{n^4}\sum_{i,j=1}^nij.
</math>
</math>
Linia 73: Linia 73:
<center>
<center>
<math>\displaystyle \sum_{i,j=1}^nij
<math>\displaystyle \sum_{i,j=1}^nij
\ =\
=
1\sum_{i,j=1}^nj+2\sum_{i,j=1}^nj+\ldots+n\sum_{i,j=1}^nj
1\sum_{i,j=1}^nj+2\sum_{i,j=1}^nj+\ldots+n\sum_{i,j=1}^nj
\ =\
=
(1+2+\ldots+n)\sum_{i,j=1}^nj
(1+2+\ldots+n)\sum_{i,j=1}^nj
\ =\
=
\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2,
\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2,
</math>
</math>
Linia 88: Linia 88:
<center>
<center>
<math>\displaystyle \sum_{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot\frac{1}{n^2}
<math>\displaystyle \sum_{i,j=1}^n\frac{ij}{n^2}\cdot\frac{1}{n^2}
\ =\
=
\frac{1}{n^4}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{1}{4}.
\frac{1}{n^4}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{1}{4}.
</math>
</math>
Linia 224: Linia 224:


<center><math>\displaystyle K_{s+1}
<center><math>\displaystyle K_{s+1}
\ =\
=
K_{s+2}
K_{s+2}
\ =\
=
\ldots
\ldots
\ =\
=
Q.
Q.
</math></center>
</math></center>
Linia 242: Linia 242:


<center><math>\displaystyle \sum_{j=1}^{\infty}v(K_j)
<center><math>\displaystyle \sum_{j=1}^{\infty}v(K_j)
\ =\
=
\sum_{j=1}^sv(K_j)+0+0+\ldots\leq\varepsilon.
\sum_{j=1}^sv(K_j)+0+0+\ldots\leq\varepsilon.
</math></center>
</math></center>
Linia 317: Linia 317:


<center><math>\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}v(K_i^j)
<center><math>\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}v(K_i^j)
\ =\
=
\sum_{j=1}^{\infty}\left(\sum_{i=1}^{\infty}v(K_i^j)\right)
\sum_{j=1}^{\infty}\left(\sum_{i=1}^{\infty}v(K_i^j)\right)
\ \leq\
\ \leq\
\sum_{j=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^j}
\sum_{j=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^j}
\ =\
=
\varepsilon.
\varepsilon.
</math></center>
</math></center>
Linia 453: Linia 453:


<center><math>\displaystyle g(x)
<center><math>\displaystyle g(x)
\ =\
=
\left\{
\left\{
\begin{array} {lll}
\begin{array} {lll}

Wersja z 12:51, 9 cze 2020

Wielowymiarowa całka Riemanna

Ćwiczenie 10.1.

Policzyć z definicji następującą całkę

Kxy dxdy,

gdzie K=[0,1]×[0,1].

Wskazówka
Rozwiązanie

Skoro funkcja f(x,y)=xy jest ciągła na kostce K, to całka Riemanna z tej funkcji istnieje. W takim razie wystarczy wziąć jakikolwiek normalny ciąg podziałów Pn,n, utworzyć sumę całkową i znaleźć jej granicę przy n.

Weźmy następujący podział Pn kostki K. Podzielmy każdy z odcinków [0,1] na n równych części. Każda z nich będzie miała długość 1n. Biorąc iloczyn kartezjański tych małych odcinków, dostajemy podział Pn kwadratu K na kwadraty Kij, i,j=1,,n o boku 1n, a zatem o objętości v(Kij)=1n2:

Kij=[in,i+1n]×[jn,j+1n].

Oczywiście Pn jest normalnym ciągiem podziałów.

Jako punkty pośrednie w kwadratach (kostkach) Kij weźmy lewe dolne rogi tych kwadratów, czyli punkty pij o współrzędnych pij:=(in,jn). Wartość funkcji f(x,y)=xy w punktach pij,i,j=1,,n jest równa zatem ijn2.

Utwórzmy n-tą sumę całkową:

S(f,Pn,p11,p12,,pnn)=i,j=1nf(pij)v(Kij)=i,j=1nijn21n2.

Musimy policzyć granicę tej ostatniej sumy przy n. Otóż

i,j=1nijn21n2=1n4i,j=1nij.

Teraz wystarczy zauważyć, że

i,j=1nij=1i,j=1nj+2i,j=1nj++ni,j=1nj=(1+2++n)i,j=1nj=(n(n+1)2)2,

bo i,j=1nj=n(n+1)2. A zatem

i,j=1nijn21n2=1n4(n(n+1)2)2n14.

Tak więc dla K=[0,1]×[0,1],

Kxy dxdy=14.

Ćwiczenie 10.2.

Policzyć z definicji całkę

Kx dxdydz,

gdzie K=[0,1]×[0,1]×[0,1].

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 10.3.

Policzyć całkę

K(x+y) dxdydz,

gdzie K=[0,1]×[0,1]×[0,1].

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 10.4.

Wykazać, że zbiór BN o objętości zero jest zbiorem miary zero.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 10.5.

Wykazać, że odcinek T2 ma objętość zero.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 10.6.

(Zadanie nadobowiązkowe.)
Wykazać, że suma przeliczalnej ilości zbiorów miary zero jest zbiorem miary zero.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 10.7.

Wykazać, że prosta w 2 ma miarę zero.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 10.8.

Wykazać, że ściana kostki K w N ma miarę zero.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 10.9.

Znaleźć przykład funkcji na odcinku [0,1], która jest różna od funkcji ciągłej na zbiorze miary zero, ale która nie jest ciągła w żadnym punkcie.

Wskazówka
Rozwiązanie