Programowanie funkcyjne/Procedury wyższych rzędów/Ćwiczenia: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycjanastępna edycja →
WizualnieWikikod
Kubica (dyskusja | edycje)
630 edycji
Kubica (dyskusja | edycje)
630 edycji
Linia 17: Linia 17:


== Laboratorium ==
== Laboratorium ==
{{cwiczenie|[Szereg Taylora]||
Zaimplementuj aproksymację funkcji za pomocą szeregu Taylora.
Twoja procedura powinna mieć następujące parametry: liczbę sumowanych wyrazów szeregu, punkt, w którym badana jest przybliżana funkcja.
Wynikiem powinno być przybliżenie funkcji. Zastosuj przybliżenie pochodnej przedstawione na wykładzie.
}}


* Zaimplementuj aproksymację funkcji za pomocą szeregu Taylora. Twoja procedura powinna mieć następujące parametry: liczbę sumowanych wyrazów szeregu, punkt, w którym badana jest przybliżana funkcja. Wynikiem powinno być przybliżenie funkcji. Zastosuj przybliżenie pochodnej przedstawione na wykładzie.  
{{cwiczenie|[Odwrotność funkcji]||}}
Niech <math>f : \mathcal{R} \to \mathcal{R}</math> będzie funkcją 1-1 i "na" oraz taką, że <math>f(0) = 0</math>,  
<math>f</math> jest rosnąca i <math>|f(x)| \ge |x|</math>. Zaimplementuj procedurę <tt>odwrotnosc</tt>,
której wynikiem dla parametru <math>f</math> będzie przybliżenie <math>f^{-1}</math> z dokładnością zadaną przez stałą <tt>epsilon</tt>
(czyli jeśli <tt>g = odwrotnosc f</tt>, to <math>\forall x\ |g(x) - f^{-1}(x)| \le epsilon</math>).




* Niech <math>f : \mathcal{R} \to \mathcal{R}</math> będzie funkcją 1-1 i "na" oraz taką, że <math>f(0) = 0</math>, <math>f</math> jest rosnąca i <math>|f(x)| \ge |x|</math>. Zaimplementuj procedurę <tt>odwrotnosc</tt>, której wynikiem dla parametru <math>f</math> będzie przybliżenie <math>f^{-1}</math> z dokładnością zadaną przez stałą <tt>epsilon</tt> (czyli jeśli <tt>g = odwrotnosc f</tt>, to <math>\forall x\ |g(x) - f^{-1}(x)| \le epsilon</math>).
{{cwiczenie|[Pierwiastkowanie jako punkt stały [AS] ]||
 
Przedstawione w wykładzie tłumienie przez uśrednianie opiera się na średniej arytmetycznej.  
* [AS] Przedstawione w wykładzie tłumienie przez uśrednianie opiera się na średniej arytmetycznej. Czasami zamiast średniej arytmetycznej należy użyć średniej ważonej, z odpowiednio dobraną wagą. Punktem stałym funkcji <math>y \to \frac{x}{y^{n-1}}</math> jest <math>\sqrt[n]{x}</math>. Zaimplementuj obliczanie <math>n</math>-tego pierwiastka z <math>x</math> za pomocą obliczania punktu stałego i tłumienia przez uśrednianie z odpowiednimi wagami. Uwaga: W jaki sposób wagi zależą od <math>n</math>?
Czasami zamiast średniej arytmetycznej należy użyć średniej ważonej, z odpowiednio dobraną wagą.  
Punktem stałym funkcji <math>y \to \frac{x}{y^{n-1}}</math> jest <math>\sqrt[n]{x}</math>.  
Zaimplementuj obliczanie <math>n</math>-tego pierwiastka z <math>x</math> za pomocą obliczania punktu stałego i  
tłumienia przez uśrednianie z odpowiednimi wagami.  
Uwaga: W jaki sposób wagi zależą od <math>n</math>?
}}

Wersja z 12:27, 18 paź 2006

Praca domowa

  • Wygładzenie funkcji z odstępem dx polega na uśrednieniu f(x−dx), f(x) i f(x+dx). Napisz procedurę wygładzającą daną funkcję z zadanym odstępem.
  • Jaki typ ma procedura compose zastosowana w wyrażeniu:
compose twice twice;;

Ćwiczenia

  • Przypomnij sobie zadanie dotyczące wyliczania wartości wyrażeń. Rozszerz składnię wyrażeń o zmienne. Procedura obliczająca wartość wyrażenia będzie wymagać dodatkowego parametru -- wartościowania zmiennych, czyli procedury, która nazwie zmiennej przyporządkowuje jej wartość.
  • Zaimplementuj przybliżanie zer funkcji przez bisekcję. Parametrami powinny być:
    • funkcja f, której zer szukamy,
    • dwa punkty, w których funkcja przyjmuje wartości przeciwnych znaków,
    • precyzja poszukiwać, tzn. taki ε, że jeżeli wynik x spełnia |f x|≤ε, to jest dobrym przybliżeniem zera.


Laboratorium

Ćwiczenie [Szereg Taylora]

Zaimplementuj aproksymację funkcji za pomocą szeregu Taylora. Twoja procedura powinna mieć następujące parametry: liczbę sumowanych wyrazów szeregu, punkt, w którym badana jest przybliżana funkcja. Wynikiem powinno być przybliżenie funkcji. Zastosuj przybliżenie pochodnej przedstawione na wykładzie.

Ćwiczenie [Odwrotność funkcji]

Niech f:ℛ→ℛ będzie funkcją 1-1 i "na" oraz taką, że f(0)=0, f jest rosnąca i |f(x)|≥|x|. Zaimplementuj procedurę odwrotnosc, której wynikiem dla parametru f będzie przybliżenie f−1 z dokładnością zadaną przez stałą epsilon (czyli jeśli g = odwrotnosc f, to ∀x |g(x)−f−1(x)|≤epsilon).


Ćwiczenie [Pierwiastkowanie jako punkt stały [AS] ]

Przedstawione w wykładzie tłumienie przez uśrednianie opiera się na średniej arytmetycznej. Czasami zamiast średniej arytmetycznej należy użyć średniej ważonej, z odpowiednio dobraną wagą. Punktem stałym funkcji y→xyn−1 jest xn. Zaimplementuj obliczanie n-tego pierwiastka z x za pomocą obliczania punktu stałego i tłumienia przez uśrednianie z odpowiednimi wagami. Uwaga: W jaki sposób wagi zależą od n?

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Programowanie_funkcyjne/Procedury_wyższych_rzędów/Ćwiczenia&oldid=64233”