Analiza matematyczna 2/Wykład 3: Norma. Iloczyn skalarny

Norma. Iloczyn skalarny

W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie normy i przestrzeni unormowanej. Pokazujemy, że kule w przestrzeniach unormowanych są zbiorami wypukłymi. Wprowadzamy pojęcia iloczynu skalarnego i przestrzeni unitarnej. Dowodzimy nierówności Schwarza, warunku równoległoboku i twierdzenia Pitagorasa.

Przestrzenie unormowane

Przypomnijmy, że na pierwszym wykładzie z Analizy Matematycznej 2 wprowadziliśmy pojęcie metryki, czyli funkcji, która każdym dwóm punktom danego zbioru przyporządkowuje ich odległość. W przypadku, gdy dany zbiór jest przestrzenią wektorową, możemy wprowadzić funkcję mierzącą "długość" wektora. Funkcję tę nazwiemy normą. Okaże się (zgodnie z intuicją, jak dla przypadku płaszczyzny ${\mathbb{ℝ}}^2$), że jeśli umiemy zmierzyć długość wektorów przestrzeni wektorowej $X,$ to możemy także mierzyć odległość między punktami zbioru $X.$

Pojęcie normy jest szczególnie przydatne w przestrzeniach funkcji (np. przestrzeniach funkcji liniowych lub przestrzeniach funkcji ciągłych). Norma będzie nam również przydatna w przyszłości do zdefiniowania pochodnych wyższych rzędów dla funkcji wielu zmiennych.

Wprowadźmy formalną definicję (wektor zerowy przestrzeni wektorowej $X$ będziemy oznaczać przez $\mathrm{\Theta }$).

Definicja 3.1.

Niech $X$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $K$ ($K=\mathbb{ℝ}$ lub $K=\mathbb{ℂ}$).
Odwzorowanie $\Vert \cdot \Vert :X⟶{\mathbb{ℝ}}_{+}$ nazywamy normą w $X,$ jeśli:
(1) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \ \|x\|=0\ \Longleftrightarrow\ x=\Theta} ;
(2) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x\in X,\ \ \lambda\in K:\ \ \|\lambda x\|=|\lambda|\cdot\|x\|} (jednorodność);
(3) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X:\ \ \|x+y\|\le\|x\|+\|y\|} (subaddytywność).
Parę $(X,\Vert \cdot \Vert )$ nazywamy przestrzenią unormowaną.

=======

Zauważmy, że definicja powyższa precyzuje nasze naturalne wymagania w stosunku do długości wektora, a mianowicie:
(1) długość wektora wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wektor jest zerowy;
(2) długość iloczynu wektora przez liczbę, to iloczyn długości tego wektora i wartości bezwzględnej tej liczby;
(3) długość sumy wektorów jest niewiększa od sumy ich długości.

Euklides (365-300 p.n.e.)
Zobacz biografię

Przykład 3.2.

W przestrzeni wektorowej ${\mathbb{ℝ}}^N$ nad $\mathbb{ℝ}$ możemy wprowadzić następujące normy:
$\Vert x{\Vert }_2\stackrel{df}{=}\sqrt{\sum _{i=1}^N{x}_i^2},x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ (norma euklidesowa),
$\Vert x{\Vert }_1\stackrel{df}{=}\sum _{i=1}^N|x_i|,x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ (norma taksówkowa),
$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\stackrel{df}{=}\underset{1\le i\le N}{\max }|x_i|,x=(x_1,\dots ,x_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$ (normamaksimowa).
Dowód faktów, że powyższe odwzorowania są normami pozostawiamy na ćwiczenia (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.010|). Nazwy powyższych norm nie są przypadkowe (patrz Uwaga Uzupelnic u.new.am2.w.03.040|).

=======

Okazuje się, że każda przestrzeń unormowana jest w naturalny sposób przestrzenią metryczną. Mówi o tym następujące twierdzenie.

Twierdzenie 3.3.

Jeśli $(X,\Vert \cdot \Vert )$ jest przestrzenią unormowaną, $d:X\times X⟶{\mathbb{ℝ}}_{+}$ jest funkcją zadaną przez $d(x,y)\stackrel{df}{=}\Vert x-y\Vert ,$ to $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną.
Mówimy, że $d$ jest metryką zadaną przez normę $\Vert \cdot \Vert .$

=======

Dowód 3.3.

Załóżmy, że $\Vert \cdot \Vert$ jest normą w $X.$ Pokażemy, że odwzorowanie $d:X\times X⟶{\mathbb{ℝ}}_{+}$ zadane przez $d(x,y)\stackrel{df}{=}\Vert x-y\Vert$ jest metryką w $X.$
(1) Zauważmy, że dla dowolnych $x,y\in X$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y) \ =\ \|x-y\| \ \ge\ 0 }

oraz

$d(x,y)=0⟺\Vert x-y\Vert =0⟺x=y.$

(2) Dla dowolnych $x,y\in X,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y) \ =\ \|x-y\| \ =\ |-1|\|x-y\| \ =\ \|(-1)(x-y)\| \ =\ \|-x+y\| \ =\ \|y-x\| \ =\ d(y,x). }

(3) Dla dowolnych $x,y,z\in X,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y) \ =\ \|x-y\| \ =\ \|x-z+z-y\| \ \le\ \|x-z\|+\|z-y\| \ =\ d(x,z)+d(z,y) }

zatem zachodzi warunek trójkąta dla $d.$

Pokazaliśmy zatem, że $d$ jest metryką.

=======

Uwaga 3.4.

(1) Z powyższego twierdzenia wynika, że każda norma zadaje metrykę.
(2) Nie każda metryka jest zadana przez normę (patrz Wniosek Uzupelnic w.new.am2.w.03.120|).
(3) Zbieżność w sensie metryki zadanej przez normę nazywamy zbieżnością silną lub zbieżnością w normie, to znaczy jeśli $\{x_n\}\subseteq X$ jest ciągiem, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_n \ \stackrel{\|\cdot\|}{\longrightarrow} x \ \ \ \stackrel{df}{\Longleftrightarrow}\ \ \ \|x_n-x\| \ \longrightarrow\ 0. }

(4) Normy euklidesowa, taksówkowa, maksimowa zdefiniowane w Przykładzie Uzupelnic p.new.am2.w.03.020| zadają odpowiednio metryki euklidesową, taksówkową, maksimową (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.020|).

=======

W przypadku norm można rozważać ich równoważność.

Definicja 3.5.

Dwie normy $\Vert \cdot {\Vert }_a$ i $\Vert \cdot {\Vert }_b$ w przestrzeni unormowanej $X$ nazywamy równoważnymi, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists m,M>0\ \ \forall x\in X:\ \ m\|x\|_{a} \ \le\ \|x\|_{b} \ \le\ M\|x\|_{a}. }

=======

Równoważność norm ma następujące własności.

Uwaga 3.6.

(1) Relacja równoważności norm jest relacją równoważnościową w zbiorze wszystkich norm na danej przestrzeni unormowanej.
(2) Normy: euklidesowa $\Vert \cdot {\Vert }_2$; maksimowa $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ taksówkowa $\Vert \cdot {\Vert }_1$ są równoważne (będzie to pokazane na ćwiczeniach; patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.030|). Okazuje się, że w przestrzeniach wektorowych skończenie wymiarowych wszystkie normy są równoważne.

=======

Kolejne twierdzenie mówi, że odwzorowanie normy $\Vert \cdot \Vert :X⟶{\mathbb{ℝ}}_{+}$ jest ciągłe (oczywiście w przestrzeni $X$ rozważamy metrykę zadaną przez normę, a w $\mathbb{ℝ}$ metrykę euklidesową).

Twierdzenie 3.7.

Wszystkie normy w ${\mathbb{ℝ}}^N$ są równoważne.

=======

Twierdzenie 3.8.

(Ciągłość normy)
Norma jest funkcją ciągłą, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = x \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\|x_n\|=\|x\|. }

=======

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat, będący wariantem nierówności trójkąta.

Lemat 3.9.

Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \big|\|x\|-\|y\|\big| \ \le\ \|x-y\|. }

=======

Dowód 3.9.

Korzystając z subaddytywności normy, dla dowolnych $x,y\in X,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\| \ =\ \|x+(-y)+y\| \ \le\ \|x-y\|+\|y\|, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|-\|y\| \ \le\ \|x-y\|. }

Analogicznie pokazujemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|y\|-\|x\| \ \le\ \|x-y\|. }

Obie powyższe nierówności implikują nierówność w tezie lematu.

=======

Dowód 3.8.

Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.03.070|
Warunek $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=x$ oznacza, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \|x_n-x\| \ =\ 0. }

Ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Z powyższej równości wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\forall n\ge N:\ \|x_n-x\| \ \le\ \varepsilon. }

Zatem, dla $n\ge N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|\|x_n\|-\|x\|\big| \ \le\ \|x_n-x\| \ \le\ \varepsilon. }

Zatem pokazaliśmy, że $\Vert x_n\Vert \stackrel{\mathbb{ℝ}}{=}======⟶\Vert x\Vert .$

=======

Uwaga 3.10.

(1) Implikacja odwrotna do implikacji w twierdzeniu Uzupelnic t.new.am2.w.03.070| nie jest prawdziwa.
Aby to zobaczyć, rozważmy ciąg $\{x_n\}\subseteq \mathbb{ℝ}$ zadany przez $x_n=(-1{)}^n.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_n\|_2 \ =\ 1 \ \longrightarrow\ 1, }

ale sam ciąg $\{x_n\}$ nie jest silnie zbieżny (dlaczego?)
(2) Jeżeli granicą ciągu $\{x_n\}$ jest $\mathrm{\Theta }$ (wektor "zerowy" przestrzeni wektorowej), to implikację w Twierdzeniu Uzupelnic t.new.am2.w.03.070| można odwrócić, to znaczy zachodzi równoważność:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = \Theta \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\|x_n\|=0 }

(dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie).

=======

W przestrzeniach wektorowych możemy mówić o wypukłości zbiorów.

Definicja 3.11.

Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $A\subseteq X.$
(1) Jeśli $x,y\in X,$ to odcinkiem w $X$ łączącym punkty $x$ i $y$ nazywamy zbiór

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle [x,y] \ \stackrel{df}{=}\ \bigg\{z\in X:\ z=\lambda x+(1-\lambda)y:\ \ \lambda\in[0,1]\bigg\}. }

=======

<flash>file=AM2.M03.W.R01.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>AM2.M03.W.R01

<flash>file=AM2.M03.W.R02.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>AM2.M03.W.R02

(2) Mówimy, że zbiór $A$ jest wypukły, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in A:\ \ [x,y]\subseteq A. }

<flashwrap>file=AM2.M03.W.R03.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM2.M03.W.R03

<flashwrap>file=AM2.M03.W.R04.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM2.M03.W.R04

W szczególnych przestrzeniach metrycznych jakimi są przestrzenie unormowane, kule mają tę przydatną własność, że są wypukłe.

Twierdzenie 3.12.

Kule i kule domknięte w przestrzeniach unormowanych są wypukłe.

=======

<flashwrap>file=AM2.M03.W.R05.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM2.M03.W.R05

<flashwrap>file=AM2.M03.W.R06.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM2.M03.W.R06

<flashwrap>file=AM2.M03.W.R07.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM2.M03.W.R07

Dowód 3.12.

Niech $a\in X$ oraz $r>0.$ Pokażemy, że kula $K(a,r)$ jest zbiorem wypukłym. W tym celu wybierzmy dowolne $x_1,x_2\in K(a,r).$ Z definicji kuli wynika, że

$\Vert x_1-a\Vert <r,\Vert x_2-a\Vert <r.$

Niech $x\in [x_1,x_2].$ Należy pokazać, że $x\in K(a,r).$ Z definicji odcinka w $X$ wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \lambda\in[0,1]:\ x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-a\| \ =\ \|\lambda x_1+(1-\lambda)x_2-a\| \ =\ \|\lambda(x_1-a)+(1-\lambda)(x_2-a)\| \ \le\ \lambda\|x_1-a\|+(1-\lambda)\|x_2-a\| \ <\ \lambda r+(1-\lambda)r \ =\ r. }

Zatem pokazaliśmy, że $x\in K(a,r).$

=======

Powyższe twierdzenie dostarcza nam pewnego warunku koniecznego na to aby dana przestrzeń metryczna była zadana przez normę.

Wniosek 3.13.

Metryka kolejowa i metryka rzeka w ${\mathbb{ℝ}}^2$ nie są zadane przez żadną normę, ponieważ kule w tych metrykach nie są zbiorami wypukłymi (patrz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.01.050| oraz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.01.060|).

=======

<flashwrap>file=AM2.M03.W.R08.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM2.M03.W.R08

<flashwrap>file=AM2.M03.W.R09.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>AM2.M03.W.R09

Przypomnijmy, że przestrzeń metryczną nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg Cauchy'ego tej przestrzeni ma granicę (patrz Definicja Uzupelnic d.new.am2.w.02.100|). Wśród przestrzeni unormowanych szczególną rolę odgrywają przestrzenie unormowane zupełne.

Stefan Banach (1892-1945)
Zobacz biografię

Definicja 3.13.

Przestrzenią Banacha nazywamy przestrzeń unormowaną zupełną.

=======

Przykład 3.14.

(1) $({\mathbb{ℝ}}^N,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ jest przestrzenią Banacha (patrz Wniosek Uzupelnic w.new.am2.w.02.230|).
(2) Przestrzeń $C([a,b];\mathbb{ℝ})$ z normą $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\sup {}_{x\in [a,b]}|f(x)|$ jest przestrzenią Banacha (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.03.050|).

=======

Przestrzenie unitarne

W przestrzeniach wektorowych możemy wprowadzić pojęcie iloczynu skalarnego. Dzięki niemu będziemy mogli mówić o prostopadłości wektorów. Okaże się, że przestrzenie z iloczynem skalarnym są także przestrzeniami unormowanymi z naturalnie wprowadzoną normą.

Definicja 3.15.

Niech $X$ będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową. Odwzorowanie $(\cdot |\cdot ):X\times X⟶\mathbb{ℝ}$ nazywamy iloczynem skalarnym w $X,$ jeśli:
(1) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ \ \big[(x|x)\ge 0\big] \ } i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ \big[ (x|x)=0 \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta \big]}
(2) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X,\ \lambda\in\mathbb{R}:\ \ (\lambda x|y)=\lambda(x|y)}
(3) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y,z\in X:\ \ (x+y|z)=(x|z)+(y|z)}
(4) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X:\ \ (x|y)=(y|x)} (symetria).
Parę $(X,(\cdot |\cdot ))$ nazywamy przestrzenią unitarną.

=======

Uwaga 3.16.

(a) Warunki (2) i (3) mówią, że iloczyn skalarny jest liniowy ze względu na pierwszą zmienną.
(b) Ze względu na symetrię (4), iloczyn skalarny jest także liniowy ze względu na drugą zmienną, zatem jest on dwuliniowy.

=======

Przykład 3.17

Odwzorowanie zdefiniowane przez

$(x|y)\stackrel{df}{=}\sum _{i=1}^N{x}_i{y}_i$ dla $x=(x_1,\dots ,x_N),y=(y_1,\dots ,y_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$

jest iloczynem skalarnym w ${\mathbb{ℝ}}^N.$ Nazywamy go standardowym iloczynem skalarnym w ${\mathbb{ℝ}}^N$. Iloczyn ten znamy ze szkoły dla przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$ i ${\mathbb{ℝ}}^3$.

=======

Dowód przykładu 3.17.

Sprawdzimy kolejno punkty definicji iloczynu skalarnego.
(1) Dla dowolnego $x\in {\mathbb{ℝ}}^N$, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|x) \ =\ \sum_{n=1}^N x_i^2 \ \ge\ 0 }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|x)=0 \ \Longleftrightarrow\ \sum_{n=1}^N x_i^2=0 \ \Longleftrightarrow\ x_1=\ldots=x_N \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta. }

(2) Dla dowolnych $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N$ oraz $\lambda \in \mathbb{ℝ}$, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (\lambda x,y) \ =\ \sum_{n=1}^N \lambda x_iy_i \ =\ \lambda \sum_{n=1}^N x_iy_i \ =\ \lambda (x|y) }

(3) Dla dowolnych $x,y,z\in {\mathbb{ℝ}}^N$, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x+y|z) \ =\ \sum_{n=1}^N (x_i+y_i)z_i \ =\ \sum_{n=1}^N(x_iz_i+y_iz_i) \ =\ \sum_{n=1}^N x_iz_i +\sum_{n=1}^Ny_iz_i \ =\ (x|z)+(y|z). }

(4) Dla dowolnych $x,y\in {\mathbb{ℝ}}^N$, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|y) \ =\ \sum_{n=1}^N x_iy_i \ =\ \sum_{n=1}^N y_ix_i \ =\ (y|x). }

Zatem pokazaliśmy, że odwzorowanie $(x|y)=\sum _{i=1}^N{x}_i{y}_i$ jest iloczynem skalarnym w ${\mathbb{ℝ}}^N$.

=======

Okazuje się, że przestrzeń z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unormowaną.

Twierdzenie 3.18.

Jeśli $(X,(\cdot |\cdot ))$ jest przestrzenią unitarną oraz $\mathrm{\forall }x\in X:\Vert x{\Vert }_{}\stackrel{df}{=}\sqrt{(x|x)},$ to $\Vert \cdot {\Vert }_{}$ jest normą w $X.$
Mówimy, że $\Vert \cdot {\Vert }_{}$ jest normą zadaną przez iloczyn skalarny $(\cdot |\cdot ).$

=======

W dowodzie wykorzystamy następującą nierówność Schwarza, zachodzącą w przestrzeniach unitarnych.

Lemat 3.19.

(Nierówność Schwarza)
Jeśli $(X,(\cdot |\cdot ))$ jest przestrzenią unitarną, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \ \left|(x|y)\right|\le\|x\|\|y\|. }

=======

Dowód 3.20.

Ustalmy dowolne $x,y\in X.$ Jeśli $y=\mathrm{\Theta }$ to powyższa nierówność jest oczywistą równością. Załóżmy, że $y\ne \mathrm{\Theta }.$ Niech $\lambda =\frac{(x|y)}{(y|y)}$ Korzystając z dwuliniowości iloczynu skalarnego mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 0 \ \le\ (x-\lambda y|x-\lambda y) \ =\ (x|x)-2\lambda(x|y)+\lambda^2(y|y) \ =\ (x|x)-2\frac{(x|y)^2}{(y|y)} +\frac{(x|y)^2}{(y|y)} } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle =\ (x|x) -\frac{(x|y)^2}{(y|y)} \ =\ \|x\|-\frac{(x|y)^2}{\|y\|}. }

Zatem mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{(x|y)^2}{\|y\|^2} \ \le\ \|x\|^2, }

skąd

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (x|y)^2 \ \le\ \|x\|^2\cdot \|y\|^2, }

a zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |(x|y)| \ \le\ \|x\|\cdot\|y\|, }

co należało dowieść.

=======

Uwaga 3.21.

Zauważmy, że nierówność Cauchy'ego (patrz Lemat AM1.Uzupelnic l.new.am1.w.03.080|) jest szczególnym przypadkiem nierówności Schwarza, gdy w przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^N$ mamy standardowy iloczyn skalarny.

=======

Dowód 3.21.

Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.03.180|
(1)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|=0 \ \Longleftrightarrow\ (x|x)=0 \ \Longleftrightarrow x=\Theta, }

zatem pierwszy warunek w definicji normy jest spełniony.
(2)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\lambda x\| \ =\ \sqrt{(\lambda x|\lambda x)} \ =\ \sqrt{\lambda^2}\sqrt{(x|x)} \ =\ |\lambda|\|x\|, }

zatem drugi warunek (jednorodność) w definicji normy jest spełniony.
(3) Korzystając z nierówności Schwarza, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|^2 \ =\ (x+y|x+y) \ =\ (x|x)+2(x|y)+(y|y) \ \le\ \|x\|^2+2\|x\|\cdot\|y\| +\|y^2\| \ =\ (\|x\|+\|y\|)^2, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\| \ \le\ \|x\|+\|y\|. }

zatem trzeci warunek (subaddytywność) w definicji normy jest spełniony.

=======

Przykład 3.22.

Iloczyn skalarny w ${\mathbb{ℝ}}^N$ dany wzorem (patrz Przykład Uzupelnic t.new.am2.w.03.175|)

$(x|y)\stackrel{df}{=}\sum _{i=1}^N{x}_i{y}_i$ dla $x=(x_1,\dots ,x_N),y=(y_1,\dots ,y_N)\in {\mathbb{ℝ}}^N$

zadaje normę euklidesową, bo

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt{(x|x)} \ =\ \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i^2} \ =\ \|x\|_{2}. }

=======

Podobnie jak dla przestrzeni unormowanych, tak i dla przestrzeni unitarnych, szczególną rolę odgrywają przestrzenie unitarne zupełne.

David Hilbert (1862-1943)
Zobacz biografię

Definicja 3.23.

Przestrzenią Hilberta nazywamy przestrzeń unitarną zupełną.

=======

Twierdzenie 3.24.

(Ciągłość iloczynu skalarnego)
Iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej jest funkcją ciągłą, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg[ x_n\stackrel{X}{\longrightarrow} x,\ y_n\stackrel{X}{\longrightarrow} y \bigg] \ \ \Longrightarrow\ \ \bigg[ (x_n|y_n) \ \stackrel{\mathbb{R}}======={\longrightarrow}\ (x|y) \bigg] }

(oczywiście zbieżność $x_n\stackrel{X}{⟶}x$ oznacza zbieżność w normie zadanej przez iloczyn skalarny $(\cdot |\cdot )$).

=======

Dowód 3.24.

(Dowód nadobowiązkowy.)
Niech $\{(x_n,y_n)\}$ będzie ciągiem, takim, że $x_n\stackrel{X}{⟶}x$ i $y_n\stackrel{X}{⟶}y.$ Oznacza to, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_n-x\| \ \longrightarrow\ 0,\quad \|y_n-y\| \ \longrightarrow\ 0 }

oraz z ciągłości normy (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.03.070|), mamy

$\Vert x_n\Vert ⟶\Vert x\Vert .$

Korzystając z nierówności Schwarza, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|(x_n|y_n)-(x|y)\big| \ =\ \big|(x_n|y_n)-(x_n|y)+(x_n|y)-(x|y)\big| \ \le\ \big|(x_n|y_n-y)+(x_n-x|y)\big| } Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \le\ \|x_n\|\cdot\|y_n-y\| +\|x_n-x\|\cdot\|y\|. }

Z wyżej wskazanych zbieżności w $\mathbb{ℝ}$ wynika, że prawa strona nierówności, a zatem także lewa, zmierza do zera, gdy $n\to +\mathrm{\infty }.$ Oznacza to, że $(x_n|y_n)\stackrel{\mathbb{ℝ}}{=}======⟶(x|y),$ co należało dowieść.

=======

W przestrzeni unitarnej możemy wprowadzić pojęcie prostopadłości wektorów.

<flash>file=AM2.M03.W.R10.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>AM2.M03.W.R10

<flash>file=AM2.M03.W.R11.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>AM2.M03.W.R11

Definicja 3.25.

Niech $(X,(\cdot |\cdot ))$ będzie przestrzenią unitarną.
(1) Jeśli $(x|y)=0,$ to mówimy, że wektory $x$ i $y$ są ortogonalne (lub prostopadłe) i piszemy $x\perp y.$

=======

<flashwrap>file=AM2.M03.W.R12.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M03.W.R12

(2) Niech $Y$ będzie podprzestrzenią wektorową $X.$ Mówimy, że wektor $x$ jest ortogonalny (prostopadły, normalny) do podprzestrzeni $Y,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall y\in Y:\ x\perp y. }

Piszemy $x\perp Y.$

(3) Mówimy, że wektory $a_1,\dots ,a_k\in X$ tworzą układ ortogonalny, jeśli

$(a_i|a_j)=0\mathrm{\forall }i\ne j.$

(4) Mówimy, że wektory $a_1,\dots ,a_k\in X$ tworzą układ ortonormalny, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall i,j:\ \ (a_i|a_j)=\delta_{ij} \ \stackrel{df}{=}\ \left\{ \begin{array} {ll} 1 & \quad i=j,\\ 0 & \quad i\ne j \end{array} \right. }

(to znaczy wektory $a_1,\dots ,a_k$ są parami ortogonalne oraz mają normę $1$).

Poniższe twierdzenie podamy tu bez dowodu.

Twierdzenie 3.26.

Każda przestrzeń unitarna skończenie wymiarowa posiada bazę ortonormalną (to znaczy bazę tworzącą układ ortonormalny).

=======

Przykład 3.27.

Baza kanoniczna w ${\mathbb{ℝ}}^N$ jest bazą ortonormalną.

=======

<flash>file=AM2.M03.W.R13.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM2.M03.W.R13

Twierdzenie 3.28.

(Warunek równoległoboku)
Jeśli $(X,(\cdot |\cdot ))$ jest przestrzenią unitarną oraz $\Vert \cdot \Vert$ jest normą zadaną przez iloczyn skalarny, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \ \|x+y\|^{2} +\|x-y\|^{2} \ =\ 2\big(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\big). }

=======

Dowód 3.28.

Dla dowolnych ustalonych $x,y\in X$ liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|^2 \ =\ \|x\|^2+2(x|y)+\|y\|^2, }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-y\|^2 \ =\ \|x\|^2-2(x|y)+\|y\|^2. }

Dodając stronami powyższe równości dostajemy tezę twierdzenia.

=======

<flash>file=AM2.M03.W.R14.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM2.M03.W.R14

Pitagoras (VI w. p.n.e.)
Zobacz biografię

Twierdzenie 3.29.

(Twierdzenie Pitagorasa)
Jeśli $(X,(\cdot |\cdot ))$ jest przestrzenią unitarną oraz $\Vert \cdot \Vert$ jest normą zadaną przez iloczyn skalarny, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in X:\ \ \bigg[ x\perp y \ \ \Longleftrightarrow\ \ \|x+y\|^{2} = \|x\|^{2}+\|y\|^{2} \bigg]. }

=======

Dowód 3.29.

Dla dowolnych ustalonych $x,y\in X$ liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|^2 \ =\ \|x\|^2+2\underbrace{(x|y)}\limits_{=0}+\|y\|^2 \ =\ \|x\|^2+\|y\|^2, }

co należało dowieść.

=======