Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 8: Granica i ciągłość funkcji

8. Granica i ciągłość funkcji

Ćwiczenie 8.1.

Dla danego zbioru $A,$ znaleźć jego punkty skupienia oraz punkty izolowane:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A \ = \ \bigg\{\frac{1}{n}:\ n\in\mathbb{N}\bigg\}\cup\{0\}\subseteq\mathbb{R}. }

Wskazówka

Korzystając z definicji, zbadaj które z punktów zbioru $A$ są punktami skupienia, a które punktami izolowanymi. Następnie zbadaj, czy poza zbiorem $A$ są jakieś punkty skupienia zbioru $A.$

Rozwiązanie

Najpierw rozważmy punkty zbioru $A.$ Dla dowolnego $n\in \mathbb{\mathbb{N}},$ punkt $x_0=\frac{1}{n}$ jest izolowany.

Rysunek AM1.M08.C.R01 (nowy)

Definiując bowiem $\epsilon =\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n},$ mamy

$\mathrm{\forall }k\ne n:\frac{1}{k}\in ̸K(x_0,\epsilon ).$

Punkt $x_0=0\in A$ jest punktem skupienia $A,$ gdyż dla ciągu $\left\{\frac{1}{n}\right\}\subseteq A\setminus \{0\},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \ =\ x_0. }

Dowolny punkt $x_0\in \mathbb{ℝ}\setminus A$ nie jest punktem skupienia zbioru $A.$ Aby to pokazać rozważmy trzy przypadki.

Rysunek AM1.M08.C.R02 (nowy)

Rysunek AM1.M08.C.R03 (nowy)

Rysunek AM1.M08.C.R04 (nowy)

Gdy $x_0>1,$ to dla $\epsilon =x_0-1,$ mamy $K(x_0,\epsilon )\cap A=\mathrm{\varnothing }.$

Gdy $x_0<0,$ to dla $\epsilon =-x_0,$ mamy $K(x_0,\epsilon )\cap A=\mathrm{\varnothing }.$

Gdy $x_0\in (0,1),$ to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists n_0\in\mathbb{N}:\ \frac{1}{n_0+1} \ <\ x_0 \ <\ \frac{1}{n_0}. }

Wówczas dla $\epsilon =\min \{\frac{1}{n_0}-x_0,x_0-\frac{1}{n_0+1}\},$ mamy $K(x_0,\epsilon )\cap A=\mathrm{\varnothing }.$

W każdym z powyższych trzech przypadków nie istnieje ciąg $\{x_n\}\subseteq A$ taki, że $x_n⟶x_0.$ Zatem punkty $x_0\in ̸A$ nie są punktami skupienia zbioru $A.$

Ćwiczenie 8.2.

Obliczyć granice funkcji w punkcie:
(1) $\underset{x\to 0}{\lim }x\cdot \cos \frac{1}{x}$

(2) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-2x+1}{x-1}$

(3) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x-1}$

(4) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos \frac{1}{x}}{x}$

(5) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{x}$

Wskazówka

(1)-(5) Skorzystać z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie.

Rozwiązanie

(1) Skorzystamy z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie. Niech $\{x_n\}\subseteq \mathbb{ℝ}\setminus \{0\}$ będzie ciągiem takim, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=0.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x\cdot\cos \frac{1}{x} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n\cdot\cos \frac{1}{x_n}, }

o ile granica po prawej stronie istnieje. Zauważmy, że ciąg $\{\cos \frac{1}{x_n}\}$ jest ograniczony, mianowicie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ \bigg|\cos \frac{1}{x_n}\bigg| \ \le\ 1. }

Zatem korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera (patrz twierdzenie 4.7.), mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x\cdot\cos \frac{1}{x} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n\cdot\cos \frac{1}{x_n} \ =\ 0. }

Uwaga: W dalszych przykładach używając definicji Heinego do liczenia granicy funkcji $f$ w punkcie $x_0,$ nie będziemy dopisywać indeksów $x_n$ rozumiejąc, że liczymy granicę dla ciągu $\{x_n\}\in \mathbb{ℝ}\setminus \{x_0\}$ takiego, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=x_0.$

(2) Z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-2x+1}{x-1} \ =\ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)^2}{x-1} \ =\ \lim_{x\rightarrow 1}(x-1) \ =\ 0. }

(3) Z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie wiemy, że należy obliczyć granicę:

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\stackrel{\to 4}{\overbrace{x^2+2x+1}}}{\underset{\to 0}{\underbrace{x-1}}}.$

Jednak granica ta nie istnieje. Możemy to na przykład stwierdzić obliczając granice jednostronne

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{\overbrace{x^2+2x+1}^{\rightarrow 4}}{\underbrace{x-1}_{\rightarrow 0^+}} & = & +\infty, \\ \lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{\overbrace{x^2+2x+1}^{\rightarrow 4}}{\underbrace{x-1}_{\rightarrow 0^-}} & = & -\infty. \endaligned}

(4) Granica $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos \frac{1}{x}}{x}$ nie istnieje. Możemy to na przykład stwierdzić dobierając dwa ciągi $\{x_n\},\{{x_n}^{\prime }\}\subseteq \mathbb{ℝ}\setminus \{0\}$ takie, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n=0$ i $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x_n}^{\prime }=0,$ dla których powyższe wyrażenie będzie miało dwie różne granicy. Dla $x_n=\frac{1}{2n\pi },$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\cos \frac{1}{x_n}}{x_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle\cos(2n\pi)}{\displaystyle\frac{1}{2n\pi}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (2n\pi) \ =\ +\infty, }

ale dla $x_n=\frac{2}{(4n+1)\pi },$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\cos \frac{1}{x_n}}{x_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{0}{x_n} \ =\ 0. }

(5) Z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie wiemy, że należy obliczyć granicę:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\stackrel{\to 1}{\overbrace{\cos x}}}{\underset{\to 0}{\underbrace{x}}}.$

Jednak granica ta nie istnieje. Możemy to na przykład stwierdzić obliczając granice jednostronne

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\overbrace{\cos x}^{\rightarrow 1}}{\underbrace{x}_{\rightarrow 0^+}} & = & +\infty, \\ \lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{\overbrace{\cos x}^{\rightarrow 1}}{\underbrace{x}_{\rightarrow 0^-}} & = & -\infty. \endaligned}

Ćwiczenie 8.3.

Obliczyć granice funkcji w punkcie:
(1) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_3(1+x^2)}{x}$
(2) $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{1-x}}$; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{1-x}}$

Wskazówka

(1) Skorzystać z granicy specjalnej $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+x)}{x}\stackrel{\frac{0}{0}}{=}\frac{1}{\ln a},$ dla $a>0,a\ne 1,$ (patrz twierdzenie 8.19.).
(2) Obliczyć granice jednostronne funkcji $g(x)=\frac{1}{1-x}$ w punkcie $x_0=1$.

Rozwiązanie

(1) Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log_3(1+x^2)}{x} \ =\ \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\log_3(1+x^2)}{x^2}}_{\rightarrow\frac{1}{\ln 3}}\cdot\underbrace{x}_{\rightarrow 0} \ =\ 0. }

(2)

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \lim_{x\rightarrow 1^+} f(x) & = & \lim_{x\rightarrow 1^+} \bigg(\underbrace{e^{\overbrace{\frac{1}{1-x}}^{\rightarrow -\infty}}}_{\rightarrow 0}\bigg) \ =\ 1\\ \lim_{x\rightarrow 1^+} f(x) & = & \lim_{x\rightarrow 1^+} \bigg(\underbrace{e^{\overbrace{\frac{1}{1-x}}^{\rightarrow +\infty}}}_{\rightarrow +\infty}\bigg) \ =\ +\infty \endaligned}

Ćwiczenie 8.4.

Zbadać ciągłość następujących funkcji:
(1) $f(x)=\{\begin{array}{lll}\sin \frac{1}{x}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x\ne 0\\ 0& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x=0\end{array}$
(2) $f(x)=\{\begin{array}{lll}{x}^k\sin \frac{1}{x}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x\ne 0\\ 0& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}& x=0\end{array}$ dla $k\ge 1.$

Wskazówka

(1)-(2) Sprawdzić z definicji Heinego ciągłość funkcji $f$ dla $x=0.$

Rozwiązanie

(1)

Rysunek AM1.M08.C.R05 (nowy)

Funkcja $f$ jest ciągła dla każdego $x\in \mathbb{ℝ}\setminus \{0\}$ (jako złożenie funkcji ciągłych). Należy sprawdzić jej ciągłość dla $x=0.$ Zauważmy, że jeśli ciąg $\{x_n\}$ ma granicę $0,$ to ciąg $\sin \frac{1}{x_n}$ może nie mieć granicy lub może mieć granicę zależną od ciągu $\{x_n\}.$ Biorąc na przykład $x_n=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sin\frac{1}{x_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sin \bigg(\frac{\pi}{2}+2n\pi\bigg) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 1 \ =\ 1. }

Natomiast, gdy $x_n=\frac{1}{n\pi }$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sin\frac{1}{x_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sin (n\pi) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 0 \ =\ 0. }

Odpowiedź: Funkcja $f$ nie jest ciągła dla $x=0.$

(2)

Rysunek AM1.M08.C.R06 (nowy)

Rysunek AM1.M08.C.R07 (nowy)

Funkcja $f$ jest ciągła dla każdego $x\in \mathbb{ℝ}\setminus \{0\}$ (jako złożenie funkcji ciągłych). Należy sprawdzić jej ciągłość dla $x=0.$ Dla dowolnego ciągu $\{x_n\}\subseteq \mathbb{ℝ}\setminus \{0\}$ takiego, że $\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}{x}_n^k=0,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n^k\sin\frac{1}{x_n} \ =\ 0 }

z twierdzenia o iloczynie ciągu ograniczonego i zbieżnego do zera (patrz twierdzenie 4.7.). Ponieważ $f(0)=0,$ więc funkcja jest ciągła dla $x=0.$

Odpowiedź: Funkcja $f$ jest ciągła.

Ćwiczenie 8.5.

Zbadać ciągłość następującej funkcji:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^x-n^{-x}}{n^x+n^{-x}} \qquad\textrm{dla}\ x\in\mathbb{R}. }

Wskazówka

Obliczyć najpierw wartość granicy rozważając trzy przypadki: $x>0,x=0$ i $x<0.$

Rozwiązanie

Dla $x>0,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^x-n^{-x}}{n^x+n^{-x}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle n^x-\frac{1}{n^x}}{\displaystyle n^x+\frac{1}{n^x}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle 1-\overbrace{\frac{1}{n^{2x}}}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 1+\underbrace{\frac{1}{n^{2x}}}_{\rightarrow 0}} \ =\ 1. }

Dla $x=0,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(0) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^0-n^0}{n^0+n^0} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{0}{2} \ =\ 0. }

Dla $x<0$ podstawmy $y=-x.$ Wówczas $y>0$ i mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle f(x) & = & f(-y) = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^{-y}-n^y}{n^{-y}+n^y} = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n^y}-n^y}{\displaystyle \frac{1}{n^y}+n^y}\\ & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle \overbrace{\frac{1}{n^{2y}}}^{\rightarrow 0}-1}{\displaystyle\underbrace{\frac{1}{n^{2y}}}_{\rightarrow 0}+1} \ =\ -1. \end{array}}

Zatem wnioskujemy, że $f(x)=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x.$ Zatem funkcja $f$ jest ciągła dla dowolnego $x\ne 0$ oraz nie jest ciągła dla $x=0,$ gdyż

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} \ =\ 1 \ \ne\ -1 \ =\ \lim_{x\rightarrow 0^-}. }

Odpowiedź: Funkcja $f$ jest ciągła na zbiorze $\mathbb{ℝ}\setminus \{0\}$ i nie jest ciągła w punkcie $x=0.$

Ćwiczenie 8.6.

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a_1>a_2>\dots >a_{n+1},$ funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \frac{1}{x-a_1} + \frac{1}{x-a_2} + \ldots + \frac{1}{x-a_{n+1}} }

ma co najmniej $n$ pierwiastków rzeczywistych.

Wskazówka

Obliczyć granice jednostronne funkcji $f$ w punktach $a_1,a_2,\dots ,a_{n+1}.$ Skorzystać z własności Darboux.

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji $f$ jest $\mathbb{ℝ}\setminus \{a_1,a_2,\dots ,a_{n+1}\}$. Funkcja $f$ jest ciągła w swojej dziedzinie.

Rozważmy przedział $(a_2,a_1)$ (pamiętamy, że $a_2<a_1$). Policzmy granice jednostronne funkcji $f$ na końcach tego przedziału. Widać, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow a_1^-}f(x) \ =\ -\infty \qquad\textrm{oraz}\qquad \lim_{x\rightarrow a_2^+}f(x) \ =\ +\infty. }

To znaczy, że dla punktów bliskich $a_1$ (i mniejszych od $a_1$) funkcja ma wartości ujemne, a dla punktów bliskich $a_2$ (i większych od $a_2$) funkcja ma wartości dodatnie. Skora funkcja $f$ jest w przedziale $(a_2,a_1)$ ciągła, to możemy skorzystać z własności Darboux i wywnioskować, że funkcja $f$ ma w przedziale $(a_2,a_1)$ przynajmniej jedno miejsce zerowe.

Teraz postępujemy analogicznie dla każdego z przedziałów $(a_{i+1},a_i)$ dla $i=1,2,\dots ,n.$ W każdym z przedziałów mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow a_i^-}f(x) \ =\ -\infty \qquad\textrm{oraz}\qquad \lim_{x\rightarrow a_{i+1}^+}f(x) \ =\ +\infty. }

a zatem w każdym z tych przedziałów, korzystając z własności Darboux, mamy co najmniej jedno miejsce zerowe.

W rezultacie otrzymujemy, że funkcja $f$ ma co najmniej $n$ miejsc zerowych.

Rysunek AM1.M08.C.R08 (nowy)