Analiza matematyczna 1/Wykład 8: Granica i ciągłość funkcji

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Granica i ciągłość funkcji

W tym wykładzie omawiamy pojęcie granicy i ciągłości funkcji prowadzącej z w . Definiujemy granice właściwe, niewłaściwe i jednostronne oraz pojęcie ciągłości funkcji w punkcie. Podajemy twierdzenia dotyczące granic funkcji. Następnie charakteryzujemy zbiory zwarte w i dowodzimy, że funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy. Na zakończenie wykładu omawiamy tak zwaną własność Darboux.

Granica funkcji

W tym wykładzie będziemy rozważać funkcje prowadzące z w . Zdefiniujemy pojęcie granicy funkcji w punkcie. Ponieważ o granicy funkcji w punkcie można mówić tylko w punktach skupienia dziedziny (punkt ten nie musi należeć do dziedziny), wykażemy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny definicji 3.11. Przypomnijmy, że w z metryką euklidesową, kula jest przedziałem

Twierdzenie 8.1.

Niech
Punkt jest punktem skupienia zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg taki, że

Dowód 8.1. [nadobowiązkowy]

""
Niech będzie punktem skupienia zbioru . Dla dowolnego rozważmy kulę Z definicji punktu skupienia wiemy, że istnieje punkt dla W ten sposób zdefiniowaliśmy ciąg Zauważmy, że

""
Przypuśćmy, że jest ciągiem takim, że Należy pokazać, że jest punktem skupienia zbioru W tym celu weźmy dowolną kulę Z definicji granicy ciągu wiemy, że w tej kuli leżą wszystkie wyrazy ciągu począwszy od pewnego miejsca, czyli

To oznacza, że w dowolnej kuli o środku w są wyrazy ciągu (czyli elementy zbioru ), czyli jest punktem skupienia zbioru

End of proof.gif

Wprowadzimy teraz pojęcie granicy funkcji w punkcie Można to zrobić na dwa równoważne sposoby.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię

Definicja 8.2. [Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]

Niech będzie podzbiorem Niech będzie funkcją oraz niech będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą) w punkcie jeśli


Piszemy wówczas

Definicja 8.3. [Heinego granicy funkcji w punkcie]

Niech będzie podzbiorem Niech będzie funkcją oraz niech będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą) w punkcie jeśli

Piszemy wówczas

Plik:Am1.M08.W.R01.svg
Granica funkcji w punkcie
Plik:Am1.M08.W.R02.mp4
Granica funkcji w punkcie

Wykażemy teraz, że dwie powyższe definicje są równoważne.

Twierdzenie 8.4. [Równoważność definicji Cauchy'ego i Heinego]

Definicje Cauchy'ego i Heinego granicy funkcji w punkcie są równoważne.

Dowód 8.4. [nadobowiązkowy]

Niech będzie podzbiorem Niech będzie funkcją oraz niech będzie punktem skupienia zbioru

(1) Załóżmy, że funkcja ma granicę w punkcie w sensie definicji Cauchy'ego. Pokażemy, że jest także granicą funkcji w punkcie w sensie definicji Heinego. W tym celu niech będzie ciągiem takim, że Należy pokazać, że
Ustalmy dowolne Z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wiemy, że




Ponieważ więc z definicji granicy, od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu są w kuli czyli

Zatem z definicji Cauchy'ego wynika, że

To oznacza, że czyli funkcja ma granicę w punkcie w sensie definicji Heinego.

(2) Załóżmy, że funkcja ma granicę w punkcie w sensie definicji Heinego. Pokażemy, że jest także granicą funkcji w punkcie w sensie definicji Cauchy'ego. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że granica w sensie Cauchy'ego nie istnieje, to znaczy

   oraz   

w szczególności biorąc dla powyższego mamy

   oraz   

Łatwo zauważyć, że dla skonstruowanego ciągu mamy oraz nie jest prawdą, że co jest sprzeczne z faktem, że jest granicą funkcji w punkcie w sensie definicji Heinego.

End of proof.gif

Ciągłość funkcji

Kolejne definicje które będziemy wprowadzać, będą miały swoje wersje: Cauchy'ego i Heinego. W każdym przypadku będą one równoważne. Nie będziemy już jednak dowodzić tych równoważności (dowody są podobne do dowodu przedstawionego powyżej).

Zdefiniujemy teraz pojęcie ciągłości funkcji w punkcie.

Definicja 8.5. [Ciągłość funkcji w punkcie]

Niech niech będzie funkcją oraz niech ( nie musi być punktem skupienia zbioru ). Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie jeśli



Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.

Plik:Am1.M08.W.R03a.svg
Funkcja ciągła w punkcie
Plik:Am1.M08.W.R03b.mp4
Funkcja ciągła w punkcie

Zauważmy, że można mówić o ciągłości funkcji tylko w punktach jej dziedziny. Z powyższej definicji wynika, że funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli ma w tym punkcie granicę równą wartości.

Plik:Am1.M08.W.R04.svg
Funkcja ciągła
Uwaga 8.6.
Funkcja jest zawsze ciągła w punkcie izolowanym dziedziny.

Kolejne twierdzenie mówi, że ciągłość zachowuje się przy składaniu funkcji. Twierdzenie to jest natychmiastową konsekwencją definicji Heinego ciągłości funkcji w punkcie.

Twierdzenie 8.7. [Ciągłość złożenia]

Jeśli oraz i są funkcjami, to
(1) jeśli jest ciągła w oraz jest ciągła w to jest ciągła w ;
(2) jeśli i są funkcjami ciągłymi, to jest także funkcją ciągła.

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych możemy wykonywać działania na funkcjach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie). Naturalnym jest zatem pytanie o zachowanie się granic funkcji w punkcie po wykonaniu tych działań na funkcjach. Dowód poniższego twierdzenia jest prostą konsekwencją definicji Heinego granicy funkcji w punkcie oraz twierdzenia o arytmetyce granic (patrz twierdzenie 4.9.). Dowód pomijamy.

Twierdzenie 8.8. [O "arytmetyce" granic funkcji]

Jeśli jest punktem skupienia zbioru
są funkcjami, oraz to
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) o ile oraz dla mamy ;
(5) o ile wyrażenia po obu stronach mają sens.

Natychmiastową konsekwencją powyższego twierdzenia jest kolejne twierdzenie mówiące, że ciągłość funkcji zachowuje się przy operacjach: wartości bezwzględnej, sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Dowód pomijamy.

Twierdzenie 8.9.

Jeśli oraz są funkcjami ciągłymi w punkcie to
(1) jest funkcją ciągłą w ;
(2) jest funkcją ciągłą w ;
(3) jest funkcją ciągłą w ;
(4) jest funkcją ciągłą w (o ile );

Granice niewłaściwe

Podobnie jak dla ciągów tak i dla funkcji możemy mówić o granicy niewłaściwej. Będziemy rozważać funkcje, których wartości zmierzają do (lub ), gdy argumenty zmierzają do pewnego punktu skupienia dziedziny. Wprowadzimy następujące definicje.

Definicja 8.10. [Granica niewłaściwa funkcji]

Niech oraz punktem skupienia zbioru
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego) w punkcie jeśli

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego) w punkcie jeśli

<flash>file=Am1.M08.W.R05.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Granica niewłaściw w punkcie

<flash>file=Am1.M08.W.R06.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Granica niewłaściw w punkcie

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą w (sensie Heinego) w punkcie jeśli

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Heinego) punkcie jeśli

<flashwrap>file=Am1.M08.W.R07.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Granica niewłaściw w punkcie

<flashwrap>file=Am1.M08.W.R08.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Granica niewłaściw w punkcie


W przypadku funkcji prowadzącej z podzbioru w oprócz wcześniej zdefiniowanych granic funkcji w punkcie oraz granic niewłaściwych można także rozważać tak zwane granice w "punktach niewłaściwych", to znaczy granice w lub (o ile lub są punktami skupienia dziedziny).

Podobnie jak na początku wykładu tak i tutaj wszystkie rodzaje definicji granic mają swoje odpowiedniki Cauchy'ego i Heinego. Podobnie jak miało to miejsce poprzednio obie wersje definicji są sobie równoważne.

Definicja 8.11. [Granica funkcji w punkcie niewłaściwym]

Niech oraz niech będzie funkcją.

<flashwrap>file=Am1.M08.W.R09.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Granica funkcji w "punkcie niewłaściwym"

<flashwrap>file=Am1.M08.W.R10.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Granica funkcji w "punkcie niewłaściwym"

<flashwrap>file=Am1.M08.W.R11.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Granica funkcji w "punkcie niewłaściwym"

<flashwrap>file=Am1.M08.W.R12.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Granica funkcji w "punkcie niewłaściwym"

W końcu możemy także mówić o granicach niewłaściwych w punktach niewłaściwych. Odpowiednie definicje Cauchy'ego i Heinego (równoważne sobie) podane są poniżej.

Definicja 8.12. [Granica niewłaściwa funkcji w punkcie niewłaściwym]

Niech będzie funkcją.

<flashwrap>file=Am1.M08.W.R13.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Granica niewłaściw w "punkcie niewłaściwym"

<flashwrap>file=Am1.M08.W.R14.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Granica niewłaściw w "punkcie niewłaściwym"

Granice jednostronne funkcji

Dzięki liniowemu porządkowi jaki mamy w dla funkcji prowadzących z podzbiorów możemy mówić o tak zwanych granicach jednostronnych w punkcie Mamy z nimi do czynienia w przypadku, gdy w definicji granicy ograniczymy się do ciągów leżących po jednej stronie punktu (w przypadku definicji Heinego) lub do części przedziału leżącej po jednej stronie punktu (w przypadku definicji Cauchy'ego).

Definicja 8.13. [Granice jednostronne funkcji]

Niech niech będzie punktem skupienia zbioru oraz niech będzie funkcją. Granicę prawostronną funkcji w punkcie oznaczamy lub i definiujemy jako

Niech niech będzie punktem skupienia zbioru oraz niech będzie funkcją. Granicę lewostronną funkcji w punkcie oznaczamy lub i definiujemy jako

Jako ćwiczenie pozostawiamy samodzielnie zdefiniowanie granic jednostronnych niewłaściwych funkcji w punkcie.

Uwaga 8.14.

Łatwo zaobserwować, że granica funkcji w punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice jednostronne w tym punkcie i są sobie równe.

Dla funkcji określonej na podzbiorze liczb rzeczywistych możemy też mówić o ciągłości jednostronnej.

Definicja 8.15.

Niech oraz niech będzie funkcją oraz niech
Mówimy, że funkcja jest prawostronnie ciągła w punkcie



Mówimy, że funkcja jest lewostronnie ciągła w punkcie

Plik:Am1.M08.W.R15.svg
Granice jednostronne funkcji w punkcie
Plik:Am1.M08.W.R16.svg
Wykres funkcji z przykładu 8.16.

Przykład 8.16.

Rozważmy funkcję daną wzorem



Funkcja ta jest lewostronnie ciągła w punkcie oraz prawostronnie ciągła w punkcie ale nie jest prawostronnie ciągła w punkcie oraz nie jest lewostronnie ciągła w punkcie W pozostałych punktach funkcja jest ciągła, a więc w szczególności lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.

Kolejne twierdzenie podaje związek między ciągłością, a ciągłością lewostronną i prawostronną. Jest ono natychmiastową konsekwencją definicji.

Twierdzenie 8.17.

Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.

Granice specjalne

Uwaga 8.18.

Podobnie jak w przypadku granic ciągów, tak i teraz w przypadku granic funkcji w punkcie można mówić o symbolach nieoznaczonych. Z symbolem nieoznaczonym mamy do czynienia, gdy z istnienia granic dwóch funkcji w danym punkcie nie można określić jednoznacznie granicy funkcji, która powstanie z tych funkcji w wyniku wykonania danego działania (dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, potęgowania).

Kolejne twierdzenie podaje granice pewnych funkcji. Zazwyczaj mamy tu do czynienia z symbolami nieoznaczonymi, dlatego nad znakiem "=" podajemy jaki symbol nieoznaczony tu występuje.

Elementarne dowody tego twierdzenia można znaleźć w podręcznikach z analizy matematycznej. Pominiemy je w tym miejscu, gdyż będą one znacznie łatwiejsze, gdy zapoznamy się z rachunkiem różniczkowym i regułą de l'Hospitala.

Twierdzenie 8.19. [Granice specjalne]

(1)
(2) dla
(3) oraz
(4)
(5) dla (w szczególności )
(6) dla (w szczególności ).
(7) dla
(8) dla

Twierdzenie 8.20.

(1) Każdy wielomian jest funkcją ciągłą.
(2) Funkcja potęgowa () jest ciągła.
(3) Funkcja wykładnicza () jest ciągła.
(4) Funkcje trygonometryczne są ciągłe.

Dowód 8.20.

[Szkic] (Ad (1)) Łatwo pokazać (na przykład z definicji Heinego), iż funkcja stała (gdzie ) oraz funkcja identycznościowa są ciągłe w Ponieważ każdy wielomian powstaje jako sumy i iloczyny tych dwóch funkcji, zatem korzystając z twierdzenia o "arytmetyce" granic funkcji (twierdzenie 8.8.) wnioskujemy, że dowolny wielomian jest ciągły.
(Ad (2)-(4)) Dowody tych punktów wykraczają poza materiał tego wykładu.

End of proof.gif

Zwartość

Jako wstęp do tej części wykładu proponujemy proste ćwiczenia z zakresu szkoły średniej.
(1) Narysować wykres funkcji ciągłej na przedziale , która przyjmuje dowolnie duże wartości.
(2) Narysować wykres funkcji ciągłej na , która przyjmuje dowolnie duże wartości.
(3) Narysować wykres funkcji ciągłej na przedziale , która przyjmuje dowolnie duże wartości.
Odpowiedzi:
(Ad (1)) Przykładem takiej funkcji jest
(Ad (2)) Przykładem takiej funkcji jest
(Ad (3)) Nie jest to możliwe!

Co zatem różni zbiory od ? Otóż przedział jest zbiorem domkniętym i ograniczonym w a zatem tak zwanym zbiorem zwartym, a to że nie mogliśmy narysować funkcji ciągłej na tym przedziale, która "ucieka do nieskończoności", to skutek faktu, że funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy (patrz poniższe twierdzenie Weierstrassa).

Zdefiniujemy teraz formalnie zbiory zwarte w

Definicja 8.21.

Mówimy, że jest zbiorem zwartym, jeśli z każdego ciągu można wybrać podciąg zbieżny do granicy

Zazwyczaj w matematyce wprowadza się bardziej ogólną definicję zwartości. Wówczas powyżej zdefiniowaną własność nazywa się ciągową zwartością. Jednak w obie definicje są równoważne, zatem zbiory ciągowo zwarte będziemy krótko nazywać zwartymi.

Przykład 8.22.

Zbiór nie jest zwarty. Faktycznie dla ciągu nie istnieje podciąg zbieżny do granicy w zbiorze

Poniższe twierdzenie mówi jakie zbiory w są zwarte (pozostawiamy je tutaj bez dowodu; będzie ono udowodnione na wykładzie z Analizy Matematycznej 2).

Twierdzenie 8.23.

Zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Uwaga 8.24.

W tym miejscu dokończymy dowód twierdzenia o zbieżności ciągów Cauchy'ego w (patrz twierdzenie 3.30.).

Przypuśćmy, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego. Wtedy jest ciągiem ograniczonym (patrz stwierdzenie 3.28.), a zatem zawiera się w pewnej kuli domkniętej . Ta kula jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, zatem zwartym. W takim razie z ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny. Wobec stwierdzenie 3.29., ciąg jest zbieżny.

Twierdzenie Weierstrassa

Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię

Okazuje się, że jeśli weźmiemy obraz przez funkcję ciągłą zbioru zwartego, to otrzymamy także zbiór zwarty.

Twierdzenie 8.25.

Jeśli jest zbiorem zwartym w oraz jest funkcją ciągłą, to jest zbiorem zwartym w

Dowód 8.25.

Aby pokazać zwartość zbioru weźmy dowolny ciąg Ponieważ każde jest w obrazie zbioru więc dla każdego istnieje takie, że Ponieważ zbiór jest zwarty (z założenia), zatem dla ciągu istnieje podciąg zbieżny w to znaczy

Z ciągłości funkcji wynika, że

zatem pokazaliśmy, że ciąg posiada podciąg zbieżny w co kończy dowód zwartości

End of proof.gif
Plik:Am1.M08.W.R17.svg
Wykres funkcji ciągłej na zbiorze zwartym

Twierdzenie 8.26. [Weierstrassa]

Jeśli jest zbiorem zwartym oraz jest funkcją ciągłą, to funkcja osiąga swoje kresy, to znaczy



Dowód 8.26.

Ponieważ funkcja jest ciągła, a zbiór jest zwarty, więc z twierdzenie 8.25. wynika, że zbiór jest zwarty, a zatem także ograniczony (patrz twierdzenie 8.23.), to znaczy



Należy pokazać, że




Pokażemy istnienie o powyższej własności (dowód istnienia jest analogiczny).
Niech oraz dla dowodu niewprost, przypuśćmy, że nie jest realizowane, to znaczy



Zdefiniujmy nową funkcję w następujący sposób:

Definicja jest poprawna (gdyż mianownik jest niezerowy) oraz funkcja jest ciągła (porównaj twierdzenie 8.8.). Korzystając ponownie z twierdzenie 8.25. wiemy, że zbiór jest zwarty, a zatem także ograniczony, zatem jego supremum jest skończone, czyli

Oczywiście

Dla dowolnego mamy

w szczególności sprzeczność.
Wykazaliśmy zatem, że funkcja osiąga swój kres dolny, czyli

End of proof.gif
Uwaga 8.27.

Założenie zwartości w twierdzeniu Weierstrassa jest niezbędne. Rozważmy funkcję daną wzorem Jest ona ciągła,

ale dla żadnego punktu funkcja nie przyjmuje wartości i

Założenia twierdzenia Weierstrassa nie są tutaj spełnione gdyż zbiór nie jest zwarty.

Twierdzenie Darboux

Wykażemy teraz użyteczny lemat mówiący, że jeśli funkcja ciągła jest dodatnia w pewnym punkcie, to jest także dodatnia w pewnym otoczeniu tego punktu.

Lemat 8.28.

Jeśli oraz funkcja jest ciągła w punkcie to:
(1) jeśli to

(2) jeśli to

Dowód 8.28.

(1) Załóżmy, że funkcja jest ciągła w punkcie oraz Niech Korzystając z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie mamy, że

Zatem dla
(2) Dowód jest analogiczny.

End of proof.gif

Kolejne twierdzenie to tak zwana własność Darboux dla funkcji ciągłych. Mówi ono, że funkcja ciągła na przedziale i taka, że i posiada pierwiastek w przedziale Na tej własności opiera się, stosowana w metodach numerycznych, metoda bisekcji poszukiwania miejsc zerowych funkcji.

Twierdzenie 8.29. [Darboux]

Jeśli jest funkcją ciągłą, to




Dowód 8.29.

[Szkic] Z warunku wynika, że funkcja przyjmuje na końcach wartości różnych znaków, tzn lub Niech na przykład Niech Zauważmy, że gdyby to istniałoby pewne takie, że dla wszystkich mielibyśmy (co wynika z lematu 8.28.). A zatem nie byłoby supremum bo do tego zbioru należałby punkt Analogicznie, gdyby to także dla w pewnym przedziale mielibyśmy a zatem nie byłoby supremum bo na

przykład punkt byłby mniejszym od ograniczeniem górnym tego zbioru. A zatem jedyna możliwość to End of proof.gif

<flash>file=Am1.M08.W.R18.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do twierdzenia Darboux

<flash>file=Am1.M08.W.R19.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do wniosku 8.30.

Wniosek 8.30

Jeśli jest funkcją ciągłą, (odpowiednio ), to

odpowiednio

Powyższe wyrażenia nazywamy własnością Darboux funkcji