Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 14:49, 25 lip 2024

Ciągi liczbowe

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R01.swf|width=375|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg liczbowy

W tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych. Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony, granice niewłaściwe. Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów, twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w $ℝ$ , twierdzenie o trzech ciągach, twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Definicja 4.1. [ciąg liczbowy]

Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w $ℝ$ (to znaczy w zbiorze liczbowym $ℝ$ traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką euklidesową). Piszemy krótko ${x_{n}} \subseteq ℝ$ .

Ponieważ w zbiorze liczbowym $ℝ$ mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.

Definicja 4.2.

(1) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest malejący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} \geq a_{n + 1}$

(2) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest silnie malejący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} > a_{n + 1}$ .

(3) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest rosnący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq a_{n + 1}$ .

(4) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest silnie rosnący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} < a_{n + 1}$

(5) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest monotoniczny, jeśli jest on malejący lub rosnący.
(6) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie malejący lub silnie rosnący.

<flash>file=AM1.M04.W.R02.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg malejący

<flash>file=AM1.M04.W.R03.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg silnie malejący

<flash>file=AM1.M04.W.R04.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg rosnący

<flash>file=AM1.M04.W.R05.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg silnie rosnący

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R06.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg zbieżny do granicy

g

W przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry (ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy $ℝ$ jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące definicje.

Definicja 4.3.

(1) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ograniczony, jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : | a_{n} | \leq M$
(2) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ograniczony z dołu, jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : a_{n} \geq M$
(3) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ograniczony z góry, jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : a_{n} \leq M$

Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest następujący związek między ograniczonością a ograniczonością z góry i z dołu.

Stwierdzenie 4.4. [O ciągu ograniczonym w $ℝ$ ]

Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem to ${a_{n}}$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy ${a_{n}}$ jest ograniczony z dołu i z góry.

Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w dowolnych przestrzeniach metrycznych. Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w $ℝ$ mamy metrykę euklidesową.

Definicja 4.5.

(1) Mówimy, że liczba $g$ jest granicą ciągu ${x_{n}} \subseteq ℝ$ , jeśli

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : | x_{n} - g | < ε

i piszemy

\begin{array}{lll} \lim_{n \to + \infty} x_{n} = g & lub & x_{n} \overset{ℝ}{⟶} g lub \\ x_{n} \to_{n \to + \infty}^{} g & lub & x_{n} ⟶ g \end{array}

(2) Mówimy, że ciąg ${x_{n}}$ jest zbieżny, jeśli

\exists g \in ℝ : \lim_{n \to + \infty} x_{n} = g

W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej przestrzeni metrycznej).

Definicja 4.6. [Uzupelnij]

(1) Mówimy, że ciąg liczbowy ${a_{n}} \subseteq ℝ$ ma granicę niewłaściwą $+ \infty$ , jeśli

$\forall M \in ℝ \exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \geq M$

Mówimy wówczas, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest rozbieżny do $+ \infty$ i piszemy $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty$ .
(2) Mówimy, że ciąg liczbowy ${a_{n}} \subseteq ℝ$ ma granicę niewłaściwą $- \infty$ , jeśli

\forall M \in ℝ \exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \leq M

Mówimy wówczas, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest rozbieżny do $- \infty$ i piszemy $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = - \infty$ .

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R07.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg rozbieżny do

+ \infty

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R08.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg rozbieżny do

- \infty

Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą (w sensie definicji 4.5.), gdyż nie jest to element $ℝ$ (nie jest to liczba rzeczywista). Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w terminologii.

Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać "granica właściwa" lub "granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy o granicy niewłaściwej. O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest zbieżny. O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest rozbieżny do $+ \infty$ lub $- \infty$ . O ciągu który nie ma granicy właściwej mówimy, że jest rozbieżny.

Twierdzenie 4.7. [O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ oraz ${b_{n}}$ jest ograniczony, to $\lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0$ .

Dowód 4.7.

Niech $M > 0$ będzie stałą ograniczającą ciąg ${b_{n}}$ (która istnieje z założenia), to znaczy

\forall n \in ℕ : | b_{n} | \leq M

Ustalmy $ε > 0$ . Ponieważ $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ , więc

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : | a_{n} | \leq \frac{ε}{M}

Zatem dla $n \geq N$ mamy

| a_{n} b_{n} | \leq \frac{ε}{M} \cdot M = ε

Ponieważ $ε > 0$ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ : | a_{n} b_{n} | \leq ε

,

czyli udowodniliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0$ .

Przykład 4.8.

Obliczyć granicę $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin n}{n}$ .

Rozwiązanie

Jeśli zdefiniujemy $a_{n} = \frac{1}{n}$ oraz $b_{n} = \sin n$ dla $n \in ℕ$ , to $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ oraz ciąg ${b_{n}}$ jest ograniczony, gdyż

\forall n \in ℕ : | \sin n | \leq 1

Zatem z twierdzenia 4.7. wnioskujemy, że $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin n}{n} = \lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0$ .

Dla ciągów liczbowych możliwe jest wykonywanie działań na elementach tych ciągów oraz na ich granicach. Poniższe twierdzenie podaje związki, jakie zachodzą między tymi działaniami.

Twierdzenie 4.9. [O "arytmetyce" granic ciągów]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz $c \in ℝ$ , to
(1) $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \lim_{n \to + \infty} a_{n} \pm \lim_{n \to + \infty} b_{n}$ ;
(2) $\lim_{n \to + \infty} (c \cdot a_{n}) = c \cdot \lim_{n \to + \infty} a_{n}$ ;
(3) $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} b_{n}) = (\lim_{n \to + \infty} a_{n}) (\lim_{n \to + \infty} b_{n})$ ;
(4) $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\lim_{n \to + \infty} a_{n}}{\lim_{n \to + \infty} b_{n}}$ (o ile $b_{n} \neq 0$ dla $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} \neq 0$ );
(5) $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = (\lim_{n \to + \infty} a_{n})^{\lim_{n \to + \infty} b_{n}}$ (o ile działania po obu stronach są wykonalne);
(6) $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a ⟹ \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = | a |$ ;
(7) $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 ⟺ \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = 0$ .

Dowód 4.9.

(Ad 1) Niech $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = b$ . Pokażemy, że $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b$ .
W tym celu ustalmy $ε > 0$ . Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ wiemy, że

\exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : | a_{n} - a | < \frac{ε}{2}

oraz

\exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : | b_{n} - b | < \frac{ε}{2}

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}}$ . Wówczas dla dowolnego $n \geq N$ mamy:

| (a_{n} + b_{n}) - (a + b) | \leq | a_{n} - a | + | b_{n} - b | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ : | (a_{n} + b_{n}) - (a + b) | < ε

,

czyli $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b$ .
Analogicznie pokazuje się, że $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = a - b$ .
(Ad (3)-(4), (6)-(7)) Dowody tych części są pozostawione na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 4.5. i ćwiczenie 4.6.).
(Ad (2)) Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).
(Ad (5)) Pozostawiamy to bez dowodu.

Przykład 4.10.

Obliczyć granice ciągów:
(1) $\lim_{n \to + \infty} (- 1)^{n} \frac{2 n + 1}{3 n^{2}}$ ;
(2) $\lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n})^{\frac{1}{2^{n}}}$ .

Rozwiązanie

(Ad (1)) Niech $a_{n} = (- 1)^{n} \frac{2 n + 1}{3 n^{2}}$ . Policzmy najpierw granice modułów:

\begin{aligned} \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | & = & \lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + 1}{3 n^{2}} = \lim_{n \to + \infty} (\frac{2 n}{3 n^{2}} + \frac{1}{3 n^{2}}) = \lim_{n \to + \infty} (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{n} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}) \\ = & \frac{2}{3} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} + \frac{1}{3} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 \cdot 0 = 0 . \end{aligned}

W powyższych rachunkach korzystaliśmy z arytmetyki granic (patrz twierdzenie 4.9.(1)--(3)) oraz ze znajomości granicy $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n}$ (patrz przykład 3.21.). Ponieważ otrzymaliśmy $\lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = 0$ , więc korzystając z twierdzenie 4.9. (7) wnioskujemy, że także $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ .

(Ad (2)) Ponieważ

\lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n}) = 2

oraz

\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{2^{n}} = 0

(patrz przykład 3.22.), zatem korzystając z twierdzenia 4.9. (5), dostajemy

\lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n})^{\frac{1}{2^{n}}} = 2^{0} = 1

Plik:AM1.M04.W.R09.svg

Ilustracja do twierdzenia o trzech ciągach

Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu ${b_{n}}$ leżą pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ (przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę $g$ (właściwą lub niewłaściwą), to ciąg ${b_{n}}$ ma tę samą granicę $g$ .

Twierdzenie 4.11. [O trzech ciągach]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} c_{n} = g \in \overline{ℝ} oraz

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

,

to

$\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g$ .

Dowód 4.11.

Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy $g \in ℝ$ . Załóżmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} c_{n} = g$ oraz $\exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ .

Należy pokazać, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g$ . W tym celu ustalmy dowolne $ε > 0$ . Z definicji granicy ciągu mamy

$\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N : | a_{n} - g | < ε, czyli g - ε < a_{n} < g + ε, & \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N : | c_{n} - g | < ε, czyli g - ε < c_{n} < g + ε . \end{aligned}$

Niech $N_{3} = \max {N, N_{1}, N_{2}}$ . Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że

\forall n \geq N_{3} : g - ε < a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} < g + ε

,

zatem

\forall n \geq N_{3} : | b_{n} - g | < ε

,

co dowodzi, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g$ .

Przykład 4.12.

Obliczyć granicę ciągu $\lim_{n \to + \infty} [2 + (- 1)^{n}] \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1}$ .

Niech $x_{n} = [2 + (- 1)^{n}] \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1}$ .

Zauważmy, że $x_{n} = y_{n} b_{n}$ , gdzie $y_{n} = 2 + (- 1)^{n}$ oraz $b_{n} = \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1}$ . W celu obliczenia $\lim_{n \to + \infty} b_{n}$ zauważmy, że

\frac{3 n^{2}}{4 n^{4} + 3 n^{4} + n^{4}} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n^{2}}{4 n^{4}}

\frac{3 n^{2}}{8 n^{4}} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} \leq \frac{5 n^{2}}{4 n^{4}}

\frac{3}{8} \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} \leq \frac{5}{4} \frac{1}{n^{2}}

granica ciągu $\frac{3}{8} \frac{1}{n^{2}}$ oraz $\frac{5}{4} \frac{1}{n^{2}}$ wynosi zero. Zbieżności te wynikają z twierdzenia o granicy iloczynu ciągu (patrz twierdzenie 4.9. (3)), to znaczy

\lim_{n \to + \infty} \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{n^{2}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{3}{8} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = \frac{3}{8} \cdot 0 \cdot 0 = 0

i podobnie $\lim_{n \to + \infty} \frac{5}{4} \frac{1}{n^{2}} = 0$ .

Teraz, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz twierdzenie 4.11) dostajemy, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = 0$ .

Odnośnie ciągu ${y_{n}}$ zauważmy, że

\forall n \in ℕ : 1 \leq y_{n} \leq 3

,

a zatem ciąg ${y_{n}}$ jest ograniczony.

W końcu, korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz twierdzenie 4.7.) dostajemy, że

\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 0

.

Kolejne twierdzenie mówi, w jaki sposób nierówności między wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych ciągów i na odwrót. Mianowicie, jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są dwoma ciągami mającymi granice (właściwe lub niewłaściwe) oraz wyrazy ciągu ${b_{n}}$ są większe lub równe od wyrazów ciągu ${a_{n}}$ , to nierówność ta zachodzi także dla granic ciągów. Na odwrót, jeśli granica ciągu ${b_{n}}$ jest silnie większa od granicy ciągu ${a_{n}}$ , to nierówność ta zachodzi także dla wyrazów ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ , przynajmniej od pewnego miejsca.

Twierdzenie 4.13. [O dwóch ciągach]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a \in \overline{ℝ}$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = b \in \overline{ℝ}$ , to prawdziwe są implikacje:

(1) $[a = + \infty \land \forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}] ⟹ [b = + \infty]$ ;

(2) $[b = - \infty \land \forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}] ⟹ [a = - \infty]$ ;

(3) $[\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}] ⟹ [a \leq b]$ ;

(4) $[a < b] ⟹ [\exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} < b_{n}]$ .

Dowód 4.13. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Zakładamy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty$ oraz $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}$ .
Ustalmy dowolne $M > 0$ . Ponieważ $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty$ , więc

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \geq M

Zatem dla dowolnego $n \geq N$ mamy

b_{n} \geq a_{n} \geq M

Ponieważ $M > 0$ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

\forall M > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : b_{n} \geq M

,

a to oznacza, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = + \infty$ .
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu (1).
(Ad (3)) Niech $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a \in \overline{ℝ}, \lim_{n \to + \infty} b_{n} = b \in \overline{ℝ}$ oraz $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}$ .
"Przypadek $1^{o}$ ." Niech $a, b \in ℝ$ .

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $a > b$ . Ustalmy $ε = \frac{a - b}{2} > 0$ . Z definicji granicy ciągu mamy

\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : | a_{n} - a | < \frac{a - b}{2}, \\ \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : | b_{n} - b | < \frac{a - b}{2}, \end{aligned}

i w szczególności

\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : a_{n} > \frac{a + b}{2}, \\ \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : b_{n} < \frac{a + b}{2}, \end{aligned}

Niech $k = \max {N_{1}, N_{2}}$ . Wówczas dla wyrazów $a_{k}$ i $b_{k}$ mamy

a_{k} > \frac{a + b}{2} > b_{k}

,

co jest sprzeczne z założeniem. Zatem pokazaliśmy, że $a \leq b$ .

"Przypadek $2^{o}$ ." $a = + \infty$ lub $b = - \infty$ . Wówczas teza wynika z (1) lub (2).

"Przypadek $3^{o}$ ." $a = - \infty$ lub $b = + \infty$ . Wówczas zawsze zachodzi nierówność $a \leq b$ .

(Ad (4)) "Przypadek $1^{o}$ ." Niech $a, b \in ℝ$ . Ustalmy $ε = \frac{b - a}{2}$ . Ponieważ $b > a$ , więc $ε > 0$ . Z definicji granicy ciągu mamy

\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : | a_{n} - a | < \frac{b - a}{2}, \\ \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : | b_{n} - b | < \frac{b - a}{2} . \end{aligned}

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}}$ . W szczególności mamy

\forall n \geq N : a_{n} < \frac{a + b}{2} < b_{n}

,

co należało pokazać.

"Przypadek $2^{o}$ ." $a = - \infty$ . Niech $ε = 1$ i $M = b - 1$ . Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej mamy

\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : a_{n} < b - 1, \\ \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : | b_{n} - b | < 1 . \end{aligned}

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}}$ . W szczególności mamy

\forall n \geq N : a_{n} < b - 1 < b_{n}

,

co należało pokazać.

"Przypadek $3^{o}$ ." $b = + \infty$ . Dowód jest analogiczny jak w przypadku $2^{o}$ .

Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego (ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu (patrz rysunek w twierdzeniu 4.15).

Twierdzenie 4.14.

Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem, to
(1) jeśli ${a_{n}}$ jest rosnący, to ${a_{n}}$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \sup {a_{n} : n \in ℕ};

(2) jeśli ${a_{n}}$ jest malejący, to ${a_{n}}$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \inf {a_{n} : n \in ℕ}

Dowód 4.14. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Załóżmy, że ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem rosnącym oraz niech

g \overset{d f}{=} \sup {a_{n} : n \in ℕ}

(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem $ℝ$ lub wynosi $+ \infty$ , gdyż zbiór jest niepusty). Pokażemy, że $g$ jest granicą ciągu ${a_{n}}$ .
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek $1^{o}$ . Niech $g \in ℝ$ . Ustalmy dowolne $ε > 0$ . Z własności supremum mamy, że

\exists N \in ℕ : g - ε < a_{N}

(de facto z własności supremum wynika, że takich indeksów $N$ istnieje nieskończenie wiele, ale nam wystarczy wybór jednego z nich). Ponieważ ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący oraz $\forall n \in N : a_{n} \leq g$ (z definicji supremum), więc

\forall n \geq N : g - ε < a_{N} \leq a_{n} \leq g

Ponieważ $ε > 0$ był dowolnie wybrany, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : | a_{n} - g | < ε

zatem pokazaliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = g$ .
Przypadek $2^{o}$ . Niech $g = + \infty$ . Ustalmy $M \in ℝ$ . Z definicji supremum mamy, że

\exists N \in ℕ : M < a_{N}

(bo w przeciwnym razie byłoby $g \leq M$ , sprzeczność).

Ponieważ ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący, więc

\forall n \geq N : M < a_{N} \leq a_{n}

Ponieważ $M \in ℝ$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall M \in ℝ \exists N \in ℕ \forall n \geq N : M < a_{n}

Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = g$ .
(Ad (2)) Dowód jest analogiczny jak dla (1).

Plik:AM1.M04.W.R10.mp4

Ciąg rosnący i ograniczony z góry

Twierdzenie 4.15. [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]

(1) Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.

(2) Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.

Dowód 4.15.

(Ad (1)) Jeśli ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący, to z twierdzenia 4.14 (1) wynika, że ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \sup {a_{n} : n \in ℕ}

Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc

\sup {a_{n} : n \in ℕ} < + \infty

,

zatem granica jest właściwa, czyli ciąg jest zbieżny.
(Ad (2)) Dowód analogiczny jak w (1).
(Ad (3)) Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2) (to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony). W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.
Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez założenia monotoniczności). Wynika to z twierdzenia 3.25.

Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię

Twierdzenie 4.16. [Bolzano-Weierstrassa]

Każdy ciąg ograniczony ${a_{n}} \subseteq ℝ$ zawiera podciąg zbieżny.

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat:

Lemat 4.17.

Każdy ciąg liczbowy

{a_{n}} \subseteq ℝ

zawiera podciąg monotoniczny.

Dowód 4.17.

[Szkic] Dla ciągu ${a_{n}}$ zdefiniujmy następujący zbiór:

$Z \overset{d f}{=} {n \in ℕ : \forall m \in ℕ [m > n ⟹ a_{m} > a_{n}]}$

Możliwe są dwa przypadki.
Jeśli $# Z = \infty$ (to znaczy zbiór $Z$ jest nieskończony), to możemy z ciągu ${a_{n}}$ wybrać podciąg rosnący (wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu ${a_{n}}$ , których indeksy należą do zbioru $Z$ ).
Jeśli $# Z < \infty$ (to znaczy zbiór $Z$ jest skończony), to możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób. Niech $n_{1} \in ℕ$ będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze zbioru $Z$ . Ponieważ $n_{1} \in̸ Z$ , więc

$\exists n_{2} > n_{1} : a_{n_{2}} \leq a_{n_{1}}$

Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy $n_{1} < \dots < n_{k}$ , to z definicji zbioru $Z$ i faktu, że $n_{k} \in̸ Z$ wynika, że

$\exists n_{k + 1} > n_{k} : a_{n_{k + 1}} \leq a_{n_{k}}$

Skonstruowany w ten sposób podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ jest malejący.

Plik:AM1.M04.W.R11.mp4

Podciąg monotoniczny ciągu

Możemy teraz powrócić do dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa:

Dowód 4.16.

Niech ${a_{n}} \in ℝ$ będzie ciągiem ograniczonym. Z lematu 4.17. wynika, że możemy z niego wybrać podciąg monotoniczny ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ . Oczywiście podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ jest także ograniczony, zatem z twierdzenia 4.15. (3) wynika, że podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ jest zbieżny.

Wniosek 4.18.

Z każdego ciągu liczbowego ${a_{n}} \subseteq ℝ$ można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą).

Dowód 4.18.

Z lematu 4.17. wiemy, że z ciągu ${a_{n}}$ można wybrać podciąg monotoniczny. Jeśli jest on ograniczony, to z twierdzenia 4.15. wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą). Jeśli zaś jest nieograniczony, to skoro jest monotoniczny, to granicą jest $+ \infty$ lub $- \infty$ .

Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 14:49, 25 lip 2024

Ciągi liczbowe

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-{stre}{Streszczenie}
+==Ciągi liczbowe==
-{wsk}{Wskazówka}
-{rozw}{Rozwiązanie}
-{textt}{}
-{thm}{Twierdzenie}[section]
-{stw}[thm]{Stwierdzenie}
-{lem}[thm]{Lemat}
-{uwa}[thm]{Uwaga}
-{exa}[thm]{Example}
-{dfn}[thm]{Definicja}
-{wn}[thm]{Wniosek}
-{prz}[thm]{Przykład}
-{zadan}[thm]{Zadanie}
-{}
+<div class="thumb tleft"><div style="width:253px;">
-{}
+<flashwrap>file=AM1.M04.W.R01.swf|width=375|size=small</flashwrap>
+<div.thumbcaption>Ciąg liczbowy</div>
+</div></div>
-==Ciągi liczbowe. Ćwiczenia==
+W tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych.
+Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony,  granice
+niewłaściwe.
+Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów,
+twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w <math>\mathbb{R}</math>,
+twierdzenie o trzech ciągach,
+twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym,
+twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.
-{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
+{{definicja|4.1. [ciąg liczbowy]||
-Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
+Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w
-"'(1)"'
+<math>\mathbb{R}</math>
-<math>\displaystyle
+(to znaczy w zbiorze liczbowym <math>\mathbb{R}</math> traktowanym jako
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2n^2+1}{3n^2-1}</math><br>
+przestrzeń metryczna z metryką euklidesową).
-"'(2)"'
+Piszemy krótko <math>\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}</math>.
-<math>\displaystyle
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}</math><br>
-"'(3)"'
-<math>\displaystyle
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{-n+1}{n^2+2}.</math>
 }}
-{black}
+Ponieważ w zbiorze liczbowym <math>\mathbb{R}</math> mamy liniowy porządek,
+więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na
+wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+{{definicja|4.2.||
-"'(1)"' Podzielić licznik i mianownik przez <math>n^2</math>
-i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.<br>
-"'(2)"' Wykorzystać twierdzenie o dwóch ciągach.<br>
-"'(3)"' Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.<br>
-Sposób II.
-Podzielić licznik i mianownik przez <math>n^2</math>
-oraz skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.
-{}<math>\Box</math></div></div>
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+'''(1)''' Mówimy, że ciąg
-"'(1)"'
+<math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
-Dzielimy licznik i mianownik przez <math>n^2</math> i dostajemy:
+'''''malejący''''',
+jeśli
+<math>\forall n\in\mathbb{N}: a_n \ge a_{n+1}</math><br>
+'''(2)''' Mówimy, że ciąg
+<math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+'''''silnie malejący''''',
+jeśli
+<math>\forall n\in\mathbb{N}: a_n > a_{n+1}</math>.<br>
+'''(3)''' Mówimy, że ciąg
+<math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+'''''rosnący''''',
+jeśli
+<math>\forall n\in\mathbb{N}: a_n \le a_{n+1}</math>.
+'''(4)''' Mówimy, że ciąg
+<math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+'''''silnie rosnący''''',
+jeśli
+<math>\forall n\in\mathbb{N}: a_n < a_{n+1}</math>
+'''(5)''' Mówimy, że ciąg <math>\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+'''''monotoniczny''''',
+jeśli jest on
+malejący lub rosnący.<br>
+'''(6)''' Mówimy, że ciąg <math>\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+'''''silnie monotoniczny''''',
+jeśli jest on
+silnie malejący lub silnie rosnący.
+}}
+{| border="0" align="center" cellspacing="10"
+|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
+<flash>file=AM1.M04.W.R02.swf|width=375|height=375</flash>
+<div.thumbcaption>Ciąg malejący</div>
+</div></div>
+|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
+<flash>file=AM1.M04.W.R03.swf|width=375|height=375</flash>
+<div.thumbcaption>Ciąg silnie malejący</div>
+</div></div>
+|}
+{| border="0" align="center" cellspacing="10"
+|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
+<flash>file=AM1.M04.W.R04.swf|width=375|height=375</flash>
+<div.thumbcaption>Ciąg rosnący</div>
+</div></div>
+|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
+<flash>file=AM1.M04.W.R05.swf|width=375|height=375</flash>
+<div.thumbcaption>Ciąg silnie rosnący</div>
+</div></div>
+|}
+<div class="thumb tright"><div div style="width:253px;">
+<flashwrap>file=AM1.M04.W.R06.swf|size=small</flashwrap>
+<div.thumbcaption>Ciąg zbieżny do granicy <math>g</math></div>
+</div></div>
+W przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o
+ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni
+metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry
+(ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy
+<math>\mathbb{R}</math> jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące
+definicje.
+{{definicja|4.3.||
+'''(1)''' Mówimy, że ciąg <math>\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+'''''ograniczony''''',
+jeśli
+<math>\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}: |a_n|\le M</math><br>
+'''(2)''' Mówimy, że ciąg <math>\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+'''''ograniczony z dołu''''',
+jeśli
+<math>\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}: a_n\ge M</math><br>
+'''(3)''' Mówimy, że ciąg <math>\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+'''''ograniczony z góry''''',
+jeśli
+<math>\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}: a_n\le M</math><br>
+}}
+Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest
+następujący związek między ograniczonością a
+ograniczonością z góry i z dołu.
+{{stwierdzenie|4.4. [O ciągu ograniczonym w <math>\mathbb{R}</math>]||
+Jeśli
+<math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem
+to
+<math>\{a_n\}</math> jest ograniczony wtedy i tylko wtedy,
+gdy
+<math>\{a_n\}</math> jest ograniczony z dołu i z góry.
+}}
+Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w
+dowolnych przestrzeniach metrycznych.
+Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w
+<math>\mathbb{R}</math> mamy metrykę euklidesową.
-<center><math>
+<span id="definicja_4_5">{{definicja|4.5.||
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2n^2+1}{3n^2-1}
+'''(1)''' Mówimy, że liczba <math>g</math> jest
-\ =\
+'''''granicą''''' ciągu
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}
+<math>\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>, jeśli
-\frac{\displaystyle 2+\overbrace{\frac{1}{n^2}}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 3-\underbrace{\frac{1}{n^2}}_{\rightarrow 0}}
+<center>
-\ =\
+<math>
-\frac{2}{3},
+\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
+|x_n-g|<\varepsilon
 </math></center>
+i piszemy
-przy czym w ostatniej równości wykorzystujemy twierdzenia o
+<center>
-arytmetyce granic (dla sumy i iloczynu; patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.04.080|Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|]])
+<math>
-oraz fakt, że
+\begin{array}{lll}
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}=0</math>
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g
-(patrz Przykład [[##p.new.am1.w.03.210|Uzupelnic p.new.am1.w.03.210|]] i Twierdzenie
+\quad& \text{lub} & x_n\stackrel{\mathbb{R}}{\longrightarrow} g
-[[##t.new.am1.w.04.080|Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|]]).<br>
+\quad\text{lub}\\\\
-<br>
+x_n\xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{} g
-"'(2)"'
+\quad&\text{lub} & x_n\longrightarrow g
-Zauważmy, że
+\end{array}
+</math></center>
+'''(2)''' Mówimy, że ciąg <math>\{x_n\}</math> jest
+'''''zbieżny''''', jeśli
 <center><math>
-\beginarray {ccccc}
+\exists g\in \mathbb{R}:
-\displaystyle\frac{2n^2}{n\sqrt{n}}     & \le & \displaystyle\frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}\\
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g</math></center>
-\shortparallel                          &     &                           \\
-\displaystyle 2\sqrt{n}                 &     &                           \\
-\downarrow                              &     &                           \\
-+\infty                                 &     &
-\endarray
-</math></center>
-(przy czym ostatnią zbieżność <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt{n}=+\infty</math>
+}}</span>
-łatwo pokazać z definicji granicy niewłaściwej).
-Zatem korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach
-(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.04.120|Uzupelnic t.new.am1.w.04.120|]](a))
-wnioskujemy, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}=+\infty</math><br>
-"'(3)"'
-"'Sposób I."'
-Zauważmy, że
-<center><math>
+W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie
+granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej
+przestrzeni metrycznej).
-\beginarray {ccccc}
+{{definicja|4.6. [Uzupelnij]||
-\displaystyle -\frac{n}{n^2} & \le & \displaystyle\frac{-n+1}{n^2+2} & \le & 0\\
-\shortparallel               &     &                                 &     & \downarrow\\
-\displaystyle -\frac{1}{n}   &     &                                 &     & 0\\
-\downarrow                   &     &                                 &     & \\
-                            &     &                                 &     & \\
-\endarray
-</math></center>
-Zatem korzystając z twierdzenia a trzech ciągach wnioskujemy,
+'''(1)''' Mówimy, że ciąg liczbowy <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
-że
+ma '''''granicę niewłaściwą'''''
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{-n+1}{n^2+2}=0.</math><br>
+<math>+\infty</math>,
-"'Sposób II."'
+jeśli
-Dzieląc licznik i mianownik przez <math>n^2</math>
-oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy
-<center><math>
+<center>
+<math>\forall M\in\mathbb{R}
+\exists N\in\mathbb{N}
+\forall n\ge N:
+a_n\ge M</math>
+</center>
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{-n+1}{n^2+2}
+Mówimy wówczas, że ciąg <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
-\ =\
+'''''rozbieżny''''' do
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle \overbrace{-\frac{1}{n}}^{\rightarrow 0}+\overbrace{\frac{1}{n^2}}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 1+\underbrace{\frac{2}{n^2}}_{\rightarrow 0}}
+<math>+\infty</math>
-\ =\
+i piszemy
-.
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty</math>.<br>
-</math></center>
+'''(2)''' Mówimy, że ciąg liczbowy <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
+ma
+'''''granicę niewłaściwą'''''
+<math>-\infty</math>,
+jeśli
-{}<math>\Box</math></div></div>
+<center><math>
-{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
+\forall M\in\mathbb{R}
+\exists N\in\mathbb{N}
+\forall n\ge N:
+a_n\le M</math></center>
-Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
+Mówimy wówczas, że ciąg <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
-"'(1)"'
+'''''rozbieżny''''' do
-<math>\displaystyle
+<math>-\infty</math>
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+2}{n}}{n^2}</math><br>
+i piszemy
-"'(2)"'
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=-\infty</math>.
-<math>\displaystyle
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+3}{n}}{n^3}.</math>
 }}
-{black}
+{| border="0" align="center" cellspacing="10"
+|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
+<flashwrap>file=AM1.M04.W.R07.swf|size=small</flashwrap>
+<div.thumbcaption>Ciąg rozbieżny do <math>+\infty</math></div>
+</div></div>
+|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
+<flashwrap>file=AM1.M04.W.R08.swf|size=small</flashwrap>
+<div.thumbcaption>Ciąg rozbieżny do <math>-\infty</math></div>
+</div></div>
+|}
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą
-"'(1)"' Rozpisać symbol Newtona. Podzielić licznik i mianownik przez <math>n^2.</math><br>
+(w sensie [[AM1 Wykład 4#definicja_4_5|definicji 4.5.]]), gdyż nie jest to
-"'(2)"' Rozwiązać analogicznie do przykładu (1).
+element <math>\mathbb{R}</math> (nie jest to liczba rzeczywista).
-{}<math>\Box</math></div></div>
+Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w
+terminologii.
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać
-"'(1)"'
+"granica właściwa" lub
-Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu
+"granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy
+o granicy niewłaściwej.
+O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest '''''zbieżny'''''.
+O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest
+'''''rozbieżny''''' do <math>+\infty</math> lub <math>-\infty</math>.
+O ciągu który nie ma granicy
+właściwej mówimy, że jest
+'''''rozbieżny'''''.
-<center><math>
+<span id="twierdzenie_4_7">{{twierdzenie|4.7. [O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera]||
+Jeśli
+<math>\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> są ciągami takimi, że
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0</math> oraz <math>\{b_n\}</math> jest ograniczony,
+to
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0</math>.
+}}</span>
-\binom{n+2}{n}
+<span id="twierdzenie_4_7">{{dowod|4.7.||
-\ =\
-\frac{(n+2)!}{n!\cdot 2!}
-\ =\
-\frac{(n+1)(n+2)}{2}
-</math></center>
-Zatem liczymy:
+Niech <math>M>0</math> będzie stałą ograniczającą ciąg <math>\{b_n\}</math>
+(która istnieje z założenia), to znaczy
-<center><math>\aligned
+<center><math>
-\displaystyle
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+2}{n}}{n^2}
-& = &
-\displaystyle
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{2n^2}
-\ =\
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^2+3n+2}{2n^2}\\
-& = &
-\displaystyle
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{2}
-+\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{n}}_{=0}
-+\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n^2}}_{=0}
-\ =\
-\frac{1}{2}.
-\endaligned</math></center>
+\forall n\in \mathbb{N}: |b_n|\le M</math></center>
-"'(2)"'
+Ustalmy <math>\varepsilon>0</math>.
-Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu
+Ponieważ <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0</math>, więc
 <center><math>
-\binom{n+3}{n}
+\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
-\ =\
+|a_n|\le\frac{\varepsilon}{M}</math></center>
-\frac{(n+3)!}{n!\cdot 3!}
-\ =\
-\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}
-</math></center>
-Zatem liczymy:
+Zatem dla <math>n\ge N</math> mamy
-<center><math>\aligned
+<center><math>|a_nb_n| \le
-\displaystyle
+\frac{\varepsilon}{M}\cdot M
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+3}{n}}{n^3}
+=
-& = &
+\varepsilon</math></center>
-\displaystyle
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6n^3}
-\ =\
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^3+6n^2+11n+6}{6n^3}\\
-& = &
-\displaystyle
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{6}
-+\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}}_{=0}
-+\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{11}{6}\cdot\frac{1}{n^2}}_{=0}
-+\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n^3}}_{=0}
-\ =\
-\frac{1}{6}.
-\endaligned</math></center>
+Ponieważ <math>\varepsilon>0</math> było dowolne, więc pokazaliśmy, że
-{}<math>\Box</math></div></div>
+<center><math>
-{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
+\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}:
+|a_nb_n|\le\varepsilon</math>,</center>
-Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
+czyli udowodniliśmy, że
-"'(1)"'
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0</math>.
-<math>\displaystyle
+}}</span>
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{5^{n+1}+1+6^{n+1}}{3\cdot 6^n}</math><br>
-"'(2)"'
-<math>\displaystyle
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}</math><br>
-"'(3)"'
-<math>\displaystyle
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}}.</math>
-}}
-{black}
+{{przyklad|4.8.||
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+Obliczyć granicę
-"'(1)"' Wykonać dzielenie <math>6^n.</math><br>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin n}{n}</math>.
-"'(2)"' Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.<br>
+}}
-Sposób II.
-Podzielić licznik i mianownik przez <math>3^{2n}</math>
-i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.<br>
-"'(3)"' Wykorzystać wzór na sumę skończonego
-ciągu geometrycznego (patrz Uwaga [[##u.1.0100|Uzupelnic u.1.0100|]]).
-{}<math>\Box</math></div></div>
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-"'(1)"'
+Jeśli zdefiniujemy
-Wykonując dzielenie przez <math>6^n</math> dostajemy:
+<math>a_n=\frac{1}{n}</math> oraz <math>b_n=\sin n</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math>,
+to <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0</math> oraz ciąg <math>\{b_n\}</math> jest ograniczony,
+gdyż
 <center><math>
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{5^{n+1}+1+6^{n+1}}{3\cdot 6^n}
+\forall n\in\mathbb{N}:
-\ =\
+|\sin n|
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{5}{3}\bigg(\frac{5}{6}\bigg)^n
+\le
-+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{3}\bigg(\frac{1}{6}\bigg)^n
+</math></center>
-+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 2
-\ =\
+Zatem z [[AM1 Wykład 4#twierdzenie_4_7|twierdzenia 4.7.]]
-,
+wnioskujemy, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin n}{n}= \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0</math>.
-</math></center>
+</div></div>
-gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego
+Dla ciągów liczbowych możliwe jest wykonywanie działań na
-(patrz Przykład [[##p.new.am1.w.03.220|Uzupelnic p.new.am1.w.03.220|]]).<br>
+elementach tych ciągów oraz na ich granicach.
-<br>
+Poniższe twierdzenie podaje związki, jakie zachodzą między tymi
-"'(2)"'
+działaniami.
-"'Sposób I."'
-Zauważmy, że
-<center><math>
+<span id="twierdzenie_4_9">{{twierdzenie|4.9. [O "arytmetyce" granic ciągów]||
+Jeśli
+<math>\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
+są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz <math>c\in\mathbb{R}</math>,
+to<br>
+'''(1)'''
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n\pm b_n)
+=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \pm \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n</math>;<br>
+'''(2)'''
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (c\cdot a_n)
+=c\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n</math>;<br>
+'''(3)'''
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_nb_n)
+=\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\bigg)</math>;<br>
+'''(4)'''
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}
+=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n}</math>
+(o ile
+<math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math> oraz <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\ne 0</math>);<br>
+'''(5)'''
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}
+=\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)^{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n}</math>
+(o ile działania po obu stronach są wykonalne);<br>
+'''(6)'''
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =a\quad
+\Longrightarrow\quad
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|</math>;<br>
+'''(7)'''
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =0\quad
+\Longleftrightarrow\quad
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0</math>.
+}}</span>
-\beginarray {ccccc}
+{{dowod|4.9.||
-\displaystyle 0 & \le & \displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2} & \le & \displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}}\\
-\downarrow      &     &                                           &     & \shortparallel\\
-\displaystyle 0 &     &                                           &     & \displaystyle 2\bigg(\frac{2}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^n\\
-&     &                                           &     & \downarrow\\
-&     &                                           &     & 0\\
-\endarray
-</math></center>
-gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego.
+'''(Ad 1)'''
-Zatem korzystając z twierdzenie a trzech ciągach wnioskujemy,
+Niech <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math> oraz <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b</math>.
-że
+Pokażemy, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n+b_n)=a+b</math>.<br>
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}=0.</math><br>
+W tym celu ustalmy <math>\varepsilon>0</math>.
-<br>
+Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów
-"'Sposób II."'
+<math>\{a_n\}</math> i <math>\{b_n\}</math> wiemy, że
-Dzieląc licznik i mianownik przez <math>3^{2n}</math>
-oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy
 <center><math>
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}
+\exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}
-\ =\
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle 2\cdot\bigg(\frac{2}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^n}{\displaystyle 1+2\cdot\bigg(\frac{1}{9}\bigg)^n}
-\ =\
-.
 </math></center>
-"'(3)"'
+oraz
-Korzystając ze wzoru na sumę skończonego
-ciągu geometrycznego (patrz Uwaga [[##u.1.0100|Uzupelnic u.1.0100|]]), mamy
 <center><math>
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}{\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}}
+\exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}</math></center>
-\ =\
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle\frac{\displaystyle 1-\frac{1}{4^{n+1}}}{\displaystyle 1-\frac{1}{4}}}{\displaystyle\frac{\displaystyle 1-\frac{1}{3^{n+1}}}{\displaystyle 1-\frac{1}{3}}}
+Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math>.
-\ =\
+Wówczas dla dowolnego <math>n\ge N</math> mamy:
-\frac{9}{8}\cdot
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle 1-\overbrace{\bigg(\frac{1}{4}\bigg)^{n+1}}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 1-\underbrace{\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^{n+1}}_{\rightarrow 0}}
-\ =\
-\frac{9}{8}\cdot 1
-\ =\
-\frac{9}{8}.
-</math></center>
-{}<math>\Box</math></div></div>
+<center><math>\big|(a_n+b_n)-(a+b)\big| \le
+|a_n-a|+|b_n-b|
+<
+\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}
+=
+\varepsilon</math></center>
-{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
+Ponieważ <math>\varepsilon>0</math> było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że
-Niech
-<math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>  będzie ciągiem liczbowym takim, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.</math>
-Udowodnić, że
-jeśli <math>g\ne 0</math> oraz
-<math>x_n\ne 0</math> dla dowolnego <math>n\in\mathbb{N},</math> to ciąg
-<math>\displaystyle\big\{\frac{1}{x_n}\big\}</math> jest ograniczony
-oraz dodatkowo
 <center><math>
-\exists m>0:\ \bigg|\frac{1}{x_n}\bigg|\ge m.
+\forall \varepsilon>0\ \exists N\in \mathbb{N}:
-</math></center>
+\big|(a_n+b_n)-(a+b)\big|
+<
+\varepsilon</math>,</center>
+czyli
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n+b_n)=a+b</math>.<br>
+Analogicznie pokazuje się, że
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n-b_n)=a-b</math>.<br>
+'''(Ad (3)-(4), (6)-(7))''' Dowody tych części są pozostawione na ćwiczenia
+(patrz [[Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 4: Ciągi liczbowe#cwiczenie_4_5|ćwiczenie 4.5.]] i [[Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 4: Ciągi liczbowe#cwiczenie_4_6|ćwiczenie 4.6.]]).<br>
+'''(Ad (2))''' Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).<br>
+'''(Ad (5))''' Pozostawiamy to bez dowodu.
 }}
-{black}
+{{przyklad|4.10.||
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+Obliczyć granice ciągów:<br>
-Skorzystać z definicji granicy ciągu z
+'''(1)''' <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (-1)^n\frac{2n+1}{3n^2}</math>;<br>
-<math>\displaystyle\varepsilon=\frac{|g|}{2}.</math>
+'''(2)''' <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}}</math>.
-{}<math>\Box</math></div></div>
+}}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g\ne 0.</math>
+'''(Ad (1))'''
-Niech <math>\displaystyle\varepsilon=\frac{|g|}{2}>0.</math>
+Niech <math>a_n=(-1)^n\frac{2n+1}{3n^2}</math>.
-Z definicji granicy mamy
+Policzmy najpierw granice modułów:
+<center><math>\begin{align}
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|
+& = &
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2n+1}{3n^2}
+=
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{2n}{3n^2}+\frac{1}{3n^2}\bigg)
+=
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\bigg)\\
+& = &
+\frac{2}{3}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}+
+\frac{1}{3}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}
+=
+\frac{2}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot 0\cdot 0
+=
+.
+\end{align}</math></center>
+W powyższych rachunkach korzystaliśmy z arytmetyki granic
+(patrz [[#twierdzenie_4_9|twierdzenie 4.9.]](1)--(3)) oraz ze znajomości
+granicy <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}</math>
+(patrz [[AM1 Wykład 3#przyklad_3_21|przykład 3.21.]]).
+Ponieważ otrzymaliśmy <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0</math>,
+więc korzystając z [[#twierdzenie_4_9|twierdzenie 4.9.]] (7)
+wnioskujemy, że także <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0</math>.<br>
+<br>
+'''(Ad (2))'''
+Ponieważ
 <center><math>
-\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)
-|x_n-g|<\frac{|g|}{2},
+=
 </math></center>
-w szczególności dla tak dobranego <math>N\in\mathbb{N},</math> mamy
+oraz
 <center><math>
-\forall n\ge N:\ g-\frac{|g|}{2}<x_n<g+\frac{|g|}{2},
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{2^n}
+=
 </math></center>
-zatem
+(patrz [[AM1 Wykład 3#przyklad_3_22|przykład 3.22.]]),
+zatem korzystając z [[#twierdzenia_4_9|twierdzenia 4.9.]] (5), dostajemy
 <center><math>
-\forall n\ge N:\ \frac{|g|}{2}<|x_n|<\frac{3|g|}{2},
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}}
-</math></center>
+=
+^0
+=
+</math></center>
+</div></div>
+[[File:AM1.M04.W.R09.svg|375x375px|thumb|right|Ilustracja do twierdzenia o trzech ciągach]]
-czyli
+Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu <math>\{b_n\}</math> leżą
+pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów <math>\{a_n\}</math> i <math>\{b_n\}</math>
+(przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę <math>g</math>
+(właściwą lub niewłaściwą),
+to ciąg <math>\{b_n\}</math> ma tę samą granicę <math>g</math>.
+<span id="twierdzenie_4_11">{{twierdzenie|4.11. [O trzech ciągach]||
+Jeśli
+<math>\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> są ciągami takimi, że
+<br>
 <center><math>
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=g\in\overline{\mathbb{R}}
+\quad\text{oraz}\quad</math><br>
+<math>
+\exists N\in \mathbb{N}\ \forall n\ge N: a_n\le b_n\le c_n</math>,</center>
+to
+<center>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g</math>.
+</center>
+}}</span>
-\forall n\ge N:\
+{{dowod|4.11.||
-\frac{2}{3|g|}<\frac{1}{|x_n|}<\frac{2}{|g|}.
-</math></center>
-Zdefiniujmy teraz
+Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy <math>g\in\mathbb{R}</math>.
+Załóżmy, że
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=g</math> oraz
+<math>\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N: a_n\le b_n\le c_n</math>.
-<center><math>
+Należy pokazać, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g</math>.
+W tym celu ustalmy dowolne <math>\varepsilon>0</math>.
+Z definicji granicy ciągu mamy
-m
+<center>
-\ =\
+<math>\begin{align}
-\min\bigg\{\frac{2}{3|g|},\frac{1}{|x_1|},\ldots,\frac{1}{|x_n|}\bigg\},\qquad
+&& \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N: |a_n-g|<\varepsilon, \quad \text{czyli} \quad g-\varepsilon<a_n < g+\varepsilon,
-M
-\ =\
-\max\bigg\{\frac{2}{|g|},\frac{1}{|x_1|},\ldots,\frac{1}{|x_n|}\bigg\}.
-</math></center>
-Oczywiście <math>0<m<M</math>
+&&\exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N: |c_n-g|<\varepsilon, \quad  \text{czyli} \quad g-\varepsilon<c_n < g+\varepsilon.
-oraz
-<center><math>
+\end{align}</math>
+</center>
-\forall n\in\mathbb{N}:\ m\le \bigg|\frac{1}{x_n}\bigg|\le M,
+Niech <math>N_3=\max\{N,N_1,N_2\}</math>.
-</math></center>
+Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że
+<center>
+<math>
-co należało dowieść.
+\forall n\ge N_3:
-{}<math>\Box</math></div></div>
+g-\varepsilon< a_n
+\le b_n\le
+c_n< g+\varepsilon</math>,</center>
+zatem
+<center>
+<math>
-{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
+\forall n\ge N_3:
+|b_n-g|<\varepsilon</math>,</center>
-Niech
+co dowodzi, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g</math>.
-<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
-będą ciągami liczbowymi zbieżnymi,
-Udowodnić następujące stwierdzenia:<br>
-"'(1)"'
-<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_nb_n)
-=\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\bigg)</math>;<br>
-"'(2)"'
-<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}
-=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n}</math>
-(o ile
-<math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math> oraz <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\ne 0</math>).
 }}
-{black}
+{{przyklad|4.12.||
+Obliczyć granicę ciągu
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} [2+(-1)^n]\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}</math>.
+Niech
+<math>x_n=[2+(-1)^n]\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}</math>.
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+Zauważmy, że <math>x_n=y_n b_n</math>,
-"'(1)"' Skorzystać z faktu, że ciąg zbieżny jest ograniczony.
+gdzie <math>y_n =2+(-1)^n</math> oraz
-Przy liczeniu granicy ciągu <math>\displaystyle\{a_nb_n\}</math> wykorzystać oszacowanie
+<math>b_n=\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}</math>.
+W celu obliczenia <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n</math>
+zauważmy, że
 <center><math>
-\big|a_nb_n-ab\big|
-\ \le\
+\frac{3n^2}{4n^4+3n^4+n^4}  \le  \frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \frac{3n^2+2n^2}{4n^4}</math></center>
-\big|a_nb_n-a_nb\big|
-+\big|a_nb-ab\big|.
+<center><math>
+\frac{3n^2}{8n^4} \le  \frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \frac{5n^2}{4n^4}</math></center>
+<center><math>
+\frac{3}{8}\frac{1}{n^2} \le  \frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \frac{5}{4}\frac{1}{n^2}
 </math></center>
-"'(2)"' Najpierw udowodnić, że
+granica ciągu <math>\frac{3}{8}\frac{1}{n^2}</math> oraz <math>\frac{5}{4}\frac{1}{n^2}
-<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{b_n}
+</math> wynosi zero. Zbieżności te wynikają z twierdzenia o
-=\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n}.</math>
+granicy iloczynu ciągu
-W tym celu skorzystać z Zadania [[##z.new.am1.c.04.0040|Uzupelnic z.new.am1.c.04.0040|]].
+(patrz [[#twierdzenie_4_9|twierdzenie 4.9.]] (3)), to znaczy
-Następnie wykorzystać punkt (1).
-{}<math>\Box</math></div></div>
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-"'(1)"'
-Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math> i <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b.</math>
-Należy pokazać, że
 <center><math>
-\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{n^2}
-\big|a_nb_n-ab\big|<\varepsilon.
+=
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{8}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}
+=
+\frac{3}{8}\cdot 0\cdot  0
+=
 </math></center>
-Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+i podobnie
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{5}{4}\frac{1}{n^2}=0</math>.
-Ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jako zbieżny, jest ograniczony, to znaczy
+Teraz, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz [[#twierdzenie_4_11|twierdzenie 4.11]]) dostajemy, że  <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=0</math>.
+Odnośnie ciągu <math>\{y_n\}</math> zauważmy, że
 <center><math>
-\exists A>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\ |a_n|\le A.
+\forall n\in\mathbb{N}:
-</math></center>
+\le
+y_n
+\le
+</math>,</center>
-Z definicji granicy mamy
+a zatem ciąg <math>\{y_n\}</math> jest ograniczony.
-<center><math>\aligned
+W końcu, korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz [[#twierdzenie_4_7|twierdzenie 4.7.]]) dostajemy, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=0</math>.}}
-&& \exists N_1\in\mathbb{N}:\ |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2A},\\
-&& \exists N_2\in\mathbb{N}:\ |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2|b|}
-\endaligned</math></center>
+Kolejne twierdzenie mówi, w jaki sposób nierówności między
+wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych
+ciągów i na odwrót.
+Mianowicie, jeśli
+<math>\{a_n\}</math> i <math>\{b_n\}</math> są dwoma ciągami mającymi granice
+(właściwe lub niewłaściwe) oraz
+wyrazy ciągu <math>\{b_n\}</math> są większe lub równe od wyrazów
+ciągu <math>\{a_n\}</math>, to nierówność ta zachodzi także dla granic ciągów.
+Na odwrót, jeśli granica ciągu <math>\{b_n\}</math> jest silnie większa od
+granicy ciągu <math>\{a_n\}</math>, to nierówność ta zachodzi także dla
+wyrazów ciągów <math>\{a_n\}</math> i <math>\{b_n\}</math>, przynajmniej od pewnego
+miejsca.
-(przy czym jeśli <math>b=0,</math> to ostatnie wyrażenie
+<span id="twierdzenie_4_13">{{twierdzenie|4.13. [O dwóch ciągach]||
-<math>\displaystyle\frac{\varepsilon}{2|b|}</math> zastąpmy przez <math>\displaystyle\varepsilon</math>).
+Jeśli
+<math>\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> są ciągami takimi, że
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}}</math> oraz
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}}</math>,
+to
+prawdziwe są implikacje:<br><br>
+'''(1)'''
+<math>\bigg[a=+\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}: a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow
+\bigg[b=+\infty\bigg]</math>;<br> <br>
+'''(2)'''
+<math>\bigg[b=-\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}: a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow
+\bigg[a=-\infty\bigg]</math>;<br><br>
+'''(3)'''
+<math>\bigg[\forall n\in\mathbb{N}: a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow \bigg[a\le
+b\bigg]</math>;<br><br>
+'''(4)'''
+<math>\bigg[a<b\bigg]\ \Longrightarrow \bigg[\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
+a_n<
+b_n\bigg]</math>.
+}}</span>
-Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}.</math>
+{{dowod|4.13. [nadobowiązkowy]||
-Wówczas dla dowolnego <math>n\ge N,</math> mamy
+'''(Ad (1))'''
+Zakładamy, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty</math> oraz
+<math>\forall n\in\mathbb{N}: a_n\le b_n</math>.<br>
+Ustalmy dowolne <math>M>0</math>.
+Ponieważ <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty</math>, więc
-<center><math>\aligned
+<center><math>
-\big|a_nb_n-ab\big|
-& \le &
-\big|a_nb_n-a_nb\big|
-+\big|a_nb-ab\big|
-\ =\
-|a_n||b_n-b|+|a_n-a||b|\\
-& < &
-A\cdot\frac{\varepsilon}{2A}
-+\frac{\varepsilon}{2|b|}\cdot |b|
-\ =\
-\varepsilon,
-\endaligned</math></center>
+\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
+a_n\ge M</math></center>
-zatem
+Zatem dla dowolnego <math>n\ge N</math> mamy
 <center><math>
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_nb_n)
+b_n
-\ =\
+\ge
-a\cdot b
+a_n
-\ =\
+\ge
-\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)\cdot\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\bigg).
+M</math></center>
-</math></center>
-"'(2)"'
+Ponieważ <math>M>0</math> było dowolne, więc
-Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math> i <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b</math>
+pokazaliśmy, że
-(gdzie <math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math> oraz <math>b\ne 0</math>).
-Pokażemy najpierw, że
 <center><math>
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{b_n}
+\forall M>0
-=\frac{1}{b}.
+\exists N\in\mathbb{N}
-</math></center>
+\forall n\ge N:
+b_n\ge M</math>,</center>
+a to oznacza, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=+\infty</math>.<br>
+'''(Ad (2))''' Dowód analogiczny do dowodu '''(1)'''.<br>
+'''(Ad (3))'''
+Niech <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}},\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}}</math>
+oraz <math>\forall n\in\mathbb{N}: a_n\le b_n</math>.<br>
+"Przypadek <math>1^o</math>." Niech <math>a,b\in\mathbb{R}</math>.
+Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
+<math>a>b</math>.
+Ustalmy
+<math>\varepsilon=\frac{a-b}{2}>0</math>.
+Z definicji granicy ciągu mamy
+<center><math>\begin{align}
+&&
+\exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{a-b}{2},\\
+&&
+\exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{a-b}{2},
+\end{align}</math></center>
+i w szczególności
+<center><math>\begin{align}
+&&
+\exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ a_n>\frac{a+b}{2},\\
+&&
+\exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ b_n<\frac{a+b}{2},
+\end{align}</math></center>
-Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+Niech <math>k=\max \{N_1,N_2\}</math>.
-Z Zadania [[##z.new.am1.c.04.0040|Uzupelnic z.new.am1.c.04.0040|]]  wynika, że
+Wówczas dla wyrazów <math>a_k</math> i <math>b_k</math> mamy
 <center><math>
-\exists M>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\
+a_k
-\bigg|\frac{1}{b_n}\bigg|\le M.
+>
-</math></center>
+\frac{a+b}{2}
+>
+b_k</math>,</center>
-Z definicji granicy,
+co jest sprzeczne z założeniem.
-zastosowanej do
+Zatem pokazaliśmy, że <math>a\le b</math>.<br>
-<math>\displaystyle\widetilde{\varepsilon}=\frac{|b|\varepsilon}{M}</math>, mamy także
+<br>
+"Przypadek <math>2^o</math>."
+<math>a=+\infty</math> lub <math>b=-\infty</math>.
+Wówczas teza wynika z (1) lub (2).<br>
+<br>
+"Przypadek <math>3^o</math>."
+<math>a=-\infty</math> lub <math>b=+\infty</math>.
+Wówczas zawsze zachodzi nierówność <math>a\le b</math>.<br>
+<br>
+'''(Ad (4))'''
+"Przypadek <math>1^o</math>."
+Niech <math>a,b\in\mathbb{R}</math>.
+Ustalmy <math>\varepsilon=\frac{b-a}{2}</math>.
+Ponieważ <math>b>a</math>, więc <math>\varepsilon>0</math>.
+Z definicji granicy ciągu mamy
-<center><math>
+<center><math>\begin{align}
+&& \exists N_1\in\mathbb{N}
+\forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{b-a}{2},\\
+&& \exists N_2\in\mathbb{N}
+\forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{b-a}{2}.
-\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+\end{align}</math></center>
-|b_n-b|<\frac{|b|\varepsilon}{M}.
-</math></center>
-Wówczas dla <math>n\ge N,</math> mamy
+Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math>.
+W szczególności mamy
 <center><math>
-\bigg|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\bigg|
+\forall n\ge N: a_n
-\ =\
+<
-\bigg|\frac{b-b_n}{bb_n}\bigg|
+\frac{a+b}{2}
-\ =\
+<
-|b_n-b|\cdot\bigg|\frac{1}{b}\bigg|\cdot\bigg|\frac{1}{b_n}\bigg|
+b_n</math>,</center>
-\ \le\
-\frac{|b|\varepsilon}{M}\cdot\frac{1}{|b|}\cdot M
-\ =\
-\varepsilon,
-</math></center>
-pokazaliśmy więc, że
+co należało pokazać.<br>
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}.</math>
+<br>
+"Przypadek <math>2^o</math>."
+<math>a=-\infty</math>.
+Niech <math>\varepsilon=1</math> i <math>M=b-1</math>.
+Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej mamy
-Możemy teraz skorzystać z udowodnionego już punktu (2),
+<center><math>\begin{align}
-a mianowicie
+&& \exists N_1\in\mathbb{N}
+\forall n\ge N_1: a_n<b-1,\\
+&& \exists N_2\in\mathbb{N}
+\forall n\ge N_2: |b_n-b|<1.
-<center><math>
+\end{align}</math></center>
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}
+Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math>.
-\ =\
+W szczególności mamy
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(a_n\cdot\frac{1}{b_n}\bigg)
-\ =\
-a\cdot\frac{1}{b}
-\ =\
-\frac{a}{b}.
-</math></center>
-{}<math>\Box</math></div></div>
+<center><math>
-{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
+\forall n\ge N: a_n
+<
+b-1
+<
+b_n</math>,</center>
-Niech
+co należało pokazać.<br>
-<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
+<br>
-będą ciągami liczbowymi zbieżnymi.
+"Przypadek <math>3^o</math>."
-Udowodnić następujące stwierdzenia:<br>
+<math>b=+\infty</math>.
-"'(1)"'
+Dowód jest analogiczny jak w przypadku <math>2^o</math>.
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =a\quad
-\Longrightarrow\quad
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|</math>;<br>
-"'(2)"'
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =0\quad
-\Longleftrightarrow\quad
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0</math>;
 }}
-{black}
+Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie
+granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego
+(ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu (patrz rysunek w [[#tw_4.15|twierdzeniu 4.15]]).
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+<span id="twierdzenie_4_14">{{twierdzenie|4.14.||
-"'(1)"'
-Udowodnić najpierw prostą nierówność:
+Jeśli
+<math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem,
+to<br>
+'''(1)'''
+jeśli <math>\{a_n\}</math> jest rosnący, to <math>\{a_n\}</math>
+ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
+oraz
 <center><math>
-\forall x,y\in\mathbb{R}:\
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n
-\big| |x|-|y|\big|
+=
-\ \le\
+\sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\};
-|x-y|.
 </math></center>
-"'(2)"' Wykorzystać jedynie definicję granicy ciągu.
+'''(2)'''
-{}<math>\Box</math></div></div>
+jeśli <math>\{a_n\}</math> jest malejący, to <math>\{a_n\}</math>
+ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
+oraz
-<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+<center><math>
-"'(1)"'
-Udowodnimy najpierw, że
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n
+=
+\inf\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}</math></center>
+}}</span>
+{{dowod|4.14. [nadobowiązkowy]||
+'''(Ad (1))'''
+Załóżmy, że <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem rosnącym
+oraz niech
 <center><math>
-\forall x,y\in\mathbb{R}:\
+g\ \stackrel{df}{=}\ \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}
-\big| |x|-|y|\big|
-\ \le\
-|x-y|.
 </math></center>
-Korzystając z nierówności trójkąta dla
+(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem <math>\mathbb{R}</math> lub wynosi <math>+\infty</math>,
-wartości bezwzględnej (metryki euklidesowej w <math>\displaystyle\mathbb{R}</math>), mamy
+gdyż zbiór jest niepusty).
+Pokażemy, że <math>g</math> jest granicą ciągu <math>\{a_n\}</math>.<br>
+Rozważmy dwa przypadki:<br>
+Przypadek <math>1^o</math>.
+Niech <math>g\in\mathbb{R}</math>.
+Ustalmy dowolne <math>\varepsilon>0</math>.
+Z własności supremum mamy, że
 <center><math>
-|x|
+\exists N\in\mathbb{N}: g-\varepsilon<a_N
-\ =\
-|x-y+y|
-\ \le\
-|x-y|+|y|,
 </math></center>
-stąd
+(de facto z własności supremum wynika, że
+takich indeksów <math>N</math> istnieje nieskończenie wiele, ale nam
+wystarczy wybór jednego z nich).
+Ponieważ ciąg <math>\{a_n\}</math> jest rosnący
+oraz <math>\forall n\in N: a_n\le g</math>
+(z definicji supremum), więc
 <center><math>
-|x|-|y|
+\forall n\ge N: g-\varepsilon<a_N\le a_n\le g</math></center>
-\ \le\
-|x-y|.
-</math></center>
-Analogicznie dostajemy
+Ponieważ <math>\varepsilon>0</math> był dowolnie wybrany,
+więc pokazaliśmy, że
 <center><math>
-|y|-|x|
+\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
-\ \le\
+|a_n-g|< \varepsilon</math></center>
-|y-x|
-\ =\
-|x-y|.
-</math></center>
-Dwie ostatnie nierówności oznaczają, że
+zatem pokazaliśmy, że
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=g</math>.<br>
+Przypadek <math>2^o</math>.
+Niech <math>g=+\infty</math>.
+Ustalmy <math>M\in\mathbb{R}</math>.
+Z definicji supremum mamy, że
 <center><math>
-\big| |x|-|y|\big|
+\exists N\in\mathbb{N}: M<a_N
-\ \le\
-|x-y|,
 </math></center>
-co należało dowieść.
+(bo w przeciwnym razie byłoby <math>g\le M</math>, sprzeczność).
-Załóżmy teraz, że
+Ponieważ ciąg <math>\{a_n\}</math> jest rosnący, więc
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a.</math>
-Należy pokazać, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|.</math>
-Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
-Z definicji granicy mamy
 <center><math>
-\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+\forall n\ge N: M<a_N\le a_n</math></center>
-|a_n-a|<\varepsilon.
-</math></center>
-Wówczas, korzystając z udowodnionej nierówności,
+Ponieważ <math>M\in\mathbb{R}</math> było dowolnie wybrane,
-dla <math>n\ge N,</math> mamy
+więc pokazaliśmy, że
 <center><math>
-\big||a_n|-|a|\big|
+\forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
-\ \le\
+M< a_n</math></center>
-|a_n-a|
-\ <\
+Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że
-\varepsilon.
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=g</math>.<br>
-</math></center>
+'''(Ad (2))''' Dowód jest analogiczny jak dla (1).
+}}
+[[File:AM1.M04.W.R10.mp4|253x253px|thumb|right|Ciąg rosnący i ograniczony z góry]]
+<span id="twierdzenie_4_15">{{twierdzenie|4.15. [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]|tw_4_15|
+'''(1)'''
+Jeśli <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem rosnącym i
+ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.<br>
+'''(2)'''
+Jeśli <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem malejącym i
+ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.<br>
+'''(3)'''
+Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
+jest ograniczony.
+}} </span>
+{{dowod|4.15.||
+'''(Ad (1))'''
+Jeśli ciąg <math>\{a_n\}</math> jest rosnący, to z [[#twierdzenie_4_14|twierdzenia 4.14]] (1) wynika, że ma granicę (właściwą lub
+niewłaściwą) oraz
+<center>
+<br><math>
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n
+=
+\sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}</math><br><br></center>
+Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc
+<center>
+<br><math>
+\sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}
+<
++\infty</math>,<br><br></center>
+zatem granica jest właściwa, czyli
+ciąg jest zbieżny.<br>
+'''(Ad (2))'''
+Dowód analogiczny jak w (1).<br>
+'''(Ad (3))'''
+Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to
+zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2)
+(to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony).
+W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.<br>
+Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy
+ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez
+założenia monotoniczności). Wynika to z
+[[AM1 Wykład 3#twierdzenie_3_25|twierdzenia 3.25.]]
+}}
+[[grafika:Weierstrass.jpg|thumb|right||Karl Weierstrass (1815-1897)<br>[[Biografia Weierstrass|Zobacz biografię]]]]
+<span id="twierdzenie_4_16">{{twierdzenie|4.16. [Bolzano-Weierstrassa]||
+Każdy ciąg
+ograniczony
+<math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
+zawiera podciąg zbieżny.
+}}</span>
+W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący
+lemat:
+<span id="lemat_4_17">{{lemat|4.17.||
+Każdy ciąg liczbowy <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> zawiera podciąg monotoniczny.<br>}}</span>
+{{dowod|4.17.||
+[Szkic]
+Dla ciągu <math>\{a_n\}</math> zdefiniujmy następujący zbiór:
+<center>
+<math>
+Z
+\ \stackrel{df}{=}
+\bigg\{
+n\in\mathbb{N}:
+\forall m\in\mathbb{N}
+\ \big[m>n\Longrightarrow a_m>a_n\big]
+\bigg\}</math>
+</center>
+Możliwe są dwa przypadki.<br>
+Jeśli
+<math>\# Z=\infty</math> (to znaczy zbiór <math>Z</math> jest nieskończony), to
+możemy z ciągu <math>\{a_n\}</math> wybrać podciąg rosnący
+(wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu <math>\{a_n\}</math>,
+których indeksy należą do zbioru <math>Z</math>).<br>
+Jeśli
+<math>\# Z<\infty</math> (to znaczy zbiór <math>Z</math> jest skończony), to
+możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób.
+Niech <math>n_1\in\mathbb{N}</math> będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze
+zbioru <math>Z</math>. Ponieważ <math>n_1\not\in Z</math>,
+więc
+<math>
+\exists n_2>n_1:
+a_{n_2}\le a_{n_1}</math>
+Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie
+w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy
+<math>n_1<\ldots <n_k</math>, to z definicji zbioru <math>Z</math> i faktu, że
+<math>n_k\not\in Z</math> wynika, że
+<math>
-Zatem pokazaliśmy, że
+\exists n_{k+1}>n_k:
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|.</math><br>
+a_{n_{k+1}}\le a_{n_k}</math>
-<br>
-Zauważmy w tym miejscu, że nie jest ogólnie prawdziwa implikacja
-w drugą stronę. Rozważmy bowiem ciąg <math>a_n=(-1)^n</math>.
-Wówczas <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 1=1=|1|</math>, , ale ciąg <math>\{a_n\}</math> nie ma
-granicy.<br>
-<br>
-"'(2)"'
-"<math>\displaystyle\Longrightarrow</math>":<br>
-Wynika wprost z punktu (4).<br>
-"<math>\displaystyle\Longleftarrow</math>":<br>
-Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0.</math>
-Należy pokazać, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.</math>
-Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
-Z definicji granicy ciągu mamy
-<center><math>
+Skonstruowany w ten sposób podciąg
+<math>\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest malejący.
+}}
+[[File:AM1.M04.W.R11.mp4|253x253px|thumb|right|Podciąg monotoniczny ciągu]]
+Możemy teraz powrócić do dowodu twierdzenia [[#twierdzenie_4_16|Bolzano-Weierstrassa]]:
-\exists  N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+{{dowod|4.16.||
-\big||a_n|-0\big|<\varepsilon.
+Niech <math>\{a_n\}\in\mathbb{R}</math> będzie ciągiem ograniczonym.
-</math></center>
+Z [[#lemat_4_17|lematu 4.17. ]] wynika, że możemy z niego wybrać
+podciąg monotoniczny <math>\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math>.
+Oczywiście podciąg <math>\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest także ograniczony,
+zatem z [[#twierdzenie_4_15|twierdzenia 4.15.]] (3) wynika, że
+podciąg <math>\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest zbieżny.
+}}
-Zatem dla <math>n\ge N,</math> mamy
+<span id="wniosek_4_18">{{wniosek|4.18.||
-<center><math>
+Z każdego ciągu liczbowego <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> można wybrać
+podciąg posiadający granicę
+(właściwą lub niewłaściwą).
+}}</span>
-|a_n-0|
+{{dowod|4.18.||
-\ =\
-|a_n|
-\ =\
-\big||a_n|\big|
-\ =\
-\big||a_n|-0\big|
-\ <\
-\varepsilon,
-</math></center>
-co oznacza, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.</math>
+Z [[#lemat_4_17|lematu 4.17. ]] wiemy, że z ciągu <math>\{a_n\}</math> można wybrać
-{}<math>\Box</math></div></div>
+podciąg monotoniczny.
+Jeśli jest on ograniczony, to z [[#twierdzenie_4_15|twierdzenia 4.15.]] wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą).
+Jeśli zaś jest nieograniczony, to
+skoro jest monotoniczny,
+to granicą jest
+<math>+\infty</math> lub <math>-\infty</math>.
+}}