Analiza matematyczna 2/Wykład 10: Wielowymiarowa całka Riemanna

Wielowymiarowa całka Riemanna

Wykład przedstawia pojęcie całki Riemanna funkcji $N$ zmiennych. Definiujemy całkę Riemanna na kostce i na pewnych zbiorach ograniczonych. Wprowadzamy pojęcie zbioru miary zero oraz zbioru mierzalnego w sensie Jordana. Charakteryzujemy funkcje całkowalne w sensie Riemanna.

Definicja i własności całki Riemanna

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
Zobacz biografię

Plik:AM2.M10.W.R01.svg

Podział kostki $K$ na mniejsze kostki $K_1,\dots ,K_s$, takie że $K=K_1\cup \dots \cup K_s$.

Celem tego wykładu jest zdefiniowanie całki Riemanna z funkcji $N$ zmiennych po zbiorze ograniczonym w ${\mathbb{ℝ}}^N$. Zaczynamy od bardzo naturalnego uogólnienia pojęcia całki Riemanna po przedziale w $\mathbb{ℝ}$ na całkę, po iloczynie kartezjańskim przedziałów (czyli po tak zwanej kostce) w ${\mathbb{ℝ}}^N$. Następnie mówimy, jakie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna po kostkach (to znaczy dla jakich funkcji istnieje całka Riemanna z tej funkcji po kostce). Okazuje się, że tymi funkcjami są funkcje ograniczone i ciągłe "na prawie całej" kostce. Do precyzyjnego określenia, co to znaczy "na prawie całej", będą nam potrzebne definicje zbioru miary zero i równości prawie wszędzie. Na zakończenie wykładu powiemy, jak zdefiniować całkę Riemanna nie tylko po kostce, ale też po pewnych zbiorach ograniczonych.

Definicja 10.1.

(1) Kostką w ${\mathbb{ℝ}}^N$ będziemy nazywać zbiór $K:=[a_1,b_1]\times \dots \times [a_N,b_N]$, czyli iloczyn kartezjański przedziałów $[a_i,b_i],i=1,\dots ,N$.
(2) Objętością kostki będziemy nazywać liczbą $v(K):=(b_1-a_1)\cdot \dots \cdot (b_N-a_N)$.
(3) Liczbę $\delta (K):=\max \{(b_1-a_1),\dots ,(b_N-a_N)\}$ (czyli długość najdłuższego boku kostki) nazwiemy średnicą kostki $K$.

Podzielmy teraz naszą kostkę na mniejsze kostki $K_1,\dots ,K_s$, o wnętrzach rozłącznych i takich, że $K=K_1\cup \dots \cup K_s$. Oznaczmy ten zbiór kostek $K_1,\dots ,K_s$ przez $P$.

Definicja 10.2.

(1) Określony wyżej zbiór $P$ nazywamy podziałem kostki $K$.
(2) Liczbę $\delta (P):=\max \{\delta (K_1),\dots ,\delta (K_s)\}$ nazywamy średnicą podziału $P$.

Weźmy teraz ciąg takich podziałów kostki $K$, czyli ciąg $P_1,P_2,P_3,\dots$. Niech ${\delta }_j$ oznacza średnicę podziału $P_j$.

Definicja 10.3.

Ciąg podziałów $P_1,P_2,P_3,\dots$ nazwiemy ciągiem normalnym, gdy $\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\delta }_j=0$, czyli gdy średnice kolejnych podziałów zmierzają do zera.

Weźmy teraz funkcję ograniczoną $f:K\to \mathbb{ℝ}$.
Analogicznie, jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, określamy górną sumę całkową i dolną sumę całkową, a także sumę całkową zależną od punktów pośrednich.

Definicja 10.4.

(1) Dla podziału $P=\{K_1,\dots ,K_t\}$ kostki $K$ i funkcji ograniczonej $f:K\to \mathbb{ℝ}$ definiujemy

$\begin{array}{rl}{m}_i(f,P)& =\inf \{f(x),x\in K_i\},\\ M_i(f,P)& =\sup \{f(x),x\in K_i\},\end{array}$

dla $i=1,\dots ,t$.
(2) Dolną sumą całkową odpowiadającą podziałowi $P$ nazywamy liczbę

$L(f,P):=\sum _{i=1}^t{m}_i(f,P)v(K_i)$

(3) Górną sumą całkową odpowiadającą podziałowi $P$ nazywamy liczbę

$U(f,P):=\sum _{i=1}^t{M}_i(f,P)v(K_i)$

(4) W każdej z kostek wybierzmy dowolny punkt $x_i\in K_i$. Dostajemy ciąg punktów pośrednich, $x_1,\dots ,x_t$.
Sumą całkową (funkcji $f$ dla podziału $P$ i punktów pośrednich $x_1,\dots ,x_t$) nazywamy liczbę

$S(f,P,x_1,\dots ,x_t)=\sum _{i=1}^{t}f(x_i)v(K_i)$

Funkcja ograniczona określona na kostce w ${\mathbb{ℝ}}^2$

Podział kostki w ${\mathbb{ℝ}}^2$ oraz punkty pośrednie

Weźmy teraz normalny ciąg $P_1,P_2,\dots$. podziałów kostki $K$. Dla każdego podziału $P_j$ wybierzmy ciągpunktów pośrednich $x_1^j,\dots ,x_{t_j}^j$. Weźmy sumę całkową $S(f,P,x_1^j,\dots ,x_{t_j}^j)$. Możemy teraz postawić następującą definicję:

Definicja 10.5.

Niech $f:K\to \mathbb{ℝ}$ będzie funkcją ograniczoną. Mówimy, że funkcja $f$ jest całkowalna w sensie Riemanna na kostce $K$, jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów $P_1,P_2,\dots$, istnieje granica

$\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }S(f,P,x_1^j,\dots ,x_{t_j}^j)$

i granica ta nie zależy ani od wyboru ciągu podziałów, ani od wyboru punktów pośrednich.
Powyższą granicę oznaczamy

$\underset{K}{\int }f(x)dx$

i nazywamy

całką Riemanna funkcji $f$ po kostce $K$.

Plik:Am2.m10.w.r04.svg Objętość prostopadłościanu jest jednym składnikiem w sumie całkowej

Objętość wszystkich prostopadłościanów jest równa sumie całkowej

Uwaga 10.6.

Można wykazać, że funkcja ograniczona $f$ jest całkowalna na kostce $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu podziałów normalnych $P_1,P_2,\dots$ mamy

$\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }(U(f,P_j)-L(f,P_j))=0$,

jak również można wykazać, że wtedy istnieją i są równe granice $\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }L(f,P_j)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }U(f,P_j)=\underset{K}{\int }f(x)dx$.

Uwaga 10.7.

W literaturze można spotkać też zapis $\underset{K}{\int }\cdots \int f(x_1,\dots ,x_N)d{x}_1\dots d{x}_N$, my będziemy raczej pisać $\underset{K}{\int }f(x)dx$, pamiętając, że zapis $x$ oznacza tu $(x_1,\dots ,x_N)$, a $dx=d{x}_1\dots d{x}_N$. Wyjątek zrobimy natomiast dla tradycyjnego zapisu całki dwóch i trzech zmiennych, zapisując wtedy

$\underset{K}{\iint }f(x,y)dxdy$ lub $\underset{K}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz$

Wnioskiem z definicji jest poniższe stwierdzenie o liniowości całki:

Stwierdzenie 10.8.

Niech $K$ będzie kostką w ${\mathbb{ℝ}}^N$ a $f$ i $g$ funkcjami całkowalnymi w sensie Riemanna na $K$. Niech $a,b$ będą stałymi rzeczywistymi. Wtedy

$\underset{K}{\int }(af(x)+bg(x))dx=a\underset{K}{\int }f(x)dx+b\underset{K}{\int }g(x)dx$

Nietrudno też zobaczyć, że prawdziwe jest poniższe stwierdzenie.

Stwierdzenie 10.9.

Niech $K_1$ i $K_2$ będą dwoma kostkami w ${\mathbb{ℝ}}^N$ o rozłącznych wnętrzach. Wówczas dla każdej funkcji całkowalnej, mamy

$\underset{K_1\cup K_2}{\int }f(x)dx=\underset{K_1}{\int }f(x)dx+\underset{K_2}{\int }f(x)dx$

Oczywiście to stwierdzenie nie jest prawdziwe, gdy nie założymy, że kostki mają wnętrza rozłączne.

Interpretacja geometryczna całki Riemanna

W przypadku gdy kostka $K$ jest zwykłym prostokątem w ${\mathbb{ℝ}}^2$, to znaczy $K=[a,b]\times [c,d]$, a funkcja $f:K\to \mathbb{ℝ}$ jest nieujemna i ciągła (założenie ciągłości nie jest konieczne, wystarczy całkowalność), to

$\underset{K}{\iint }f(x,y)dxdy$

jest objętością bryły $B$ w ${\mathbb{ℝ}}^3$ określonej nierównościami:

$a\le x\le b,c\le y\le d,0\le z\le f(x,y)$

Plik:Am2.m10.w.r06.svg Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji

Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji

Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji

Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji

Faktycznie, dla danego podziału $P$ prostokąta $K$, suma dolna $L(f,P)$ to objętość "słupków" (czyli graniastosłupów) wpisanych w $B$, jak na powyższym rysunku.

Przy zmniejszających się średnicach podziałów suma objętości "słupków" (czyli w granicy całka Riemanna z funkcji $f$ po zbiorze $D$) zmierza do objętości $B$.

Uwaga 10.10.

Liczenie całki Riemanna wprost z definicji jest raczej niewygodne. Jeśli nawet będziemy wiedzieli, że całka istnieje, to musimy utworzyć ciąg podziałów, policzyć sumy całkowe i ich granicę. Na ćwiczeniach policzymy przykłady całek z wykorzystaniem definicji (patrz ćwiczenie 10.1. i 10.2.), by zobaczyć, że jest to metoda dość pracochłonna i docenić twierdzenie, które poznamy na następnym wykładzie (twierdzenie Fubiniego). Twierdzenie to pozwoli nam liczyć całki wielokrotne przy pomocy całek pojedynczych (które już umiemy liczyć).

Wprowadzimy teraz kilka pojęć, które pomogą nam powiedzieć, jak wygląda klasa funkcji całkowalnych w sensie Riemanna na kostce w ${\mathbb{ℝ}}^N$ (czyli dla jakich funkcji istnieje całka Riemanna po kostce).

Plik:AM2.M10.W.R10.mp4

Odcinek jest zawarty w kostce o dowolnie małej objętości

Definicja 10.11.

Niech $K_j,j=1,2,\dots$ będą kostkami w ${\mathbb{ℝ}}^N$; $K_j=[a_1^j,b_1^j]\times \dots \times [a_N^j,b_N^j]$.
Mówimy, że zbiór $B\in {\mathbb{ℝ}}^N$ ma objętość zero, jeśli dla każdego $\epsilon >0$ istnieją kostki $K_1,\dots ,K_s$ takie że

$B\subset K_1\cup \dots \cup K_s$

oraz

$\sum _{j=1}^{s}v(K_j)\le \epsilon$

Przykład 10.12.

(1) Punkt w ${\mathbb{ℝ}}^N$ jest zbiorem o objętości zero. Faktycznie, zawsze możemy dobrać układ współrzędnych tak, by punkt miał współrzędne $(0,\dots ,0)$ i wtedy zawiera się on w kostce $K=[-a,a]\times \dots \times [-a,a]$, gdzie $a=\sqrt[N]{\epsilon }/2$, a zatem $v(K)=\epsilon$.

(2) Brzeg kostki w ${\mathbb{ℝ}}^N$ ma objętość zero. Ten fakt udowodnimy na ćwiczeniach.

Plik:AM2.M10.W.R11.svg

Kula w ${\mathbb{ℝ}}^2$ ma dodatnią objętość

Definicja 10.13.

Mówimy, że zbiór $A\in {\mathbb{ℝ}}^N$ ma miarę zero, jeśli dla każdego $\epsilon >0$ istnieją kostki $K_1,K_2,\dots$ takie że

$B\subset K_1\cup K_2\cup \dots =\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_j$

oraz

$\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}v(K_j)\le \epsilon$

Uwaga 10.14.

Jeśli zbiór $A$ ma miarę zero, to ma puste wnętrze, czyli int $A=\mathrm{\varnothing }$.

Dowód uwagi 10.14.

Zauważmy, że wprost z definicji wynika, że podzbiór zbioru miary zero jest zbiorem miary zero.

Oczywiście kula w ${\mathbb{ℝ}}^N$ nie jest zbiorem miary zero - bo zawiera pewną kostkę.

Gdyby zbiór $A$ miał niepuste wnętrze to, z definicji wnętrza, zawierałby pewną kulę.

Popatrzmy teraz na rysunki poniżej.

Plik:AM2.M10.W.R12a.svg Funkjca ciągła $f$ nad odcinkiem

Plik:AM2.M10.W.R12b.svg Funkcja powstała z funkcji ciągłej $f$ przez zmianę wartości w jednym punkcie

Na pierwszym rysunku mamy funkcję ciągłą na przedziale $[a,b]$, a na drugim rysunku mamy tę samą funkcję, tylko z wartością zmienioną w jednym punkcie - i w tym punkcie funkcja nie jest ciągła. Niemniej, pole pod wykresami obu funkcji jest takie samo - a zatem całka z obu funkcji po przedziale $[a,b]$ jest taka sama. Podobnie, objętość bryły ograniczonej wykresem funkcji nad prostokątem nie zmieni się, jeśli zmienimy tę funkcję wzdłuż na przykład odcinka - jak na poniższych rysunkach:

<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">

   <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/2/23/Am2.m10.w.r13a.mgs.zip">
   <param name="scale" value="1.0 1.0 0.2">

<param name="shading" value="0.2"> </applet>

<div.thumbcaption>Funkjca ciągła $f$ nad prostokątem

Funkcja ciągła $f$ nad prostokątem

<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">

   <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/e/eb/Am2.m10.w.r13b.mgs.zip">
   <param name="scale" value="1.0 1.0 0.2">

<param name="shading" value="0.2"> </applet>

<div.thumbcaption>Funkcja powstała z funkcji ciągłej $f$ przez zmianę wartości wzdłuż odcinka

Funkcja powstała z funkcji ciągłej $f$ przez zmianę wartości wzdłuż odcinka

A zatem całki po tym prostokącie z obu funkcji są takie same.

Przypuśćmy więc, że umiemy policzyć całkę po kostce z funkcji ciągłej. Z powyższych przykładów widać, że możemy funkcję ciągłą "zepsuć" na pewnym "niedużym" zbiorze - a całka pozostanie taka sama jak dla funkcji ciągłej. Aby formalnie powiedzieć jak bardzo możemy "zepsuć" funkcję, będziemy potrzebowali poniższych definicji:

Definicja 10.15.

Niech $K$ będzie kostką w ${\mathbb{ℝ}}^n$. Weźmy funkcję $f:K\to \mathbb{ℝ}$. Mówimy, że funkcja $f$ jest ciągła prawie wszędzie na $K$, jeśli istnieje zbiór $B$ miary zero taki, że $f$ jest ciągła na $K\setminus B$.

Definicja 10.16.

Dwie funkcje $f$ i $g$ określone na kostce $K$ są równe prawie wszędzie, jeśli istnieje zbiór $B$ miary zero, taki, że $f=g$ na $K\setminus B$. Piszemy wtedy: $f=g$ p.w. na $K$.

Uwaga 10.17.

Wydawać by się mogło, że jeśli "zepsujemy" funkcję ciągłą tylko na zbiorze miary zero, to dostaniemy funkcję ciągła prawie wszędzie. Tak jednak nie jest! Na ćwiczeniach zobaczymy przykład funkcji, określonej na przedziale $[0,1]$, która jest różna od funkcji ciągłej tylko na zbiorze miary zero, ale która nie jest ciągła w żadnym punkcie $[0,1]$ (patrz ćwiczenie 10.9.).

Teraz możemy napisać stwierdzenie, które mówi, kiedy całka Riemanna funkcji jest równa całce Riemanna "popsutej" funkcji.

Stwierdzenie 10.18.

Weźmy dwie funkcje $f$ i $g$ określone na kostce $K\subset {\mathbb{ℝ}}^N$ prowadzące w $\mathbb{ℝ}$. Załóżmy, że obie te funkcje są całkowalne w sensie Riemanna (to znaczy istnieją $\underset{K}{\int }f(x)dx$ i $\underset{K}{\int }g(x)dx$). Załóżmy, że $f$ jest równe $g$ prawie wszędzie na $K$. Wtedy

$\underset{K}{\int }f(x)dx=\underset{K}{\int }g(x)dx$

Dowód 10.18. [nadobowiązkowy]

Zdefiniujmy funkcję $h:=f-g$. Widać, że funkcja $h$ też jest całkowalna w sensie Riemanna na $K$ i $h=0$ p.w. na $K$. Wystarczy zatem pokazać, że $\underset{K}{\int }h(x)dx=0$ (i skorzystać z liniowości całki). Określmy zbiór $A:=\{x\in K:h(x)\ne 0\}$. Ponieważ $h$ jest równa zero prawie wszędzie, to zbiór $A$ ma miarę zero, a zatem ma puste wnętrze (patrz uwaga 10.14.). W szczególności zbiór $A$ nie zawiera żadnej kostki.

Weźmy teraz dowolny podział kostki $K$ na kostki $K_1,\dots ,K_s$.

Żadna z tych kostek nie jest podzbiorem zbioru $A$, czyli można wybrać punkty pośrednie $x_1,\dots ,x_s$ takie że $x_j\in K_j\setminus A,j=1,\dots ,s$. Dla tych $x_j$ oczywiście $h(x_j)=0$. W takim razie

$\sum _{j=1}^{s}v(K_j)h(x_j)=0$,

a więc także

$\underset{K}{\int }h(x)dx=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{j=1}^{s}v(K_j)h(t_j)=0$

Podamy teraz bez dowodu bardzo ważne twierdzenie, które mówi, jakie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna.

Twierdzenie 10.19.

Niech $K$ będzie kostką w ${\mathbb{ℝ}}^N$. Niech $f:K\to \mathbb{ℝ}$ będzie funkcją ograniczoną oraz ciągłą prawie wszędzie na $K$.
Wtedy $f$ jest całkowalna w sensie Riemanna na $K$.

Na zakończenie tego wykładu powiemy, jak całkować funkcje po zbiorach innych niż kostki (jak na przykład walce, kule etc).

Przypomnijmy, że funkcją charakterystyczną zbioru $B\in {\mathbb{ℝ}}^N$ nazywamy funkcję

${\chi }_B(x)=\{\begin{array}{lll}1& \text{dla}& x\in B,\\ 0,& \text{dla}& x\in {\mathbb{ℝ}}^N\setminus B.\end{array}$

Plik:AM2.M10.W.R14a.svg Zbiórr $B$

Plik:AM2.M10.W.R14b.svg Wykres funkcji charakterystycznej zbioru $B$

Dla funkcji $f:B\to \mathbb{ℝ}$ zdefiniujmy funkcję

$f_B(x):=\{\begin{array}{lll}f(x)& \text{dla}& x\in B,\\ 0& \text{dla}& x\in {\mathbb{ℝ}}^N\setminus B.\end{array}$

Plik:AM2.M10.W.R15a.svg Zbiór $B$ i wykres funkcji $f$

Plik:AM2.M10.W.R15b.svg Wykres funkcji $f_B$

Możemy teraz zdefiniować całkę Riemanna z funkcji ograniczonej $f$ po zbiorze ograniczonym $B\subset {\mathbb{ℝ}}^N$.

Definicja 10.20.

Niech $B$ będzie ograniczonym podzbiorem ${\mathbb{ℝ}}^N$ i niech $f:B\to \mathbb{ℝ}$ będzie funkcją ograniczoną. Niech $K$ będzie kostką w ${\mathbb{ℝ}}^N$ taką, że $B\subset K$. Wtedy całkę z funkcji $f$ po zbiorze $B$ definiujemy jako

$\underset{B}{\int }f(x)dx:=\underset{K}{\int }{f}_B(x)dx$,

o ile $\underset{K}{\int }{f}_{B}dx$ istnieje.

Pomijamy tu, intuicyjnie dość oczywisty, dowód poprawności definicji - czyli jej niezależności od wyboru kostki $K$, w której zawiera się zbiór $B$.

Pozostaje jeszcze pytanie, czy możemy powiedzieć, kiedy istnieje całka $\underset{K}{\int }{f}_B(x)dx$? Aby odpowiedzieć na to pytanie, podajmy najpierw następujące fakty:

Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922)
Zobacz biografię

Definicja 10.21.

Niech $B$ będzie ograniczonym podzbiorem ${\mathbb{ℝ}}^N$. Załóżmy, że brzeg zbioru $B$ jest zbiorem miary zero, $m(\partial B)=0$. Zbiór $B$ nazywamy wtedy mierzalnym w sensie Jordana (czyli J-mierzalnym) (przypomnijmy, że brzeg zbioru $B$ definiujemy jako $\partial B=\bar{B}\setminus \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}B$; patrz definicja 1.7.).

Bez dowodu podamy poniższe stwierdzenie:

Stwierdzenie 10.22.

Jeśli zbiór ograniczony $B$, zawarty w pewnej kostce $K$ jest J-mierzalny, to istnieje

$\underset{B}{\int }{\chi }_B(x)dx$

Definicja 10.23.

Dla J-mierzalnego zbioru ograniczonego $B$ zawartego w kostce $K$ objętością $B$ nazywamy liczbę

$v(B):=\underset{B}{\int }{\chi }_B(x)dx$

Definicja 10.24.

Gdy $B\subset \mathbb{ℝ},v(B)$ nazywamy długością $B$, a dla $B\subset {\mathbb{ℝ}}^2,v(B)$ nazywamy polem $B$.

Możemy teraz podać następujące twierdzenie.

Twierdzenie 10.25.

Niech $B$ będzie J-mierzalnym, ograniczonym podzbiorem ${\mathbb{ℝ}}^N$. Niech $f:B\to \mathbb{ℝ}$ będzie funkcją ograniczoną oraz ciągłą prawie wszędzie na $B$.
Wtedy $f$ jest całkowalna w sensie Riemanna na $B$.

Uwaga 10.26.

W praktyce najczęściej mamy do czynienia z całkowaniem funkcji ciągłych i określonych na "przyzwoitych" zbiorach, to znaczy zbiorach ograniczonych kawałkami wykresów funkcji, i to funkcji klasy co najmniej ${{𝒞}}^{{𝟏}}$. Takimi zbiorami są na przykład kula, walec, kostka, stożek i ich przecięcia. Przedstawione w tym wykładzie rozważania dotyczące całkowalności i zbiorów miary zero należy potraktować jako rodzaj wstępu do teorii miary i do ogólniejszych teorii całek, na przykład do teorii całki Lebesgue'a.