Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 14:49, 25 lip 2024

Ciągi liczbowe

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R01.swf|width=375|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg liczbowy

W tym wykładzie zajmujemy się ciągami w zbiorze liczb rzeczywistych. Definiujemy ciąg monotoniczny, ciąg ograniczony, granice niewłaściwe. Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów, twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w $ℝ$ , twierdzenie o trzech ciągach, twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Definicja 4.1. [ciąg liczbowy]

Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w $ℝ$ (to znaczy w zbiorze liczbowym $ℝ$ traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką euklidesową). Piszemy krótko ${x_{n}} \subseteq ℝ$ .

Ponieważ w zbiorze liczbowym $ℝ$ mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.

Definicja 4.2.

(1) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest malejący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} \geq a_{n + 1}$

(2) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest silnie malejący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} > a_{n + 1}$ .

(3) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest rosnący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq a_{n + 1}$ .

(4) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest silnie rosnący, jeśli $\forall n \in ℕ : a_{n} < a_{n + 1}$

(5) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest monotoniczny, jeśli jest on malejący lub rosnący.
(6) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie malejący lub silnie rosnący.

<flash>file=AM1.M04.W.R02.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg malejący

<flash>file=AM1.M04.W.R03.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg silnie malejący

<flash>file=AM1.M04.W.R04.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg rosnący

<flash>file=AM1.M04.W.R05.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ciąg silnie rosnący

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R06.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg zbieżny do granicy

g

W przypadku ciągów liczbowych można mówić nie tylko o ograniczoności ciągu (jak to ma miejsce w dowolnej przestrzeni metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry (ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy $ℝ$ jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące definicje.

Definicja 4.3.

(1) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ograniczony, jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : | a_{n} | \leq M$
(2) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ograniczony z dołu, jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : a_{n} \geq M$
(3) Mówimy, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ograniczony z góry, jeśli $\exists M \in ℝ \forall n \in ℕ : a_{n} \leq M$

Natychmiastową konsekwencją powyższych definicji jest następujący związek między ograniczonością a ograniczonością z góry i z dołu.

Stwierdzenie 4.4. [O ciągu ograniczonym w $ℝ$ ]

Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem to ${a_{n}}$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy ${a_{n}}$ jest ograniczony z dołu i z góry.

Pojęcie granicy ciągu pozostaje takie samo jak dla ciągów w dowolnych przestrzeniach metrycznych. Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w $ℝ$ mamy metrykę euklidesową.

Definicja 4.5.

(1) Mówimy, że liczba $g$ jest granicą ciągu ${x_{n}} \subseteq ℝ$ , jeśli

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : | x_{n} - g | < ε

i piszemy

\begin{array}{lll} \lim_{n \to + \infty} x_{n} = g & lub & x_{n} \overset{ℝ}{⟶} g lub \\ x_{n} \to_{n \to + \infty}^{} g & lub & x_{n} ⟶ g \end{array}

(2) Mówimy, że ciąg ${x_{n}}$ jest zbieżny, jeśli

\exists g \in ℝ : \lim_{n \to + \infty} x_{n} = g

W przypadku ciągów liczbowych wprowadza się także pojęcie granicy niewłaściwej (o której nie ma sensu mówić w dowolnej przestrzeni metrycznej).

Definicja 4.6. [Uzupelnij]

(1) Mówimy, że ciąg liczbowy ${a_{n}} \subseteq ℝ$ ma granicę niewłaściwą $+ \infty$ , jeśli

$\forall M \in ℝ \exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \geq M$

Mówimy wówczas, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest rozbieżny do $+ \infty$ i piszemy $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty$ .
(2) Mówimy, że ciąg liczbowy ${a_{n}} \subseteq ℝ$ ma granicę niewłaściwą $- \infty$ , jeśli

\forall M \in ℝ \exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \leq M

Mówimy wówczas, że ciąg ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest rozbieżny do $- \infty$ i piszemy $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = - \infty$ .

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R07.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg rozbieżny do

+ \infty

<flashwrap>file=AM1.M04.W.R08.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Ciąg rozbieżny do

- \infty

Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą (w sensie definicji 4.5.), gdyż nie jest to element $ℝ$ (nie jest to liczba rzeczywista). Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w terminologii.

Mówiąc o granicy, czasem będziemy dodawać "granica właściwa" lub "granica skończona", aby wyraźnie zaznaczyć, że nie mówimy o granicy niewłaściwej. O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest zbieżny. O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest rozbieżny do $+ \infty$ lub $- \infty$ . O ciągu który nie ma granicy właściwej mówimy, że jest rozbieżny.

Twierdzenie 4.7. [O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ oraz ${b_{n}}$ jest ograniczony, to $\lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0$ .

Dowód 4.7.

Niech $M > 0$ będzie stałą ograniczającą ciąg ${b_{n}}$ (która istnieje z założenia), to znaczy

\forall n \in ℕ : | b_{n} | \leq M

Ustalmy $ε > 0$ . Ponieważ $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ , więc

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : | a_{n} | \leq \frac{ε}{M}

Zatem dla $n \geq N$ mamy

| a_{n} b_{n} | \leq \frac{ε}{M} \cdot M = ε

Ponieważ $ε > 0$ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ : | a_{n} b_{n} | \leq ε

,

czyli udowodniliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0$ .

Przykład 4.8.

Obliczyć granicę $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin n}{n}$ .

Rozwiązanie

Jeśli zdefiniujemy $a_{n} = \frac{1}{n}$ oraz $b_{n} = \sin n$ dla $n \in ℕ$ , to $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ oraz ciąg ${b_{n}}$ jest ograniczony, gdyż

\forall n \in ℕ : | \sin n | \leq 1

Zatem z twierdzenia 4.7. wnioskujemy, że $\lim_{n \to + \infty} \frac{\sin n}{n} = \lim_{n \to + \infty} a_{n} b_{n} = 0$ .

Dla ciągów liczbowych możliwe jest wykonywanie działań na elementach tych ciągów oraz na ich granicach. Poniższe twierdzenie podaje związki, jakie zachodzą między tymi działaniami.

Twierdzenie 4.9. [O "arytmetyce" granic ciągów]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz $c \in ℝ$ , to
(1) $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \lim_{n \to + \infty} a_{n} \pm \lim_{n \to + \infty} b_{n}$ ;
(2) $\lim_{n \to + \infty} (c \cdot a_{n}) = c \cdot \lim_{n \to + \infty} a_{n}$ ;
(3) $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} b_{n}) = (\lim_{n \to + \infty} a_{n}) (\lim_{n \to + \infty} b_{n})$ ;
(4) $\lim_{n \to + \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\lim_{n \to + \infty} a_{n}}{\lim_{n \to + \infty} b_{n}}$ (o ile $b_{n} \neq 0$ dla $n \in ℕ$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} \neq 0$ );
(5) $\lim_{n \to + \infty} a_{n}^{b_{n}} = (\lim_{n \to + \infty} a_{n})^{\lim_{n \to + \infty} b_{n}}$ (o ile działania po obu stronach są wykonalne);
(6) $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a ⟹ \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = | a |$ ;
(7) $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0 ⟺ \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = 0$ .

Dowód 4.9.

(Ad 1) Niech $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = b$ . Pokażemy, że $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b$ .
W tym celu ustalmy $ε > 0$ . Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ wiemy, że

\exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : | a_{n} - a | < \frac{ε}{2}

oraz

\exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : | b_{n} - b | < \frac{ε}{2}

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}}$ . Wówczas dla dowolnego $n \geq N$ mamy:

| (a_{n} + b_{n}) - (a + b) | \leq | a_{n} - a | + | b_{n} - b | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

Ponieważ $ε > 0$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ : | (a_{n} + b_{n}) - (a + b) | < ε

,

czyli $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b$ .
Analogicznie pokazuje się, że $\lim_{n \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = a - b$ .
(Ad (3)-(4), (6)-(7)) Dowody tych części są pozostawione na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 4.5. i ćwiczenie 4.6.).
(Ad (2)) Wynika to od razu z punktu (3) (dlaczego?).
(Ad (5)) Pozostawiamy to bez dowodu.

Przykład 4.10.

Obliczyć granice ciągów:
(1) $\lim_{n \to + \infty} (- 1)^{n} \frac{2 n + 1}{3 n^{2}}$ ;
(2) $\lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n})^{\frac{1}{2^{n}}}$ .

Rozwiązanie

(Ad (1)) Niech $a_{n} = (- 1)^{n} \frac{2 n + 1}{3 n^{2}}$ . Policzmy najpierw granice modułów:

\begin{aligned} \lim_{n \to + \infty} | a_{n} | & = & \lim_{n \to + \infty} \frac{2 n + 1}{3 n^{2}} = \lim_{n \to + \infty} (\frac{2 n}{3 n^{2}} + \frac{1}{3 n^{2}}) = \lim_{n \to + \infty} (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{n} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}) \\ = & \frac{2}{3} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} + \frac{1}{3} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 \cdot 0 = 0 . \end{aligned}

W powyższych rachunkach korzystaliśmy z arytmetyki granic (patrz twierdzenie 4.9.(1)--(3)) oraz ze znajomości granicy $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n}$ (patrz przykład 3.21.). Ponieważ otrzymaliśmy $\lim_{n \to + \infty} | a_{n} | = 0$ , więc korzystając z twierdzenie 4.9. (7) wnioskujemy, że także $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ .

(Ad (2)) Ponieważ

\lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n}) = 2

oraz

\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{2^{n}} = 0

(patrz przykład 3.22.), zatem korzystając z twierdzenia 4.9. (5), dostajemy

\lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{1}{n})^{\frac{1}{2^{n}}} = 2^{0} = 1

Plik:AM1.M04.W.R09.svg

Ilustracja do twierdzenia o trzech ciągach

Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu ${b_{n}}$ leżą pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ (przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę $g$ (właściwą lub niewłaściwą), to ciąg ${b_{n}}$ ma tę samą granicę $g$ .

Twierdzenie 4.11. [O trzech ciągach]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} c_{n} = g \in \overline{ℝ} oraz

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

,

to

$\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g$ .

Dowód 4.11.

Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy $g \in ℝ$ . Załóżmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \lim_{n \to + \infty} c_{n} = g$ oraz $\exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ .

Należy pokazać, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g$ . W tym celu ustalmy dowolne $ε > 0$ . Z definicji granicy ciągu mamy

$\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N : | a_{n} - g | < ε, czyli g - ε < a_{n} < g + ε, & \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N : | c_{n} - g | < ε, czyli g - ε < c_{n} < g + ε . \end{aligned}$

Niech $N_{3} = \max {N, N_{1}, N_{2}}$ . Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że

\forall n \geq N_{3} : g - ε < a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} < g + ε

,

zatem

\forall n \geq N_{3} : | b_{n} - g | < ε

,

co dowodzi, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = g$ .

Przykład 4.12.

Obliczyć granicę ciągu $\lim_{n \to + \infty} [2 + (- 1)^{n}] \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1}$ .

Niech $x_{n} = [2 + (- 1)^{n}] \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1}$ .

Zauważmy, że $x_{n} = y_{n} b_{n}$ , gdzie $y_{n} = 2 + (- 1)^{n}$ oraz $b_{n} = \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1}$ . W celu obliczenia $\lim_{n \to + \infty} b_{n}$ zauważmy, że

\frac{3 n^{2}}{4 n^{4} + 3 n^{4} + n^{4}} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n^{2}}{4 n^{4}}

\frac{3 n^{2}}{8 n^{4}} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} \leq \frac{5 n^{2}}{4 n^{4}}

\frac{3}{8} \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{3 n^{2} + 2 n}{4 n^{4} + 3 n + 1} \leq \frac{5}{4} \frac{1}{n^{2}}

granica ciągu $\frac{3}{8} \frac{1}{n^{2}}$ oraz $\frac{5}{4} \frac{1}{n^{2}}$ wynosi zero. Zbieżności te wynikają z twierdzenia o granicy iloczynu ciągu (patrz twierdzenie 4.9. (3)), to znaczy

\lim_{n \to + \infty} \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{n^{2}} = \lim_{n \to + \infty} \frac{3}{8} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = \frac{3}{8} \cdot 0 \cdot 0 = 0

i podobnie $\lim_{n \to + \infty} \frac{5}{4} \frac{1}{n^{2}} = 0$ .

Teraz, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz twierdzenie 4.11) dostajemy, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = 0$ .

Odnośnie ciągu ${y_{n}}$ zauważmy, że

\forall n \in ℕ : 1 \leq y_{n} \leq 3

,

a zatem ciąg ${y_{n}}$ jest ograniczony.

W końcu, korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz twierdzenie 4.7.) dostajemy, że

\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 0

.

Kolejne twierdzenie mówi, w jaki sposób nierówności między wyrazami dwóch ciągów przenoszą się na nierówności między granicami tych ciągów i na odwrót. Mianowicie, jeśli ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ są dwoma ciągami mającymi granice (właściwe lub niewłaściwe) oraz wyrazy ciągu ${b_{n}}$ są większe lub równe od wyrazów ciągu ${a_{n}}$ , to nierówność ta zachodzi także dla granic ciągów. Na odwrót, jeśli granica ciągu ${b_{n}}$ jest silnie większa od granicy ciągu ${a_{n}}$ , to nierówność ta zachodzi także dla wyrazów ciągów ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ , przynajmniej od pewnego miejsca.

Twierdzenie 4.13. [O dwóch ciągach]

Jeśli ${a_{n}}, {b_{n}} \subseteq ℝ$ są ciągami takimi, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a \in \overline{ℝ}$ oraz $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = b \in \overline{ℝ}$ , to prawdziwe są implikacje:

(1) $[a = + \infty \land \forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}] ⟹ [b = + \infty]$ ;

(2) $[b = - \infty \land \forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}] ⟹ [a = - \infty]$ ;

(3) $[\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}] ⟹ [a \leq b]$ ;

(4) $[a < b] ⟹ [\exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} < b_{n}]$ .

Dowód 4.13. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Zakładamy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty$ oraz $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}$ .
Ustalmy dowolne $M > 0$ . Ponieważ $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty$ , więc

\exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} \geq M

Zatem dla dowolnego $n \geq N$ mamy

b_{n} \geq a_{n} \geq M

Ponieważ $M > 0$ było dowolne, więc pokazaliśmy, że

\forall M > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : b_{n} \geq M

,

a to oznacza, że $\lim_{n \to + \infty} b_{n} = + \infty$ .
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu (1).
(Ad (3)) Niech $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = a \in \overline{ℝ}, \lim_{n \to + \infty} b_{n} = b \in \overline{ℝ}$ oraz $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq b_{n}$ .
"Przypadek $1^{o}$ ." Niech $a, b \in ℝ$ .

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $a > b$ . Ustalmy $ε = \frac{a - b}{2} > 0$ . Z definicji granicy ciągu mamy

\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : | a_{n} - a | < \frac{a - b}{2}, \\ \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : | b_{n} - b | < \frac{a - b}{2}, \end{aligned}

i w szczególności

\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : a_{n} > \frac{a + b}{2}, \\ \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : b_{n} < \frac{a + b}{2}, \end{aligned}

Niech $k = \max {N_{1}, N_{2}}$ . Wówczas dla wyrazów $a_{k}$ i $b_{k}$ mamy

a_{k} > \frac{a + b}{2} > b_{k}

,

co jest sprzeczne z założeniem. Zatem pokazaliśmy, że $a \leq b$ .

"Przypadek $2^{o}$ ." $a = + \infty$ lub $b = - \infty$ . Wówczas teza wynika z (1) lub (2).

"Przypadek $3^{o}$ ." $a = - \infty$ lub $b = + \infty$ . Wówczas zawsze zachodzi nierówność $a \leq b$ .

(Ad (4)) "Przypadek $1^{o}$ ." Niech $a, b \in ℝ$ . Ustalmy $ε = \frac{b - a}{2}$ . Ponieważ $b > a$ , więc $ε > 0$ . Z definicji granicy ciągu mamy

\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : | a_{n} - a | < \frac{b - a}{2}, \\ \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : | b_{n} - b | < \frac{b - a}{2} . \end{aligned}

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}}$ . W szczególności mamy

\forall n \geq N : a_{n} < \frac{a + b}{2} < b_{n}

,

co należało pokazać.

"Przypadek $2^{o}$ ." $a = - \infty$ . Niech $ε = 1$ i $M = b - 1$ . Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej mamy

\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : a_{n} < b - 1, \\ \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : | b_{n} - b | < 1 . \end{aligned}

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}}$ . W szczególności mamy

\forall n \geq N : a_{n} < b - 1 < b_{n}

,

co należało pokazać.

"Przypadek $3^{o}$ ." $b = + \infty$ . Dowód jest analogiczny jak w przypadku $2^{o}$ .

Kolejne twierdzenie mówi, iż dla ciągów monotonicznych pojęcie granicy pokrywa się z pojęciem kresu górnego (ewentualnie kresu dolnego) zbioru wartości ciągu (patrz rysunek w twierdzeniu 4.15).

Twierdzenie 4.14.

Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem, to
(1) jeśli ${a_{n}}$ jest rosnący, to ${a_{n}}$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \sup {a_{n} : n \in ℕ};

(2) jeśli ${a_{n}}$ jest malejący, to ${a_{n}}$ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \inf {a_{n} : n \in ℕ}

Dowód 4.14. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Załóżmy, że ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem rosnącym oraz niech

g \overset{d f}{=} \sup {a_{n} : n \in ℕ}

(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem $ℝ$ lub wynosi $+ \infty$ , gdyż zbiór jest niepusty). Pokażemy, że $g$ jest granicą ciągu ${a_{n}}$ .
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek $1^{o}$ . Niech $g \in ℝ$ . Ustalmy dowolne $ε > 0$ . Z własności supremum mamy, że

\exists N \in ℕ : g - ε < a_{N}

(de facto z własności supremum wynika, że takich indeksów $N$ istnieje nieskończenie wiele, ale nam wystarczy wybór jednego z nich). Ponieważ ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący oraz $\forall n \in N : a_{n} \leq g$ (z definicji supremum), więc

\forall n \geq N : g - ε < a_{N} \leq a_{n} \leq g

Ponieważ $ε > 0$ był dowolnie wybrany, więc pokazaliśmy, że

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : | a_{n} - g | < ε

zatem pokazaliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = g$ .
Przypadek $2^{o}$ . Niech $g = + \infty$ . Ustalmy $M \in ℝ$ . Z definicji supremum mamy, że

\exists N \in ℕ : M < a_{N}

(bo w przeciwnym razie byłoby $g \leq M$ , sprzeczność).

Ponieważ ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący, więc

\forall n \geq N : M < a_{N} \leq a_{n}

Ponieważ $M \in ℝ$ było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że

\forall M \in ℝ \exists N \in ℕ \forall n \geq N : M < a_{n}

Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = g$ .
(Ad (2)) Dowód jest analogiczny jak dla (1).

Plik:AM1.M04.W.R10.mp4

Ciąg rosnący i ograniczony z góry

Twierdzenie 4.15. [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]

(1) Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.

(2) Jeśli ${a_{n}} \subseteq ℝ$ jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.

Dowód 4.15.

(Ad (1)) Jeśli ciąg ${a_{n}}$ jest rosnący, to z twierdzenia 4.14 (1) wynika, że ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) oraz

\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \sup {a_{n} : n \in ℕ}

Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc

\sup {a_{n} : n \in ℕ} < + \infty

,

zatem granica jest właściwa, czyli ciąg jest zbieżny.
(Ad (2)) Dowód analogiczny jak w (1).
(Ad (3)) Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to zachodzi założenie jednego z punktów (1) lub (2) (to znaczy jest on malejący i ograniczony lub rosnący i ograniczony). W obu przypadkach wiemy, że ciąg jest zbieżny.
Implikacja w drugą stronę jest zawsze prawdziwa (to znaczy ciąg zbieżny jest ograniczony, nawet bez założenia monotoniczności). Wynika to z twierdzenia 3.25.

Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię

Twierdzenie 4.16. [Bolzano-Weierstrassa]

Każdy ciąg ograniczony ${a_{n}} \subseteq ℝ$ zawiera podciąg zbieżny.

W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat:

Lemat 4.17.

Każdy ciąg liczbowy

{a_{n}} \subseteq ℝ

zawiera podciąg monotoniczny.

Dowód 4.17.

[Szkic] Dla ciągu ${a_{n}}$ zdefiniujmy następujący zbiór:

$Z \overset{d f}{=} {n \in ℕ : \forall m \in ℕ [m > n ⟹ a_{m} > a_{n}]}$

Możliwe są dwa przypadki.
Jeśli $# Z = \infty$ (to znaczy zbiór $Z$ jest nieskończony), to możemy z ciągu ${a_{n}}$ wybrać podciąg rosnący (wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu ${a_{n}}$ , których indeksy należą do zbioru $Z$ ).
Jeśli $# Z < \infty$ (to znaczy zbiór $Z$ jest skończony), to możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób. Niech $n_{1} \in ℕ$ będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze zbioru $Z$ . Ponieważ $n_{1} \in̸ Z$ , więc

$\exists n_{2} > n_{1} : a_{n_{2}} \leq a_{n_{1}}$

Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy $n_{1} < \dots < n_{k}$ , to z definicji zbioru $Z$ i faktu, że $n_{k} \in̸ Z$ wynika, że

$\exists n_{k + 1} > n_{k} : a_{n_{k + 1}} \leq a_{n_{k}}$

Skonstruowany w ten sposób podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ jest malejący.

Plik:AM1.M04.W.R11.mp4

Podciąg monotoniczny ciągu

Możemy teraz powrócić do dowodu twierdzenia Bolzano-Weierstrassa:

Dowód 4.16.

Niech ${a_{n}} \in ℝ$ będzie ciągiem ograniczonym. Z lematu 4.17. wynika, że możemy z niego wybrać podciąg monotoniczny ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ . Oczywiście podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ jest także ograniczony, zatem z twierdzenia 4.15. (3) wynika, że podciąg ${a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}$ jest zbieżny.

Wniosek 4.18.

Z każdego ciągu liczbowego ${a_{n}} \subseteq ℝ$ można wybrać podciąg posiadający granicę (właściwą lub niewłaściwą).

Dowód 4.18.

Z lematu 4.17. wiemy, że z ciągu ${a_{n}}$ można wybrać podciąg monotoniczny. Jeśli jest on ograniczony, to z twierdzenia 4.15. wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą). Jeśli zaś jest nieograniczony, to skoro jest monotoniczny, to granicą jest $+ \infty$ lub $- \infty$ .

Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 14:49, 25 lip 2024

Ciągi liczbowe

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 10: / Linia 10: @@
 niewłaściwe.
 Poznajemy twierdzenia o granicach ciągów,
-twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w <math>\mathbb{R},</math>
+twierdzenie o związkach granicy z działaniami i porządkiem w <math>\mathbb{R}</math>,
 twierdzenie o trzech ciągach,
 twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym,
@@ Linia 19: / Linia 19: @@
 Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w
 <math>\mathbb{R}</math>
-(to znaczy w zbiorze liczbowym <math>\displaystyle\mathbb{R}</math> traktowanym jako
+(to znaczy w zbiorze liczbowym <math>\mathbb{R}</math> traktowanym jako
 przestrzeń metryczna z metryką euklidesową).
-Piszemy krótko <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}.</math>
+Piszemy krótko <math>\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}</math>.
 }}
-Ponieważ w zbiorze liczbowym <math>\displaystyle\mathbb{R}</math> mamy liniowy porządek,
+Ponieważ w zbiorze liczbowym <math>\mathbb{R}</math> mamy liniowy porządek,
 więc można porównywać ze sobą elementy ciągu. Pozwala to na
 wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu.
@@ Linia 31: / Linia 31: @@
 '''(1)''' Mówimy, że ciąg
-<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+<math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
 '''''malejący''''',
 jeśli
-<math>\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\ge a_{n+1}.</math><br>
+<math>\forall n\in\mathbb{N}: a_n \ge a_{n+1}</math><br>
 '''(2)''' Mówimy, że ciąg
-<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+<math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
 '''''silnie malejący''''',
 jeśli
-<math>\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n>   a_{n+1}.</math><br>
+<math>\forall n\in\mathbb{N}: a_n > a_{n+1}</math>.<br>
 '''(3)''' Mówimy, że ciąg
-<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+<math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
 '''''rosnący''''',
 jeśli
-<math>\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le a_{n+1}.</math>
+<math>\forall n\in\mathbb{N}: a_n \le a_{n+1}</math>.
 '''(4)''' Mówimy, że ciąg
-<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+<math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
 '''''silnie rosnący''''',
 jeśli
-<math>\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n< a_{n+1}.</math>
+<math>\forall n\in\mathbb{N}: a_n < a_{n+1}</math>
-'''(5)''' Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+'''(5)''' Mówimy, że ciąg <math>\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
 '''''monotoniczny''''',
 jeśli jest on
 malejący lub rosnący.<br>
-'''(6)''' Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+'''(6)''' Mówimy, że ciąg <math>\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
 '''''silnie monotoniczny''''',
 jeśli jest on
@@ Linia 96: / Linia 96: @@
 metrycznej), ale także o ograniczeniu ciągu od dołu i od góry
 (ponownie jest to konsekwencja faktu, że zbiór liczbowy
-<math>\displaystyle\mathbb{R}</math> jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące
+<math>\mathbb{R}</math> jest liniowo uporządkowany). Mamy zatem następujące
 definicje.
 {{definicja|4.3.||
-'''(1)''' Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+'''(1)''' Mówimy, że ciąg <math>\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
 '''''ograniczony''''',
 jeśli
-<math>\displaystyle\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ |a_n|\le M.</math><br>
+<math>\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}: |a_n|\le M</math><br>
-'''(2)''' Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+'''(2)''' Mówimy, że ciąg <math>\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
 '''''ograniczony z dołu''''',
 jeśli
-<math>\displaystyle\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\ge M.</math><br>
+<math>\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}: a_n\ge M</math><br>
-'''(3)''' Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
+'''(3)''' Mówimy, że ciąg <math>\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}</math> jest
 '''''ograniczony z góry''''',
 jeśli
-<math>\displaystyle\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le M.</math><br>
+<math>\exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}: a_n\le M</math><br>
 }}
@@ Linia 119: / Linia 119: @@
 ograniczonością z góry i z dołu.
-{{stwierdzenie|4.4. [O ciągu ograniczonym w <math>\displaystyle\mathbb{R}</math>]||
+{{stwierdzenie|4.4. [O ciągu ograniczonym w <math>\mathbb{R}</math>]||
 Jeśli
-<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem
+<math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem
 to
-<math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest ograniczony wtedy i tylko wtedy,
+<math>\{a_n\}</math> jest ograniczony wtedy i tylko wtedy,
 gdy
-<math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest ograniczony z dołu i z góry.
+<math>\{a_n\}</math> jest ograniczony z dołu i z góry.
 }}
@@ Linia 131: / Linia 131: @@
 dowolnych przestrzeniach metrycznych.
 Powtórzmy je tutaj dla wygody, przyjmując, że w
-<math>\displaystyle\mathbb{R}</math> mamy metrykę euklidesową.
+<math>\mathbb{R}</math> mamy metrykę euklidesową.
 <span id="definicja_4_5">{{definicja|4.5.||
@@ Linia 137: / Linia 137: @@
 '''(1)''' Mówimy, że liczba <math>g</math> jest
 '''''granicą''''' ciągu
-<math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R},</math> jeśli
+<math>\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>, jeśli
 <center>
 <math>
-\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
 |x_n-g|<\varepsilon
 </math></center>
@@ Linia 149: / Linia 149: @@
 \begin{array}{lll}
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g
-\quad& \textrm{lub} & x_n\stackrel{\mathbb{R}}{\longrightarrow} g
+\quad& \text{lub} & x_n\stackrel{\mathbb{R}}{\longrightarrow} g
-\quad\textrm{lub}\\\\
+\quad\text{lub}\\\\
 x_n\xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{} g
-\quad&\textrm{lub} & x_n\longrightarrow g
+\quad&\text{lub} & x_n\longrightarrow g
 \end{array}
 </math></center>
-'''(2)''' Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle\{x_n\}</math> jest
+'''(2)''' Mówimy, że ciąg <math>\{x_n\}</math> jest
 '''''zbieżny''''', jeśli
 <center><math>
-\exists g\in \mathbb{R}:\
+\exists g\in \mathbb{R}:
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g</math></center>
-</math></center>
 }}</span>
@@ Linia 172: / Linia 171: @@
 {{definicja|4.6. [Uzupelnij]||
-'''(1)''' Mówimy, że ciąg liczbowy <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
+'''(1)''' Mówimy, że ciąg liczbowy <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
 ma '''''granicę niewłaściwą'''''
-<math>+\infty,</math>
+<math>+\infty</math>,
 jeśli
 <center>
-<math>
+<math>\forall M\in\mathbb{R}
+\exists N\in\mathbb{N}
-\forall M\in\mathbb{R}\
+\forall n\ge N:
-\exists N\in\mathbb{N}\
+a_n\ge M</math>
-\forall n\ge N:\
-\
-a_n\ge M.
-</math>
 </center>
-Mówimy wówczas, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+Mówimy wówczas, że ciąg <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
 '''''rozbieżny''''' do
 <math>+\infty</math>
 i piszemy
-<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty.</math><br>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty</math>.<br>
-'''(2)''' Mówimy, że ciąg liczbowy <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
+'''(2)''' Mówimy, że ciąg liczbowy <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
 ma
 '''''granicę niewłaściwą'''''
-<math>-\infty,</math>
+<math>-\infty</math>,
 jeśli
 <center><math>
-\forall M\in\mathbb{R}\
+\forall M\in\mathbb{R}
-\exists N\in\mathbb{N}\
+\exists N\in\mathbb{N}
-\forall n\ge N:\
+\forall n\ge N:
-\
+a_n\le M</math></center>
-a_n\le M.
-</math></center>
-Mówimy wówczas, że ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
+Mówimy wówczas, że ciąg <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest
 '''''rozbieżny''''' do
 <math>-\infty</math>
 i piszemy
-<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=-\infty.</math>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=-\infty</math>.
 }}
@@ Linia 228: / Linia 221: @@
 Zwróćmy uwagę na to, że granica niewłaściwa nie jest granicą
 (w sensie [[AM1 Wykład 4#definicja_4_5|definicji 4.5.]]), gdyż nie jest to
-element <math>\displaystyle\mathbb{R}</math> (nie jest to liczba rzeczywista).
+element <math>\mathbb{R}</math> (nie jest to liczba rzeczywista).
 Należy tu również zwrócić uwagę na pewną niekonsekwencję w
 terminologii.
@@ Linia 238: / Linia 231: @@
 O ciągu, który ma granicę (właściwą) mówimy, że jest '''''zbieżny'''''.
 O ciągu, który ma granicę niewłaściwą mówimy, że jest
-'''''rozbieżny''''' do <math>+\infty</math> lub <math>-\infty.</math>
+'''''rozbieżny''''' do <math>+\infty</math> lub <math>-\infty</math>.
 O ciągu który nie ma granicy
 właściwej mówimy, że jest
@@ Linia 245: / Linia 238: @@
 <span id="twierdzenie_4_7">{{twierdzenie|4.7. [O granicy iloczynu ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera]||
 Jeśli
-<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> są ciągami takimi, że
+<math>\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> są ciągami takimi, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0</math> oraz <math>\displaystyle\{b_n\}</math> jest ograniczony,
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0</math> oraz <math>\{b_n\}</math> jest ograniczony,
 to
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0.</math>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0</math>.
 }}</span>
 <span id="twierdzenie_4_7">{{dowod|4.7.||
-Niech <math>M>0</math> będzie stałą ograniczającą ciąg <math>\displaystyle\{b_n\}</math>
+Niech <math>M>0</math> będzie stałą ograniczającą ciąg <math>\{b_n\}</math>
 (która istnieje z założenia), to znaczy
 <center><math>
-\forall n\in \mathbb{N}:\ |b_n|\le M.
+\forall n\in \mathbb{N}: |b_n|\le M</math></center>
-</math></center>
-Ustalmy <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+Ustalmy <math>\varepsilon>0</math>.
-Ponieważ <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0,</math> więc
+Ponieważ <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0</math>, więc
 <center><math>
-\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
-|a_n|\le\frac{\varepsilon}{M}.
+|a_n|\le\frac{\varepsilon}{M}</math></center>
-</math></center>
 Zatem dla <math>n\ge N</math> mamy
-<center><math>|a_nb_n| \le\
+<center><math>|a_nb_n| \le
 \frac{\varepsilon}{M}\cdot M
-\ =\
+=
-\varepsilon.
+\varepsilon</math></center>
-</math></center>
-Ponieważ <math>\displaystyle\varepsilon>0</math> było dowolne, więc pokazaliśmy, że
+Ponieważ <math>\varepsilon>0</math> było dowolne, więc pokazaliśmy, że
 <center><math>
-\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}:\
+\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}:
-|a_nb_n|\le\varepsilon,
+|a_nb_n|\le\varepsilon</math>,</center>
-</math></center>
 czyli udowodniliśmy, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0.</math>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0</math>.
 }}</span>
@@ Linia 293: / Linia 282: @@
 Obliczyć granicę
-<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin n}{n}</math>.
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin n}{n}</math>.
 }}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 Jeśli zdefiniujemy
-<math>\displaystyle a_n=\frac{1}{n}</math> oraz <math>\displaystyle b_n=\sin n</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math>,
+<math>a_n=\frac{1}{n}</math> oraz <math>b_n=\sin n</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math>,
-to <math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0</math> oraz ciąg <math>\{b_n\}</math> jest ograniczony,
+to <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0</math> oraz ciąg <math>\{b_n\}</math> jest ograniczony,
 gdyż
 <center><math>
-\forall n\in\mathbb{N}:\
+\forall n\in\mathbb{N}:
 |\sin n|
-\ \le\
+\le
-.
+</math></center>
-</math></center>
 Zatem z [[AM1 Wykład 4#twierdzenie_4_7|twierdzenia 4.7.]]
-wnioskujemy, że <math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin n}{n}= \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0</math>.
+wnioskujemy, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin n}{n}= \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_nb_n=0</math>.
 </div></div>
@@ Linia 321: / Linia 309: @@
 <span id="twierdzenie_4_9">{{twierdzenie|4.9. [O "arytmetyce" granic ciągów]||
 Jeśli
-<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
+<math>\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
-są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz <math>c\in\mathbb{R},</math>
+są ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz <math>c\in\mathbb{R}</math>,
 to<br>
 '''(1)'''
-<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n\pm b_n)
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n\pm b_n)
 =\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n \pm \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n</math>;<br>
 '''(2)'''
-<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (c\cdot a_n)
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (c\cdot a_n)
 =c\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n</math>;<br>
 '''(3)'''
-<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_nb_n)
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_nb_n)
 =\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\bigg)</math>;<br>
 '''(4)'''
-<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}
 =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n}</math>
 (o ile
-<math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math> oraz <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\ne 0</math>);<br>
+<math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math> oraz <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\ne 0</math>);<br>
 '''(5)'''
-<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^{b_n}
 =\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)^{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n}</math>
 (o ile działania po obu stronach są wykonalne);<br>
 '''(6)'''
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =a\quad
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =a\quad
 \Longrightarrow\quad
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|</math>;<br>
 '''(7)'''
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =0\quad
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =0\quad
 \Longleftrightarrow\quad
-\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0.</math>
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0</math>.
 }}</span>
@@ Linia 355: / Linia 343: @@
 '''(Ad 1)'''
-Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math> oraz <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b.</math>
+Niech <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math> oraz <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b</math>.
-Pokażemy, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n+b_n)=a+b.</math><br>
+Pokażemy, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n+b_n)=a+b</math>.<br>
-W tym celu ustalmy <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+W tym celu ustalmy <math>\varepsilon>0</math>.
 Z definicji granicy ciągu zastosowanej do ciągów
-<math>\displaystyle\{a_n\}</math> i <math>\displaystyle\{b_n\}</math> wiemy, że
+<math>\{a_n\}</math> i <math>\{b_n\}</math> wiemy, że
 <center><math>
@@ Linia 370: / Linia 358: @@
 <center><math>
-\exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}.
+\exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2}</math></center>
-</math></center>
-Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}.</math>
+Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math>.
 Wówczas dla dowolnego <math>n\ge N</math> mamy:
 <center><math>\big|(a_n+b_n)-(a+b)\big| \le
 |a_n-a|+|b_n-b|
-\ <\
+<
 \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}
-\ =\
+=
-\varepsilon.
+\varepsilon</math></center>
-</math></center>
-Ponieważ <math>\displaystyle\varepsilon>0</math> było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że
+Ponieważ <math>\varepsilon>0</math> było dowolnie wybrane, więc pokazaliśmy, że
 <center><math>
-\forall \varepsilon>0\ \exists N\in \mathbb{N}:\
+\forall \varepsilon>0\ \exists N\in \mathbb{N}:
 \big|(a_n+b_n)-(a+b)\big|
-\ <\
+<
-\varepsilon,
+\varepsilon</math>,</center>
-</math></center>
 czyli
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n+b_n)=a+b.</math><br>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_n+b_n)=a+b</math>.<br>
 Analogicznie pokazuje się, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n-b_n)=a-b.</math><br>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_n-b_n)=a-b</math>.<br>
 '''(Ad (3)-(4), (6)-(7))''' Dowody tych części są pozostawione na ćwiczenia
 (patrz [[Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 4: Ciągi liczbowe#cwiczenie_4_5|ćwiczenie 4.5.]] i [[Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 4: Ciągi liczbowe#cwiczenie_4_6|ćwiczenie 4.6.]]).<br>
@@ Linia 407: / Linia 392: @@
 Obliczyć granice ciągów:<br>
-'''(1)''' <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (-1)^n\frac{2n+1}{3n^2}</math>;<br>
+'''(1)''' <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (-1)^n\frac{2n+1}{3n^2}</math>;<br>
-'''(2)''' <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}}.</math>
+'''(2)''' <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}}</math>.
 }}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 '''(Ad (1))'''
-Niech <math>\displaystyle a_n=(-1)^n\frac{2n+1}{3n^2}.</math>
+Niech <math>a_n=(-1)^n\frac{2n+1}{3n^2}</math>.
 Policzmy najpierw granice modułów:
-<center><math>\aligned
+<center><math>\begin{align}
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|
 & = &
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2n+1}{3n^2}
-\ =\
+=
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{2n}{3n^2}+\frac{1}{3n^2}\bigg)
-\ =\
+=
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\bigg)\\
 & = &
 \frac{2}{3}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}+
 \frac{1}{3}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}
-\ =\
+=
 \frac{2}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot 0\cdot 0
-\ =\
+=
 .
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
 W powyższych rachunkach korzystaliśmy z arytmetyki granic
 (patrz [[#twierdzenie_4_9|twierdzenie 4.9.]](1)--(3)) oraz ze znajomości
-granicy <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}</math>
+granicy <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}</math>
 (patrz [[AM1 Wykład 3#przyklad_3_21|przykład 3.21.]]).
-Ponieważ otrzymaliśmy <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0,</math>
+Ponieważ otrzymaliśmy <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0</math>,
 więc korzystając z [[#twierdzenie_4_9|twierdzenie 4.9.]] (7)
-wnioskujemy, że także <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.</math><br>
+wnioskujemy, że także <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0</math>.<br>
 <br>
 '''(Ad (2))'''
@@ Linia 448: / Linia 433: @@
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)
-\ =\
+=
 </math></center>
@@ Linia 457: / Linia 442: @@
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{2^n}
-\ =\
+=
 </math></center>
@@ Linia 467: / Linia 452: @@
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(2+\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{1}{2^n}}
-\ =\
+=
 ^0
-\ =\
+=
-.
+</math></center>
-</math></center>
 </div></div>
-<div class="thumb tright"><div style="width:375px;">
+[[File:AM1.M04.W.R09.svg|375x375px|thumb|right|Ilustracja do twierdzenia o trzech ciągach]]
-<flash>file=AM1.M04.W.R09.swf|width=375|height=375</flash>
-<div.thumbcaption>Ilustracja do twierdzenia o trzech ciągach</div>
-</div></div>
-Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu <math>\displaystyle\{b_n\}</math> leżą
+Poniższe twierdzenie mówi, że jeśli wyrazy pewnego ciągu <math>\{b_n\}</math> leżą
-pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów <math>\displaystyle\{a_n\}</math> i <math>\displaystyle\{b_n\}</math>
+pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów <math>\{a_n\}</math> i <math>\{b_n\}</math>
 (przynajmniej od pewnego miejsca) mających tę samą granicę <math>g</math>
 (właściwą lub niewłaściwą),
-to ciąg <math>\displaystyle\{b_n\}</math> ma tę samą granicę <math>g.</math>
+to ciąg <math>\{b_n\}</math> ma tę samą granicę <math>g</math>.
 <span id="twierdzenie_4_11">{{twierdzenie|4.11. [O trzech ciągach]||
 Jeśli
-<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> są ciągami takimi, że
+<math>\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> są ciągami takimi, że
 <br>
 <center><math>
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=g\in\overline{\mathbb{R}}
-\quad\textrm{oraz}\quad</math><br>
+\quad\text{oraz}\quad</math><br>
 <math>
-\exists N\in \mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\le b_n\le c_n,
+\exists N\in \mathbb{N}\ \forall n\ge N: a_n\le b_n\le c_n</math>,</center>
-</math></center>
 to
 <center>
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g.</math>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g</math>.
 </center>
 }}</span>
@@ Linia 505: / Linia 485: @@
 Dowód podamy jedynie w przypadku, gdy <math>g\in\mathbb{R}</math>.
 Załóżmy, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=g</math> oraz
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_n=g</math> oraz
-<math>\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ a_n\le b_n\le c_n.</math>
+<math>\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N: a_n\le b_n\le c_n</math>.
-Należy pokazać, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g.</math>
+Należy pokazać, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g</math>.
-W tym celu ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+W tym celu ustalmy dowolne <math>\varepsilon>0</math>.
 Z definicji granicy ciągu mamy
 <center>
-<math>\aligned
+<math>\begin{align}
-&& \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |a_n-g|<\varepsilon, \quad \textrm{czyli} \quad g-\varepsilon<a_n < g+\varepsilon,\
+&& \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N: |a_n-g|<\varepsilon, \quad \text{czyli} \quad g-\varepsilon<a_n < g+\varepsilon,
-&&\exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ |c_n-g|<\varepsilon, \quad  \textrm{czyli} \quad g-\varepsilon<c_n < g+\varepsilon.\
+&&\exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N: |c_n-g|<\varepsilon, \quad  \text{czyli} \quad g-\varepsilon<c_n < g+\varepsilon.
-\endaligned</math>
+\end{align}</math>
 </center>
-Niech <math>N_3=\max\{N,N_1,N_2\}.</math>
+Niech <math>N_3=\max\{N,N_1,N_2\}</math>.
 Z powyższych nierówności wynika w szczególności, że
 <center>
 <math>
-\forall n\ge N_3:\
+\forall n\ge N_3:
-g-\varepsilon\ <\ a_n
+g-\varepsilon< a_n
-\ \le\ b_n\ \le\
+\le b_n\le
-c_n\ <\ g+\varepsilon,
+c_n< g+\varepsilon</math>,</center>
-</math></center>
 zatem
 <center>
 <math>
-\forall n\ge N_3:\
+\forall n\ge N_3:
-|b_n-g|<\varepsilon,
+|b_n-g|<\varepsilon</math>,</center>
-</math></center>
-co dowodzi, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g.</math>
+co dowodzi, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=g</math>.
 }}
@@ Linia 545: / Linia 523: @@
 Obliczyć granicę ciągu
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} [2+(-1)^n]\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}.</math>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} [2+(-1)^n]\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}</math>.
 Niech
-<math>\displaystyle x_n=[2+(-1)^n]\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}.</math>
+<math>x_n=[2+(-1)^n]\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}</math>.
-Zauważmy, że <math>x_n=y_n b_n,</math>
+Zauważmy, że <math>x_n=y_n b_n</math>,
 gdzie <math>y_n =2+(-1)^n</math> oraz
-<math>\displaystyle b_n=\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}.</math>
+<math>b_n=\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1}</math>.
-W celu obliczenia <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n</math>
+W celu obliczenia <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n</math>
 zauważmy, że
@@ Linia 559: / Linia 537: @@
-\displaystyle\frac{3n^2}{4n^4+3n^4+n^4}  \le  \displaystyle\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \displaystyle\frac{3n^2+2n^2}{4n^4}</math></center>
+\frac{3n^2}{4n^4+3n^4+n^4}  \le  \frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \frac{3n^2+2n^2}{4n^4}</math></center>
 <center><math>
-\displaystyle\frac{3n^2}{8n^4} \le  \displaystyle\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \displaystyle\frac{5n^2}{4n^4}</math></center>
+\frac{3n^2}{8n^4} \le  \frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \frac{5n^2}{4n^4}</math></center>
 <center><math>
-\displaystyle\frac{3}{8}\frac{1}{n^2} \le  \displaystyle\frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \displaystyle\frac{5}{4}\frac{1}{n^2}
+\frac{3}{8}\frac{1}{n^2} \le  \frac{3n^2+2n}{4n^4+3n+1} \le \frac{5}{4}\frac{1}{n^2}
 </math></center>
-granica ciągu <math>\displaystyle\frac{3}{8}\frac{1}{n^2}</math> oraz <math>\displaystyle\frac{5}{4}\frac{1}{n^2}
+granica ciągu <math>\frac{3}{8}\frac{1}{n^2}</math> oraz <math>\frac{5}{4}\frac{1}{n^2}
 </math> wynosi zero. Zbieżności te wynikają z twierdzenia o
 granicy iloczynu ciągu
@@ Linia 575: / Linia 553: @@
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{n^2}
-\ =\
+=
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{8}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}\cdot\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}
-\ =\
+=
 \frac{3}{8}\cdot 0\cdot  0
-\ =\
+=
 </math></center>
 i podobnie
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{5}{4}\frac{1}{n^2}=0.</math>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{5}{4}\frac{1}{n^2}=0</math>.
-Teraz, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz [[#twierdzenie_4_11|twierdzenie 4.11]]) dostajemy, że  <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=0.</math>
+Teraz, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach (patrz [[#twierdzenie_4_11|twierdzenie 4.11]]) dostajemy, że  <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=0</math>.
-Odnośnie ciągu <math>\displaystyle\{y_n\}</math> zauważmy, że
+Odnośnie ciągu <math>\{y_n\}</math> zauważmy, że
 <center><math>
-\forall n\in\mathbb{N}:\
+\forall n\in\mathbb{N}:
-\ \le\
+\le
 y_n
-\ \le\
+\le
-,
+</math>,</center>
-</math></center>
-a zatem ciąg <math>\displaystyle\{y_n\}</math> jest ograniczony.
+a zatem ciąg <math>\{y_n\}</math> jest ograniczony.
-W końcu, korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz [[#twierdzenie_4_7|twierdzenie 4.7.]]) dostajemy, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=0.</math>}}
+W końcu, korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego (patrz [[#twierdzenie_4_7|twierdzenie 4.7.]]) dostajemy, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=0</math>.}}
 Kolejne twierdzenie mówi, w jaki sposób nierówności między
@@ Linia 619: / Linia 596: @@
 <span id="twierdzenie_4_13">{{twierdzenie|4.13. [O dwóch ciągach]||
 Jeśli
-<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> są ciągami takimi, że
+<math>\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> są ciągami takimi, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}}</math> oraz
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}}</math> oraz
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}},</math>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}}</math>,
 to
 prawdziwe są implikacje:<br><br>
 '''(1)'''
-<math>\displaystyle\bigg[a=+\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\
+<math>\bigg[a=+\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}: a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow
 \bigg[b=+\infty\bigg]</math>;<br> <br>
 '''(2)'''
-<math>\displaystyle\bigg[b=-\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\
+<math>\bigg[b=-\infty\ \wedge\ \forall n\in\mathbb{N}: a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow
 \bigg[a=-\infty\bigg]</math>;<br><br>
 '''(3)'''
-<math>\displaystyle\bigg[\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[a\le
+<math>\bigg[\forall n\in\mathbb{N}: a_n\le b_n\bigg]\ \Longrightarrow \bigg[a\le
 b\bigg]</math>;<br><br>
 '''(4)'''
-<math>\displaystyle\bigg[a<b\bigg]\ \Longrightarrow\ \bigg[\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+<math>\bigg[a<b\bigg]\ \Longrightarrow \bigg[\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
 a_n<
-b_n\bigg].</math>
+b_n\bigg]</math>.
 }}</span>
 {{dowod|4.13. [nadobowiązkowy]||
 '''(Ad (1))'''
-Zakładamy, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty</math> oraz
+Zakładamy, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty</math> oraz
-<math>\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n.</math><br>
+<math>\forall n\in\mathbb{N}: a_n\le b_n</math>.<br>
-Ustalmy dowolne <math>M>0.</math>
+Ustalmy dowolne <math>M>0</math>.
-Ponieważ <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty,</math> więc
+Ponieważ <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty</math>, więc
 <center><math>
-\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
-a_n\ge M.
+a_n\ge M</math></center>
-</math></center>
 Zatem dla dowolnego <math>n\ge N</math> mamy
@@ Linia 657: / Linia 633: @@
 b_n
-\ \ge\
+\ge
 a_n
-\ \ge\
+\ge
-M.
+M</math></center>
-</math></center>
 Ponieważ <math>M>0</math> było dowolne, więc
@@ Linia 668: / Linia 643: @@
 <center><math>
-\forall M>0\
+\forall M>0
-\exists N\in\mathbb{N}\
+\exists N\in\mathbb{N}
-\forall n\ge N:\
+\forall n\ge N:
-b_n\ge M,
+b_n\ge M</math>,</center>
-</math></center>
-a to oznacza, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=+\infty.</math><br>
+a to oznacza, że <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=+\infty</math>.<br>
 '''(Ad (2))''' Dowód analogiczny do dowodu '''(1)'''.<br>
 '''(Ad (3))'''
-Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}},\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}}</math>
+Niech <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a\in\overline{\mathbb{R}},\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b\in\overline{\mathbb{R}}</math>
-oraz <math>\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n\le b_n.</math><br>
+oraz <math>\forall n\in\mathbb{N}: a_n\le b_n</math>.<br>
-"Przypadek <math>1^o.</math>" Niech <math>a,b\in\mathbb{R}.</math>
+"Przypadek <math>1^o</math>." Niech <math>a,b\in\mathbb{R}</math>.
 Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
-<math>a>b.</math>
+<math>a>b</math>.
 Ustalmy
-<math>\displaystyle\varepsilon=\frac{a-b}{2}>0.</math>
+<math>\varepsilon=\frac{a-b}{2}>0</math>.
 Z definicji granicy ciągu mamy
-<center><math>\aligned
+<center><math>\begin{align}
-&& \displaystyle
+&&
 \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{a-b}{2},\\
-&& \displaystyle
+&&
 \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{a-b}{2},
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
 i w szczególności
-<center><math>\aligned
+<center><math>\begin{align}
-&& \displaystyle
+&&
 \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1:\ a_n>\frac{a+b}{2},\\
-&& \displaystyle
+&&
 \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2:\ b_n<\frac{a+b}{2},
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
-Niech <math>k=\max \{N_1,N_2\}.</math>
+Niech <math>k=\max \{N_1,N_2\}</math>.
 Wówczas dla wyrazów <math>a_k</math> i <math>b_k</math> mamy
@@ Linia 711: / Linia 685: @@
 a_k
-\ >\
+>
 \frac{a+b}{2}
-\ >\
+>
-b_k,
+b_k</math>,</center>
-</math></center>
 co jest sprzeczne z założeniem.
-Zatem pokazaliśmy, że <math>a\le b.</math><br>
+Zatem pokazaliśmy, że <math>a\le b</math>.<br>
 <br>
-"Przypadek <math>2^o.</math>"
+"Przypadek <math>2^o</math>."
-<math>a=+\infty</math> lub <math>b=-\infty.</math>
+<math>a=+\infty</math> lub <math>b=-\infty</math>.
 Wówczas teza wynika z (1) lub (2).<br>
 <br>
-"Przypadek <math>3^o.</math>"
+"Przypadek <math>3^o</math>."
-<math>a=-\infty</math> lub <math>b=+\infty.</math>
+<math>a=-\infty</math> lub <math>b=+\infty</math>.
-Wówczas zawsze zachodzi nierówność <math>a\le b.</math><br>
+Wówczas zawsze zachodzi nierówność <math>a\le b</math>.<br>
 <br>
 '''(Ad (4))'''
-"Przypadek <math>1^o.</math>"
+"Przypadek <math>1^o</math>."
-Niech <math>a,b\in\mathbb{R}.</math>
+Niech <math>a,b\in\mathbb{R}</math>.
-Ustalmy <math>\displaystyle \varepsilon=\frac{b-a}{2}.</math>
+Ustalmy <math>\varepsilon=\frac{b-a}{2}</math>.
 Ponieważ <math>b>a</math>, więc <math>\varepsilon>0</math>.
 Z definicji granicy ciągu mamy
-<center><math>\aligned
+<center><math>\begin{align}
-&& \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\
+&& \exists N_1\in\mathbb{N}
 \forall n\ge N_1:\ |a_n-a|<\frac{b-a}{2},\\
-&& \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\
+&& \exists N_2\in\mathbb{N}
 \forall n\ge N_2:\ |b_n-b|<\frac{b-a}{2}.
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
-Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}.</math>
+Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math>.
 W szczególności mamy
 <center><math>
-\forall n\ge N:\ a_n
+\forall n\ge N: a_n
-\ <\
+<
 \frac{a+b}{2}
-\ <\
+<
-b_n,
+b_n</math>,</center>
-</math></center>
 co należało pokazać.<br>
 <br>
-"Przypadek <math>2^o.</math>"
+"Przypadek <math>2^o</math>."
-<math>a=-\infty.</math>
+<math>a=-\infty</math>.
-Niech <math>\displaystyle\varepsilon=1</math> i <math>M=b-1.</math>
+Niech <math>\varepsilon=1</math> i <math>M=b-1</math>.
 Z definicji granicy ciągu i granicy niewłaściwej mamy
-<center><math>\aligned
+<center><math>\begin{align}
-&& \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\
+&& \exists N_1\in\mathbb{N}
 \forall n\ge N_1: a_n<b-1,\\
-&& \displaystyle \exists N_2\in\mathbb{N}\
+&& \exists N_2\in\mathbb{N}
 \forall n\ge N_2: |b_n-b|<1.
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
-Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}.</math>
+Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math>.
 W szczególności mamy
 <center><math>
-\forall n\ge N:\ a_n
+\forall n\ge N: a_n
-\ <\
+<
 b-1
-\ <\
+<
-b_n,
+b_n</math>,</center>
-</math></center>
 co należało pokazać.<br>
 <br>
-"Przypadek <math>3^o.</math>"
+"Przypadek <math>3^o</math>."
-<math>b=+\infty.</math>
+<math>b=+\infty</math>.
-Dowód jest analogiczny jak w przypadku <math>2^o.</math>
+Dowód jest analogiczny jak w przypadku <math>2^o</math>.
 }}
@@ Linia 796: / Linia 767: @@
 Jeśli
-<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem,
+<math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem,
 to<br>
 '''(1)'''
-jeśli <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest rosnący, to <math>\displaystyle\{a_n\}</math>
+jeśli <math>\{a_n\}</math> jest rosnący, to <math>\{a_n\}</math>
 ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
 oraz
@@ Linia 806: / Linia 777: @@
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n
-\ =\
+=
 \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\};
 </math></center>
 '''(2)'''
-jeśli <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest malejący, to <math>\displaystyle\{a_n\}</math>
+jeśli <math>\{a_n\}</math> jest malejący, to <math>\{a_n\}</math>
 ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
 oraz
@@ Linia 818: / Linia 789: @@
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n
-\ =\
+=
-\inf\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}.
+\inf\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}</math></center>
-</math></center>
 }}</span>
@@ Linia 827: / Linia 797: @@
 {{dowod|4.14. [nadobowiązkowy]||
 '''(Ad (1))'''
-Załóżmy, że <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem rosnącym
+Załóżmy, że <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem rosnącym
 oraz niech
@@ Linia 835: / Linia 805: @@
 </math></center>
-(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem <math>\displaystyle\mathbb{R}</math> lub wynosi <math>+\infty,</math>
+(supremum zbioru liczbowego zawsze istnieje i jest elementem <math>\mathbb{R}</math> lub wynosi <math>+\infty</math>,
 gdyż zbiór jest niepusty).
-Pokażemy, że <math>g</math> jest granicą ciągu <math>\displaystyle\{a_n\}.</math><br>
+Pokażemy, że <math>g</math> jest granicą ciągu <math>\{a_n\}</math>.<br>
 Rozważmy dwa przypadki:<br>
-Przypadek <math>1^o.</math>
+Przypadek <math>1^o</math>.
-Niech <math>g\in\mathbb{R}.</math>
+Niech <math>g\in\mathbb{R}</math>.
-Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
+Ustalmy dowolne <math>\varepsilon>0</math>.
 Z własności supremum mamy, że
 <center><math>
-\exists N\in\mathbb{N}:\ g-\varepsilon<a_N
+\exists N\in\mathbb{N}: g-\varepsilon<a_N
 </math></center>
@@ Linia 852: / Linia 822: @@
 takich indeksów <math>N</math> istnieje nieskończenie wiele, ale nam
 wystarczy wybór jednego z nich).
-Ponieważ ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest rosnący
+Ponieważ ciąg <math>\{a_n\}</math> jest rosnący
-oraz <math>\displaystyle\forall n\in N:\ a_n\le g</math>
+oraz <math>\forall n\in N: a_n\le g</math>
 (z definicji supremum), więc
 <center><math>
-\forall n\ge N:\ g-\varepsilon<a_N\le a_n\le g.
+\forall n\ge N: g-\varepsilon<a_N\le a_n\le g</math></center>
-</math></center>
-Ponieważ <math>\displaystyle\varepsilon>0</math> był dowolnie wybrany,
+Ponieważ <math>\varepsilon>0</math> był dowolnie wybrany,
 więc pokazaliśmy, że
 <center><math>
-\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
-|a_n-g|\ <\ \varepsilon.
+|a_n-g|< \varepsilon</math></center>
-</math></center>
 zatem pokazaliśmy, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=g.</math><br>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=g</math>.<br>
-Przypadek <math>2^o.</math>
+Przypadek <math>2^o</math>.
-Niech <math>g=+\infty.</math>
+Niech <math>g=+\infty</math>.
-Ustalmy <math>M\in\mathbb{R}.</math>
+Ustalmy <math>M\in\mathbb{R}</math>.
 Z definicji supremum mamy, że
@@ Linia 884: / Linia 852: @@
 (bo w przeciwnym razie byłoby <math>g\le M</math>, sprzeczność).
-Ponieważ ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest rosnący, więc
+Ponieważ ciąg <math>\{a_n\}</math> jest rosnący, więc
 <center><math>
-\forall n\ge N:\ M<a_N\le a_n.
+\forall n\ge N: M<a_N\le a_n</math></center>
-<;/math></center>
 Ponieważ <math>M\in\mathbb{R}</math> było dowolnie wybrane,
@@ Linia 896: / Linia 863: @@
 <center><math>
-\forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
+\forall M\in\mathbb{R}\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
-M\ <\ a_n.
+M< a_n</math></center>
-</math></center>
 Zatem w obu przypadkach pokazaliśmy, że
-<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=g.</math><br>
+<math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=g</math>.<br>
 '''(Ad (2))''' Dowód jest analogiczny jak dla (1).
 }}
-<div class="thumb tright"><div style="width:253px;">
+[[File:AM1.M04.W.R10.mp4|253x253px|thumb|right|Ciąg rosnący i ograniczony z góry]]
-<flashwrap>file=AM1.M04.W.R10.swf|size=small</flashwrap>
-<div.thumbcaption>Ciąg rosnący i ograniczony z góry</div>
-</div></div>
 <span id="twierdzenie_4_15">{{twierdzenie|4.15. [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]|tw_4_15|
 '''(1)'''
-Jeśli <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem rosnącym i
+Jeśli <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem rosnącym i
 ograniczonym z góry, to jest on zbieżny.<br>
 '''(2)'''
-Jeśli <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem malejącym i
+Jeśli <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> jest ciągiem malejącym i
 ograniczonym z dołu, to jest on zbieżny.<br>
 '''(3)'''
@@ Linia 926: / Linia 889: @@
 '''(Ad (1))'''
-Jeśli ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jest rosnący, to z [[#twierdzenie_4_14|twierdzenia 4.14]] (1) wynika, że ma granicę (właściwą lub
+Jeśli ciąg <math>\{a_n\}</math> jest rosnący, to z [[#twierdzenie_4_14|twierdzenia 4.14]] (1) wynika, że ma granicę (właściwą lub
 niewłaściwą) oraz
@@ Linia 933: / Linia 896: @@
 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n
-\ =\
+=
-\sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}.
+\sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}</math><br><br></center>
-</math><br><br></center>
 Ponieważ jest on dodatkowo ograniczony, więc
@@ Linia 943: / Linia 905: @@
 \sup\big\{a_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}
-\ <\
+<
-+\infty,
++\infty</math>,<br><br></center>
-</math><br><br></center>
 zatem granica jest właściwa, czyli
@@ Linia 965: / Linia 926: @@
 Każdy ciąg
 ograniczony
-<math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
+<math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
 zawiera podciąg zbieżny.
 }}</span>
@@ Linia 974: / Linia 935: @@
 <span id="lemat_4_17">{{lemat|4.17.||
-Każdy ciąg liczbowy <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> zawiera podciąg monotoniczny.<br>}}</span>
+Każdy ciąg liczbowy <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> zawiera podciąg monotoniczny.<br>}}</span>
 {{dowod|4.17.||
 [Szkic]
-Dla ciągu <math>\displaystyle\{a_n\}</math> zdefiniujmy następujący zbiór:
+Dla ciągu <math>\{a_n\}</math> zdefiniujmy następujący zbiór:
 <center>
 <math>
 Z
-\ \stackrel{df}{=}\
+\ \stackrel{df}{=}
 \bigg\{
-n\in\mathbb{N}:\
+n\in\mathbb{N}:
 \forall m\in\mathbb{N}
 \ \big[m>n\Longrightarrow a_m>a_n\big]
-\bigg\}.
+\bigg\}</math>
-</math>
 </center>
 Możliwe są dwa przypadki.<br>
 Jeśli
-<math>\displaystyle\# Z=\infty</math> (to znaczy zbiór <math>Z</math> jest nieskończony), to
+<math>\# Z=\infty</math> (to znaczy zbiór <math>Z</math> jest nieskończony), to
-możemy z ciągu <math>\displaystyle\{a_n\}</math> wybrać podciąg rosnący
+możemy z ciągu <math>\{a_n\}</math> wybrać podciąg rosnący
-(wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu <math>\displaystyle\{a_n\},</math>
+(wystarczy, aby podciąg zawierał tylko te elementy ciągu <math>\{a_n\}</math>,
 których indeksy należą do zbioru <math>Z</math>).<br>
 Jeśli
-<math>\displaystyle\# Z<\infty</math> (to znaczy zbiór <math>Z</math> jest skończony), to
+<math>\# Z<\infty</math> (to znaczy zbiór <math>Z</math> jest skończony), to
 możemy skonstruować podciąg malejący w następujący sposób.
 Niech <math>n_1\in\mathbb{N}</math> będzie liczbą większą od wszystkich liczb ze
-zbioru <math>Z.</math> Ponieważ <math>n_1\not\in Z,</math>
+zbioru <math>Z</math>. Ponieważ <math>n_1\not\in Z</math>,
 więc
 <math>
-\exists n_2>n_1:\
+\exists n_2>n_1:
-a_{n_2}\le a_{n_1}.
+a_{n_2}\le a_{n_1}</math>
-</math>
 Dalej konstrukcja ciągu indeksów przebiega indukcyjnie
 w ten sam sposób. Jeśli wybraliśmy już indeksy
-<math>n_1<\ldots <n_k,</math> to z definicji zbioru <math>Z</math> i faktu, że
+<math>n_1<\ldots <n_k</math>, to z definicji zbioru <math>Z</math> i faktu, że
 <math>n_k\not\in Z</math> wynika, że
 <math>
-\exists n_{k+1}>n_k:\
+\exists n_{k+1}>n_k:
-a_{n_{k+1}}\le a_{n_k}.
+a_{n_{k+1}}\le a_{n_k}</math>
-</math>
 Skonstruowany w ten sposób podciąg
-<math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest malejący.
+<math>\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest malejący.
 }}
-<div class="thumb tright"><div style="width:253px;">
+[[File:AM1.M04.W.R11.mp4|253x253px|thumb|right|Podciąg monotoniczny ciągu]]
-<flashwrap>file=AM1.M04.W.R11.swf|size=small</flashwrap>
-<div.thumbcaption>Podciąg monotoniczny ciągu</div>
-</div></div>
 Możemy teraz powrócić do dowodu twierdzenia [[#twierdzenie_4_16|Bolzano-Weierstrassa]]:
 {{dowod|4.16.||
-Niech <math>\displaystyle\{a_n\}\in\mathbb{R}</math> będzie ciągiem ograniczonym.
+Niech <math>\{a_n\}\in\mathbb{R}</math> będzie ciągiem ograniczonym.
 Z [[#lemat_4_17|lematu 4.17. ]] wynika, że możemy z niego wybrać
-podciąg monotoniczny <math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}.</math>
+podciąg monotoniczny <math>\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math>.
-Oczywiście podciąg <math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest także ograniczony,
+Oczywiście podciąg <math>\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest także ograniczony,
 zatem z [[#twierdzenie_4_15|twierdzenia 4.15.]] (3) wynika, że
-podciąg <math>\displaystyle\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest zbieżny.
+podciąg <math>\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}</math> jest zbieżny.
 }}
 <span id="wniosek_4_18">{{wniosek|4.18.||
-Z każdego ciągu liczbowego <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> można wybrać
+Z każdego ciągu liczbowego <math>\{a_n\}\subseteq\mathbb{R}</math> można wybrać
 podciąg posiadający granicę
 (właściwą lub niewłaściwą).
@@ Linia 1048: / Linia 1003: @@
 {{dowod|4.18.||
-Z [[#lemat_4_17|lematu 4.17. ]] wiemy, że z ciągu <math>\displaystyle\{a_n\}</math> można wybrać
+Z [[#lemat_4_17|lematu 4.17. ]] wiemy, że z ciągu <math>\{a_n\}</math> można wybrać
 podciąg monotoniczny.
 Jeśli jest on ograniczony, to z [[#twierdzenie_4_15|twierdzenia 4.15.]] wynika, że jest on zbieżny (ma granicę właściwą).