Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 3: Zasada dualności i proste konstrukcje uniwersalne

Kilkakrotnie podczas naszych wykładów pojawiła się dualność, która - jak wyjaśniliśmy w Definicji 2.3 - polega na tym, że dla dowolnej kategorii $\mathbf{𝐂}$ możemy zbudować kategorię ${\mathbf{𝐂}}^{op}$ poprzez odwrócenie kierunku strzałek i wszelkie własności $\mathbf{𝐂}$ mają swoje odbicie we własnościach ${\mathbf{𝐂}}^{op}$. Ta intuicja jest bardzo pomocna, więc warto precyzyjnie i systematycznie zbadać pojęcie dualności w teorii kategorii, które - na pierwszy rzut oka - trywialne, ma daleko idące konsekwencje: każde udowodnione twierdzenie ma swój dualny odpowiednik, równie ciekawy jak oryginalny, którego dowód dostajemy za darmo, zgodnie z zasadą dualności.

Zasada dualności

Przypomnijmy formalną definicję kategorii: składa się ona z obiektów: $A,B,..$, morfizmów: $f,g,..$, czterech operacji $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m},\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d},\circ ,1$, które podlegają siedmiu aksjomatom: $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(1_A)=A$, $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(1_A)=A$, $f\circ 1_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)}=f$, $1_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(f)}\circ f=f$, $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(g\circ f)=\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)$, $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(g\circ f)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(g)$, $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$, przy czym $g\circ f$ jest zdefiniowane tylko jeśli $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(f)$, więc w rzeczywistości trzy ostatnie aksjomaty powinny być zastąpione przez implikacje, np. $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(g\circ f)=\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)$ to w rzeczywistości $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(f)\Rightarrow \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(g\circ f)=\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)$. Niech CT będzie zdaniem, które oznacza koniunkcję wszystkich siedmiu aksjomatów w ich pełnej wersji.

Powiemy, że zdanie $\mathrm{\Sigma }$ jest wyrażone w elementarnym języku teorii kategorii, jeśli w $\mathrm{\Sigma }$ jest poprawnie zbudowanym wyrażeniem mówiącym jedynie o obiektach, morfizmach i operacjach $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}$, $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}$, $\circ$, $1$. Na przykład CT jest wyrażone w elementarnym języku teorii kategorii.

Dla dowolnego takiego zdania elementarnego $\mathrm{\Sigma }$ możemy utworzyć elementarne zdanie dualne ${\mathrm{\Sigma }}^{*}$, dokonując następującej zamiany:

$f\circ g\mathrm{n}\mathrm{a}g\circ f$ $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}$ $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}$

Widzimy, że wówczas ${\mathrm{\Sigma }}^{*}$ jest poprawnie zbudowanym wyrażeniem. Przypuśćmy zatem, że ze zdania $\mathrm{\Sigma }$ wynika inne elementarne zdanie $\mathrm{\Delta }$ bez użycia aksjomatów teorii kategorii. Wtedy ze zdania ${\mathrm{\Sigma }}^{*}$ wynika ${\mathrm{\Delta }}^{*}$. Ale aksjomaty teorii kategorii są samodualne: CT= CT${}^{*}$. To znaczy, że następujące metastwierdzenie jest prawdziwe:

Fakt 3.1 [formalna zasada dualności]

Dla dowolnego zdania elementarnego $\mathrm{\Sigma }$ w języku teorii kategorii, które wynika z aksjomatów teorii kategorii, również ${\mathrm{\Sigma }}^{*}$ wynika z aksjomatów teorii kategorii.

To znaczy również, że każda interpretacja zdania $\mathrm{\Sigma }$ w kategorii $\mathbf{𝐂}$ daje interpretację zdania ${\mathrm{\Sigma }}^{*}$ w ${\mathbf{𝐂}}^{op}$. Ponieważ jednak $({\mathbf{𝐂}}^{op}{)}^{op}=\mathbf{𝐂}$, dostajemy:

Fakt 3.2 [zasada dualności]

Jeśli zdanie $\mathrm{\Sigma }$ jest prawdziwe w każdej kategorii, to ${\mathrm{\Sigma }}^{*}$ również jest prawdziwe w dowolnej kategorii.

Dowód

Skoro $\mathrm{\Sigma }$ jest prawdziwe w każdej kategorii $\mathbf{𝐂}$, to jest prawdziwe w każdej kategorii ${\mathbf{𝐂}}^{op}$. Stąd wynika, że ${\mathrm{\Sigma }}^{*}$ jest prawdziwe w $({\mathbf{𝐂}}^{op}{)}^{op}$, czyli w $\mathbf{𝐂}$.

Produkt i koprodukt

Naszym zadaniem jest teraz zaproponowanie takiej definicji produktu obiektów kategorii, aby wszystkie znane pojęcia: produktu zbiorów, produktu grup, produktu przestrzeni wektorowych, produktu częściowych porządków, i tak dalej, stały się szczególnym przypadkiem naszej propozycji. Czy to możliwe? Okazuje się, że tak! Ta możliwość jest odbiciem bardzo ważnej własności pojęcia produktu: własności uniwersalnej. Własność ta jest wyrażona w języku strzałek i mówi, że produkt jest zdefiniowany z dokładnością do izomorfizmu, tzn. jest to taki obiekt, który jest izomorficzny z każdym możliwym dobrym kandydatem na produkt. Rozważmy najpierw produkt w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$, którego obserwacja wskaże nam sposób, w jaki najlepiej sformułować własność uniwersalną produktu i podać definicję kategoryjną, niezależną od specyfiki kategorii zbiorów $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$. Często będziemy pracować w ten właśnie sposób: podglądamy jak dana konstrukcja uniwersalna wygląda dla zbiorów (bo tam mamy najlepsze intuicje), potem wyciągamy wnioski ogólne, a na końcu testujemy nasze kategoryjne definicje na dalszych przykładach.

Niech $A,B$ będą zbiorami. Teoria mnogości definiuje ich produkt jako następujący zbiór par uporządkowanych:

$A\times B:=\{(a,b)\mid a\in A\wedge b\in B\}$

Produkt zbiorów możemy zdekonstruować za pomocą projekcji:

$A\stackrel{{\pi }_A}{⟵}A\times B\stackrel{{\pi }_B}{⟶}B$

gdzie ${\pi }_A((a,b)):=a$ i ${\pi }_B((a,b)):=b$. Użyliśmy słowa dekonstrukcja nieprzypadkowo: informatykowi, który przecież zna podstawy programowania obiektowego, wygodnie będzie myśleć o produkcie $A\times B$ jako o obiekcie wyposażonym w destruktory ${\pi }_A,{\pi }_B$, pozwalające z informacji zawartych w produkcie wydobyć informację o jego składowych. Ta dekonstrukcja przebiega w sposób bardzo porządny, odwracalny, ponieważ dla każdego $c\in A\times B$ mamy $c=({\pi }_A(c),{\pi }_B(c))$. To równanie jest niezwykle ważne, gdyż wskazuje na własność uniwersalną produktu: poniższy diagram komutuje:

gdzie $\mathbf{𝟏}$ oznacza obiekt końcowy w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$. Ten diagram czytamy oczywiście tak: dla dowolnych elementów $a:\mathbf{𝟏}\to A$, $b:\mathbf{𝟏}\to B$ istnieje dokładnie jeden element $(a,b):\mathbf{𝟏}\to A\times B$ taki, że ${\pi }_A\circ (a,b)=a$ i ${\pi }_B\circ (a,b)=b$. Jeśli teraz zastąpimy elementy przez elementy uogólnione (patrz ten podrozdział), dostajemy:

Definicja 3.3 [produkt]

Niech $\mathbf{𝐂}$ będzie dowolną kategorią, zaś $A,B\in {\mathbf{𝐂}}_0$ jej obiektami. Produktem obiektów $A$ i $B$ nazywamy obiekt $A\times B\in {\mathbf{𝐂}}_0$ wraz ze strzałkami $p_A:A\times B\to A\in {\mathbf{𝐂}}_1$ i $p_B:A\times B\to B\in {\mathbf{𝐂}}_1$:

$A\stackrel{p_A}{⟵}A\times B\stackrel{p_B}{⟶}B$

który posiada następującą własność uniwersalną:

Dla dowolnego diagramu:

$A\stackrel{f}{⟵}X\stackrel{g}{⟶}B$

w kategorii $\mathbf{𝐂}$, istnieje dokładnie jedna strzałka $h:X\to A$ taka, że $f=p_A\circ h$ i $g=p_B\circ h$ (czyli taka, że poniższy diagram komutuje).

Taką strzałkę $h$ oznaczamy zwyczajowo $(f,g)$.

Fakt 3.4

Produkt jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.

Dowód

Niech $A\stackrel{p_A}{⟵}P\stackrel{p_B}{⟶}B$ $A\stackrel{q_A}{⟵}Q\stackrel{q_B}{⟶}B$

będą dwoma produktami $A$ i $B$. Wówczas poniższy diagram komutuje:

ponieważ wszystkie trzy jego części komutują (a przyczyną tego jest dokładnie po trzykroć definicja produktu):

To znaczy, że $k\circ h=1_P$. Zamieniając miejscami na diagramach role $P$ i $Q$, otrzymamy również zależność $h\circ k=1_Q$, co świadczy o tym, że $P$ i $Q$ są izomorficzne: $P\cong Q$.

Przykłady:

• W zbiorach z dodatkową strukturą, jak np. grupy czy monoidy, produkt konstruuje się, biorąc produkt zbiorów podkładowych wraz z operacjami po współrzędnych; np. produktem dwóch grup $(G,\cdot ,e_G)$, $(H,\cdot ,e_H)$ jest zbiór $G\times H$ wraz z działaniami:

$(g,h)\cdot (g^{\prime },h^{\prime }):=(g\circ g^{\prime },h\circ h^{\prime })$

i elementem neutralnym $e:=(e_G,e_H)$. Projekcje to homomorfizmy $(g,h)\mapsto g$ i $(g,h)\mapsto h$.

• Kategoria $\mathbf{𝐂}\mathbf{𝐚}\mathbf{𝐭}$ posiada produkty, to znaczy: dla dowolnych dwóch małych kategorii $\mathbf{𝐂}$, $\mathbf{𝐃}$ istnieje ich produkt $\mathbf{𝐂}\times \mathbf{𝐃}$. Obiektami są uporządkowane pary obiektów z $\mathbf{𝐂}$ i $\mathbf{𝐃}$, morfizmami - uporządkowane pary morfizmów z $\mathbf{𝐂}$ i $\mathbf{𝐃}$ projekcjami funktory $P_{\mathbf{𝐂}}:\mathbf{𝐂}\times \mathbf{𝐃}\to \mathbf{𝐂}$ oraz $P_{\mathbf{𝐃}}:\mathbf{𝐂}\times \mathbf{𝐃}\to \mathbf{𝐃}$ dane jako:

$P_{\mathbf{𝐂}}((C,D)):=C$ $P_{\mathbf{𝐂}}((f,g)):=f$ $P_{\mathbf{𝐃}}((C,D)):=D$ $P_{\mathbf{𝐃}}((f,g)):=g$

dla $C\in {\mathbf{𝐂}}_0,D\in {\mathbf{𝐃}}_0,f\in {\mathbf{𝐂}}_1,g\in {\mathbf{𝐃}}_1$. Sprawdzenie, że taka definicja daje nam produkt jest bardzo łatwe - wszystko dzieje się tak, jak w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$.

• W Zadaniu 1.11 zdefiniowaliśmy kategorię typów $\mathbf{𝐂}(\lambda )$ dla $\lambda$-rachunku. Ta kategoria posiada produkty, to znaczy: każde dwa obiekty tej kategorii posiadają produkt. Przekonajmy się o tym. Rzeczywiście, mając dane typy $A$ i $B$, definiujemy:

$p_A:=\lambda z.{\pi }_1(z)$ $p_B:=\lambda z.{\pi }_2(z)$

Mając dane $a$ i $b$ jak na diagramie:

definiujemy

$(a,b):=\lambda x.⟨ax,bx⟩$

Sprawdźmy, że diagram rzeczywiście komutuje:

$p_A\circ (a,b)=\lambda x.p_A((\lambda y.⟨ay,by⟩)x)=\lambda x.p_A⟨ax,bx⟩=\lambda x.ax=a$

i podobnie $p_B\circ (a,b)=b$. Jeśli teraz $c:X\to A\times B$ również spełnia $p_A\circ c=a$ i $p_B\circ c=b$, to wtedy:

$(a,b)=\lambda x.⟨ax,bx⟩=\lambda x.⟨(p_A\circ c)x,(p_B\circ c)x⟩=\lambda x.⟨\lambda y.(p_A(cy))x,\lambda y.(p_B(cy))x⟩=\lambda x.⟨\lambda y.((\lambda z.{\pi }_1(z))(cy))x,\lambda y.((\lambda z.{\pi }_2(z))(cy))x⟩=\lambda x.⟨\lambda y.({\pi }_1(cy))x,\lambda y.({\pi }_2(cy))x⟩=\lambda x.⟨{\pi }_1(cx),{\pi }_2(cx)⟩=\lambda x.cx=c$

Wykazaliśmy więc, że kategoria $\mathbf{𝐂}(\lambda )$ ma produkty.

Jeszcze jeden przykład znajduje się w Zadaniu 3.1.

Dzięki zasadzie dualności, definicję i własności obiektu dualnego do produktu, tzw. koproduktu dostajemy za darmo (porównaj bardzo dokładnie(!) z Definicją 3.3):

Definicja 3.5 [koprodukt]

Niech $\mathbf{𝐂}$ będzie dowolną kategorią, zaś $A,B\in {\mathbf{𝐂}}_0$ jej obiektami. Koproduktem obiektów $A$ i $B$ nazywamy obiekt $A+B\in {\mathbf{𝐂}}_0$ wraz ze strzałkami $i_A:A\to A+B\in {\mathbf{𝐂}}_1$ i $i_B:B\to A+B\in {\mathbf{𝐂}}_1$:

$A\stackrel{i_A}{⟶}A+B\stackrel{i_B}{⟵}B$

który posiada następującą własność uniwersalną:

Dla dowolnego diagramu:

$A\stackrel{f}{⟶}X\stackrel{g}{⟵}B$

w kategorii $\mathbf{𝐂}$, istnieje dokładnie jedna strzałka $h:A+B\to X$ taka, że $f=h\circ i_A$ i $g=h\circ i_B$ (czyli taka, że poniższy diagram komutuje). Strzałkę $h$ oznaczmy zwyczajowo jako $[f,g]$.

Stwierdzenie dualne do Faktu 3.4 mówi nam, że koprodukt jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu! Omówienie koproduktu w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest przedmiotem Zadania 3.2.

Ekwalizator i koekwalizator

Definicja 3.6 [ekwalizator]

Dla dwóch równoległych strzałek $f,g:A\to B$ w kategorii $\mathbf{𝐂}$, ich ekwalizatorem nazywamy obiekt $E$ wraz ze strzałką $e:E\to A$, która:

• ekwalizuje $f$ i $g$, tzn. $f\circ e=g\circ e$ oraz
• jest uniwersalna, tzn. dla dowolnej strzałki $z:Z\to A$, takiej że $f\circ z=g\circ z$, istnieje dokładnie jedna strzałka $u:Z\to E$ taka, że $e\circ z=u$, tzn. taka, że poniższy diagram komutuje:

W $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ ekwalizatorem dwóch funkcji $f,g:A\to B$ musi być zbiór, na którym funkcje się zgadzają, więc zgadujemy, że $E:=\{x\in A\mid f(x)=g(x)\}$. Z takim zbiorem w oczywisty sposób jest związana inkluzja $e:E\to A$, $e(x):=x$ dla $x\in E$. Pokażmy, że $(E,e)$ jest ekwalizatorem.

Niech $Z$ będzie dowolnym zbiorem z funkcją $z:Z\to A$ tak, że $f\circ z=g\circ z$. Wtedy $z(w)\in E$ dla każdego $w\in Z$. Ale to oznacza, że $z$ faktoryzuje się przez $E$. Ta faktoryzacja jest jednoznaczna, bo $e$ jest mono (jeśli $e\circ u=z$ i $e\circ u^{\prime }=z$, to $e\circ u=e\circ u^{\prime }$, stąd mono implikuje $u=u^{\prime }$).

To nie przypadek, że $e$ jest monomorfizmem:

Fakt 3.7

Każdy ekwalizator jest monomorfizmem.

Dowód

Rozważmy diagram:

gdzie zakładamy, że $e$ ekwalizuje $f,g$ oraz $e\circ x=e\circ y$. Ponieważ $e\circ x$ jest typu $Z\to A$ oraz $f\circ (e\circ x)=(f\circ e)\circ x=(g\circ e)\circ x=g\circ (e\circ x)$, więc z własności uniwersalnej $e$ wynika, że istnieje dokładnie jedna strzałka $u:Z\to E$ taka, że $e\circ u=e\circ x$. Jako $u$ da się podstawić zarówno $x$ jak i $y$ i ostatnie równanie pozostanie prawdziwe, więc musi być $x=y$. To kończy dowód, że $e$ jest mono.

W innych kategoriach, jak $\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}$, $\mathbf{𝐏}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐬}$, $\mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}$ ekwalizatorem jest zbiór strzałek $f,g:A\to B$ jest podzbiór $E=\{x\in A\mid f(x)=g(x)\}$ zbioru $A$ wraz ze strukturą dziedziczoną z $A$, zawężoną do $E$ (np. w $\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}$, zbiór $E$ dostaje topologię podprzestrzeni).

Pojęciem dualnym do ekwalizatora jest koekwalizator. Co ciekawe - koekwalizatory są uogólnieniem pojęcia przestrzeni ilorazowej i odwzorowania ilorazowego przypisującego elementowi jego klasę abstrakcji.

Definicja 3.8

Koekwalizatorem pary strzałek $f,g:A\to B$ nazywamy taki obiekt $Q$ wraz ze strzałką $q:B\to A$, która:

• koekwalizuje $f,g$, tzn. $q\circ f=q\circ g$ oraz
• jest uniwersalna, tzn. dla dowolnej strzałki $z:B\to Z$, która koekwalizuje: $z\circ f=z\circ g$, istnieje dokładnie jednak strzałka $u:Q\to Z$ taka, że $u\circ q=z$.

Dualność wraz z Faktem 3.7 implikują, że koekwalizator jest zawsze epimorfizmem. Sztandarowym przykładem koekwalizatora w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ jest koekwalizator typu

gdzie $R\subseteq X\times X$ jest relacją równoważności na $X$, zaś $p_1,p_2$ są projekcjami. Koekwalizatorem jest wtedy zbiór ilorazowy $X/R$ wraz z kanonicznym przekształceniem ilorazowym $q:X\to X/R$ danym jako $q(x):=[x{]}_R$, gdzie $[x{]}_R$ jest klasą równoważności elementu $x\in X$ przy relacji $R$.

Oczywiście w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ istnieją wszystkie koekwalizatory, tzn. dla każdej pary $f,g:A\to B$ znajdziemy koekwalizator. Jest nim zbiór $B$ podzielony przez relację równoważności $R\subseteq B\times B$ daną jako przecięcie wszystkich relacji równoważności $S$ takich, że $b_1,b_2\in S$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f(b_1)=g(b_2)$. Szczegóły techniczne nie są ciekawe, więc je pomijamy.

Pulbak i pushout

Przed nami terra incognita, gdzie znane z $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ intuicje odszukujemy w coraz bardziej złożonych formach, trudniejszych niż w przypadku poprzednio omówionych granic. Pulbak (produkt włóknisty), który pojawia się bardzo często w matematyce, w logice w szczególności, w $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ stanowi uogólnienie zarówno operacji przecięcia zbiorów, jak i przeciwobrazu funkcji. Jego dualnym odpowiednikiem jest pushout. (Pozwalamy sobie pozostać przy angielskich nazwach, ustępując pola lingwistom, którzy chcieliby znaleźć, choćby dla pushoutu, wygodniejszą nazwę niż koprodukt włóknisty.)

Definicja 3.9 [pulbak]

Pulbakiem strzałek $f,g$ takich, że $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(f)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}(g)$ w kategorii $\mathbf{𝐂}$

nazywamy obiekt $P$ wraz ze strzałkami

taki, że:

• poniższy kwadrat pulbakowy komutuje, tzn. $f\circ p=g\circ q$ oraz
• uniwersalny, tzn. dla dowolnego innego kandydata na pulbak

$A\stackrel{r}{⟶}Q\stackrel{s}{⟵}B$

istnieje dokładnie jedna strzałka $u:Q\to P$ taka, że: $r=p\circ u$ i $s=q\circ u$, tzn. taka, że poniższy diagram komutuje:

Uwaga

O takiej sytuacji będziemy mówili, że $p$ jest pulbakiem $g$ wzdłuż $f$ lub że $q$ jest pulbakiem $f$ wzdłuż $g$ (stąd nazwa pulbak - od angielskiego pulling back).

Pulbak nazywa się często w literaturze produktem włóknistym i jest ku temu dobra przyczyna: w dowolnej kategorii $\mathbf{𝐂}$ z produktami (tzn. w takiej kategorii $\mathbf{𝐂}$, w której istnieje produkt dowolnych dwóch obiektów) i ekwalizatorami, dla diagramu

$A\stackrel{f}{⟶}Z\stackrel{g}{⟵}B$

rozważmy inny diagram:

gdzie $p_A,p_B$ są projekcjami produktu $A\times B$. Niech

będzie ekwalizatorem. Wtedy

jest pulbakiem strzałek $A\stackrel{f}{⟶}Z\stackrel{g}{⟵}B$.

Oto dowód (pomijamy dla prostoty symbol złożenia $\circ$): oczywiście $f(p_{A}e)=(f{p}_A)e=(g{p}_B)e=g(p_{B}e)$, więc pierwszy punkt definicji pulbaku jest spełniony. Po drugie, jeśli

komutuje, to dla strzałki

$Q\stackrel{(r,s)}{⟶}A\times B$

z własności uniwersalnej ekwalizatora istnieje dokładnie jedna strzałka $u:Q\to P$ taka, że

komutuje. Oczywiście komutuje też

co kończy dowód faktu, że $(P,p_{A}e,p_{B}e)$ jest pulbakiem. q.e.d.

A zatem można sobie wyobrażać, że pulbak powstaje jako ekwalizator produktu, co w szczególności dla $\mathbf{𝐒}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐭}$ implikuje, że pulbak funkcji

$A\stackrel{f}{⟶}Z\stackrel{g}{⟵}B$

jest zbiorem

$A{\times }_{Z}B=\{(a,b)\in A\times B\mid f(a)=g(b)\}$

wraz z zanurzeniem $A{\times }_{Z}B\to A\times B$.

Podsumowując powyższą dyskusję, pokazaliśmy że:

Wniosek 3.10

W dowolnej kategorii $\mathbf{𝐂}$ z produktami i ekwalizatorami istnieją wszystkie pulbaki.

Prawdziwe jest również stwierdzenie odwrotne, które jest treścią Zadania 3.4. Wykład zakończymy podrozdziałem, który ilustruje własności pulbaków i do którego warto wrócić raz jeszcze po przeczytaniu Wykładu 5.

Własności pulbaków

Lemat 3.11 [Lemat Pulbakowy]

Załóżmy, że diagram

komutuje. Wówczas:

• Jeśli prawy kwadrat i zewnętrzny prostokąt są kwadratami pulbakowymi, to lewy kwadrat też.
• Jeśli dwa wewnętrzne kwadraty są pulbakami, to zewnętrzny prostokąt też jest pulbakiem.

Dowód powyższego lematu jest treścią Zadania 3.8. Konsekwencją Lematu Pulbakowego jest natychmiast:

Wniosek 3.12

Pulbak komutującego trójkąta jest komutującym trójkątem. To znaczy: jeśli na poniższym diagramie w kształcie pryzmy

prawy trójkąt komutuje i dla $h:C^{\prime }\to C$ tworzymy pulbaki:

• ${\alpha }^{\prime }$ jako pulbak $\alpha$ wzdłuż $h$,
• ${\beta }^{\prime }$ jako pulbak $\beta$ wzdłuż $h$,

to istnieje dokładnie jedna strzałka ${\gamma }^{\prime }:A^{\prime }\to B^{\prime }$ taka, że lewy trójkąt komutuje i taka, że trzecia ze ścian pryzmy (górna) również jest pulbakiem.

Dowód

Wynika natychmiast z Lematu Pulbakowego, jeśli przyjmiemy jako ${\gamma }^{\prime }$ strzałkę uniwersalną pulbaku $\beta$ wzdłuż $h$ i przerysujemy wygodnie pryzmę jako:

(wtedy z faktu, że najbardziej zewnętrzny prostokąt i prawy kwadrat są pulbakami wynika, teza: lewy kwadrat jest pulbakiem).

Stwierdzenie 3.13

Pulbak jest funktorem tzn. w kategorii $\mathbf{𝐂}$ z pulbakami, dla każdej strzałki $h:C^{\prime }\to C\in {\mathbf{𝐂}}_1$ istnieje funktor $P{b}_h:\mathbf{𝐂}/C\to \mathbf{𝐂}/C^{\prime }$ definiowany na obiekcie $\alpha :A\to C\in (\mathbf{𝐂}/C{)}_0$ jako: $P{b}_h(A\stackrel{\alpha }{\to }C):=(C^{\prime }{\times }_{C}A\stackrel{{\alpha }^{\prime }}{\to }{C}^{\prime })$

i na strzałce $\gamma :\alpha \to \beta \in (\mathbf{𝐂}/C{)}_1$ jak w powyższym wniosku (tzn: $\gamma \mapsto {\gamma }^{\prime }$: porównaj diagram-pryzmę).

Dowód

Musimy pokazać, że $P{b}_h(1_A)=1_{P{b}_h(A)}$

i

$P{b}_h(\gamma \circ \eta )=P{b}_h(\gamma )\circ P{b}_h(\eta )$

Obie własności łatwo sprawdzić, stosując Lemat Pulbakowy. My pokażemy tylko pierwszą, pozostawiając drugą dla zainteresowanego czytelnika. Rozważmy zatem diagram:

Jeśli dolny kwadrat jest pulbakiem, to oczywiście zewnętrzny prostokąt też. Z Lematu Pulbakowego wynika, że górny kwadrat komutuje. A zatem $P{b}_h(1_{\alpha })=P{b}_h(1_A)=1_{A^{\prime }}=1_{{\alpha }^{\prime }}=1_{P{b}_h(\alpha )}$.