Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 3: Zasada dualności i proste konstrukcje uniwersalne

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

==Zadanie 3.1==

Kiedy w częściowym porządku istnieje produkt dwóch elementów ?

Rozwiązanie:

==Zadanie 3.2==

Omówić koprodukt w .

Rozwiązanie:

==Zadanie 3.3==

Wykaż, że dla w dowolnej kategorii , w której oba produkty istnieją. Jakie jest stwierdzenie dualne?

Rozwiązanie:

==Zadanie 3.4==

Udowodnić, że jeśli w kategorii istnieje obiekt końcowy i wszystkie pulbaki, to istnieją także produkty i ekwalizatory. Jak brzmi twierdzenie dualne?

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 3.5==

Udowodnij, że w dowolnej lokalnie małej kategorii hom-funktor , gdzie , zachowuje produkty.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 3.6==

Widzieliśmy, że pulbak jest funktorem. Udowodnij, że produkt jest funktorem.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 3.7==

Udowodnij, że produkt zachowuje izomorfizmy, tzn. jeśli i , to .

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 3.8==

Udowodnij Lemat Pulbakowy.

Rozwiązanie:

==Zadanie 3.9==

Pokaż, że twierdzenie odwrotne do Faktu 3.7 nie zachodzi.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 3.10==

Pokazać, że w dowolny monomorfizm jest ekwalizatorem.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 3.11==

Pokazać, że w dowolnej kategorii epi ekwalizator jest izomorfizmem.

Rozwiązanie:

==Zadanie 3.12==

Wykazać, że w posecie ekwalizatorami są identyczności.

Rozwiązanie:

==Zadanie 3.13==

Wykazać, że jeśli jest funkcją i , to przeciwobraz jest pulbakiem i inkluzji .

Rozwiązanie:

==Zadanie 3.14==

W , czym jest pulbak dla diagramu: ?

Rozwiązanie:

==Zadanie 3.15==

Udowodnij, że w pulbak monomorfizmu jest monomorfizmem.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 3.16==

Zdefiniuj pushout, posługując się Zasadą Dualności.

Rozwiązanie: