Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 6: Równoważność kategorii

W tej części skupimy się na dualności między kategorią przestrzennych ram a kategorią przestrzeni topologicznych nazywanych realnymi. Ta równoważność jest najogólniejszą z wielu coraz bardziej szczegółowych dualności, z którym najbardziej znana jest chyba dualność pomiędzy algebrami Boole'a a tzw. przestrzeniami Stone'a (czyli przestrzeniami

$T_0$

, które są zwarte i zerowymiarowe) odkryta przez Marshalla Stone'a w latach 30. XX w., która wzmacnia znany już kilka lat wcześniej wynik Lindenbauma i Tarskiego, który mówił, że algebra Boole'a jest izomorficzna z algebrą podzbiorów pewnego zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna i atomowa.

Marshall H. Stone (1903-1989)
Zobacz biografię

Zdecydowaliśmy się na przedstawienie najogólniejszej wersji twierdzenia Stone'a, gdyż bardzo dobrze widać mechanizm kategoryjny, na którym opiera się cała konstrukcja. Co więcej, równoważność w tej wersji nie wymaga przygotowania topologicznego. Po trzecie, wynik ten pokazuje dobitnie rolę teorii porządku w topologii i odwrotnie.

Zachęcamy do przeczytania Wykładu 12. przed przystąpieniem do rozwiązywania poniższych zadań.

==Zadanie 6.1== Niech $L$ będzie kratą zupełną, zaś $F\subseteq L$. Pokaż, że następujące warunki są równoważne:

1. $F$ jest filtrem zupełnie pierwszym, tj. dla dowolnego podzbioru $A\subseteq L$, jeśli $\bigvee A\in F$, to $A\cap F\ne \mathrm{\varnothing }$;
2. $F$ jest filtrem i $L\setminus F=\downarrow x$ dla pewnego $x\in L$;
3. $F=h^{-1}(\{1\})$ dla pewnego homomorfizmu ram $h:L\to \mathbf{𝟐}$.

Uwaga

Ramy to pewne szczególne kraty zupełne, które zdefiniowaliśmy w Przykładzie Przykładzie 5.5. Homomorfizm ram to funkcja, która zachowuje dowolne suprema i binarne infima.

Rozwiązanie:

Załóżmy, że $F$ jest zupełnie pierwszy. W szczególności jest pierwszy, więc $L\setminus F$ jest ideałem. Co więcej, $x=\bigvee (L\setminus F)\notin F$, więc $L\setminus F=\downarrow x$.

Załóżmy (2). Definiujemy $h:L\to \mathbf{𝟐}$:

$h(z):=\{\begin{array}{ll}0,& z\le x\\ 1,& \text{w p.p.}\end{array}$

Tak zdefiniowana funkcja jest oczywiście homomorfizmem krat, pozostaje więc wykazać, że zachowuje dowolne suprema. Jeśli $h(\bigvee A)=0$ dla pewnego $A\subseteq L$, to $A\subseteq \downarrow x$, więc $h(a)=0$ dla każdego $a\in A$. Stąd $\bigvee h[A]=0=h(\bigvee A)$. Jeśli $h(\bigvee A)=1$, to $\bigvee A$ nie jest poniżej $x$, więc istnieje $a\in A$ taki, że $h(a)=1$, co oznacza, że $\bigvee h[A]=1=h(\bigvee A)$, co należało pokazać.

W końcu, niech $h:L\to \mathbf{𝟐}$ będzie homomorfizmem ram, takim że $F=h^{-1}[\{1\}]$. Taka funkcja jest homomorfizmem krat, więc $F$ jest filtrem, jak pokazaliśmy już w Stwierdzeniu 6.5. Ale jeśli $A\subseteq L\setminus F$, to musi być $h(\bigvee A)=0$, więc $\bigvee A\notin F$.

Najważniejszym przykładem filtru zupełnie pierwszego jest filtr otoczeń otwartych

${{𝒩}}^{\circ }(x):=\{U\in \tau \mid x\in U\}$

w kracie (ramie) zbiorów otwartych $(\mathrm{\Omega }(X),\subseteq )$ przestrzeni topologicznej $(X,\tau )$ (przypomnijmy znaczenie funktora $\mathrm{\Omega }$ z Przykładu 5.5). Zupełna pierwszość tego filtru wynika natychmiast choćby z punktu (3) poprzedniego zadania.

Niech $L$ będzie ramą. Punktami ramy $L$ nazwiemy jej filtry zupełnie pierwsze i ich kolekcję oznaczymy jako $\mathrm{p}\mathrm{t}(L)$. Wtedy ${{𝒩}}^{\circ }$ możemy traktować jako odwzorowanie typu $X\to \mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(X))$. Pokażmy kilka własności tego odwzorowania.

==Zadanie 6.2== Udowodnij, ze funkcja $f:(X,\tau )\to (Y,\gamma )$ między przestrzeniami topologicznymi jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x\in X$,

${{𝒩}}^{\circ }(f(x))=\mathrm{\Omega }(f{)}^{-1}({{𝒩}}^{\circ }(x))$

Wskazówka:

Oczywiście pamiętamy, że $\mathrm{\Omega }:\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}\to \mathbf{𝐅}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐦}$ jest funktorem, więc $\mathrm{\Omega }(f)$ oznacza homomorfizm ram.

Rozwiązanie:

Załóżmy najpierw, że $f$ jest ciągła. Dla $x\in X$ i $U\in \mathrm{\Omega }(Y)$ dostajemy $U\in \mathrm{\Omega }(f{)}^{-1}({{𝒩}}^{\circ }(x))$ wtw, gdy $\mathrm{\Omega }(f)\in {{𝒩}}^{\circ }(x)$ wtw, gdy $f^{-1}[U]\in {{𝒩}}^{\circ }(x)$ wtw, gdy $U\in {{𝒩}}^{\circ }(f(x))$. Odwrotnie, załóżmy że równość ${{𝒩}}^{\circ }(f(x))=\mathrm{\Omega }(f{)}^{-1}({{𝒩}}^{\circ }(x))$ jest prawdziwa. Dla $U\in \mathrm{\Omega }(Y)$, jeśli $f^{-1}[U]=\mathrm{\varnothing }$, to $f^{-1}[U]\in \mathrm{\Omega }(X)$. W przeciwnym przypadku weźmy $x\in f^{-1}[U]$. Wtedy $U\in {{𝒩}}^{\circ }(f(x))$, więc z założenia $f^{-1}[U]\in {{𝒩}}^{\circ }(x)$, czyli $f^{-1}[U]\in \mathrm{\Omega }(X)$. To dowodzi, że $f$ jest funkcją ciągłą.

Tak naprawdę wynik poprzedniego zadania można wzmocnić, wykazując, że $\mathrm{\Omega }(f{)}^{-1}$ ma typ $\mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(X))\to \mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(Y))$, czyli posyła wszystkie filtry zupełnie pierwsze na $X$ w filtry zupełnie pierwsze na $Y$. Wracając do własności ${{𝒩}}^{\circ }$: powiemy, że przestrzeń topologiczna $(X,\tau )$ jest $T_0$, jeśli dla dowolnych $x,y\in X$ relacja

$x{\le }_{s}y⟺{{𝒩}}^{\circ }(x)\subseteq {{𝒩}}^{\circ }(y)$

jest częściowym porządkiem. Porządek ten nazywamy porządkiem specjalizacji. (Taka relacja jest zawsze preporządkiem, więc antysymetria jest jedynym istotnym składnikiem definicji przestrzeni $T_0$.) Oczywiście to oznacza, że przestrzeń jest $T_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie ${{𝒩}}^{\circ }$ jest injekcją. Przestrzeń topologiczną $(X,\tau )$ nazywamy realną (ang. sober space), jeśli ${{𝒩}}^{\circ }$ jest bijekcją. Każda przestrzeń realna jest więc $T_0$. Pokażmy, że porządek specjalizacji przestrzeni realnej ma bardzo przyjemne własności (odpowiednie definicje znajdziemy w Wykładzie 12.):

==Zadanie 6.3== Udowodnij, że w przestrzeni realnej porządek specjalizacji jest dcpo.

Wskazówka:

Musimy udowodnić, że jeśli $D$ jest skierowanym (przez porządek specjalizacji) podzbiorem $X$, to $D$ posiada supremum. Zacznijmy od pokazania, że zbiór $F$ zbiorów otwartych $U$ takich, że $U\cap D\ne \mathrm{\varnothing }$ jest filtrem zupełnie pierwszym.

Rozwiązanie:

Przy oznaczeniach ze Wskazówki przypuśćmy, że $d\in U\cap D$, $e\in V\cap D$ dla $U,V\in F$. Zbiory otwarte są górne ze względu na porządek specjalizacji, więc $\uparrow d\cap \uparrow e\subseteq U\cap V$, a skoro $D$ jest skierowany, $\uparrow d\cap \uparrow e\cap D\ne \mathrm{\varnothing }$, więc $U\cap V\in F$. Oczywiście $F$ jest górny, więc jest filtrem. Przypuśćmy $\bigcup A\cap D\ne \mathrm{\varnothing }$ dla zbioru $A$ zbiorów otwartych. Dystrybutywność kraty podzbiorów daje $\bigcup (A\cap D)\ne \mathrm{\varnothing }$, więc $U\cap D\ne \mathrm{\varnothing }$ dla pewnego $U\in A$. Wniosek: $F$ jest zupełnie pierwszy. Skoro ${{𝒩}}^{\circ }$ jest bijekcją, istnieje $z\in X$ taki, że ${{𝒩}}^{\circ }(z)=F$. Dla dowolnego $d\in D$, jeśli $d\in U$, to $d\in F$, więc $z\in U$ i $d{\le }_{s}z$. Niech $y$ będzie dowolnym ograniczeniem górnym $D$. Wtedy dla dowolnego $U\in F$, $e\in U$ dla pewnego $e\in D$. Stąd $U\in {{𝒩}}^{\circ }(y)$ i dlatego ${{𝒩}}^{\circ }(z)\subseteq {{𝒩}}^{\circ }(y)$, tj. $z{\le }_{s}y$. Wniosek: $z=\bigvee D$, co należało pokazać.

Uwaga

Nie jest prawdą twierdzenie odwrotne, które mówi, że na dowolnym częściowym porządku $P$, który jest dcpo, da się zadać topologię tak, by była realna i jej porządek specjalizacji pokrywał się z $P$.

==Zadanie 6.4== Niech $L$ będzie ramą. Udowodnij, że na $\mathrm{p}\mathrm{t}(L)$ można zadać strukturę przestrzeni topologicznej, deklarując jako zbiory otwarte wszystkie zbiory postaci:

$O_x:=\{F\in \mathrm{p}\mathrm{t}(L)\mid x\in F\}$

dla $x\in L$.

Rozwiązanie:

Niech $N$ będzie zbiorem skończonym. Oczywiście $\bigcap _{n\in N}{O}_{x_n}=O_{{\wedge }_{n\in N}{x}_n}$, ponieważ punkty $L$ są filtrami: $z\in \bigcap _{n\in N}{O}_{x_n}$ wtw, gdy $z\in O_{x_n}$ dla każdego $n\in N$ wtw, gdy $z\in O_{{\wedge }_{n\in N}{x}_n}$. Równie łatwo, zupełna pierwszość implikuje, że dla dowolnego zbioru indeksów $I$, $\bigcup _{i\in I}{O}_{x_i}=O_{{\vee }_{i\in I}{x}_i}$.

Od tej pory dla ramy $L$ będziemy przestrzeń $\mathrm{p}\mathrm{t}(L)$ uważać za przestrzeń topologiczną z topologią zadaną tak, jak w powyższym zadaniu.

==Zadanie 6.5== Udowodnij, że $\mathrm{p}\mathrm{t}:{\mathbf{𝐅}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐦}}^{op}\to \mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}$ jest funktorem.

Wskazówka:

Jeśli $h:K\to L$ jest homomorfizmem ram, zdefiniujemy $\mathrm{p}\mathrm{t}(h)(F):=h^{-1}[F]$, który to przeciwobraz jest rzeczywiście filtrem zupełnie pierwszym (to też należy pokazać).

Rozwiązanie:

Wykażemy najpierw, że $h^{-1}[F]$, jak we Wskazówce, jest filtrem zupełnie pierwszym. Niech $a\in h^{-1}[F]$ i $a\le b$. Wtedy z monotoniczności $h$ wynika $h(a)\le h(b)$, więc stąd że $h(a)\in F$ i faktu, że $F$ jest filtrem wynika $h(b)\in F$ i w końcu $b\in h^{-1}[F]$. Jeśli $a,b\in h^{-1}[F]$, to $h(a),h(b)\in F$, więc $h(a)\wedge h(b)\in F$, czyli $h(a)\wedge h(b)\in h^{-1}[F]$. Jeśli $F$ jest zupełnie pierwszy, niech $A\subseteq K$ tak, że $\bigvee A\in h^{-1}[F]$. Wtedy $\bigvee h[A]=h(\bigvee A)\in F$, więc $h[A]\cap F\ne \mathrm{\varnothing }$, tj. $A\cap h^{-1}[F]\ne \mathrm{\varnothing }$. To kończy dowód pierwszej części.

Pokażmy teraz, że $\mathrm{p}\mathrm{t}$ jest funktorem. Zachowywanie identyczności jest oczywiste, zaś zachowywanie złożenia wynika z własności przeciwobrazów:

$\mathrm{p}\mathrm{t}(h\circ k)(F)=(h\circ k{)}^{-1}[F]=k^{-1}(h^{-1}[F])=\mathrm{p}\mathrm{t}(k)\circ \mathrm{p}\mathrm{t}(h)(F)$

Pozostaje wykazać, że $\mathrm{p}\mathrm{t}(h):\mathrm{p}\mathrm{t}(L)\to \mathrm{p}\mathrm{t}(K)$ jest funkcją ciągłą. Niech $O_a$ będzie zbiorem otwartym w $\mathrm{p}\mathrm{t}(L)$ i niech $F\in \mathrm{p}\mathrm{t}(K)$. Wtedy mamy $F\in \mathrm{p}\mathrm{t}(h{)}^{-1}[O_a]$ wtw, gdy $\mathrm{p}\mathrm{t}(h)(F)\in O_a$ wtw, gdy $h^{-1}[F]\in O_a$ wtw, gdy $h(a)\in F$ wtw, gdy $F\in O_{h(a)}$. A zatem $\mathrm{p}\mathrm{t}(h{)}^{-1}[O_a]$ jest zbiorem otwartym, co świadczy o ciągłości $\mathrm{p}\mathrm{t}(h)$.

Doszliśmy do najważniejszego momentu: głównym mechanizmem dualności Stone'a jest następujące sprzężenie.

==Zadanie 6.6== Udowodnij, że $\mathrm{\Omega }⊣\mathrm{p}\mathrm{t}$ dla $\mathrm{\Omega }:\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}\to {\mathbf{𝐅}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐦}}^{op}$ i $\mathrm{p}\mathrm{t}:{\mathbf{𝐅}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐦}}^{op}\to \mathbf{𝐓}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐩}$.

Wskazówka:

Jednością $\eta$ tego sprzężenia jest odwzorowanie ${{𝒩}}^{\circ }$.

Rozwiązanie:

Po pierwsze, pokażemy, że ${{𝒩}}_X^{\circ }:X\to \mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(X))$ jest odwzorowaniem ciągłym, co natychmiast wynika z ciągu równoważności: dla dowolnego $U$ otwartego w $X$

${{𝒩}}_X^{\circ }(x)\in O_U⟺U\in {{𝒩}}_X^{\circ }(x)⟺x\in U$

Ponadto, jest to transformacja naturalna: jeśli $f:X\to Y$, to mamy:

$\mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(f))({{𝒩}}_X^{\circ }(x))=\mathrm{\Omega }(f{)}^{-1}({{𝒩}}_X^{\circ }(x))={{𝒩}}_X^{\circ }(f(x))={{𝒩}}_Y^{\circ }\circ f(x)$

Zauważmy, że wykorzystaliśmy tutaj Zadanie 6.2.

Kojedność również już znamy: dla ramy $L$, komponent ${\epsilon }_L:L\to \mathrm{\Omega }(\mathrm{p}\mathrm{t}(L))$ jest to funkcja, która $x\in L$ posyła w zbiór otwarty $O_x$. Naturalność: dla homomorfizmu ram $h:K\to L$ mamy:

$\mathrm{\Omega }(\mathrm{p}\mathrm{t}(h))({\epsilon }_K(x))=\mathrm{p}\mathrm{t}(h{)}^{-1}(O_x)={\epsilon }_L\circ h(x)$

Na koniec sprawdzimy czy trójkątne diagramy, jak w Twierdzeniu 9.3, komutują:

Udowodnimy tylko drugą z równości, gdyż pierwsza jest dualna.

$\begin{array}{rlr}\mathrm{p}\mathrm{t}({\epsilon }_L)({\eta }_{\mathrm{p}\mathrm{t}(L)}(F))& =& {\epsilon }_L^{-1}[{{𝒩}}^{\circ }(F)]\\ & =& \{x\in L\mid {\epsilon }_L(x)\in {{𝒩}}^{\circ }(F)\}\\ & =& \{x\in L\mid O_x\in {{𝒩}}^{\circ }(F)\}\\ & =& \{x\in L\mid F\in O_x\}\\ & =& \{x\in L\mid x\in F\}\\ & =& F.\end{array}$

W przypadku dowolnych przestrzeni topologicznych i dowolnych ram sprzężenie $\mathrm{\Omega }⊣\mathrm{p}\mathrm{t}$ nie indukuje równoważności. Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia równoważności jest to, aby jedność $\eta :1\to \mathrm{p}\mathrm{t}\circ \mathrm{\Omega }$ i kojedność $\epsilon :1\to \mathrm{\Omega }\circ \mathrm{p}\mathrm{t}$ były naturalnymi izomorfizmami. Jeśli topologia na $X$ jest realna, to z definicji ${\eta }_X$ jest izomorfizmem, dla dowolnego $X$.

Dualnie, dla dowolnego $L$, wiemy że ${\epsilon }_L$ jest surjekcją, bo wszystkie zbiory otwarte na $\mathrm{p}\mathrm{t}(L)$ są postaci $O_x$ dla pewnego $x\in L$. Jeśli ${\epsilon }_L$ jest dla pewnej ramy $L$ injekcją, to ramę tę nazywamy przestrzenną (ang. spatial frame). W tej nazwie zamyka się intuicja, że przestrzenne ramy to te, które są izomorficzne z kratą zbiorów otwartych pewnej topologii.

W ostatnim zadaniu poniżej pokażemy, że dla dowolnej ramy $L$ przestrzeń $\mathrm{L}$ jest realna i dla dowolnej topologii $X$ rama $\mathrm{\Omega }(X)$ jest przestrzenna. Tym samym dowiedziemy ostatecznie następującego twierdzenia:

Twierdzenie [dualność Stone'a dla ram przestrzennych i topologii realnych]

Kategorie ram przestrzennych i przestrzeni topologicznych realnych są dualne.

==Zadanie 6.7== Pokaż, że dla dowolnej ramy przestrzennej $L$ przestrzeń $\mathrm{p}\mathrm{t}(L)$ jest realna i dla dowolnej topologii $X$ rama $\mathrm{\Omega }(X)$ jest przestrzenna.

Wskazówka:

Udowodnijmy pewną własność pomocniczą: jeśli $X$ jest przestrzenią topologiczną, to jedność ${\eta }_X:X\to \mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(X))$ jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy każdy nieredukowalny zbiór domknięty w $X$ jest postaci $\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐥}(x)$ dla pewnego $x\in X$. (Zbiór domknięty nazywamy nieredukowalnym, jeśli jest niepusty i nie da się wyrazić jako suma dwóch właściwych podzbiorów domkniętych przestrzeni $X$.) Rzeczywiście, załóżmy że ${\eta }_X:X\to \mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(X))$ jest surjekcją i niech $C$ będzie nieredukowalny. Wtedy rodzina $F_C:=\{U\in \mathrm{\Omega }(X)\mid U\cap C\ne \mathrm{\varnothing }\}$ jest filtrem zupełnie pierwszym. Skoro jedność jest surjekcją, to każdy filtr zupełnie pierwszy jest postaci ${{𝒩}}^{\circ }(x)$ dla $x\in X$. Tak więc $F_C={{𝒩}}^{\circ }(x)$ dla pewnego $x\in X$. Oczywiście $\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐥}(x)=C$. Odwrotnie, chcemy pokazać, że jedność jest surjekcją. Niech $F$ będzie filtrem zupełnie pierwszym. Wtedy z Zadania 6.1 wynika, że $L\setminus F=\downarrow x$ dla pewnego $x\in L$. Zbiór $\downarrow x$ jest domknięty i nieredukowalny. A zatem $F=F_{C_F}$ jest równy filtrowi otoczeń ${{𝒩}}^{\circ }(x)$ dla tego szczególnego $x\in X$. To świadczy o tym, ze ${\eta }_X$ jest surjekcją.

Rozwiązanie:

Niech $L$ będzie ramą przestrzenną. Przestrzeń topologiczna $\mathrm{p}\mathrm{t}(L)$ jest oczywiście $T_0$, bo dla $F_1,F_2\in \mathrm{p}\mathrm{t}(L)$, jeśli $x\in L$ należy do jednego z $F_1$, $F_2$, to nie może należeć do drugiego (z zupełnej pierwszości $F_1,F_2$). A zatem $O_x$ zawiera jeden z $F_1,F_2$ i nie może zawierać drugiego. To świadczy o tym, że ${\eta }_{\mathrm{p}\mathrm{t}(L)}$ jest injekcją.

Aby pokazać, że ${\eta }_{\mathrm{p}\mathrm{t}(L)}$ jest surjekcją, skorzystamy z własności dowiedzionej we Wskazówce. Niech $A$ będzie nieredukowalnym zbiorem domkniętym w $\mathrm{p}\mathrm{t}(L)$. Suma jego elementów (elementy $A$ to filtry zupełnie pierwsze!), nazwijmy ją $S$, jest niepustym zbiorem górnym w $L$, zaś $L\setminus S$ jest postaci $\downarrow x$ dla pewnego $x\in L$. Dowód tej części kończy obserwacja, że $\mathbf{𝐜}\mathbf{𝐥}(L\setminus \downarrow x)=A$.

Na zakończenie niech $X$ będzie dowolną topologią. Musimy wykazać, że $\mathrm{\Omega }(X)$ jest kratą przestrzenną. Wystarczy więc pokazać, że ${\epsilon }_{\mathrm{\Omega }(X)}$ jest injekcją. W tym celu weźmy $U,V\in \mathrm{\Omega }(X)$ i załóżmy, że są różne. A zatem istnieje $x\in X$, który należy do jednego z $U,V$ i nie należy do drugiego. Bez straty ogólności przyjmijmy $x\in U$ i $x\notin V$. Wtedy ${{𝒩}}^{\circ }\in O_U={\epsilon }_{\mathrm{\Omega }(X)}(U)$ i ${{𝒩}}^{\circ }\notin O_V={\epsilon }_{\mathrm{\Omega }(X)}(V)$. Tak jest ${\epsilon }_{\mathrm{\Omega }(X)}(U)\ne {\epsilon }_{\mathrm{\Omega }(X)}(V)$, co należało pokazać.

Jednym z wniosków z ostatniego zadania jest to, że (w przyrodzie) istnieje wiele przestrzeni realnych: dla każdej (dowolnej!) topologii $X$, krata $\mathrm{\Omega }(X)$ jest przestrzenna, a zatem $\mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(X))$ jest przestrzenią realną. Sama operacja $X\mapsto \mathrm{p}\mathrm{t}(\mathrm{\Omega }(X))$ jest nazywana urealnieniem przestrzeni $X$. Innym źródłem, z którego czerpiemy przykłady przestrzeni realnych są przestrzenie Hausdorffa. Można pokazać bowiem (zachęcamy Czytelnika do samodzielnej próby, to łatwe!), że każda przestrzeń $T_2$ jest realna, bo jedyne zbiory nieredukowalne są domknięciami singletonów . Warto też dodać, że aksjomat oddzielania $T_1$ jest niezależny od realności: istnieją przestrzenie realne, które nie są $T_1$ (wszystkie dziedziny ciągłe omawiane w Wykładzie 12.) i przestrzenie $T_1$, które nie są realne (np. topologia koskończona na liczbach naturalnych).

W tych Ćwiczeniach dotknęliśmy jedynie bardzo szerokiego tematu równoważności pomiędzy różnymi klasami krat i przestrzeni topologicznych. Szersze omówienie tych fascynujących zagadnień znajdzie Czytelnik w artykule S.Abramsky'ego i A. Junga pt. Domain theory pochodzącego z książki Handbook of Logic in Computer Science, Clarendon Press, 1994, dostępnym również na www drugiego z autorów tutaj.