Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 6: Równoważność kategorii

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

W tej części skupimy się na dualności między kategorią przestrzennych ram a kategorią przestrzeni topologicznych nazywanych realnymi. Ta równoważność jest najogólniejszą z wielu coraz bardziej szczegółowych dualności, z którym najbardziej znana jest chyba dualność pomiędzy algebrami Boole'a a tzw. przestrzeniami Stone'a (czyli przestrzeniami , które są zwarte i zerowymiarowe) odkryta przez Marshalla Stone'a w latach 30. XX w., która wzmacnia znany już kilka lat wcześniej wynik Lindenbauma i Tarskiego, który mówił, że algebra Boole'a jest izomorficzna z algebrą podzbiorów pewnego zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna i atomowa.

Marshall H. Stone (1903-1989)
Zobacz biografię

Zdecydowaliśmy się na przedstawienie najogólniejszej wersji twierdzenia Stone'a, gdyż bardzo dobrze widać mechanizm kategoryjny, na którym opiera się cała konstrukcja. Co więcej, równoważność w tej wersji nie wymaga przygotowania topologicznego. Po trzecie, wynik ten pokazuje dobitnie rolę teorii porządku w topologii i odwrotnie.


Zachęcamy do przeczytania Wykładu 12. przed przystąpieniem do rozwiązywania poniższych zadań.


==Zadanie 6.1== Niech będzie kratą zupełną, zaś . Pokaż, że następujące warunki są równoważne:

  1. jest filtrem zupełnie pierwszym, tj. dla dowolnego podzbioru , jeśli , to ;
  2. jest filtrem i dla pewnego ;
  3. dla pewnego homomorfizmu ram .


Uwaga
Ramy to pewne szczególne kraty zupełne, które zdefiniowaliśmy w Przykładzie Przykładzie 5.5. Homomorfizm ram to funkcja, która zachowuje dowolne suprema i binarne infima.
Rozwiązanie:


Najważniejszym przykładem filtru zupełnie pierwszego jest filtr otoczeń otwartych

w kracie (ramie) zbiorów otwartych przestrzeni topologicznej (przypomnijmy znaczenie funktora z Przykładu 5.5). Zupełna pierwszość tego filtru wynika natychmiast choćby z punktu (3) poprzedniego zadania.

Niech będzie ramą. Punktami ramy nazwiemy jej filtry zupełnie pierwsze i ich kolekcję oznaczymy jako . Wtedy możemy traktować jako odwzorowanie typu . Pokażmy kilka własności tego odwzorowania.

==Zadanie 6.2== Udowodnij, ze funkcja między przestrzeniami topologicznymi jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ,

Wskazówka:
Rozwiązanie:


Tak naprawdę wynik poprzedniego zadania można wzmocnić, wykazując, że ma typ , czyli posyła wszystkie filtry zupełnie pierwsze na w filtry zupełnie pierwsze na . Wracając do własności : powiemy, że przestrzeń topologiczna jest , jeśli dla dowolnych relacja

jest częściowym porządkiem. Porządek ten nazywamy porządkiem specjalizacji. (Taka relacja jest zawsze preporządkiem, więc antysymetria jest jedynym istotnym składnikiem definicji przestrzeni .) Oczywiście to oznacza, że przestrzeń jest wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie jest injekcją. Przestrzeń topologiczną nazywamy realną (ang. sober space), jeśli jest bijekcją. Każda przestrzeń realna jest więc . Pokażmy, że porządek specjalizacji przestrzeni realnej ma bardzo przyjemne własności (odpowiednie definicje znajdziemy w Wykładzie 12.):


==Zadanie 6.3== Udowodnij, że w przestrzeni realnej porządek specjalizacji jest dcpo.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


Uwaga
Nie jest prawdą twierdzenie odwrotne, które mówi, że na dowolnym częściowym porządku , który jest dcpo, da się zadać topologię tak, by była realna i jej porządek specjalizacji pokrywał się z .


==Zadanie 6.4== Niech będzie ramą. Udowodnij, że na można zadać strukturę przestrzeni topologicznej, deklarując jako zbiory otwarte wszystkie zbiory postaci:

dla .

Rozwiązanie:


Od tej pory dla ramy będziemy przestrzeń uważać za przestrzeń topologiczną z topologią zadaną tak, jak w powyższym zadaniu.


==Zadanie 6.5== Udowodnij, że jest funktorem.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


Doszliśmy do najważniejszego momentu: głównym mechanizmem dualności Stone'a jest następujące sprzężenie.


==Zadanie 6.6== Udowodnij, że dla i .

Wskazówka:
Rozwiązanie:


W przypadku dowolnych przestrzeni topologicznych i dowolnych ram sprzężenie nie indukuje równoważności. Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia równoważności jest to, aby jedność i kojedność były naturalnymi izomorfizmami. Jeśli topologia na jest realna, to z definicji jest izomorfizmem, dla dowolnego .

Dualnie, dla dowolnego , wiemy że jest surjekcją, bo wszystkie zbiory otwarte na są postaci dla pewnego . Jeśli jest dla pewnej ramy injekcją, to ramę tę nazywamy przestrzenną (ang. spatial frame). W tej nazwie zamyka się intuicja, że przestrzenne ramy to te, które są izomorficzne z kratą zbiorów otwartych pewnej topologii.

W ostatnim zadaniu poniżej pokażemy, że dla dowolnej ramy przestrzeń jest realna i dla dowolnej topologii rama jest przestrzenna. Tym samym dowiedziemy ostatecznie następującego twierdzenia:


Twierdzenie [dualność Stone'a dla ram przestrzennych i topologii realnych]

Kategorie ram przestrzennych i przestrzeni topologicznych realnych są dualne.


==Zadanie 6.7== Pokaż, że dla dowolnej ramy przestrzennej przestrzeń jest realna i dla dowolnej topologii rama jest przestrzenna.

Wskazówka:
Rozwiązanie:



Jednym z wniosków z ostatniego zadania jest to, że (w przyrodzie) istnieje wiele przestrzeni realnych: dla każdej (dowolnej!) topologii , krata jest przestrzenna, a zatem jest przestrzenią realną. Sama operacja jest nazywana urealnieniem przestrzeni . Innym źródłem, z którego czerpiemy przykłady przestrzeni realnych są przestrzenie Hausdorffa. Można pokazać bowiem (zachęcamy Czytelnika do samodzielnej próby, to łatwe!), że każda przestrzeń jest realna, bo jedyne zbiory nieredukowalne są domknięciami singletonów . Warto też dodać, że aksjomat oddzielania jest niezależny od realności: istnieją przestrzenie realne, które nie są (wszystkie dziedziny ciągłe omawiane w Wykładzie 12.) i przestrzenie , które nie są realne (np. topologia koskończona na liczbach naturalnych).

W tych Ćwiczeniach dotknęliśmy jedynie bardzo szerokiego tematu równoważności pomiędzy różnymi klasami krat i przestrzeni topologicznych. Szersze omówienie tych fascynujących zagadnień znajdzie Czytelnik w artykule S.Abramsky'ego i A. Junga pt. Domain theory pochodzącego z książki Handbook of Logic in Computer Science, Clarendon Press, 1994, dostępnym również na www drugiego z autorów tutaj.