Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 4: Przestrzeń probabilistyczna II

Dla dowolnych liczb naturalnych $r$ i $n$ takich, że $1\le n\le r$, prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych występujących w schematach losowania $n$ ze zbioru $r$-elementowego elementów, bez zwracania i ze zwracaniem:

są zawsze różne od siebie. Źle

są zawsze sobie równe. Źle

są zawsze mniejsze niż $1$. Źle

żadne z powyższych. Dobrze

Niech $K\subset {\mathbb{ℝ}}^2$ będzie danym kwadratem o boku $1$ oraz niech $(K,\mathrm{\Sigma },P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną występującą w definicji 4.1. Wówczas:

$P(A)=\mu (A)$ dla każdego $A\in \mathrm{\Sigma }$ ($\mu$ oznacza dwuwymiarową miarę Lebesgue'a). Dobrze

$P(A)<\mu (A)$ dla pewnego $A\in \mathrm{\Sigma }$. Źle

$P(O)=0$, gdzie $O$ jest okręgiem wpisanym w kwadrat $K$. Dobrze

wnętrze kwadratu $K$ jest zdarzeniem pewnym. Dobrze

Spośród 3 kul niebieskich i 4 kul czarnych losujemy 3 kule. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 2 kul niebieskich:

jest większe w przypadku losowania bez zwracania. Źle

jest mniejsze, w przypadku losowania ze zwracaniem, niż prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 2 kul czarnych. Źle

jest w każdym przypadku mniejsze niż $\frac{1}{2}$. Źle

jest większe, w przypadku losowania bez zwracania, niż prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 3 kul czarnych. Dobrze

Maciek jest zapalonym kinomanem, uwielbiającym jednocześnie pływanie. Codziennie wieczorem wychodzi z domu, udając się na najbliższy przystanek autobusowy, gdzie dociera między godziną $19^{00}$ a $20^{00}$ (każdy moment jest jednakowo prawdopodobny). Z przystanku tego odjeżdżają autobusy linii $109$ i $110$, wg następującego rozkładu:

$109:19^{05},19^{30},19^{55}$, $110:19^{11},19^{36},20^{01}$.

Autobusem nr $109$ Maciek dojeżdża do swojego ulubionego kina, zaś autobusem nr $100$ - do ulubionego basenu, przy czym zawsze wybiera ten, który nadjedzie jako pierwszy. Jeżeli $A$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że Maciek w danym dniu znajdzie się w kinie (w przeciwnym razie będzie pływać w basenie), to zakładając bezwzględną punktualność autobusów:

zdarzenia $A$ i $\mathrm{\Omega }\setminus A$ zachodzą z jednakowym prawdopodobieństwem, ponieważ w interesującym nas okresie czasu odjeżdża tyle samo autobusów linii $109$, co $110$. Źle

zdarzenie $A$ jest mniej prawdopodobne niż zdarzenie przeciwne do $A$, ponieważ autobusy nr $109$ odjeżdżają wcześniej, niż odpowiadające im autobusy nr $110$. Źle

$P(A)>\frac{1}{2}$. Dobrze

$P(A)<1-P(A)$. Źle

Doświadczenie polega na rzucie monetą - rzucamy nią tak długo, aż wypadnie orzeł. Niech ${\omega }_i$ oznacza zdarzenie, że za $i$-tym razem po raz pierwszy wypadł orzeł. Ocenić prawdziwość poniższych zdań.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P({\omega }_n)=0$. Dobrze

$P({\omega }_n)=P({\omega }_{n+1}\cup {\omega }_{n+2}\cup {\omega }_{n+3}\cup \dots )$ dla każdego $n\ge 1$. Dobrze

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}P({\omega }_n)=1$. Dobrze

Zdarzenia ${\omega }_i$ są jednakowo prawdopodobne. Źle

Eksperyment polega na wykonaniu 10 rzutów symetryczną kostką do gry, a więc jego wynikiem jest 10 elementowy ciąg. Eksperyment ten można traktować jako:

losowanie liczby naturalnej ze zbioru $\{1,\dots ,10^6\}$. Źle

losowanie ze zwracaniem sześciu spośród dziesięciu elementów. Źle

losowanie bez zwracania sześciu spośród dziesięciu elementów. Źle

losowanie bez zwracania dziesięciu spośród sześciu elementów. Źle