Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 4: Przestrzeń probabilistyczna II

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Dla dowolnych liczb naturalnych i takich, że , prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych występujących w schematach losowania ze zbioru -elementowego elementów, bez zwracania i ze zwracaniem:

są zawsze różne od siebie.

są zawsze sobie równe.

są zawsze mniejsze niż .

żadne z powyższych.


Niech będzie danym kwadratem o boku oraz niech będzie przestrzenią probabilistyczną występującą w definicji 4.1. Wówczas:

dla każdego ( oznacza dwuwymiarową miarę Lebesgue'a).

dla pewnego .

, gdzie jest okręgiem wpisanym w kwadrat .

wnętrze kwadratu jest zdarzeniem pewnym.


Spośród 3 kul niebieskich i 4 kul czarnych losujemy 3 kule. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 2 kul niebieskich:

jest większe w przypadku losowania bez zwracania.

jest mniejsze, w przypadku losowania ze zwracaniem, niż prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 2 kul czarnych.

jest w każdym przypadku mniejsze niż .

jest większe, w przypadku losowania bez zwracania, niż prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 3 kul czarnych.


Maciek jest zapalonym kinomanem, uwielbiającym jednocześnie pływanie. Codziennie wieczorem wychodzi z domu, udając się na najbliższy przystanek autobusowy, gdzie dociera między godziną a (każdy moment jest jednakowo prawdopodobny). Z przystanku tego odjeżdżają autobusy linii i , wg następującego rozkładu:

Autobusem nr Maciek dojeżdża do swojego ulubionego kina, zaś autobusem nr - do ulubionego basenu, przy czym zawsze wybiera ten, który nadjedzie jako pierwszy. Jeżeli oznacza zdarzenie polegające na tym, że Maciek w danym dniu znajdzie się w kinie (w przeciwnym razie będzie pływać w basenie), to zakładając bezwzględną punktualność autobusów:

zdarzenia i zachodzą z jednakowym prawdopodobieństwem, ponieważ w interesującym nas okresie czasu odjeżdża tyle samo autobusów linii , co .

zdarzenie jest mniej prawdopodobne niż zdarzenie przeciwne do , ponieważ autobusy nr odjeżdżają wcześniej, niż odpowiadające im autobusy nr .

.

.


Doświadczenie polega na rzucie monetą - rzucamy nią tak długo, aż wypadnie orzeł. Niech oznacza zdarzenie, że za -tym razem po raz pierwszy wypadł orzeł. Ocenić prawdziwość poniższych zdań.

.

dla każdego .

.

Zdarzenia są jednakowo prawdopodobne.


Eksperyment polega na wykonaniu 10 rzutów symetryczną kostką do gry, a więc jego wynikiem jest 10 elementowy ciąg. Eksperyment ten można traktować jako:

losowanie liczby naturalnej ze zbioru .

losowanie ze zwracaniem sześciu spośród dziesięciu elementów.

losowanie bez zwracania sześciu spośród dziesięciu elementów.

losowanie bez zwracania dziesięciu spośród sześciu elementów.