Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 12: Miara układu wektorów

Macierz Grama. Wyznacznik Grama

Zajmiemy się teraz przypadkiem, gdy sam iloczyn skalarny (oznaczony w tym rozdziale przez $g$) jako odwzorowanie dwuliniowe symetryczne jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą kwadratową. Tą forma kwadratową jest kwadrat normy

$g(v,v)=\Vert v{\Vert }^2$.

Niech teraz $v_1,\dots ,v_k$ będzie dowolnym ciągiem wektorów przestrzeni $V$. Definiujemy macierz

$\left[\begin{array}{l}g(v_1,v_1)...g(v_1,v_k)\\ g(v_2,v_1)...g(v_2,v_k)\\ ..................................\\ g(v_k,v_1)...g(v_k,v_k)\end{array}\right]$      (1.1)

Macierz tę nazywamy macierzą Grama ciągu wektorów $v_1,\dots ,v_k$. Wyznacznik tej macierzy nazywamy wyznacznikiem Grama tego ciągu.

Plik:Ag12 1a.mp4 Macierz i wyznacznik Grama

Zauważmy od razu, że wyznacznik Grama nie zależy od kolejności wektorów $v_1,\dots ,v_k$. Istotnie, przestawieniu dwu wektorów w ciągu $v_1,\dots ,v_k$ odpowiada jednoczesne przestawienie dwu kolumn i dwu wierszy w macierzy Grama. A zatem możemy mówić o wyznaczniku Grama układu wektorów. Wyznacznik Grama układu $v_1,\dots ,v_k$ oznaczać będziemy przez $\mathrm{G}(v_1,\dots ,v_k)$.

Jeżeli $V$ jest skończenie wymiarowa, to macierz odwzorowania dwuliniowego $g$ przy dowolnej bazie ortonormalnej jest macierzą jednostkową. W szczególności, wyznacznik tej macierzy jest dodatni. Ze wzoru (0.3) z Wykładu XI wynika, że wyznacznik macierzy $g$ przy jakiejkolwiek bazie jest dodatni.

Twierdzenie 1.1

Wyznacznik Grama dowolnego układu wektorów jest zawsze większy lub równy zeru. Jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy układ wektorów jest liniowo zależny.

Dowód

Oznaczmy przez $U$ przestrzeń rozpiętą na danych wektorach $v_1,\dots ,v_k$. Przestrzeń ta jest wyposażona w iloczyn skalarny $g$ (dokładniej mówiąc, zawężenie $g$ do $U\times U$).

Jeśli wektory $v_1,\dots ,v_k$ są liniowo zależne, to pewien wektor $v_j$ jest kombinacją liniową wektorów pozostałych. Wtedy $j$-ta kolumna macierzy Grama jest kombinacją liniową pozostałych kolumn. Oznacza to, że wyznacznik tej macierzy jest równy zeru.

Załóżmy teraz, że wektory $v_1,\dots ,v_n$ są liniowo niezależne. Stanowią więc bazę przestrzeni $U$. Macierz Grama tego układu, jest macierzą $g$ przy bazie $v_1,\dots ,v_n$ przestrzeni $U$. A zatem, na podstawie uwagi, którą zrobiliśmy bezpośrednio przed twierdzeniem, wyznacznik tej macierzy jest dodatni (w

szczególności niezerowy).

Przykład 1.2

Niech dane będą dwa wektory $v$ i $u$. Mamy macierz Grama

$\left[\begin{array}{l}g(v,v)g(v,u)\\ g(u,v)g(u,u)\end{array}\right]$

Fakt, że wyznacznik tej macierzy jest nieujemny jest nierównością Schwarza.

Niech $e_1,\dots ,e_n$ będzie bazą ortonormalną przestrzeni $V$ i niech $v_1,\dots ,v_n$ będzie dowolnym układem wektorów przestrzeni $V$. Tak jak zdefiniowaliśmy macierz przejścia od jednej bazy do drugiej, tak samo możemy zdefiniować macierz przejścia od bazy $e_1,\dots ,e_n$ do układu $v_1,\dots ,v_n$. Mianowicie, definiujemy macierz $P=[v_{ij}]$ wzorami

$v_j=\sum _{i=1}^n{v}_{ij}{e}_i$      (1.2)

Macierz $P$ jest macierzą współrzędnych wektorów $v_1,\dots ,v_n$ w bazie $e_1,...e_n$. Zupełnie tak samo jak wzór (0.3) z Wykładu XI otrzymujemy wzór następujący

$\left[\begin{array}{l}g(v_1,v_1)...g(v_1,v_k)\\ ..................................\\ g(v_k,v_1)...g(v_k,v_k)\end{array}\right]=P^{*}P$,      (1.3)

gdzie $P$ jest macierzą zdefiniowaną formułą (1.2).

Otrzymaliśmy więc

Twierdzenie 1.3

Wyznacznik Grama układu wektorów $v_1,\dots ,v_n$ jest równy $(\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}P{)}^2$, gdzie $P$ jest macierzą utworzoną ze współrzędnych wektorów $v_1,\dots ,v_n$ w bazie ortonormalnej $e_1,\dots ,e_n$.

Miara układu wektorów

Niech $V$ będzie skończenie wymiarową euklidesową przestrzenią wektorową. Niech $U$ będzie dowolną jej podprzestrzenią. Mamy wtedy $V=U\oplus U^{\perp }$. Niech $v\in V$ będzie dowolnym wektorem. Wektor ten rozkłada się jednoznacznie na sumę $v=u+u^{\prime }$, gdzie $u\in U$ i $u^{\prime }\in U^{\perp }$. Zdefiniujmy liczbę

$d(v,U)=\Vert u^{\prime }\Vert$      (2.4)

Niech teraz $V$ będzie dowolną (niekoniecznie skończenie wymiarową) euklidesową przestrzenią wektorową i $v_1,\dots ,v_n$ dowolnym ciągiem wektorów.

Zdefiniujemy liczbę $\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(v_1,\dots ,v_n)$ , którą nazywać będziemy miarą układu $v_1,\dots ,v_n$ (lub $n$-wymiarową objętością). Definicja będzie indukcyjna.

Definicja 2.1

Jeżeli $n=1$, to miarą wektora $v_1$ jest jego długość $\Vert v_1\Vert$. Jeżeli określona już jest miara układów $n$-elementowych, to miarą układu $v_1,\dots ,v_n,v$ jest liczba zdefiniowana wzorem

$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(v_1,\dots ,v_n,v)=d(v,\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\{v_1,\dots ,v_n\})\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(v_1,\dots ,v_n)$.

Plik:Ag12 2a.mp4

Miara układu wektorów (objętość)

Definicja ta jest zgodna z naszą intuicją i wiadomościami wyniesionymi ze szkoły.

Miara układu dwóch wektorów jest polem równoległoboku wyznaczonego przez te wektory. Miara układu trzech liniowo niezależnych wektorów jest objętością równoległościanu utworzonego przez te wektory.

Z definicji miary układu wektorów łatwo wynika, że $\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(v_1,\dots ,v_n)=0$, jeśli wektory $v_1,\dots ,v_n$ są liniowo zależne.

Udowodnimy teraz twierdzenie

Twierdzenie 2.2

Dla każdego układu wektorów $v_1,\dots ,v_n$ zachodzi równość

$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(v_1,\dots ,v_n)=\sqrt{\mathrm{G}(v_1,\dots ,v_n)}$      (2.5)

Dowód

Dowód jest indukcyjny ze względu na $n$.

Dla $n=1$ twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że jest prawdziwe dla pewnego $n$.

Niech dany będzie układ wektorów $v_1,\dots ,v_n,v$. Jeśli układ ten jest liniowo zależny, to po obydwu stronach (2.5) mamy zero. Możemy więc założyć, że dany układ wektorów jest liniowo niezależny.

W $(n+1)$-wymiarowej przestrzeni $V^{\prime }=\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\{v_1,\dots ,v_n,v\}$ weźmy $n$-wymiarową podprzestrzeń $U=\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\{v_1,\dots ,v_n\}$. Oznaczmy przez $d$ liczbę $d=d(v,U)$. Niech $v=u+u^{\prime }$, gdzie $u\in U$ i $u^{\prime }\in U^{\perp }$, zaś $U^{\perp }$ jest dopełnieniem ortogonalnym do $U$ w $V^{\prime }$. W szczególności $g(u,u^{\prime })=0$. Ponieważ $v_1,\dots ,v_n$ jest bazą $U$, wektor $u$ możemy zapisać jako

$u=\sum _{i=1}^n{x}_i{v}_i$.

Zachodzą następujące równości

$\begin{array}{rl}{d}^2=\Vert u^{\prime }{\Vert }^2& =g(u^{\prime },u^{\prime })=g(u^{\prime },u+u^{\prime })=g(u^{\prime },v)=g(v-u,v)\\ & =g(v,v)-g(u,v)=\Vert v{\Vert }^2-g(\sum _{i=1}^n{x}_i{v}_i,v)=\Vert v{\Vert }^2-\sum _{i=1}^n{x}_{i}g(v_i,v).\end{array}$

A zatem mamy równość

$\sum _{i=1}^n{x}_{i}g(v_i,v)+(-1)(\Vert v{\Vert }^2-d^2)=0$      (2.6)

Oczywiście $g(u,v_j)=g(v,v_j)$ dla każdego $j=1,...n$. Stąd

$g(\sum _{i=1}^n{x}_i{v}_i,v_j)=g(v,v_j)$

dla $j=1,\dots ,n$. Zatem

$\sum _{i=1}^n{x}_{i}g(v_i,v_j)+(-1)g(v,v_j)=0$      (2.7)

Przyjmijmy $x_{n+1}=-1$. Łącząc (2.6) i (2.7) otrzymujemy układ $n+1$ równości

$\{\begin{array}{l}\sum _i^n{x}_{i}g(v_i,v_j)+x_{n+1}g(v,v_j)=0,j=1,\dots ,n\\ \sum _i^n{x}_{i}g(v_i,v)+x_{n+1}(\Vert v{\Vert }^2-d^2)=0.\end{array}$      (2.8)

Potraktujmy ten układ jako jednorodny układ $n+1$ równań liniowych z $n+1$ niewiadomymi $x_1,\dots ,x_{n+1}$. Wiemy, że układ ten ma niezerowe rozwiązanie $(x_1,\dots ,x_n,-1)$. A zatem wyznacznik macierzy współczynników tego układu jest równy $0$. Macierz współczynników tego układu jest następująca

$\left[\begin{array}{l}g(v_1,v_1)...g(v_n,v_1)g(v,v_1)\\ .......................................................\\ g(v_1,v_n)...g(v_n,v_n)g(v,v_n)\\ g(v_1,v)...g(v_n,v)g(v,v)-d^2\end{array}\right]$      (2.9)

Korzystając teraz z liniowości wyznacznika ze względu na ostatnią kolumnę otrzymujemy równość wyznaczników następujących macierzy

$\left[\begin{array}{l}g(v_1,v_1)...g(v_n,v_1)g(v,v_1)\\ ...............................................\\ g(v_1,v_n)...g(v_n,v_n)g(v,v_n)\\ g(v_1,v)...g(v_n,v)g(v,v)\end{array}\right]$,      (2.10)

$\left[\begin{array}{l}g(v_1,v_1)...g(v_n,v_1)0\\ ...............................................\\ g(v_1,v_n)...g(v_n,v_n)0\\ g(v_1,v)...g(v_n,v)d^2\end{array}\right]$,      (2.11)

Wyznacznik pierwszej macierzy jest równy $\mathrm{G}(v_1,\dots ,v_n,v)$, zaś wyznacznik drugiej macierzy jest równy $d^2\mathrm{G}(v_1,\dots ,v_n)$. Dowód twierdzenia jest zakończony.

Z powyższego twierdzenia wynika natychmiast następujący

Wniosek 2.3

Miara układu wektorów nie zależy od uporządkowania wektorów tworzących układ.

Ponadto udowodniliśmy następujący wzór

Twierdzenie 2.4

Dla dowolnych wektorów $v_1,...v_n,v$ zachodzi wzór

$\mathrm{G}(v_1,\dots ,v_n,v)=d^{2}G(v_1,\dots ,v_n)$,      (2.12)

gdzie liczba $d=d(v,U)$ zdefiniowana jest formułą (2.4) i $U=\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\{v_1,\dots ,v_n\}$.

Miara dowolnego ortonormalnego układu wektorów jest równa 1. Wynika to łatwo zarówno z definicji jak i z formuły (2.5). Innymi słowy, objętość kostki rozpiętej na układzie ortonormalnym jest równa 1.

Niech $f$ będzie endomorfizmem przestrzeni euklidesowej $V$. Załóżmy, że $V$ jest skończenie wymiarowa. Ustalmy pewną bazę ortonormalną $e_1,\dots ,e_n$. Miara układu wektorów $(e_1,\dots ,e_n)$ jest równa 1. Jeśli $f$ jest endomorfizmem przestrzeni $V$, to $f$ przeprowadza daną bazę w układ $f(e_1),\dots ,f(e_n)$. Kolumny macierzy $A$ odwzorowania $f$ przy bazie $e_1,\dots ,e_n$ są współrzędnymi wektorów $f(e_1),\dots ,f(e_n)$ w bazie $e_1,\dots ,e_n$. A zatem, na podstawie Twierdzenia 1.2 i Twierdzenia 2.2, otrzymujemy

Wniosek 2.5

Miara wektorów $f(e_1),\dots ,f(e_n)$ jest równa mierze bazy $e_1,\dots ,e_n$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}f=\pm 1$.

O endomorfizmie $f$ mówimy, że zachowuje objętość, jeśli jego wyznacznik jest równy $\pm 1$. Oczywiście izometrie maja tę własność, ale odwzorowań zachowujących objętość jest o wiele więcej. Każdy automorfizm pomnożony przez odpowiedni skalar jest odwzorowaniem zachowującym objętość. Endomorfizm, którego wyznacznik jest równy 1 nazywa się endomorfizmem unimodularnym.

Ogół macierzy kwadratowych o wymiarach $n$ na $n$, których wyznacznik równy jest 1 jest podgrupą grupy $GL(n;\mathbb{ℝ})$. Grupę tę oznacza się $SL(n;\mathbb{ℝ})$ i nazywa się grupą specjalną. Elementy tej grupy nazywa się macierzami unimodularnymi.