Analiza matematyczna 1/Wykład 14: Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej

Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
Zobacz biografię

W tym wykładzie wprowadzamy pojęcie całki Riemanna dla funkcji jednej zmiennej. Omawiamy całkowalność w sensie Riemanna i podajemy szereg własności całki Riemanna. Dowodzimy twierdzenia całkowego o wartości średniej oraz ciągłości całki jako górnej granicy całkowania. Wykazujemy podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego oraz wzory na całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie. Na koniec definiujemy całki niewłaściwe oraz podajemy kryterium całkowe zbieżności szeregów.

W praktyce spotykamy się niejednokrotnie (choć najczęściej nieświadomie) z całką Riemanna. Wyobraźmy sobie, że jedziemy samochodem; co minutę spoglądamy na wskazania szybkościomierza i zapamiętujemy naszą prędkość. Każdy potrafi obliczyć, że jeśli jechaliśmy $10$ minut, z czego pierwsze $5$ ze zmierzoną prędkością $30$ km/h ($=\frac{1}{2}$km/min), a drugie $5$ minut z prędkością $60$ km/h ($=1$km/min), to przebyliśmy drogę $(5\cdot \frac{1}{2}+5\cdot 1)$ km, czyli $7.5$ km. (Właśnie policzyliśmy sumę całkową!). Skoro pomiarów prędkości dokonujemy co minutę, to oczywiście przebytą drogę policzyliśmy tylko w przybliżeniu. Widać jednak, że im częściej będziemy dokonywać pomiaru prędkości, tym dokładniej nasza suma będzie przybliżała się do rzeczywiście przebytej drogi. Obliczając granicę, do której dążą nasze sumy, gdy coraz bardziej skracamy czas między pomiarami, dostaniemy w końcu dokładną długość przebytej drogi. (Teraz właśnie policzyliśmy całkę Riemanna!).

Plik:AM1.M14.W.R01.svg

Wykres prędkości

Obejrzyjmy teraz wykres na rysunku obok.

Na tym rysunku przedstawiony jest wykres prędkości naszego samochodu w zależności od czasu. Nasza pierwsza suma to $(5\cdot \frac{1}{2}+5\cdot 1)$, czyli suma pól prostokątów zaznaczonych na rysunku. Intuicyjnie jest oczywiste, że gdy będziemy zmniejszać długości odcinków na osi $Ot$, sumy pól prostokątów będą coraz lepiej przybliżać pole powierzchni pod wykresem. W ten sposób odkryliśmy geometryczną interpretację całki Riemanna - jako pola pod wykresem funkcji.

Przejdziemy teraz do formalnego wprowadzenia tego pojęcia.

Definicja 14.1.

Niech $[a,b]\subseteq \mathbb{ℝ}$ będzie przedziałem. Wówczas

$P:a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$

nazywamy podziałem przedziału $[a,b]$ .
Liczbę

$d(P)\stackrel{df}{=}\underset{i=1,\dots n}{\max }(x_i-x_{i-1})$

nazywamy średnicą podziału $P$. Wprowadzamy oznaczenie $\mathrm{\Delta }{x}_i\stackrel{df}{=}{x}_i-x_{i-1}$ dla $i=1,\dots ,n$.

Ciąg podziałów $\{P_m{\}}_{m\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ nazywamy normalnym, jeśli $\lim {}_{m\to +\mathrm{\infty }}d(P_m)=0$.

Definicja 14.2.

Niech $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją oraz niech

$P:a=x_0<x_1<\dots <x_n=b$

będzie podziałem przedziału $[a,b]$. Liczbę

$L(f,P)\stackrel{df}{=}\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i\cdot m_i(f,P),$ gdzie $m_i(f,P)\stackrel{df}{=}\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\inf }f(x)$

nazywamy sumą dolną całkową (Darboux).

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R05.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Suma dolna całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R06.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Suma dolna całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R07.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Suma dolna całkowa

Liczbę

$U(f,P)\stackrel{df}{=}\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i\cdot M_i(f,P),$ gdzie $M_i(f,P)\stackrel{df}{=}\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\sup }f(x)$

nazywamy sumą górną całkową (Darboux).

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R02.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Suma górna całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R03.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Suma górna całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R04.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Suma górna całkowa

Liczbę

$S(f,P)=S(f,P,y_1,\dots ,y_n)\stackrel{df}{=}\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i\cdot f(y_i),M$ dla $y_i\in [x_{i-1},x_i]$

nazywamy sumą całkową funkcji $f$ dla podziału $P$ wyznaczoną przez punkty pośrednie $y_1,\dots ,y_n$.

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R08.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Suma całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R09.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Suma całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R10.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Suma całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R11.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Suma całkowa

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R12.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Suma całkowa

Wprost z definicji wynika następująca uwaga.

Uwaga 14.3.

Jeśli $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ jest funkcją oraz $P$ jest podziałem przedziałem $[a,b]$, to
(1) $L(f,P)\le S(f,P,y_1,\dots ,y_n)\le U(f,P)$ dla dowolnych punktów pośrednich $y_1,\dots ,y_n$;

(2) $\underset{\{(y_1,\dots ,y_n)\}}{\inf }S(f,P,y_1,\dots ,y_n)=L(f,P)$;

(3) $\underset{\{(y_1,\dots ,y_n)\}}{\sup }S(f,P,y_1,\dots ,y_n)=U(f,P)$.

Definicja 14.4.

Niech $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją ograniczoną (to znaczy $\mathrm{\exists }M>0\mathrm{\forall }x\in [a,b]:|f(x)|\le M$).
Funkcję $f$ nazywamy całkowalną w sensie Riemanna w przedziale $[a,b]$, jeśli dla dowolnego normalnego ciągu $\{P_m{\}}_{m\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ podziałów przedziału $[a,b]$ istnieje granica

$\lim {}_{m\to +\mathrm{\infty }}S(f,P_m,y_1^m,\dots ,y_{n_m}^m)$

niezależna od wyboru punktów pośrednich. Granicę tę nazywamy całką Riemanna funkcji $f$ w przedziale $[a,b]$ i oznaczamy

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ lub $(R)\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

Uwaga 14.5.

W definicji brak jest żądania, aby granica była taka sama dla dowolnego ciągu podziałów. Mimo to definicja jest poprawna, to znaczy całka Riemanna jest jednoznacznie określona (to znaczy nie zależy od wyboru ciągu podziałów $\{P_m{\}}_{m\in \mathbb{\mathbb{N}}}$).

Dowód 14.5. [nadobowiązkowy]

Aby to zobaczyć niech $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna. Niech $\{P_m^1\}$ i $\{P_m^2\}$ będą dwoma normalnymi ciągami podziałów przedziału $[a,b]$. Zdefiniujmy nowy ciąg podziałów $\{P_m\}$ jako:

$P_1^1,P_1^2,P_2^1,P_2^2,P_3^1,P_3^2,\dots$

Jest to oczywiście ciąg podziałów normalnych przedziału $[a,b]$ i ponieważ funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, więc granica

$\lim {}_{k\to +\mathrm{\infty }}S(f,P_m,y_1^m,\dots ,y_{n_m}^m)$

istnieje i nie zależy od wyboru punktów pośrednich. Zatem dla podciągów $\{P_{2m}\}$ i $\{P_{2m+1}\}$ granice muszą być takie same, więc

$\lim {}_{m\to +\mathrm{\infty }}S(f,P_m^1)=\lim {}_{m\to +\mathrm{\infty }}S(f,P_m^2)$

Kolejne twierdzenie podaje związek między całkowalnością w sensie Riemanna a sumami górną i dolną Darboux. Dowód pomijamy.

Twierdzenie 14.6.

Jeśli $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ jest funkcją ograniczoną, to $f$ jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale $[a,b]$, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu $\{P_m{\}}_{m\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ podziałów normalnych zachodzi

$\lim {}_{m\to +\mathrm{\infty }}(U(f,P_m)-L(f,P_m))=0$

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R13.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Różnica między górną i dolną sumą całkową

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R14.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Różnica między górną i dolną sumą całkową

<flashwrap>file=AM1.M14.W.R15.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Różnica między górną i dolną sumą całkową

Definicja 14.7.

Niech $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna. Przyjmuje się następujące oznaczenia:

$\begin{array}{lll}\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx& \stackrel{df}{=}& -\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,\\ \underset{a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx& \stackrel{df}{=}& 0\end{array}$

Uwaga 14.8.

Wprost z definicji całki Riemanna wynika, że dla funkcji nieujemnej całkę $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ możemy interpretować jako pole pod wykresem funkcji $f$ na przedziale $[a,b]$.

Zanim podamy klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna (to znaczy takich, dla których całka w sensie Riemanna istnieje) podamy przykład funkcji, dla której całka Riemanna nie istnieje.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)
Zobacz biografię

Przykład 14.9

Funkcja Dirichleta $f:[0,1]⟶\mathbb{ℝ}$ zdefiniowana przez

$f(x)\stackrel{df}{=}\{\begin{array}{ll}1& \text{dla}x\in \mathbb{\mathbb{Q}}\cap [0,1],\\ 0& \text{dla}x\in [0,1]minus\mathbb{\mathbb{Q}},\end{array}$

nie jest całkowalna w sensie Riemanna.
Aby to pokazać, wybierzmy dowolny podział odcinka $[0,1]$:

$P:0=x_0<x_1<\dots <x_n=1$

Z własności zbioru liczb rzeczywistych wiemy, że w każdym przedziale $(x_{i-1},x_i)$ znajduje się zarówno liczba wymierna jak i niewymierna. Zatem

$\begin{array}{lll}L(f,P)& =& \sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i\cdot \underbrace{m_i(f,P)}{}_{=0}=0,\\ U(f,P)& =& \sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i\cdot \underbrace{M_i(f,P)}{}_{=1}=\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i=1.\end{array}$

Zatem z twierdzenia 14.6. wnioskujemy, że funkcja $f$ nie jest całkowalna w sensie Riemanna.

Poniższe twierdzenie podaje, jakie klasy funkcji są całkowalne w sensie Riemanna. Twierdzenie to podajemy bez dowodu. Warto tutaj zaznaczyć, że istnieje pełna charakteryzacja funkcji całkowalnych w sensie Riemanna (to znaczy twierdzenie, które podaje warunek konieczny i wystarczający dla całkowalności w sensie Riemanna). Wykracza to jednak poza niniejszy kurs analizy (temat ten będzie dokładniej omówiony na wykładzie z Analizy Matematycznej 2. (Moduł 10)).

Twierdzenie 14.10. [Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna]

Niech $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją ograniczoną.
(1) Jeśli $f$ jest ciągła, to jest całkowalna w sensie Riemanna.
(2) Jeśli $f$ ma skończoną ilość punktów nieciągłości, to jest całkowalna w sensie Riemanna.
(3) Jeśli $f$ jest monotoniczna, to jest całkowalna w sensie Riemanna.

W kolejnym twierdzeniu zebrano szereg własności całki Riemanna. Dowody wynikające wprost z definicji całki pomijamy.

Plik:AM1.M14.W.R16.mp4

Addytywność całki jako funkcji zbioru

Plik:AM1.M14.W.R17.mp4

Całka z funkcji stałej na przedziale

Plik:AM1.M14.W.R18.mp4

Monotoniczność całki

Plik:AM1.M14.W.R19.mp4

Rysunek do twierdzenia całkowego o wartości średniej

Twierdzenie 14.11. [Własności całki Riemanna]

Jeśli $f,g:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ są funkcjami całkowalnymi w sensie Riemanna, $a<b,k\in \mathbb{ℝ},c\in (a,b)$, to:
(1) Liniowość całki. Funkcje $kf,f\pm g,f\cdot g,\frac{f}{g}$ (o ile $g(x)\ne 0$ dla $x\in [a,b]$) są całkowalne w sensie Riemanna oraz

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf(x)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ i $\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(x)\pm g(x)]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\pm \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$

(2) funkcja $|f|$ jest całkowalna w sensie Riemanna oraz

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$

(3) jeśli $[c,d]\subseteq [a,b]$, to $f{|}_{[c,d]}$ jest całkowalna w sensie Riemanna;
(4) jeśli zmienimy wartości funkcji $f$ w skończonej ilości punktów, to funkcja nadal pozostanie całkowalna w sensie Riemanna i jej całka nie ulegnie zmianie;

(5)

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

(6)

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}kdx=k(b-a)$

w szczególności

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}0dx=0,\underset{a}{\overset{b}{\int }}1dx=b-a;$

(7) jeśli $f\ge 0$ (to znaczy $\mathrm{\forall }x\in [a,b]f(x)\ge 0$), to $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\ge 0$;
jeśli $f>0$, to $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx>0$;

(8) Monotoniczność całki. Jeśli $f\le g$, to $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$;
jeśli $f<g$, to $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx<\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$;

(9) jeśli $\{x_n\},\{y_n\}\subseteq [a,b]$ są dwoma ciągami takimi, że $x_n⟶x_0,y_n⟶y_0$ oraz $x_n\le y_n$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$,
to $\underset{x_n}{\overset{y_n}{\int }}f(x)dx⟶\underset{x_0}{\overset{y_0}{\int }}f(x)dx$.

Twierdzenie 14.12. [Twierdzenie całkowe o wartości średniej]

Jeśli $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna oraz
$\mathrm{\exists }m,M\in \mathbb{ℝ}\mathrm{\forall }x\in [a,b]:m\le f(x)\le M$, to $\mathrm{\exists }\mu \in [m,M]:\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\mu (b-a)$.

Dowód 14.12.

Z własności monotoniczności całki wynika, że

$m(b-a)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}mdx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}Mdx=M(b-a)$

Dzieląc stronami przez $(b-a)$, dostajemy:

$m\le \frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le M$

Zatem, jeśli zdefiniujemy $\mu \stackrel{df}{=}\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$, to otrzymujemy tezę twierdzenia.

Kolejne twierdzenia doprowadzą nas do związku całki Riemanna z całką nieoznaczoną. Pierwsze z twierdzeń mówi, jak za pomocą całki Riemanna z funkcji ciągłej (wówczas całka Riemanna zawsze istnieje) uzyskać wzór na pierwotną funkcji podcałkowej.

Twierdzenie 14.13. [Własności całki jako funkcji górnej granicy całkowania]

Jeśli $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna oraz

$F(x)\stackrel{df}{=}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ dla $x\in [a,b]$, to
(1) $F$ jest ciągła w $[a,b]$;
(2) jeśli $f$ jest ciągła w punkcie $x_0\in (a,b)$, to funkcja $F$ jest różniczkowalna w $x_0$ oraz $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$;
(3) jeśli $f$ jest funkcją ciągłą, to $F$ jest funkcją pierwotną dla $f$.

Dowód 14.13. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Pokażemy ciągłość prawostronną funkcji $F$ w dowolnym punkcie $x_0\in [a,b)$ (dowód lewostronnej ciągłości w punktach przedziału $(a,b]$ jest analogiczny; z obu tych faktów wynika ciągłość funkcji $F$ w przedziale $[a,b]$; patrz twierdzenie 8.17.). Niech $\{x_n\}\subseteq (x_0,b)$ będzie ciągiem takim, że $x⟶x_0^{+}$. Należy wykazać, że $F(x_n)⟶F(x_0$). Bez straty ogólności można założyć, że $\{x_n\}$ jest ciągiem monotonicznie malejącym do $x_0$ (piszemy $x_n\searrow x_0$). Z definicji funkcji $F$ oraz twierdzenie 14.11. (2) mamy

$|F(x_n)-F(x_0)|=|\underset{x_0}{\overset{x_n}{\int }}f(t)dt|\le \underset{x_0}{\overset{x_n}{\int }}|f(t)|dt$

Ponieważ $x_n\searrow x_0$, więc z twierdzenie 14.11. (9) mamy

$\underset{x_0}{\overset{x_n}{\int }}|f(t)|dt\searrow \underset{x_0}{\overset{x_0}{\int }}|f(t)|dt=0$,

czyli pokazaliśmy, że $F$ jest prawostronnie ciągła w punkcie $x_0\in [a,b)$.
(Ad (2)) Niech $x_0\in (a,b)$. Dla $x\in (a,b)minus\{x_0\}$ mamy

$\begin{array}{lll}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)& =& \frac{1}{x-x_0}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt-f(x_0)\frac{1}{x-x_0}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}dt\\ & =& \frac{1}{x-x_0}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}[f(t)-f(x_0)]dt.\end{array}$

Ustalmy dowolne $\epsilon >0$. Ponieważ funkcja $f$ jest ciągła w $x_0$, więc

$\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }t\in [a,b]:[|t-x_0|<\delta ⟹|f(t)-f(x_0)|<\epsilon ]$

Niech $x\in (a,b)minus\{x_0\}$ będzie takie, że $|x-x_0|<\delta$. Wówczas

$|\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)|=\frac{1}{|x-x_0|}\left|\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\epsilon dt\right|=\frac{1}{|x-x_0|}\epsilon |x-x_0|=\epsilon$

Zatem pokazaliśmy, że

$\lim {}_{\begin{array}{l}x\to x_0\\ x\ne x_0\end{array}}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)$

czyli $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$.
(Ad (3)) Wynika natychmiast z (2).

Natychmiastową konsekwencją powyższego twierdzenia jest następujący wniosek.

Wniosek 14.14.

Jeśli $f\in C([a,b];\mathbb{ℝ})$, to $\frac{d}{dx}(\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt){|}_{x=x_0}=f(x_0)\mathrm{\forall }{x}_0\in (a,b)$.

Kolejne twierdzenie podaje związek między pierwotną a całką Riemanna. Mówi ono, że do policzenia całki Riemanna z funkcji ciągłej na przedziale, wystarczy znać wartości pierwotnej na końcach tego przedziału.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Zobacz biografię

Twierdzenie 14.15. [Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego; Twierdzenie Newtona-Leibniza]

Jeśli $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ jest funkcją ciągłą, $F$ jest pierwotną funkcji $f$, to

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Oznaczenie: $F{|}_a^b=F(b)-F(a)$.

Dowód 14.15.

Z twierdzenia 14.13. (2) wynika, że funkcja

$F_1:[a,b]\ni x⟼F_1(x)\stackrel{df}{=}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

jest pierwotną funkcji $f$. Ponieważ $F$ jest także pierwotną, więc korzystając z faktu, że każde dwie pierwotne różnią się o stałą, dostajemy

$\mathrm{\exists }c\in \mathbb{ℝ}\mathrm{\forall }x\in [a,b]:F(x)-F_1(x)=c$

zatem także

$c=F(a)-\underbrace{F_1(a)}{}_{=0}=F(a)$

czyli

$F(b)-F(a)=F(b)-c=F_1(b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

co należało dowieść.

Natychmiastową konsekwencją powyższego twierdzenia jest następujący wniosek.

Wniosek 14.16.

Jeśli $F\in C^1([a,b];\mathbb{ℝ})$, to $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{F}^{\prime }(x)dx=F{|}_a^b$.

Kolejne twierdzenie podaje wersję wzoru całkowania przez części dla całki Riemanna. Dowód, analogiczny jak dla całki nieoznaczonej, pomijamy.

Twierdzenie 14.17. [Całkowanie przez części]

(1) Jeśli $F,G\in C^1([a,b];\mathbb{ℝ})$, to

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}F{G}^{\prime }dx=FG{|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{F}^{\prime }Gdx$

(2) Jeśli $F,G\in C^{n+1}([a,b];\mathbb{ℝ}),n\ge 1$, to

$\begin{array}{lll}\underset{a}{\overset{b}{\int }}F{G}^{n+1}dx& =& [F{G}^{(n)}-F^{\prime }{G}^{(n-1)}+\dots +(-1{)}^n{F}^{(n)}G]{|}_a^b+(-1{)}^{n+1}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{F}^{(n+1)}Gdx\\ & =& [\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{F}^{(k)}{G}^{(n-k)}]{|}_a^b+(-1{)}^{n+1}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{F}^{(n+1)}Gdx.\end{array}$

$F^{(0)}\stackrel{ozn}{=}F$.

Przykład 14.18.

Obliczyć $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\sin xdx$.

Liczymy

$\begin{array}{rll}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\sin xdx& =& \left|\begin{array}{ll}{f}^{\prime }(x)=\sin x& f(x)=-\cos x\\ g(x)=x& g^{\prime }(x)=1\end{array}\right|\\ & =& -x\cos x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos xdx=0+\sin x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=1.\end{array}$

Kolejne twierdzenie podaje wzór na zmianę zmiennych w całce Riemanna. Ze względu na prostotę dowodu podamy go tutaj dla funkcji ciągłej. Twierdzenie to zachodzi także przy słabszych założeniach.

Twierdzenie 14.19. [Całkowanie przez podstawienie; Zmiana zmiennych w całce]

Jeśli $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ jest funkcją ciągłą (a zatem w szczególności całkowalną w sensie Riemanna), $P\subseteq \mathbb{ℝ}$ jest przedziałem o końcach
$\alpha$ i $\beta$ (to znaczy $P=[\alpha ,\beta ]$ lub $P=[\beta ,\alpha ]$), $\phi :P⟶[a,b]$ jest funkcją klasy $C^1,\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$, to

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(\phi (t))\cdot {\phi }^{\prime }(t)dt$

Dowód 14.19.

Pierwotną funkcji $f$ (która istnieje, gdyż $f$ jest ciągła) oznaczmy przez $F$, to znaczy $F^{\prime }=f$. Zdefiniujmy funkcję $\mathrm{\Phi }(t)=F(\phi (t))$. Wówczas $\mathrm{\Phi }$ jest funkcją klasy $C^1$ oraz

${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(t)=F^{\prime }(\phi (t))\cdot {\phi }^{\prime }(t)=f(\phi (t))\cdot {\phi }^{\prime }(t)$

to znaczy funkcja $\mathrm{\Phi }$ jest pierwotną funkcji $t⟼f(\phi (t))\cdot {\phi }^{\prime }(t)$. Z twierdzenia 14.15. mamy

$\begin{array}{lll}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx& =& F(b)-F(a)=F(\phi (\beta ))-F(\phi (\alpha ))\\ & =& \mathrm{\Phi }(\beta )-\mathrm{\Phi }(\alpha )=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(\phi (t))\cdot {\phi }^{\prime }(t)dt,\end{array}$

Przykład 14.20.

Obliczyć całkę $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx$.

W niniejszym przykładzie zastosujemy dość nietypowe podstawienie $x=\phi (t)=\mathrm{t}\mathrm{g}t$.

$\begin{array}{lll}I& =& \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx=\left|\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{t}\mathrm{g}t\\ dx& =& \frac{1}{{\cos }^{2}t}dt\end{array}\right|\\ & =& \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\ln (1+\mathrm{t}\mathrm{g}t)}{1+\mathrm{t}\mathrm{g}{}^{2}t}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}t}dt=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\ln (1+\mathrm{t}\mathrm{g}t)}{{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t}dt=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln (1+\mathrm{t}\mathrm{g}t)dt.\end{array}$

Przekształcając wyrażenie trygonometryczne $1+\mathrm{t}\mathrm{g}t$, korzystając ze wzoru

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$,

otrzymujemy

$\begin{array}{lll}1+\mathrm{t}\mathrm{g}t& =& 1+\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{\sin t+\cos t}{\cos t}=\frac{\sin t+\sin (\frac{\pi }{2}-t)}{\cos t}\\ & =& \frac{2\sin \frac{\pi }{4}\cos (t-\frac{\pi }{4})}{\cos t}=\frac{\sqrt{2}\cos (t-\frac{\pi }{4})}{\cos t}.\end{array}$

Wracając do naszej całki, mamy

$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln \frac{\sqrt{2}\cos (t-\frac{\pi }{4})}{\cos t}=\underbrace{\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln \sqrt{2}dt}{}_{=A}+\underbrace{\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln \cos (t-\frac{\pi }{4})dt}{}_{=B}-\underbrace{\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln \cos tdt}{}_{=C}$

Policzmy każdą z całek $A,B$ i $C$ osobno:

$\begin{array}{lll}A& =& \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln \sqrt{2}dt=\ln \sqrt{2}\cdot x{|}_0^{\frac{\pi }{4}}=\frac{\pi }{4}\ln \sqrt{2}=\frac{\pi }{8}\ln 2;\\ B& =& \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln \cos (t-\frac{\pi }{4})dt=\left|\begin{array}{rcl}t& =& \frac{\pi }{4}-s\\ dt& =& ds\end{array}\right|=\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{0}{\int }}(-1)\ln \cos (-s)ds=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln \cos sds=C.\end{array}$

Ponieważ $B=C$, więc niepotrzebna jest nam znajomość całek $B$ i $C$ (wystarczy nam wiedza, że one istnieją), gdyż

$I=A+B-C=A=\frac{\pi \ln 2}{8}$

Zdefiniowana do tej pory całka Riemanna mogła być określona tylko dla funkcji ograniczonej na przedziale ograniczonym. Nietrudno jest zauważyć, że oba te założenia były konieczne, aby granice całkowe Darboux były skończone. Z praktycznego punktu widzenia rozważa się także całki niewłaściwe (gdy obszar jest nieograniczony lub gdy funkcja jest nieograniczona). Definicje takich całek można postawić na bazie całki Riemanna z funkcji ograniczonej na zbiorze ograniczonym.

Plik:AM1.M14.W.R20.mp4

Całka niewłaściwa

Plik:AM1.M14.W.R21.mp4

Całka niewłaściwa

Definicja 14.21. [Całki niewłaściwe]

(1) Niech $-\mathrm{\infty }\le a<b<+\mathrm{\infty }$ oraz niech $f:(a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją. Przez całkę niewłaściwą funkcji $f$ na przedziale $(a,b]$ rozumiemy

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\stackrel{df}{=}\underset{a^{\prime }\searrow a^{+}}{\lim }\underset{a^{\prime }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$,

o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.

(2) Niech $-\mathrm{\infty }<a<b\le +\mathrm{\infty }$ oraz niech $f:[a,b)⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją. Przez całkę niewłaściwą funkcji $f$ na przedziale $[a,b)$ rozumiemy

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\stackrel{df}{=}\underset{b^{\prime }\nearrow b^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{b^{\prime }}{\int }}f(x)dx$

o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.
(3) Niech $-\mathrm{\infty }\le a<b\le +\mathrm{\infty }$ oraz niech $f:(a,b)⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją. Przez całkę niewłaściwą funkcji $f$ na przedziale $(a,b)$ rozumiemy

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x),dx\stackrel{df}{=}\lim {}_{\begin{array}{r}{a}^{\prime }\searrow a^{+}\\ b^{\prime }\nearrow b^{-}\end{array}}\underset{a^{\prime }}{\overset{b^{\prime }}{\int }}f(x),dx$

o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.

Gdy całka niewłaściwa $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ istnieje, to mówimy, że całka jest zbieżna (w przeciwnym razie mówimy, że całka jest rozbieżna). Jeśli całka niewłaściwa $\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$ istnieje to mówimy, że całka jest bezwzględnie zbieżna (oczywiście zbieżność bezwzględna całki implikuje zbieżność całki; Patrz twierdzenie 14.11. (2)).

Uwaga 14.22.

Jeśli funkcja $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ jest całkowalna w sensie Riemanna, to całki niewłaściwe z funkcji $f{|}_{(a,b]},f_{[a,b)}$ oraz $f_{(a,b)}$ są równe dokładnie całce Riemanna. Wynika to wprost z twierdzenie 14.11. (9).

Plik:AM1.M14.W.R22.mp4

Wykres funkcji $f(x)=\frac{\sin x}{x}$

Przykład 14.23.

Udowodnić zbieżność całki $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x^{\alpha }}$ dla $a\in \mathbb{ℝ}$ oraz $\alpha >0$.

Wprowadźmy oznaczenie:

$F(z)=\underset{a}{\overset{z}{\int }}\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\mathrm{\forall }z\ge a$

Pokażemy, że funkcja $F$ spełnia warunek Cauchy'ego w $+\mathrm{\infty }$, co będzie implikowało istnienie granicy $\underset{z\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(z)$. W tym celu ustalmy dowolne $\epsilon >0$. Niech $M>a$ będzie odpowiednio duże, tak aby $\frac{3}{M^{\alpha }}<\epsilon$. Dla dowolnych $z^{\prime }>z>M$ mamy

$\begin{array}{lll}F(z^{\prime })-F(z)& =& \underset{z}{\overset{z^{\prime }}{\int }}\frac{\sin x}{x^{\alpha }}dx=\left|\begin{array}{ll}{f}^{\prime }(x)=\sin x& f(x)=-\cos x\\ g(x)=\frac{1}{x^{\alpha }}& g^{\prime }(x)=\frac{-\alpha }{x^{\alpha +1}}\end{array}\right|\\ & =& \frac{-\cos x}{x^{\alpha }}{|}_z^{z^{\prime }}+\alpha \underset{z}{\overset{z^{\prime }}{\int }}\frac{\cos x}{x^{\alpha +1}}dx=\frac{-\cos z^{\prime }}{{z^{\prime }}^{\alpha }}+\frac{\cos z}{z^{\alpha }}+\alpha \underset{z}{\overset{z^{\prime }}{\int }}\frac{\cos x}{x^{\alpha +1}}dx.\end{array}$

Całkę powyższą możemy teraz oszacować:

$\left|\alpha \underset{z}{\overset{z^{\prime }}{\int }}\frac{\cos x}{x^{\alpha +1}}dx\right|\le \alpha \underset{z}{\overset{z^{\prime }}{\int }}\frac{1}{x^{\alpha +1}}dx=\frac{-1}{x^{\alpha }}{|}_z^{z^{\prime }}=\frac{1}{z^{\alpha }}-\frac{1}{{z^{\prime }}^{\alpha }}<\frac{1}{z^{\alpha }}$

Zatem mamy

$|F(z^{\prime })-F(z)|<\frac{3}{z^{\alpha }}<\frac{3}{M^{\alpha }}<\epsilon$

Zatem funkcja $F$ spełnia warunek Cauchy'ego w $+\mathrm{\infty }$, a więc ma granicę (skończoną) w $+\mathrm{\infty }$.
Warto tu dodać, że pomimo dowodu istnienia całki niewłaściwej $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x^{\alpha }}dx$, nie znamy sposobów wyliczenie tej całki dla dowolnego $a$, nawet w przypadku $\alpha =1$ (przypomnijmy, że dla funkcji $f(a)=\frac{\sin x}{x}$ pierwotna nie jest funkcją elementarną). Dla pewnych wartości $a$ całkę tę daje się wyliczyć metodami, których nie poznamy w ramach tego kursu. Dla przykładu dla $a=0$ całka ta wynosi $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$.

Plik:AM1.M14.W.R23.svg

Wykresy funkcji $f_1(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$, $f_2(x)=\frac{1}{x}$, $f_3(x)=\frac{1}{x^2}$

Plik:AM1.M14.W.R24.svg

Wykresy funkcji $f_1(x)=\left|\frac{\sin x}{x}\right|$, $f_2(x)=\left|\frac{\sin x}{x^2}\right|$, $f_3(x)=\left|\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\right|$

Przykład 14.24.

Udowodnić, że:
(1) Całka $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^{\alpha }}dx$ jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha <1$;

(2) Całka $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^{\alpha }}dx$ jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha >1$;

(3) Całka $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\left|\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\right|dx$ jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha >1$ (gdzie $a>0$).

(Ad (1)) Ponieważ

$\int \frac{1}{x^{\alpha }}dx=\{\begin{array}{lll}\frac{1}{1-\alpha }{x}^{1-\alpha }+c& \text{dla}& \alpha \ne 1,\\ \ln x+c& \text{dla}& \alpha =1,\end{array}$

więc rozważmy osobno dwa przypadki.
Przypadek 1. $\alpha \ne 1$.

$\begin{array}{lll}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^{\alpha }}dx& =& \underset{a\to 0^{+}}{\lim }\underset{a}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^{\alpha }}dx=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{1}{1-\alpha }{x}^{1-\alpha }\right){|}_a^1=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{1-\alpha }(1-a^{1-\alpha })\\ & =& \{\begin{array}{lll}\frac{1}{1-\alpha }& \text{dla}& \alpha <1,\\ +\mathrm{\infty }& \text{dla}& \alpha >1.\end{array}\end{array}$

Przypadek 2. $\alpha =1$.

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }\underset{a}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }\ln x{|}_a^1=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }(0-\ln a)=+\mathrm{\infty }$

Wykazaliśmy zatem, że całka jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha <1$.
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu w części (1) pozostawiamy jako ćwiczenie.
(Ad (3)) Gdy $\alpha >1$, to możemy oszacować:

$\begin{array}{lll}\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left|\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\right|dx& =& \underset{b\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\right|dx\le \underset{b\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x^{\alpha }}dx\\ & =& \underset{b\to +\mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{1}{-\alpha +1}{x}^{-\alpha +1}{]}_a^b=0+\frac{1}{(1-\alpha )a^{1-\alpha }}<+\mathrm{\infty }.\end{array}$

Gdy $\alpha \le 1$, to mamy

$\mathrm{\forall }x\ge 1:x^{\alpha }\le x$

Możemy także ustalić $k$ takie, że $k\pi \ge a$. Wówczas mamy:

$\begin{array}{lll}\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left|\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\right|dx& \ge & \underset{k\pi }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|\sin x|}{x}dx=\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}\underset{i\pi }{\overset{(i+1)\pi }{\int }}\frac{|\sin x|}{x}dx\\ & \ge & \sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\pi (i+1)}\underset{i\pi }{\overset{(i+1)\pi }{\int }}|\sin x|dx=\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{\pi (i+1)}=+\mathrm{\infty }.\end{array}$

Przedostatnia równość wynika z faktu, że $\underset{i\pi }{\overset{(i+1)\pi }{\int }}|\sin x|dx=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|\sin x|dx=2$, natomiast ostatnia z faktu, że szereg harmoniczny jest rozbieżny.

Uwaga 14.25.

W rachunkach będziemy pisać krótko

$F(x){|}_a^{+\mathrm{\infty }}\text{zamiast}\underset{b^{\prime }\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x){|}_a^{b^{\prime }}$

oraz

$F(x){|}_{-\mathrm{\infty }}^b\text{zamiast}\underset{a^{\prime }\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x){|}_{a^{\prime }}^b$

Plik:AM1.M14.W.R25.mp4

Rysunek do kryterium całkowego zbieżności szeregów

Na zakończenie podamy jeden z wielu związków całki z szeregiem. Następujące twierdzenie jest jeszcze jednym kryterium zbieżności szeregów. Może być ono wykorzystane także do badania zbieżności całki przy pomocy badania zbieżności szeregu.

Twierdzenie 14.26. [Kryterium całkowe zbieżności szeregów]

Jeśli $n_0\in \mathbb{\mathbb{N}}$ oraz $f:[n_0,+\mathrm{\infty }]⟶{\mathbb{ℝ}}_{+}$ jest funkcją malejącą oraz całkowalną w sensie Riemanna, to szereg $\sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy całka $\underset{n_0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ jest zbieżna.

Dowód tego twierdzenia pozostawiamy jako proste ćwiczenie oparte na następującym sugestywnym rysunku:

Przykład 14.27.

Zbadać zbieżność szeregu $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{\ln }^{2}n}$.

Zauważmy, że funkcja $f(x)=\frac{1}{x{\ln }^{2}x}$ jest ciągła i malejąca na przedziale $[2,+\mathrm{\infty })$. Można zatem stosować kryterium całkowe zbieżności szeregów. Zbieżność szeregu $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{\ln }^{2}n}$ jest równoważna zbieżności całki $\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x{\ln }^{2}x}dx$. Liczymy

$\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x{\ln }^{2}x}dx=\left|\begin{array}{rcl}\ln x& =& t\\ \frac{1}{x}dx& =& dt\end{array}\right|=\underset{\ln 2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{t^2}=-\frac{1}{t}{|}_{\ln 2}^{+\mathrm{\infty }}=\frac{1}{\ln 2}<+\mathrm{\infty }$

Zatem korzystając z kryterium całkowego

zbieżności szeregów, otrzymujemy, że szereg jest zbieżny.