Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 15: Euklidesowe przestrzenie afiniczne

Zadanie 15.1

Dane są dwa punkty: $a=(3,2)$ i $b=(0,2)$. Na odcinku $ab$ zbudowano równoległobok, którego przekątne przecinają się w punkcie $c=(3,4)$. Napisać równania boków i przekątnych równoległoboku.

Wskazówka

Trzeba skorzystać ze znanego z geometrii twierdzenia, że punkt przecięcia przekątnych równoległoboku dzieli je na połowy.

Rozwiązanie

Niech $d$ i $e$ oznaczają nieznane wierzchołki równoległoboku. Zauważmy, że

$\begin{array}{rl}d& =a+\overrightarrow{ad}=a+2\overrightarrow{ac}\\ & =(3,2)+2(0,2)=(3,6)\\ e& =b+\overrightarrow{be}=b+2\overrightarrow{bc}\\ & =(0,2)+2(3,2)=(6,6).\end{array}$

Zatem wierzchołkami równoległoboku są punkty

$\begin{array}{rlrlrlr}a& =(3,2),& b& =(0,2),& d& =(3,6),& e=(6,6).\end{array}$

Równania boków to:

$\begin{array}{rl}\overline{ab}& =\{a+t\overrightarrow{ab}:t\in [0,1]\}=\{(3,2)+t(-3,0):t\in [0,1]\},\\ \overline{bd}& =\{b+t\overrightarrow{bd}:t\in [0,1]\}=\{(0,2)+t(3,4):t\in [0,1]\},\\ \overline{de}& =\{d+t\overrightarrow{de}:t\in [0,1]\}=\{(3,6)+t(3,0):t\in [0,1]\},\\ \overline{ea}& =\{e+t\overrightarrow{ea}:t\in [0,1]\}=\{(6,6)+t(-3,-4):t\in [0,1]\}.\end{array}$

Równania przekątnych to:

$\begin{array}{rl}\overline{ad}& =\{a+t\overrightarrow{ad}:t\in [0,1]\}=\{(3,2)+t(0,4):t\in [0,1]\},\\ \overline{be}& =\{b+t\overrightarrow{bd}:t\in [0,1]\}=\{(0,2)+t(6,4):t\in [0,1]\}.\end{array}$

Zadanie 15.2

W przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$ dana jest płaszczyzna $\mathrm{\Pi }$. Wiadomo, że punkt $a=(-1,2,1)$ należy do $\mathrm{\Pi }$ oraz że kierunkiem $\mathrm{\Pi }$ jest $\{u,v\}$, gdzie $u=(0,1,-1)$, $v=(1,-2,2)$. Zapisać $\mathrm{\Pi }$ w postaci normalnej oraz obliczyć odległość punktu $b=(3,-2,1)$ od tej płaszczyzny.

Wskazówka

Trzeba znaleźć równanie kierunkowe prostej prostopadłej do $\text{ lin }\{u,v\}$, a następnie przesunąć ją o $(3,-2,1)$

Rozwiązanie

Korzystając z zadania 12.3 wiemy, że wektorem prostopadłym do $\text{ lin }\{u,v\}$ jest wektor $u\times v$. Jak łatwo sprawdzić dla $u=(0,1,-1)$ oraz $v=(1,-2,2)$ otrzymujemy

$u\times v=(0,-1,-1),$

a po znormalizowaniu

$w=\frac{u\times v}{||u\times v||}=(0,-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}).$

Oznacza to, że równaniem normalnym kierunku płaszczyzny $\mathrm{\Pi }$ jest

$-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_3=0,$

a równaniem normalnym $\mathrm{\Pi }$ jest

$-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_3+\frac{3\sqrt{2}}{2}=0.$

Odległość punktu $b=(y_1,y_2,y_3)$ od tej płaszczyzny dana jest wzorem

$d(b,\mathrm{\Pi })=|-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_2-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_3+\frac{3\sqrt{2}}{2}|.$

Podstawiając $b=(3,-2,1)$ otrzymujemy

$d(b,\mathrm{\Pi })=2\sqrt{2}.$

Zadanie 15.3

W przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$ ze standardowym iloczynem skalarnym dane są płaszczyzny

$\begin{array}{rl}H& :=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x+2y+3z=5\}\\ K& :=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3;x+y-z=1\}\end{array}$

Niech $l$ oznacza prostą powstałą w wyniku przecięcia się płaszczyzn $H$ oraz $K$. Wyznaczyć płaszczyznę prostopadłą do prostej $l$ i przecinającą ją w punkcie $(2,0,1)$.

Wskazówka

Wystarczy znaleźć płaszczyznę wektorową prostopadłą do kierunku prostej $l$ i zaczepić ją w punkcie $(2,0,1)$.

Rozwiązanie

Równanie kierunkowe prostej $l$ wyznaczymy rozwiązując opisujący ją układ równań

$\{\begin{array}{rcrcrc}x& +& 2y& +& 3z& =5\\ x& +& y& -& z& =1\end{array}$

Otrzymujemy, że

$l=\{(-3,4,0)+t(5-4,1):t\in \mathbb{ℝ}\}$

Każda płaszczyzna prostopadła do prostej $l$ dana jest równaniem

$5x-4y+z+c=0,$

co oznacza, że płaszczyzna prostopadła do prostej $l$ i przecinającą ją w punkcie $(2,0,1)$ dana jest równaniem

$5x-4y+z-11=0.$

Zadanie 15.4

W przestrzeni afinicznej ${\mathbb{ℝ}}^3$ dana jest płaszczyzna

$P=\{(2-s+t,-3+4s,1+s+t);s,t\in \mathbb{ℝ}\}$

oraz punkt $a=(1,2,-1)$. Obliczyć odległość punktu $a$ od płaszczyzny $P$. Wyznaczyć płaszczyznę równoległą do $P$ i zawierającą punkt $a$. Wyznaczyć prostą prostopadłą do $P$, zawierającą punkt $a$.

Wskazówka

W przypadku równania normalnego odległość punktu od hiperpłaszczyzny obliczamy wstawiając współrzędne punktu do równania i biorąc moduł otrzymanej wartości.

Rozwiązanie

Zauważmy, że

$\begin{array}{rl}P& =\{(2-s+t,-3+4s,1+s+t):s,t\in \mathbb{ℝ}\}\\ & =\{(2,-3,1)+s(-1,4,1)+t(1,0,1):s,t\in \mathbb{ℝ}\}.\end{array}$

Oznacza to, że prosta wektorowa prostopadła do kierunku $P$ jest generowana przez wektor $(-1,4,1)\times (1,0,1)$. Ponieważ

$(-1,4,1)\times (1,0,1)=(4,2,-4)$

otrzymujemy, że

$P=(2,-3,1)+(\text{ lin }\{(4,2,-4)\}{)}^{\mathrm{\perp }},$

czyli równaniem krawędziowym $P$ jest

$4x+2y-4z+2=0.$

Co więcej

$\begin{array}{rl}d(a,P)& =\frac{|4\cdot 1+2\cdot 2-4\cdot (-1)+2|}{\sqrt{4^2+2^2+(-4{)}^2}}\\ & =\frac{14}{\sqrt{36}}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}.\end{array}$

Płaszczyzna równoległa do $P$ i zawierająca punkt $a$ ma równanie

$4x+2y-4z-10=0,$

a prosta prostopadła do $P$, zawierającą punkt $a$ dana jest równaniem

$(1,2,-1)+t(4,2,-4),t\in \mathbb{ℝ}.$

Zadanie 15.5

Dany jest czworościan o wierzchołkach

$\begin{array}{rlrlrlrl}a& =(1,0,1),& b& =(1,1,-1),& c& =(2,2,4),& d& =(3,-1,1).\end{array}$

Obliczyć jego objętość oraz wysokość opuszczoną na ścianę $abc$. Obliczyć pole trójkąta $bcd$.

Wskazówka

Wystarczy skorzystać z wzorów podanych na wykładzie.

Rozwiązanie

Zgodnie ze wzorami podanymi na wykładzie

$\text{ vol }\{a,b,c,d\}=\frac{1}{3!}\sqrt{G(\overrightarrow{ab},\overrightarrow{ac},\overrightarrow{ad})},$

czyli

$\text{ vol }\{a,b,c,d\}=\frac{1}{6}\sqrt{G((0,1,-2),(1,2,3),(2,-1,0))}.$

Po wykonaniu odpowiednich obliczeń otrzymujemy

$\text{ vol }\{a,b,c,d\}=\frac{1}{6}16=\frac{8}{3}.$

Pole ściany $bcd$

$\text{ vol }\{b,c,d\}=\frac{1}{2!}\sqrt{G(\overrightarrow{bc},\overrightarrow{bd})},$

czyli

$\text{ vol }\{b,c,d\}=\frac{1}{2}\sqrt{G((1,1,5),(2,-2,2))}.$

Po wykonaniu odpowiednich obliczeń otrzymujemy

$\text{ vol }\{b,c,d\}=\frac{1}{2}4\sqrt{14}=2\sqrt{14}.$

Aby obliczyć wysokość opuszczoną na ścianę $abc$ wystarczy skorzystać ze wzoru:

$\text{ vol }\{a,b,c,d\}=\frac{1}{3}vol\{a,b,c\}h.$

Ponieważ

$\text{ vol }\{a,b,c\}=\frac{1}{2}\sqrt{G((0,1,-2),(1,2,3))}=\frac{3}{2}\sqrt{6},$

zatem

$h=3\frac{\text{ vol }\{a,b,c,d\}}{\text{ vol }\{a,b,c\}}=3\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{6}}=4\sqrt{\frac{7}{3}}.$

Zadanie 15.6

Wykazać, że punkty

$\begin{array}{rlrlrlrl}a& =(1,-1,-2),& b& =(1,0,1),& c& =(2,3,4),& d& =(2,2,1)\end{array}$

leżą w jednej płaszczyźnie. Napisać równanie normalne tej płaszczyzny.

Wskazówka

Można ustalić jeden punkt, np. $a$ i badać liniową zależność wektorów $\overrightarrow{ab},\overrightarrow{ac}$ i $\overrightarrow{ad}$. Podstawiając do równania $\alpha x+\beta y+\gamma z-\delta =0$ współrzędne zadanych punktów otrzymamy układ równań liniowych o niewiadomych $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$. Teraz wystarczy znaleźć jego rozwiązanie spełniające warunek ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=1$.

Rozwiązanie

Aby wykazać, że podane wektory leżą w jednej płaszczyźnie zbadamy rząd macierzy $A$, której kolumny są wyznaczone przez wektory $\overrightarrow{ab}$, $\overrightarrow{ac}$ i $\overrightarrow{ad}$, czyli

$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 4& 3\\ 3& 6& 3\end{array}\right].$

Jak łatwo obliczyć rząd tej macierzy jest równy $2$, co oznacza, że punkty $a=(1,-1,-2)$, $b=(1,0,1)$, $c=(2,3,4)$ i $d=(2,2,1)$ leżą w jednej płaszczyźnie. Równanie tej płaszczyzny postaci

$\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta =0$

znajdziemy rozwiązując układ równań

$\{\begin{array}{rcrcrcrc}\alpha & -& \beta & -& 2\gamma & +& \delta =& 0\\ \alpha & & & +& \gamma & +& \delta =& 0\\ 2\alpha & +& 3\beta & +& 4\gamma & +& \delta =& 0\\ 2\alpha & +& 2\beta & +& \gamma & +& \delta =& 0\end{array}$

Po wykonaniu odpowiednich obliczeń widzimy, że rozwiązania tego układu muszą być postaci

$\begin{array}{rlrlrlrl}\alpha & =6t,& \beta & =-3t,& \gamma & =t,& \delta & =-7t,\end{array}$

gdzie $t\in \mathbb{ℝ}$. W szczególności rozwiązaniem takim, że ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=1$ jest

$\begin{array}{rlrlrlrl}\alpha & =3\frac{\sqrt{46}}{23},& \beta & =-3\frac{\sqrt{46}}{46},& \gamma & =\frac{\sqrt{46}}{46},& \delta & =-7\frac{\sqrt{46}}{46}.\end{array}$

Zadanie 15.7

Znaleźć wartość parametru $a\in \mathbb{ℝ}$, przy której prosta o przedstawieniu parametrycznym

$(2,1,3)+t(-3,1,-3)$

jest prostopadła do płaszczyzny o równaniu

$(a-2)x_1+(2+a)x_2+3a{x}_3=5$.

Wskazówka

Zauważmy, że wektor $((a-2),(2+a),3a)$ jest prostopadły do kierunku naszej płaszczyzny, zatem wystarczy tak dobrać $a$, żeby wektory $(-3,1,-3)$ i $((a-2),(2+a),3a)$ były proporcjonalne.

Rozwiązanie

Zauważmy, że wektor $((a-2),(2+a),3a)$ jest prostopadły do kierunku naszej płaszczyzny, zatem wystarczy tak dobrać $a$, żeby wektory $(-3,1,-3)$ i $((a-2),(2+a),3a)$ były proporcjonalne, tzn. żeby istniała liczba $c\in \mathbb{ℝ}$ taka, że $c(-3,1,-3)=((a-2),(2+a),3a)$. Eliminując z układu równań

$\{\begin{array}{rc}-3c& =a-2\\ c& =2+a\\ -3c& =3a\end{array}$

parametr $c$ widzimy, że takie $c$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $c=1$ oraz $a=-1$. Wówczas $((a-2),(2+a),3a)=(-3,1,-3)$ i spełniony jest warunek podany w treści zadania.

Zadanie 15.8

W przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^3$ znaleźć analityczny wzór opisujący rzut prostopadły na płaszczyznę $x+y+z=1$ oraz wyznaczyć rzut prostopadły punktu $(0,0,0)$ na tę płaszczyznę.

Wskazówka

Trzeba wyznaczyć kierunek $U$ naszej płaszczyzny i znaleźć jego dopełnienie prostopadłe $U^{\mathrm{\perp }}$. Teraz do $(x,y,z)$ trzeba dobrać taki wektor $w(x,y,z)\in U^{\mathrm{\perp }}$, żeby punkt $a=(x,y,z)-w(x,y,z)$ należał do naszej płaszczyzny. Punkt $a$ będzie rzutem prostopadłym punktu $(x,y,z)$ na tę płaszczyznę.

Rozwiązanie

Niech $U$ oznacza kierunek płaszczyzny

$X=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x+y+z=1\}$.

Wtedy

$U=\{(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3:x+y+z=0\}$,

a wektor $(1,1,1)$ generuje $U^{\mathrm{\perp }}$. Oznaczmy nasze rzutowanie przez $p$ i zauważmy, że $p(x,y,z)$ musi być postaci $p(x,y,z)=(x,y,z)-\alpha (1,1,1)$, gdzie $\alpha$ jest pewną liczbą rzeczywistą zależną od $(x,y,z)$. Równocześnie ma być $p(x,y,z)\in X$, a więc musi być spełnione równanie

$(x-\alpha )+(y-\alpha )+(z-\alpha )=1$,

czyli

$\alpha =\frac{1}{3}(x+y+z-1)$

skąd otrzymujemy

$p(x,y,z)=(\frac{2x-y-z+1}{3},\frac{2y-x-z+1}{3},\frac{2z-x-y+1}{3})$.

Rzutem punktu $(0,0,0)$ na płaszczyznę $X$ jest punkt $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$.