Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 14: Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej

14. Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej

Ćwiczenie 14.1.

Obliczyć następującą całkę, korzystając z definicji:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx.$

Wskazówka

Należy zauważyć najpierw, że ta całka istnieje. Gdy już to wiemy, wystarczy policzyć granicę ciągu sum całkowych dla dogodnie wybranego ciągu podziałów normalnych.

Rozwiązanie

Ponieważ funkcja $f(x)$ jest ciągła na przedziale $[0,1],$ więc całka Riemanna z tej funkcji istnieje (patrz twierdzenie 14.10). Niech $\{P_n\}$ będzie ciągiem podziałów przedziału $[0,1],$ gdzie $P_n$ jest podziałem odcinka $[0,1]$ na $n$ równych pododcinków, tzn.

$P_n:0=x_0<x_1<\dots <x_n=1,$

gdzie $x_i=\frac{i}{n}$ dla $i=0,1,\dots ,n.$ Obliczmy dolną sumę całkową odpowiadającą podziałowi $P_n$:

$L(f,P_n)=\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i\cdot m_i(f,P_n),$

gdzie,

$m_i(f,P_n)=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\inf }f(x)=\frac{i-1}{n},$

zatem

$L(f,P_n)=\sum _{i=1}^n\frac{1}{n}\cdot \frac{i-1}{n}=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n(i-1)=\frac{1}{n^2}\frac{n(n-1)}{2}.$

Całka wynosi zatem

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=\lim {}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2}.$

<flash>file=Am1.M14.C.R01a.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Suma całkowa dla podziału $P_2$

<flash>file=Am1.M14.C.R01b.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Suma całkowa dla podziału $P_3$

<flash>file=Am1.M14.C.R01c.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Suma całkowa dla podziału $P_4$

<flash>file=Am1.M14.C.R01d.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Suma całkowa dla podziału $P_5$

Odpowiedź: Całka wynosi $\frac{1}{2}.$

Ćwiczenie 14.2.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji okrąg $f(x)=\sqrt{x}$ i $g(x)=x^2.$

Wskazówka

Wykonać rysunek. Skorzystać z geometrycznej interpretacji całki.

Rozwiązanie

<flash>file=Am1.M14.C.R02.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Obszar ograniczony wykresami funkcji $g(x)=x^2$ i $f(x)=\sqrt{x}$

Narysujmy obszar, którego pole należy obliczyć:

Pole tego obszaru jest równe różnicy pól pod wykresami obu zadanych funkcji. Zauważmy, że funkcje te przecinają się dla $x=1.$ Mamy zatem

$P=2(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{x}dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx)=[\frac{1}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}{x}^{\frac{1}{3}}{]}_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$

Odpowiedź: Pole rozważanego obszaru wynosi $\frac{1}{3}.$

Ćwiczenie 14.3.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},$ osią $Oy$ oraz prostymi $x=0$ i $x=1.$

Wskazówka

Wykonać rysunek. Zauważyć, że obszar jest nieograniczony i licząc pole, będziemy mieli do czynienia z całką niewłaściwą.

Rozwiązanie

<flash>file=Am1.M14.C.R03.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Obszar ograniczony wykresem funckji $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ osią $Oy$ oraz prostymi $x=0$ i $x=1$

Narysujmy obszar, którego pole należy obliczyć:

Pole tego obszaru jest równe polu pod wykresem funkcji $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ dla $x\in (0,1].$ Mamy zatem

$P=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}{|}_0^1=2.$

Zwróćmy tutaj uwagę, że całka $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ jest niewłaściwa, gdyż $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=+\mathrm{\infty }.$ Powyższy zapis jest skróconą wersją zapisu z definicji całki niewłaściwej:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\underset{a^{\prime }\to 0^{+}}{\lim }2\sqrt{x}{|}_{a^{\prime }}^1.$

Odpowiedź: Pole rozważanego obszaru wynosi $2.$

Ćwiczenie 14.4.

Obliczyć pole mniejszego z obszarów ograniczonego przez okrąg $x^2+y^2=1$ oraz wykres funkcji $f(x)=|x|.$

Wskazówka

Zauważyć, że obszar ten jest ograniczony od góry i od dołu wykresami pewnych funkcji. Wykorzystać symetrię obszaru. Wykonać rysunek.

Rozwiązanie

<flash>file=Am1.M14.C.R04.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Wycinek koła

Narysujmy obszar, którego pole należy obliczyć:

Obszar jest symetryczny względem osi $Oy,$ więc wystarczy obliczyć pole połowy obszaru (dla $x\ge 0$). Obszar leży między wykresami funkcji $f(x)=x$ oraz $g(x)=\sqrt{1-x^2},$ zatem jego pole jest równe różnicy pól pod wykresami obu powyższych funkcji. Zauważmy, że funkcje te przecinają się dla $x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ Mamy zatem

$\begin{array}{lll}P& =& 2(\underset{0}{\overset{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx-\underset{0}{\overset{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\int }}xdx)\\ & =& 2[\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\arcsin x-\frac{x^2}{2}{]}_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\frac{\sqrt{2}}{4}\sqrt{1-\frac{1}{2}}+\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\pi }{4}.\end{array}$

Na zakończenie zauważmy, że rozważanym obszarem jest ćwiartka koła, której pole wynosi $\frac{1}{4}\cdot \pi .$
Odpowiedź: Pole rozważanego obszaru wynosi $\frac{\pi }{4}.$

Ćwiczenie 14.5.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi opisanymi przez: $y=x,y=2x,xy=1$ i $xy=2$ (dla $x>0$ i $y>0$).

Wskazówka

Wykonać rysunek obszaru. Podzielić obszar na kilka obszarów, z których każdy leży między wykresami pewnych funkcji.

Rozwiązanie

<flash>file=Am1.M14.C.R05.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Obszar ograniczyny krzywymi $y=x$, $y=2x$, $xy=1$ i $xy=2$

Rozważany obszar znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. W celu opisania tego obszaru wyznaczmy punkty przecięcia krzywych ograniczających obszar. Kolejno rozwiązując układy równań:

$\{\begin{array}{l}y=x\\ xy=1\end{array}\{\begin{array}{l}y=x\\ xy=2\end{array}\{\begin{array}{l}y=2x\\ xy=1\end{array}\{\begin{array}{l}y=2x\\ xy=2\end{array}$

otrzymujemy punkty przecięcia:

$A:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}B:\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\\ y=\sqrt{2}\end{array}C:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}D:\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ y=\sqrt{2}\end{array}$

Zatem rozważany obszar możemy podzielić na dwa obszary normalne:

$D_1=\{(x,y):\frac{\sqrt{2}}{2}\le x\le 1,\frac{1}{x}\le y\le 2x\},$ $D_2=\{(x,y):1\le x\le \sqrt{2},x\le y\le \frac{2}{x}\}.$

Zatem pole rozważanego obszaru wynosi:

$\begin{array}{lll}P& =& |D_1|+|D_2|=\underset{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\overset{1}{\int }}[2x-\frac{1}{x}]dx+\underset{1}{\overset{\sqrt{2}}{\int }}[\frac{2}{x}-x]dx\\ & =& [x^2-\ln x{]}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1+[2\ln x-\frac{1}{2}{x}^2{]}_1^{\sqrt{2}}\\ & =& 1-\frac{1}{2}+\ln \frac{\sqrt{2}}{2}+2\ln \sqrt{2}-1+\frac{1}{2}=\ln \sqrt{2}.\end{array}$

Odpowiedź: Pole rozważanego obszaru wynosi $\ln \sqrt{2}.$

Ćwiczenie 14.6.

Zbadać zbieżność szeregu liczbowego $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$

Wskazówka

Wykorzystać kryterium całkowe zbieżności szeregów.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że funkcją $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ jest malejąca w przedziale $[2,+\mathrm{\infty })$ (jako odwrotność funkcji dodatniej, rosnącej) oraz $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0.$ Możemy zatem skorzystać z kryterium całkowego zbieżności szeregów, z którego wynika, że zbieżność szeregu $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$ jest równoważna zbieżności całki $\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx.$ Zatem liczymy całkę (stosując podstawienie)

$\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x\ln x}dx=\left|\begin{array}{rcl}\ln x& =& t\\ \frac{1}{x}& =& dt\end{array}\right|=\underset{\ln 2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t}dt=\ln |t|{|}_{\ln 2}^{\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }.$

Na mocy kryterium całkowego, szereg $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$ jest rozbieżny.

Odpowiedź: Szereg $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}$ jest rozbieżny.