Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 3: Przestrzeń probabilistyczna I

Niech $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną. Wówczas dla dowolnych zbiorów $A,B\subset \mathrm{\Sigma }$ takich, że $A\subset B$ zachodzi:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$? Źle

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$? Dobrze

$P(A\cap B)<P(B)$. Źle

$P(A\setminus B)=0$. Dobrze

Które z poniższych rodzin stanowią $\sigma$-algebry w zbiorze liczb naturalnych $\mathbb{\mathbb{N}}$?

$\{\mathrm{\varnothing },2\mathbb{\mathbb{N}},\mathbb{\mathbb{N}}\setminus 2\mathbb{\mathbb{N}},\mathbb{\mathbb{N}}\}$, gdzie $2\mathbb{\mathbb{N}}$ oznacza zbiór liczb naturalnych parzystych. Dobrze

$\{\mathrm{\varnothing },A_2,A_3,\mathbb{\mathbb{N}}\}$, gdzie $A_n$ oznacza zbiór liczb naturalnych podzielnych przez $n$. Źle

$\bigcup _{n=10}^{\mathrm{\infty }}{𝒫}(\{0,1,2,\dots ,n\})$. Dobrze

Rodzina co najmniej 10-elementowych podzbiorów $\mathbb{\mathbb{N}}$. Źle

Rzucono $100$ razy monetą. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Orła wyrzucono co najmniej $50$ razy. Źle

Nie jest możliwe, że za każdym razem otrzymano reszkę. Źle

Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 2 orłów jest równe prawdopodobieństwu otrzymania dokładnie 98 reszek. Dobrze

Zdarzenie polegające na wyrzuceniu co najmniej 10 orłów lub co najwyżej 99 reszek jest zdarzeniem pewnym. Źle

Rozważmy dowolnie ustaloną miarę $\mu$, określoną na $\sigma$-algebrze zbiorów borelowskich w przestrzeni ${\mathbb{ℝ}}^2$. Wówczas:

$\mu$ jest miarą Lebesgue'a. Źle

$\mu ({\mathbb{ℝ}}^2)=1$. Źle

każde koło o promieniu 1 jest zbiorem $\mu$-mierzalnym. Dobrze

jeżeli $\mu ((0,1)\times (0,1))>0$, to $\mu (A)>0$, gdzie $A$ jest kołem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu $2$. Dobrze

Trzy osoby wybierają spośród trzech różnych par rękawiczek po lewej i prawej rękawiczce. Prawdopodobieństwo tego, że żadna z nich nie dostała pary:

jest większe od prawdopodobieństwa tego, że wszyscy otrzymali sparowane rękawiczki. Dobrze

jest równe dokładnie $0.33$. Źle

wynosi dokładnie $\frac{2}{3}$. Źle

jest mniejsze niż $\frac{1}{2}$. Dobrze

Które z poniższych zdań są prawdziwe?

Jeżeli w 100 kolejnych rzutach monetą za każdym razem otrzymano orła, to w następnym rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest większe niż prawdopodobieństwo wyrzucenia orła. Źle

W każdej przestrzeni probabilistycznej $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ znajdziemy niepusty zbiór $A$ taki, że $P(A)=0$. Źle

Każda nieskończona przestrzeń probabilistyczna zawiera niepuste zdarzenie o zerowym prawdopodobieństwie. Źle

Wśród 400 losowo wybranych osób znajdują się dwie, które obchodzą urodziny w tym samym dniu. Dobrze