Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Ćwiczenia 6: Rozkłady prawdopodobieństwa i zmienne losowe

Ćwiczenia

Ćwiczenie 6.1

Rozpatrujemy eksperyment polegający na rzucie dwiema symetrycznymi kostkami, a interesuje nas ta większa spośród liczb oczek uzyskanych na obu z kostkach.

Ilustracja?

Wyróżnijmy przestrzeń probabilistyczną $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$, gdzie:

$\mathrm{\Omega }=\{(i,j):i,j=1,\dots ,6\}$

oraz:

$\mathrm{\Sigma }=\sigma (A_1,\dots ,A_6)$

(to znaczy, że $\mathrm{\Sigma }$ jest najmniejszą $\sigma$-algebrą zawierającą zbiory $A_1,\dots ,A_n$), zaś:

$A_k=\{(i,j):\max (i,j)=k\}$

($P$ możemy zdefiniować w dowolny sposób). Określmy następujące trzy funkcje:

${\xi }_1(i,j)=\max (i,j),$

${\xi }_2(i,j)=\{\begin{array}{rl}1,& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">gdy</mrow>}i>3\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">lub</mrow>}j>3\\ 0,& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">wprzeciwnymwypadku<mo>,</mo></mrow>}{\displaystyle }\end{array}$

${\xi }_3(i,j)=i+j.$

Łatwo sprawdzić, że dwie pierwsze funkcje są zmiennymi losowymi na $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ i jest to zgodne z naszą zapowiedzią, że zmienne losowe opisują zdarzenia "ciekawe". Rzeczywiście, zmienna losowa ${\xi }_1$ jest po prostu interesującą nas w danej chwili wielkością, zaś zmienna ${\xi }_2$ wskazuje na to, czy ta wielkość jest lub nie jest $>3$. Natomiast funkcja ${\xi }_3$ nie jest zmienną losową na tej przestrzeni, gdyż na przykład zbiór:

$B={\xi }_3^{-1}((-\mathrm{\infty },3])=\{(1,1),(1,2),(2,1)\}$

nie może być przedstawiony za pomocą zbiorów $A_i$, więc nie jest zdarzeniem (to znaczy $B\notin \mathrm{\Sigma }$). Jest to zrozumiałe w tym sensie, że informacja o maksymalnej liczbie oczek nie określa jednoznacznie ich sumy. Oczywiście, wszystkie trzy funkcje są zmiennymi losowymi względem $\sigma$-algebry ${𝒫}(\mathrm{\Omega })$.

Ćwiczenie 6.2

Nawiązując do ćwiczenia 6.1, policzymy rozkład zmiennej ${\xi }_2$ (teraz już zakładamy, że $P$ jest miarą określoną jak w schemacie klasycznym).

Otrzymujemy:

$P_{{\xi }_2}(x)=P({\xi }_2^{-1}(x))=0$ dla $x\notin \{0,1\},$

$P_{{\xi }_2}(0)=P(A_1\cup A_2\cup A_3)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$

oraz

$P_{{\xi }_2}(1)=P(A_4\cup A_5\cup A_6)=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}.$

Ćwiczenie 6.3

Rozpatrzymy dwie sytuacje, w których zmienne losowe $\xi$ oraz $\eta$ mają takie same rozkłady, a mimo to ich zestawienia w każdym przypadku mają rozkłady istotnie różne.

W obu poniższych przypadkach zajmujemy się schematem klasycznym.

Najpierw założymy, że:

$\mathrm{\Omega }=\{1,\dots ,6\},$

a zmienne losowe są zdefiniowane przez:

$\xi (i)=\eta (i)=i.$

Oczywiście, rozkłady tych zmiennych są sobie równe i można je w każdej chwili podać. Ciekawszy dla nas jest natomiast rozkład wektora losowego $(\xi ,\eta )$. Wprost z definicji widać, że jest on skupiony w sześciu punktach postaci $(i,i)$, gdzie i =$1,\dots ,6$. Mianowicie:

$P_{(\xi ,\eta )}(i,i)=\frac{1}{6}.$

Niech teraz:

$\mathrm{\Omega }=\{(i,j):i,j=1,\dots ,6\},$

oraz niech zmienne losowe będą określone następująco:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \xi(i,j) = i,\: \eta(i,j) = j.}

Oczywiście, tak jak w przypadku poprzednim, zmienne te mają takie same rozkłady. Jednak, jak łatwo się przekonać, rozkład ich zestawienia jest całkiem inny. Mianowicie:

$P_{(\xi ,\eta )}(i,j)=\frac{1}{36}$ dla $i,j=1,\dots ,6.$

Zauważmy przy okazji, że w drugim przypadku zachodzi równość:

$P_{(\xi ,\eta )}(i,j)=P_{\xi }(i)P_{\eta }(j)$ dla wszystkich $i,j,$

co oznacza, że rozkład zestawienia jest iloczynem kartezjańskim rozkładów zmiennych składowych. Głębszym powodem tego jest to, że zmienne $\xi$ oraz $\eta$ są niezależne - co to oznacza, zostanie za chwilę formalnie zdefiniowane, jednak zakładając (chyba całkiem naturalnie), że wynik rzutu jedną kostką nie ma wpływu na wynik rzutu drugą kostką, czujemy, że nasze zmienne losowe "powinny" być niezależne.

Ćwiczenie 6.4

Wykażemy, że podczas rzutu dwiema kostkami suma oczek $S$ i różnica oczek $R$ nie są zmiennymi losowymi niezależnymi.

Wystarczy wskazać takie wartości przyjmowane przez te zmienne, dla których nie zachodzi wzór (6.5). Zauważmy, na przykład, że:

$P(S=12,R=0)=\frac{1}{36},$

gdyż powyższe zdarzenie oznacza wypadnięcie pary "szóstek", natomiast:

$P(S=12)=\frac{1}{36},P(R=0)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6},$

a więc:

$P(S=12)\cdot P(R=0)=\frac{1}{216}.$

Ćwiczenie 6.5

Niech $\xi$ będzie zmienną losową o rozkładzie dyskretnym, przyjmującą wartości: $-1,0,1,2,3$, z prawdopodobieństwem $\frac{1}{5}$ każda. Policzmy rozkład zmiennej losowej ${\xi }^2$.

Zmienna ${\xi }^2$ przyjmuje wartości:

$0,1,4,9$

z prawdopodobieństwami, odpowiednio:

$\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{5}.$

Ćwiczenie 6.6

Niech $\xi$ będzie zmienną losową o rozkładzie ciągłym o gęstości $f(x)=\frac{1}{2}{I}_{[-1,1]}$. Wyznaczymy rozkład zmiennej losowej $\frac{1}{\xi }$, podając jej dystrybuantę $G$.

Musimy policzyć $G(a)$ dla każdego $a\in \mathbb{ℝ}$. Dla $a<0$ mamy:

$G(a)=P(\frac{1}{\xi }\le a)=P(\frac{1}{\xi }\le a,\xi <0)=P(\frac{1}{a}\le \xi <0)$

$=\underset{\frac{1}{a}}{\overset{0}{\int }}f(x)dx=\{\begin{array}{rl}-\frac{1}{2a}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}a\le -1\\ \frac{1}{2}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}-1<a\le 0.\end{array}$

Jeszcze łatwiej można policzyć $G(a)$ dla $a>0$ - zauważmy, że przypadek $a=0$ jest najprostszy. Otrzymujemy ostatecznie:

$G(a)=\{\begin{array}{rl}\frac{-1}{2a}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}a\le -1\\ \frac{1}{2}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}-1<a\le 1\\ 1-\frac{1}{2a}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}1<a.\end{array}$

Jest oczywiste, że dystrybuanta $G$ jest różniczkowalna wszędzie z wyjątkiem trzech punktów, a to, zgodnie z uwagą 6.14, pozwala nam wyliczyć gęstość $g$. Mianowicie:

$g(a)=G^{\prime }(a)=\{\begin{array}{rl}\frac{1}{2a^2}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}a\le -1,\\ 0& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}-1<a\le 1,\\ \frac{1}{2a^2}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}1<a.\end{array}$

Ćwiczenie 6.7

Narysujemy dystrybuantę rozkładu jednostajnego na odcinku $(0,2)$, o którym była mowa w przykładzie 6.8.

Oto właściwy rysunek:

Rp.1.65.swf (flash)

<flashwrap>file=Rp-6-z6.1.swf|size=small</flashwrap>

Zadanie 6.1

Niech $\xi$ oznacza liczbę orłów uzyskanych podczas rzutu trzema monetami. Wyznacz rozkład i dystrybuantę $\xi$.

Zadanie 6.2

W urnie jest jedna kula niebieska i dwie kule czarne. Losujemy kolejno: (a) bez zwracania, (b) ze zwracaniem, kule do momentu wylosowania niebieskiej kuli. Wyznacz rozkład liczby losowań oraz podaj wartość dystrybuanty tego rozkładu dla liczby 2.

Zadanie 6.3

Dobrać współczynnik $a$ tak, aby funkcja:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}x\notin (0,1)\\ ax(1-x)& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}x\in (0,1),\end{array}$

była gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa. Znajdź dystrybuantę tego rozkładu.

Zadanie 6.4

Dla jakiej stałej $C$ funkcja $P:{ℬ}(\mathbb{ℝ})⟶\mathbb{ℝ}$ taka, że:

$P(k)=\frac{C}{k(k+1)}$ dla $k=1,2,3,\dots ,$

może być funkcją prawdopodobieństwa dla pewnego rozkładu?

Zadanie 6.5

Dla jakiej liczby $C$ funkcja:

$f(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}x<1\\ \frac{C}{x^4}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}x\ge 1,\end{array}$

jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa? Dla tak otrzymanej liczby $C$, oblicz $P(\{x\in \mathbb{ℝ}:\frac{1}{x}<a\})$, gdzie $a$ ustalone.

Zadanie 6.6

Dla rozkładu $P$ na ${\mathbb{ℝ}}^2$, określamy tak zwane rozkłady brzegowe $P_1(A)=P(A\times \mathbf{𝐑})$ oraz $P_2(B)=P(\mathbb{ℝ}\times B)$, gdzie $A$ i $B$ są zbiorami borelowskimi. Czy prawdą jest, że $P=P_1\times P_2$?

Zadanie 6.7

Oblicz $F(0)$, $F(0.3)$ oraz $F(3)$, gdzie $F$ jest dystrybuantą określoną wzorem: $F=\frac{1}{3}{F}_1+\frac{2}{3}{F}_2$, gdzie $F_1$ jest dystrybuantą rozkładu dyskretnego przyjmującego w punktach $0$, $1$, $2$, $3$ i $4$ tę samą wartość równą $\frac{1}{5}$, zaś $F_2$ jest dystrybuantą rozkładu jednostajnego na odcinku $(0,2)$. Naszkicuj wykres $F$. Czy $F$ ma rozkład dyskretny, czy rozkład ciągły?

Wskazówka.

Skorzystaj ze wzoru na

prawdopodobieństwo całkowite.

Zadanie 6.8

Sformułuj odpowiednią definicję dystrybuanty tak, aby funkcja $F(x):=P(-\mathrm{\infty },x)$ była dystrybuantą, o ile $P$ jest rozkładem prawdopodobieństwa.

Zadanie 6.9

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie sumą parami rozłącznych zbiorów $F_1,F_2,\dots ,F_k$ oraz niech $\xi :\mathrm{\Omega }⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją. Rozważmy $\sigma$-algebrę $\mathrm{\Sigma }$, utworzoną ze wszystkich możliwych sum zbiorów $F_1,F_2,\dots ,F_k$. Wykaż, że jeżeli $\xi$ jest stała na każdym zbiorze $F_i$ dla $i=1,\dots ,k$, to $\xi$ jest mierzalna względem $\mathrm{\Sigma }$.

Zadanie 6.10

Dystrybuanta $F$ zmiennej losowej $\xi$ jest dana wzorem:

$F(x)=\{\begin{array}{rl}0& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}x<-1\\ & \\ \frac{1}{3}& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}-1\le x<0\\ & \\ \frac{1}{3}(x+1)& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}0\le x<1\\ & \\ 1& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}1\le x.\end{array}$

Oblicz $P(|\xi |>a)$ dla $a=0,\frac{1}{2},1,2$.

Zadanie 6.11

Z przedziału $[1,10]$ losujemy liczbę naturalną $a$ zgodnie ze schematem klasycznym, a następnie z przedziału $[1,a]$ losujemy liczbę $\xi$, też według schematu klasycznego. Znaleźć rozkład zmiennej losowej $\xi$. Jaka jest w tym przypadku naturalna przestrzeń probabilistyczna?

Zadanie 6.12

Korzystając z definicji 6.22, wykaż wzór (6.5).

Zadanie 6.13

Niezależne zmienne losowe $\xi$ oraz $\eta$ mają rozkłady jednostajne na przedziale $(0,1)$. Znajdź rozkłady zmiennych $\min (\xi ,\eta )$ oraz $\max (\xi ,\eta )$. Czy zmienne te są niezależne? Spróbuj odgadnąć odpowiedź przed formalnym sprawdzeniem.

Zadanie 6.14

Niech niezależne zmienne losowe $\xi$ oraz $\eta$ mają rozkłady dyskretne $P(\xi =k)=p_k$ i $P(\eta =k)=q_k$, gdzie $k=0,1,2,3,\dots$. Wykaż, że suma $\xi +\eta$ ma rozkład:

$P(\xi +\eta =k)=\sum _{i=0}^k{p}_i{q}_{k-i}$ dla $k=0,1,2,3,\dots$      (6.6)

Zadanie 6.15

Wyprowadź wzór analogiczny do wzoru (6.6), w przypadku, gdy obie zmienne losowe przyjmują jedynie wartości $1,\dots ,N$, gdzie $N$ jest ustaloną liczbą naturalną.

Zadanie 6.16

W urnie jest 5 niebieskich i 3 czarne kule. Niech $T_n$ i $T_c$ oznaczają numery losowań, w którym po raz pierwszy pojawi się, odpowiednio, niebieska lub czarna kula. Znajdź rozkład wektora losowego $(T_n,T_c)$. Czy zmienne losowe $T_n$ i $T_c$ są niezależne? Rozważ dwa przypadki: gdy losujemy po jednej kuli ze zwracaniem oraz bez zwracania.