Analiza matematyczna 1/Wykład 14: Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej

14. Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej

W tym wykładzie wprowadzamy pojęcie całki Riemanna dla funkcji jednej zmiennej. Omawiamy całkowalność w sensie Riemanna i podajemy szereg własności całki Riemanna. Dowodzimy twierdzenia całkowego o wartości średniej oraz ciągłości całki jako górnej granicy całkowania. Wykazujemy podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego oraz wzory na całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie. Na koniec definiujemy całki niewłaściwe oraz podajemy kryterium całkowe zbieżności szeregów.

W praktyce spotykamy sie niejednokrotnie (choć najczęściej nieświadomie) z całką Riemanna. Wyobraźmy sobie, że jedziemy samochodem, co minute rzucamy okiem na wskazania szybkościomierza i zapamiętujemy naszą prędkość. Każdy potrafi obliczyć, że jeśli jechaliśmy $10$ minut, z czego pierwsze $5$ ze zmierzona prędkością $30$ km/h ($=\frac{1}{2}$km/min) a drugie $5$ minut z prędkością $60$ km/h ($=1$km/min), to przebyliśmy drogę $(5\cdot \frac{1}{2}+5\cdot 1)$ km czyli $7.5$ km. (Właśnie policzyliśmy sumę całkową!). Skoro pomiarów prędkości dokonujemy co minute, to oczywiście przebytą drogę policzyliśmy tylko w przybliżeniu. Widać jednak, że im częściej będziemy dokonywać pomiaru prędkości, tym dokładniej nasza suma będzie przybliżała sie do rzeczywiście przebytej drogi. Obliczając granicę, do której dążą nasze sumy, gdy coraz bardziej skracamy czas miedzy pomiarami, dostaniemy w końcu dokładną długość przebytej drogi. (Teraz właśnie policzyliśmy całkę Riemanna!).

Obejrzyjmy teraz wykres na poniższym rysunku.

Rysunek AM1.M14.W.R01 (nowy) wykres prędkości

Na tym rysunku przedstawiony jest wykres prędkości naszego samochodu w zależności od czasu. Nasza pierwsza suma to $(5\cdot \frac{1}{2}+5\cdot 1),$ czyli suma pól prostokątów zaznaczonych na rysunku. Intuicyjnie jest oczywiste, że gdy będziemy zmniejszać długości odcinków na osi $Ot$, sumy pól prostokątów będą coraz lepiej przybliżać pole powierzchni pod wykresem. W ten sposób odkryliśmy geometryczną interpretację całki Riemanna - jako pola pod wykresem funkcji.

Przejdziemy teraz do formalnego wprowadzenia tego pojęcia.

Definicja 14.1.

Niech $[a,b]\subseteq \mathbb{ℝ}$ będzie przedziałem. Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P:\ a \ =\ x_0 \ <\ x_1 \ <\ \ldots \ <\ x_n \ =\ b }

nazywamy podziałem przedziału $[a,b]$ .
Liczbę

$d(P)\stackrel{df}{=}\underset{i=1,\dots n}{\max }(x_i-x_{i-1})$

nazywamy średnicą podziału $P.$ Wprowadzamy oznaczenie $\mathrm{\Delta }{x}_i\stackrel{df}{=}{x}_i-x_{i-1}$ dla $i=1,\dots ,n.$

Ciąg podziałów $\{P_m{\}}_{m\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ nazywamy normalnym, jeśli $\lim {}_{m\to +\mathrm{\infty }}d(P_m)=0.$

Definicja 14.2.

Niech $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją oraz niech

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P:\ a \ =\ x_0 \ <\ x_1 \ <\ \ldots \ <\ x_n \ =\ b }

będzie podziałem przedziału $[a,b].$ Liczbę

$L(f,P)\stackrel{df}{=}\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i\cdot m_i(f,P),$ gdzie $m_i(f,P)\stackrel{df}{=}\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\inf }f(x)$

nazywamy sumą dolną całkową (Darboux).

Rysunek AM1.M14.W.R02 (stary numer AM1.15.1a)

Rysunek AM1.M14.W.R03 (stary numer AM1.15.1b)

Rysunek AM1.M14.W.R04 (stary numer AM1.15.1c)

Liczbę

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle U(f,P) \ \stackrel{df}{=}\ \displaystyle \sum_{i=1}^n\Delta x_i\cdot M_i(f,P), \quad\} gdzie $M_i(f,P)\stackrel{df}{=}\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\sup }f(x)$

nazywamy sumą górną całkową (Darboux).

Rysunek AM1.M14.W.R05 (stary numer AM1.15.2a)

Rysunek AM1.M14.W.R06 (stary numer AM1.15.2b)

Rysunek AM1.M14.W.R07 (stary numer AM1.15.2c)

Liczbę

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle S(f,P) \ =\ S(f,P,y_1,\ldots,y_n) \ \stackrel{df}{=}\ \displaystyle \sum_{i=1}^n\Delta x_i\cdot f(y_i), \quad\M} dla $y_i\in [x_{i-1},x_i]$ nazywamy sumą całkową funkcji $f$ dla podziału $P$ wyznaczoną przez punkty pośrednie $y_1,\dots ,y_n.$

Rysunek AM1.M14.W.R08 (stary numer AM1.15.3a)

Rysunek AM1.M14.W.R09 (stary numer AM1.15.3b)

Rysunek AM1.M14.W.R10 (stary numer AM1.15.3c)

Rysunek AM1.M14.W.R11 (stary numer AM1.15.3d)

Rysunek AM1.M14.W.R12 (stary numer AM1.15.3e)

Wprost z definicji wynika następująca uwaga.

Uwaga 14.3.

Jeśli $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ jest funkcją oraz $P$ jest podziałem przedziałem $[a,b],$ to
(1) $L(f,P)\le S(f,P,y_1,\dots ,y_n)\le U(f,P)$ dla dowolnych punktów pośrednich $y_1,\dots ,y_n$;

(2) $\underset{\{(y_1,\dots ,y_n)\}}{\inf }S(f,P,y_1,\dots ,y_n)=L(f,P)$;

(3) $\underset{\{(y_1,\dots ,y_n)\}}{\sup }S(f,P,y_1,\dots ,y_n)=U(f,P).$

Definicja 14.4.

Niech $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją ograniczoną (to znaczy $\mathrm{\exists }M>0\mathrm{\forall }x\in [a,b]:|f(x)|\le M$).
Funkcję $f$ nazywamy całkowalną w sensie Riemanna w przedziale $[a,b],$ jeśli dla dowolnego normalnego ciągu $\{P_m{\}}_{m\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ podziałów przedziału $[a,b],$ istnieje granica

$\lim {}_{m\to +\mathrm{\infty }}S(f,P_m,y_1^m,\dots ,y_{n_m}^m)$

niezależna od wyboru punktów pośrednich. Granicę tę nazywamy całką Riemanna funkcji $f$ w przedziale $[a,b]$ i oznaczamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\limits_a^b f(x)\,dx \quad\} lub $(R)\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Uwaga 14.5.

W definicji brak jest żądania aby granica była taka sama dla dowolnego ciągu podziałów. Mimo to definicja jest poprawna, to znaczy całka Riemanna jest jednoznacznie określona (to znaczy nie zależy od wyboru ciągu podziałów $\{P_m{\}}_{m\in \mathbb{\mathbb{N}}}$).

Dowód twierdzenia 14.5.

(Dowód nadobowiązkowy.)
Aby to zobaczyć niech $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna. Niech $\{P_m^1\}$ i $\{P_m^2\}$ będą dwoma normalnymi ciągami podziałów przedziału $[a,b].$ Zdefiniujmy nowy ciąg podziałów $\{P_m\}$ jako:

$P_1^1,P_1^2,P_2^1,P_2^2,P_3^1,P_3^2,\dots$

Jest to oczywiście ciąg podziałów normalnych przedziału $[a,b]$ i ponieważ funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, więc granica

$\lim {}_{k\to +\mathrm{\infty }}S(f,P_m,y_1^m,\dots ,y_{n_m}^m)$

istnieje i nie zależy od wyboru punktów pośrednich. Zatem dla podciągów $\{P_{2m}\}$ i $\{P_{2m+1}\}$ granice muszą być takie same, zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{m\rightarrow +\infty} S(f,P^1_m) \ =\ \lim\limits_{m\rightarrow +\infty} S(f,P_m^2). }

Kolejne twierdzenie podaje związek między całkowalnością w sensie Riemanna a sumami górną i dolną Darboux. Dowód pomijamy.

Twierdzenie 14.6.

Jeśli $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ jest funkcją ograniczoną, to $f$ jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale $[a,b]$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu $\{P_m{\}}_{m\in \mathbb{\mathbb{N}}}$ podziałów normalnych zachodzi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\big(L(f,P_m)-U(f,P_m)\big) \ =\ 0. }

Rysunek AM1.M14.W.R13 (stary numer AM1.15.4a)

Rysunek AM1.M14.W.R14 (stary numer AM1.15.4b)

Rysunek AM1.M14.W.R15 (stary numer AM1.15.4c)

Definicja 14.7.

Niech $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna. Przyjmuje się następujące oznaczenia:

$\begin{array}{lll}\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)dx& \stackrel{df}{=}& -\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,\\ \underset{a}{\overset{a}{\int }}f(x)dx& \stackrel{df}{=}& 0.\end{array}$

Uwaga 14.8.

Wprost z definicji całki Riemanna wynika, że dla funkcji nieujemnej, całkę $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ możemy interpretować jako pole pod wykresem funkcji $f$ na przedziale $[a,b]$.

Zanim podamy klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna (to znaczy takich dla których całka w sensie Riemanna istnieje) podamy przykład funkcji, dla której całka Riemanna nie istnieje.

Przykład 14.9

Funkcja Dirichleta $f:[0,1]⟶\mathbb{ℝ}$ zdefiniowana przez

$f(x)\stackrel{df}{=}\{\begin{array}{ll}1& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}x\in \mathbb{\mathbb{Q}}\cap [0,1],\\ 0& \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">dla</mrow>}x\in [0,1]\setminus \mathbb{\mathbb{Q}},\end{array}$

nie jest całkowalna w sensie Riemanna.
Aby to pokazać, wybierzmy dowolny podział odcinka $[0,1]$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P:\ 0 \ =\ x_0 \ <\ x_1 \ <\ \ldots \ <\ x_n \ =\ 1. }

Z własności zbioru liczb rzeczywistych wiemy, że w każdym przedziale $(x_{i-1},x_i)$ znajduje się zarówno liczba wymierna jak i niewymierna. Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle L(f,P) & = & \displaystyle \sum_{i=1}^n\Delta x_i\cdot \underbrace{m_i(f,P)}\limits_{=0} \ =\ 0,\\ U(f,P) & = & \displaystyle \sum_{i=1}^n\Delta x_i\cdot \underbrace{M_i(f,P)}\limits_{=1} \ =\ \displaystyle \sum_{i=1}^n\Delta x_i \ =\ 1. \end{array}}

Zatem z twierdzenia 14.6. wnioskujemy, że funkcja $f$ nie jest całkowalna w sensie Riemanna.

Poniższe twierdzenie podaje jakie klasy funkcji są całkowalne w sensie Riemanna. Twierdzenie to podajemy bez dowodu. Warto tutaj zaznaczyć, że istnieje pełna charakteryzacja funkcji całkowalnych w sensie Riemanna (to znaczy twierdzenie, które podaje warunek konieczny i wystarczający dla całkowalności w sensie Riemanna). Wykracza to jednak poza niniejszy kurs Analizy (temat ten będzie dokładniej omówiony na wykładzie z Analizy Matematycznej 2. Moduł 10).

Twierdzenie 14.10. [Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna]

Niech $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją ograniczoną.
(1) Jeśli $f$ jest ciągła, to jest całkowalna w sensie Riemanna.
(2) Jeśli $f$ ma skończoną ilość punktów nieciągłości, to jest całkowalna w sensie Riemanna.
(3) Jeśli $f$ jest monotoniczna, to jest całkowalna w sensie Riemanna.

W kolejnym twierdzeniu zebrano szereg własności całki Riemanna. Dowody wynikające wprost z definicji całki pomijamy.

Twierdzenie 14.11. [Własności całki Riemanna]

Jeśli $f,g:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ są funkcjami całkowalnymi w sensie Riemanna, $a<b,k\in \mathbb{ℝ},c\in (a,b),$ to:
(1) Liniowość całki. Funkcje $kf,f\pm g,f\cdot g,\frac{f}{g}$ (o ile $g(x)\ne 0$ dla $x\in [a,b]$) są całkowalne w sensie Riemanna oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\limits_a^bkf(x)\,dx \ =\ k\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,dx \quad\} i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \quad \displaystyle\int\limits_a^b\big[f(x)\pm g(x)\big]\,dx \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,dx\pm\displaystyle\int\limits_a^b g(x)\,dx; }

(2) funkcja $|f|$ jest całkowalna w sensie Riemanna oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg|\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,dx\bigg| \ \le\ \displaystyle\int\limits_a^b\big|f(x)\big|\,dx; }

(3) jeśli $[c,d]\subseteq [a,b],$ to $f{|}_{[c,d]}$ jest całkowalna w sensie Riemanna;
(4) jeśli zmienimy wartości funkcji $f$ w skończonej ilości punktów, to funkcja nadal pozostanie całkowalna w sensie Riemanna i jej całka nie ulegnie zmianie;
(5)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\limits_a^b f(x)\,dx \ =\ \displaystyle\int\limits_a^c f(x)\,dx + \displaystyle\int\limits_c^b f(x)\,dx }

Rysunek AM1.M14.W.R16 (stary numer AM1.15.5)

(6)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\limits_a^b k\,dx \ =\ k(b-a), }

Rysunek AM1.M14.W.R17 (stary numer AM1.15.6)

w szczególności

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\limits_a^b 0\,dx \ =\ 0,\quad \displaystyle\int\limits_a^b 1\,dx \ =\ b-a; }

(7) jeśli $f\ge 0,$ to $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\ge 0$;
jeśli $f>0,$ to $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx>0$;
(8) Monotoniczność całki. Jeśli $f\le g,$ to $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$;
jeśli $f<g,$ to $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx<\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$;

Rysunek AM1.M14.W.R18 (stary numer AM1.15.7)

(9) jeśli $\{x_n\},\{y_n\}\subseteq [a,b]$ są dwoma ciągami takimi, że $x_n⟶x_0,y_n⟶y_0$ oraz $x_n\le y_n$ dla $n\in \mathbb{\mathbb{N}},$
to $\underset{x_n}{\overset{y_n}{\int }}f(x)dx⟶\underset{x_0}{\overset{y_0}{\int }}f(x)dx.$

Twierdzenie 14.12. [Twierdzenie całkowe o wartości średniej]

Jeśli $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna oraz
$\mathrm{\exists }m,M\in \mathbb{ℝ}\mathrm{\forall }x\in [a,b]:m\le f(x)\le M,$ to Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists\mu\in[m,M]:\ \ \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,dx\ =\ \mu(b-a).}

Rysunek AM1.M14.W.R19 (stary numer AM1.15.8)

Dowód twierdzenia 14.12.

Z własności monotoniczności całki wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m(b-a) \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b m\,dx \ \le\ \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,dx \ \le\ \displaystyle\int\limits_a^b M\,dx \ =\ M(b-a). }

Dzieląc stronami przez $(b-a),$ dostajemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle m \ \le\ \frac{1}{b-a} \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,dx \ \le\ M. }

Zatem, jeśli zdefiniujemy $\mu \stackrel{df}{=}\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,$ to otrzymujemy tezę twierdzenia.

Kolejne twierdzenia doprowadzą nas do związku całki Riemanna z całką nieoznaczoną. Pierwsze z twierdzeń mówi jak za pomocą całki Riemanna z funkcji ciągłej (wówczas całka Riemanna zawsze istnieje) uzyskać wzór na pierwotną funkcji podcałkowej.

Twierdzenie 14.13. [Własności całki jako funkcji górnej granicy całkowania]

Jeśli $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna oraz

$F(x)\stackrel{df}{=}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ dla $x\in [a,b],$ to
(1) $F$ jest ciągła w $[a,b]$;
(2) jeśli $f$ jest ciągła w punkcie $x_0\in (a,b),$ to funkcja $F$ jest różniczkowalna w $x_0$ oraz $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$;
(3) jeśli $f$ jest funkcją ciągłą, to $F$ jest funkcją pierwotną dla $f.$

Dowód twierdzenia 14.13.

(Dowód nadobowiązkowy.)
(Ad (1)) Pokażemy ciągłość prawostronną funkcji $F$ w dowolnym punkcie $x_0\in [a,b)$ (dowód lewostronnej ciągłości w punktach przedziału $(a,b]$ jest analogiczny; z obu tych faktów wynika ciągłość funkcji $F$ w przedziale $[a,b]$; patrz twierdzenie 8.17.). Niech $\{x_n\}\subseteq (x_0,b)$ będzie ciągiem takim, że $x⟶x_0^{+}.$ Należy wykazać, że $F(x_n)⟶F(x_0$). Bez straty ogólności można założyć, że $\{x_n\}$ jest ciągiem monotonicznie malejącym do $x_0$ (piszemy $x_n\searrow x_0$). Z definicji funkcji $F$ oraz twierdzenie 14.11. (2), mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|F(x_n)-F(x_0)\big| \ =\ \bigg|\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_n}f(t)\,dt\bigg| \ \le\ \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_n}|f(t)|\,dt }

Ponieważ $[x_0,x_n)\searrow \{x_0\},$ więc z twierdzenie 14.11. (9) mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\limits_{x_0}^{x_n}|f(t)|\,dt \ \searrow\ \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x^0}|f(t)|\,dt \ =\ 0, }

czyli pokazaliśmy, że $F$ jest prawostronnie ciągła w punkcie $x_0\in [a,b).$
(Ad (2)) Niech $x_0\in (a,b).$ Dla $x\in (a,b)\setminus \{x_0\}$ mamy

$\begin{array}{lll}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)& =& \frac{1}{x-x_0}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt-f(x_0)\frac{1}{x-x_0}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}dt\\ & =& \frac{1}{x-x_0}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}[f(t)-f(x_0)]dt.\end{array}$

Ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Ponieważ funkcja $f$ jest ciągła w $x_0,$ więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0\ \forall t\in [a,b]:\ \bigg[ |t-x_0|<\delta \ \Longrightarrow\ |f(t)-f(x_0)|<\varepsilon \bigg]. }

Niech $x\in (a,b)\setminus \{x_0\}$ będzie takie, że $|x-x_0|<\delta .$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg|\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)\bigg| \ =\ \frac{1}{|x-x_0|} \bigg|\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x}\varepsilon\,dt\bigg| \ =\ \frac{1}{|x-x_0|}\varepsilon|x-x_0| \ =\ \varepsilon. }

Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{\begin{array}{l}x\rightarrow x_0\\x\neq x_0 \end{array}} \displaystyle \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} \ =\ f(x_0). }

czyli $F^{\prime }(x_0)=f(x_0).$
(Ad (3)) Wynika natychmiast z (2).

Natychmiastową konsekwencją powyższego twierdzenia jest następujący wniosek.

Wniosek 14.14.

Jeśli $f\in C([a,b];\mathbb{ℝ}),$ to $\frac{d}{dx}(\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt){|}_{x=x_0}=f(x_0)\mathrm{\forall }{x}_0\in (a,b).$

Kolejne twierdzenie podaje związek między pierwotną a całką Riemanna. Mówi ono, że do policzenia całki Riemanna z funkcji ciągłej na przedziale, wystarczy znać wartości pierwotnej na końcach tego przedziału.

Twierdzenie 14.15. [Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego; Twierdzenie Newtona-Leibniza]

Jeśli $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ jest funkcją ciągłą, $F$ jest pierwotną funkcji $f,$ to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\limits_a^b f(x)dx \ =\ F(b)-F(a). }

Oznaczenie: $F{|}_a^b=F(b)-F(a).$

Dowód twierdzenia 14.15.

Z twierdzenia 14.13. (2) wynika że funkcja

$F_1:[a,b]\ni x⟼F_1(x)\stackrel{df}{=}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

jest pierwotną funkcji $f.$ Ponieważ $F$ jest także pierwotną, więc korzystając z faktu, że każde dwie pierwotne różnią się o stałą, dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists c\in\mathbb{R}\ \forall x\in [a,b]:\ F(x)-F_1(x)=c, }

zatem także

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle c \ =\ F(a)-\underbrace{F_1(a)}\limits_{=0} \ =\ F(a), }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F(b)-F(a) \ =\ F(b)-c \ =\ F_1(b) \ =\ \displaystyle\int\limits_a^bf(x)\,dx, }

co należało dowieść.

Natychmiastową konsekwencją powyższego twierdzenia jest następujący wniosek.

Wniosek 14.16.

Jeśli $F\in C^1([a,b];\mathbb{ℝ}),$ to $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{F}^{\prime }(x)dx=F{|}_a^b.$

Kolejne twierdzenie podaje wersję wzoru całkowania przez części dla całki Riemanna. Dowód, analogiczny jak dla całki nieoznaczonej pomijamy.

Twierdzenie 14.17. [Całkowanie przez części]

(1) Jeśli $F,G\in C^1([a,b];\mathbb{ℝ}),$ to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\limits_a^b FG'\,dx \ =\ FG|_a^b-\displaystyle\int\limits_a^b F'G\,dx. }

(2) Jeśli $F,G\in C^{n+1}([a,b];\mathbb{ℝ}),n\ge 1,$ to

$\begin{array}{lll}\underset{a}{\overset{b}{\int }}F{G}^{n+1}dx& =& [F{G}^{(n)}-F^{\prime }{G}^{(n-1)}+\dots +(-1{)}^n{F}^{(n)}G]{|}_a^b+(-1{)}^{n+1}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{F}^{(n+1)}Gdx\\ & =& [\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{F}^{(k)}{G}^{(n-k)}]{|}_a^b+(-1{)}^{n+1}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{F}^{(n+1)}Gdx.\end{array}$

$F^{(0)}\stackrel{ozn}{=}F.$

Przykład 14.18.

Obliczyć $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\sin xdx$.

Rozwiązanie

Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{rll} \displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} x\sin x\,dx &=&\left| \begin{array} {ll} f'(x)=\sin x & f(x)=-\cos x\\ g(x)= x & g'(x)=1 \end{array} \right|\\ &=&\displaystyle -x\cos x\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} +\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx \ =\ 0+\sin x\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} \ =\ 1.\end{array} }

Kolejne twierdzenie podaje wzór na zmianę zmiennych w całce Riemanna. Ze względu na prostotę dowodu podamy go tutaj dla funkcji ciągłej. Twierdzenie to zachodzi także przy słabszych założeniach.

Twierdzenie 14.19. [Całkowanie przez podstawienie; Zmiana zmiennych w całce]

Jeśli $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ jest funkcją ciągłą (a zatem w szczególności całkowalną w sensie Riemanna), $P\subseteq \mathbb{ℝ}$ jest przedziałem o końcach
$\alpha$ i $\beta$ (to znaczy $P=[\alpha ,\beta ]$ lub $P=[\beta ,\alpha ]$), $\phi :P⟶[a,b]$ jest funkcją klasy $C^1,\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b,$ to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\limits_a^b f(x)\,dx \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}f\big(\varphi(t)\big)\cdot\varphi'(t)\,dt. }

Dowód twierdzenia 14.19.

Pierwotną funkcji $f$ (która istnieje, gdyż $f$ jest ciągła) oznaczmy przez $F,$ to znaczy $F^{\prime }=f.$ Zdefiniujmy funkcję $\mathrm{\Phi }(t)=F(\phi (t)).$ Wówczas $\mathrm{\Phi }$ jest funkcją klasy $C^1$ oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \Phi'(t) \ =\ F'(\varphi(t))\cdot \varphi'(t) \ =\ f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t), }

to znaczy funkcja $\mathrm{\Phi }$ jest pierwotną funkcji $t⟼f(\phi (t))\cdot {\phi }^{\prime }(t).$ Z twierdzenia 14.15. mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \int\limits_a^bf(x)\,dx&=& F(b)-F(a) \ =\ F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha))\\ & =&\displaystyle \Phi(\beta)-\Phi(\alpha) \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)\,dt,\end{array} }

co należało dowieść.

Przykład 14.20.

Obliczyć całkę $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx.$

Rozwiązanie

W niniejszym przykładzie zastosujemy dość nietypowe podstawienie $x=\phi (t)=\mathrm{t}\mathrm{g}t.$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle I&=& \displaystyle\int\limits_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,dx =\displaystyle\left| \begin{array} {rcl} x & = & \mathrm{tg}\, t\\ dx & = & \displaystyle\frac{1}{\cos^2t}\,dt \end{array} \right|\\ &=& \displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\ln(1+\mathrm{tg}\, t)}{1+\mathrm{tg}\,^2 t}\cdot \frac{1}{\cos^2t}\,dt \ =\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\ln(1+\mathrm{tg}\, t)}{\cos^2t+\sin^2 t}\,dt \ =\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\mathrm{tg}\, t)\,dt.\end{array} }

Przekształcając wyrażenie trygonometryczne $1+\mathrm{t}\mathrm{g}t,$ korzystając ze wzoru

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2},$

otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle 1+\mathrm{tg}\, t &=& \displaystyle 1+\frac{\sin t}{\cos t} \ =\ \frac{\sin t+\cos t}{\cos t} \ =\ \frac{\sin t+\sin(\frac{\pi}{2}-t)}{\cos t}\\ &=&\displaystyle \frac{2\sin\frac{\pi}{4}\cos(t-\frac{\pi}{4})}{\cos t} \ =\ \frac{\sqrt{2}\cos(t-\frac{\pi}{4})}{\cos t}.\end{array} }

Wracając do naszej całki, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I \ =\ \displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\frac{\sqrt{2}\cos(t-\frac{\pi}{4})}{\cos t} \ =\ \underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\sqrt{2}\,dt}\limits_{=A} + \underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\cos(t-\frac{\pi}{4})\,dt}\limits_{=B} - \underbrace{\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\cos t\,dt}\limits_{=C}. }

Policzmy każdą z całek $A,B$ i $C$ osobno:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle A & = & \displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\sqrt{2}\,dt \ =\ \ln\sqrt{2}\cdot x\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ =\ \frac{\pi}{4}\ln\sqrt{2} \ =\ \frac{\pi}{8}\ln 2;\\ B & = & \displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\cos(t-\frac{\pi}{4})\,dt \ =\ \left| \begin{array} {rcl} t & = & \frac{\pi}{4}-s\\ dt & = & ds \end{array} \right| \ =\ \displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^0 (-1)\ln\cos(-s)\,ds \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \ln\cos s\,ds \ =\ C. \end{array}}

Ponieważ $B=C,$ więc nie potrzebna jest nam znajomość całek $B$ i $C$ (wystarczy nam wiedza, że one istnieją), gdyż

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle I \ =\ A+B-C \ =\ A \ =\ \frac{\pi\ln 2}{8}. }

Zdefiniowana do tej pory całka Riemanna mogła być określona tylko dla funkcji ograniczonej na przedziale ograniczonym. Nietrudno jest zauważyć, że oba te założenia były konieczne, aby granice całkowe Darboux były skończone. Z praktycznego punktu widzenia rozważa się także całki niewłaściwe (gdy obszar jest nieograniczony, lub gdy funkcja jest nieograniczona). Definicje takich całek można postawić na bazie całki Riemanna z funkcji ograniczonej na zbiorze ograniczonym.

Definicja 14.21. [Całki niewłaściwe]

(1) Niech $-\mathrm{\infty }\le a<b<+\mathrm{\infty }$ oraz niech $f:(a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją. Przez całkę niewłaściwą funkcji $f$ na przedziale $(a,b]$ rozumiemy

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\stackrel{df}{=}\underset{a^{\prime }\searrow a^{+}}{\lim }\underset{a^{\prime }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,$

o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.

Rysunek AM1.M14.W.R20 (stary numer AM1.15.9)

Rysunek AM1.M14.W.R21 (stary numer AM1.15.10)

(2) Niech $-\mathrm{\infty }<a<b\le +\mathrm{\infty }$ oraz niech $f:[a,b)⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją. Przez całkę niewłaściwą funkcji $f$ na przedziale $[a,b)$ rozumiemy

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\stackrel{df}{=}\underset{b^{\prime }\nearrow b^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{b^{\prime }}{\int }}f(x)dx,$

o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.
(3) Niech $-\mathrm{\infty }\le a<b\le +\mathrm{\infty }$ oraz niech $f:(a,b)⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją. Przez całkę niewłaściwą funkcji $f$ na przedziale $(a,b)$ rozumiemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,dx \ \stackrel{df}{=}\ \lim\limits_{\begin{array}{l}a'\searrow a^+\\\displaystyle b'\nearrow b^-\end{array}}\displaystyle }} \displaystyle\int\limits_{a'}^{b'}f(x)\,dx, }

o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.

Gdy całka niewłaściwa $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ istnieje, to mówimy, że całka jest zbieżna (w przeciwnym razie mówimy, że całka jest rozbieżna). Jeśli całka niewłaściwa $\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$ istnieje to mówimy, że całka jest bezwzględnie zbieżna (oczywiście zbieżność bezwzględna całki implikuje zbieżność całki; Patrz twierdzenie 14.11. (2)).

Uwaga 14.22.

Jeśli funkcja $f:[a,b]⟶\mathbb{ℝ}$ jest całkowalna w sensie Riemanna, to całki niewłaściwe z funkcji $f{|}_{(a,b]},f_{[a,b)}$ oraz $f_{(a,b)}$ są równe dokładnie całce Riemanna. Wynika to wprost z twierdzenie 14.11. (9).

Przykład 14.23.

Udowodnić zbieżność całki $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x^{\alpha }}$ dla $a\in \mathbb{ℝ}$ oraz $\alpha >0.$

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenie:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F(z) \ =\ \displaystyle\int\limits_a^z\frac{\sin x}{x^{\alpha}} \qquad\forall\ z\ge a. }

Rysunek AM1.M14.W.R22 (stary numer AM1.15.11)

Pokażemy, że funkcja $F$ spełnia warunek Cauchy'ego w $+\mathrm{\infty },$ co będzie implikowało istnienie granicy $\underset{z\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(z).$ W tym celu ustalmy dowolne $\epsilon >0.$ Niech $M>a$ będzie odpowiednio duże tak, aby $\frac{3}{M^{\alpha }}<\epsilon .$ Dla dowolnych $z^{\prime }>z>M$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle F(z') -F(z) & = & \displaystyle\int\limits_z^{z'}\frac{\sin x}{x^{\alpha}}\,dx \ =\ \left| \begin{array} {ll} f'(x)=\sin x & f(x)=-\cos x\\ \displaystyle g(x)=\frac{1}{x^{\alpha}} & \displaystyle g'(x)=\frac{-\alpha}{x^{\alpha+1}} \end{array} \right|\\ & = &\displaystyle \frac{-\cos x}{x^{\alpha}}\bigg|_{z}^{z'} +\alpha\displaystyle\int\limits_z^{z'}\frac{\cos x}{x^{\alpha+1}}\,dx \ =\ \frac{-\cos z'}{{z'}^{\alpha}} +\frac{\cos z}{{z}^{\alpha}} +\alpha\displaystyle\int\limits_z^{z'}\frac{\cos x}{x^{\alpha+1}}\,dx. \end{array}}

Całkę powyższą możemy teraz oszacować:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg|\alpha\displaystyle\int\limits_z^{z'}\frac{\cos x}{x^{\alpha+1}}\,dx\bigg| \ \le\ \alpha\displaystyle\int\limits_z^{z'}\frac{1}{x^{\alpha+1}}\,dx \ =\ \frac{-1}{x^{\alpha}}\bigg|_z^{z'} \ =\ \frac{1}{z^{\alpha}} -\frac{1}{{z'}^{\alpha}} \ <\ \frac{1}{z^{\alpha}}. }

Zatem mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|F(z')-F(z)\big| \ <\ \frac{3}{z^{\alpha}} \ <\ \frac{3}{M^{\alpha}} \ <\ \varepsilon. }

Zatem funkcja $F$ spełnia warunek Cauchy'ego w $+\mathrm{\infty },$ a zatem ma granicę (skończoną) w $+\mathrm{\infty }.$
Warto tu dodać, że pomimo dowodu istnienia całki niewłaściwej $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x^{\alpha }}dx,$ nie znamy sposobów wyliczenie tej całki dla dowolnego $a,$ nawet w przypadku $\alpha =1$ (przypomnijmy, że dla funkcji $f(a)=\frac{\sin x}{x}$ pierwotna nie jest funkcją elementarną). Dla pewnych wartości $a$ całkę tę daje się wyliczyć, metodami których nie poznamy w ramach tego kursu. Dla przykładu dla $a=0$ całka ta wynosi $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}.$

Przykład 14.24.

Udowodnić, że:
(1) Całka $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^{\alpha }}dx$ jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha <1$;

(2) Całka $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^{\alpha }}dx$ jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha >1$;

(3) Całka $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\left|\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\right|dx$ jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha >1$ (gdzie $a>0$).

Rozwiązanie

(Ad (1)) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\frac{1}{x^{\alpha}}\,dx \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} \displaystyle \frac{1}{1-\alpha}x^{1-\alpha}+c & \textrm{dla} & \alpha\ne 1,\\ \ln x+c & \textrm{dla} & \alpha= 1, \end{array} \right. }

Rysunek AM1.M14.W.R23 (stary numer AM1.15.12)

więc rozważmy osobno dwa przypadki.
Przypadek 1. $\alpha \ne 1.$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1\frac{1}{x^{\alpha}}\,dx &=&\displaystyle\lim_{a\rightarrow 0^+}\displaystyle\int\limits_a^1\frac{1}{x^{\alpha}}\,dx \ =\ \lim_{a\rightarrow 0^+} \bigg(\frac{1}{1-\alpha}x^{1-\alpha}\bigg)\bigg|_a^1 \ =\ \lim_{a\rightarrow 0^+} \frac{1}{1-\alpha}(1-a^{1-\alpha})\\ &=&\displaystyle \left\{ \begin{array} {lll} \displaystyle \frac{1}{1-\alpha} & \textrm{dla} & \alpha<1,\\ +\infty & \textrm{dla} & \alpha>1. \end{array} \right.\end{array} }

Przypadek 2. $\alpha =1.$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \int\limits_0^1\frac{1}{x}\,dx \ =\ \lim_{a\rightarrow 0^+}\displaystyle\int\limits_a^1\frac{1}{x}\,dx \ =\ \lim_{a\rightarrow 0^+} \ln x\bigg|_a^1 \ =\ \lim_{a\rightarrow 0^+} (0-\ln a) \ =\ +\infty. }

Wykazaliśmy zatem, że całka jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha <1.$
(Ad (2)) Dowód analogiczny do dowodu w części (1) pozostawiamy jako ćwiczenie.
(Ad (3)) Gdy $\alpha >1,$ to możemy oszacować:

Rysunek AM1.M14.W.R24 (stary numer AM1.15.13)

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \int\limits_a^{\infty}\bigg|\frac{\sin x}{x^{\alpha}}\bigg|\,dx &=&\displaystyle \lim_{b\rightarrow+\infty} \displaystyle\int\limits_a^b\bigg|\frac{\sin x}{x^{\alpha}}\bigg|\,dx \ \le\ \lim_{b\rightarrow+\infty} \displaystyle\int\limits_a^b\frac{1}{x^{\alpha}}\,dx\\ &=&\displaystyle \lim_{b\rightarrow+\infty} \bigg[\frac{1}{-\alpha+1}x^{-\alpha+1}\bigg]_a^b \ =\ 0+\frac{1}{(1-\alpha)a^{1-\alpha}} \ <\ +\infty.\end{array} }

Gdy $\alpha \le 1,$ to mamy

$\mathrm{\forall }x\ge 1:x^{\alpha }\le x.$

Możemy także ustalić $k$ takie, że $k\pi \ge a.$ Wówczas mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \int\limits_a^{\infty}\bigg|\frac{\sin x}{x^{\alpha}}\bigg|\,dx &\ge& \displaystyle\int\limits_{k\pi}^{\infty}\frac{|\sin x|}{x}\,dx \ =\ \sum_{i=k}^{\infty} \displaystyle\int\limits_{i\pi}^{(i+1)\pi}\frac{|\sin x|}{x}\,dx\\ &\ge&\displaystyle \sum_{i=k}^{\infty} \frac{1}{\pi(i+1)} \displaystyle\int\limits_{i\pi}^{(i+1)\pi}|\sin x|\,dx \ =\ \sum_{i=k}^{\infty} \frac{2}{\pi(i+1)} \ =\ +\infty.\end{array} }

Przedostatnia równość wynika z faktu, że $\underset{i\pi }{\overset{(i+1)\pi }{\int }}|\sin x|dx=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|\sin x|dx=2,$ natomiast ostatnia z faktu, że szereg harmoniczny jest rozbieżny.

Uwaga 14.25.

W rachunkach będziemy pisać krótko

$F(x){|}_a^{+\mathrm{\infty }}\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">zamiast</mrow>}\underset{b^{\prime }\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x){|}_a^{b^{\prime }}$

oraz

$F(x){|}_{-\mathrm{\infty }}^b\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">zamiast</mrow>}\underset{a^{\prime }\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x){|}_{a^{\prime }}^b.$

Na zakończenie podamy jeden z wielu związków całki z szeregiem. Następujące twierdzenie jest jeszcze jednym kryterium zbieżności szeregów. Może być ono wykorzystane także do badania zbieżności całki przy pomocy badania zbieżności szeregu.

Twierdzenie 14.26. [Kryterium całkowe zbieżności szeregów]

Jeśli $f:[n_0,+\mathrm{\infty }]⟶{\mathbb{ℝ}}_{+}$ jest funkcją malejącą oraz całkowalną w sensie Riemanna ($n_0\in \mathbb{\mathbb{N}}$), to szereg $\sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy całka $\underset{n_0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ jest zbieżna.

Dowód tego twierdzenia pozostawiamy jako proste ćwiczenie oparte na następującym sugestywnym rysunku:

Rysunek AM1.M14.W.R25 (stary numer AM1.15.14)

Przykład 14.27.

Zbadać zbieżność szeregu $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{\ln }^{2}n}.$

Rozwiązanie

Zauważmy, że funkcja $f(x)=\frac{1}{x{\ln }^{2}x}$ jest ciągła i malejąca na przedziale $[2,+\mathrm{\infty }).$ Można zatem stosować kryterium całkowe zbieżności szeregów. Zbieżność szeregu $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{\ln }^{2}n}$ jest równoważna zbieżności całki $\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x{\ln }^{2}x}dx.$ Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_2^{\infty}\frac{1}{x\ln^2x}\,dx \ =\ \left| \begin{array} {rcl} \ln x & = & t\\ \displaystyle\frac{1}{x}\,dx & = & dt \end{array} \right| \ =\ \displaystyle\int\limits_{\ln 2}^{\infty}\frac{dt}{t^2} \ =\ -\frac{1}{t}\bigg|_{\ln 2}^{+\infty} \ =\ \frac{1}{\ln 2} \ <\ +\infty. }

Zatem korzystając z kryterium całkowego zbieżności szeregów otrzymujemy, że szereg jest zbieżny.