Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Ćwiczenia 6: Rozkłady prawdopodobieństwa i zmienne losowe

Ćwiczenia i zadania

Ćwiczenie

Rozpatrujemy eksperyment polegający na rzucie dwiema symetrycznymi kostkami, a interesuje nas ta większa spośród liczb oczek uzyskanych na obu z kostkach.

Wyróżnijmy przestrzeń probabilistyczną

$(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$

, gdzie:

$\mathrm{\Omega }=\{(i,j):i,j=1,\dots ,6\}$

oraz:

$\mathrm{\Sigma }=\sigma (A_1,\dots ,A_6)$

(to znaczy, że $\mathrm{\Sigma }$ jest najmniejszą $\sigma$-algebrą

zawierającą zbiory

$A_1,\dots ,A_n$

), zaś:

$A_k=\{(i,j):\max (i,j)=k\}$

(

$P$

możemy zdefiniować w dowolny

sposób). Określmy następujące trzy funkcje:

${\xi }_1(i,j)=\max (i,j),$ Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \xi_2(i,j) = \left\{ \begin{array} {rl} 1, & } gdy $i>3$ lub Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle j > 3\\ 0, & } w przeciwnym wypadku, Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \end{array} \right. } ${\xi }_3(i,j)=i+j.$

Łatwo sprawdzić, że dwie pierwsze funkcje są zmiennymi losowymi na $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ i jest to zgodne z naszą zapowiedzią, że zmienne losowe opisują zdarzenia "ciekawe". Rzeczywiście, zmienna losowa ${\xi }_1$ jest po prostu interesującą nas w danej chwili wielkością, zaś zmienna ${\xi }_2$ wskazuje na to, czy ta wielkość jest lub nie jest $>3$. Natomiast funkcja ${\xi }_3$ nie jest zmienną losową na tej przestrzeni, gdyż na przykład zbiór:

$B={\xi }_3^{-1}((-\mathrm{\infty },3])=\{(1,1),(1,2),(2,1)\}$

nie może być przedstawiony za pomocą zbiorów $A_i$, więc nie jest zdarzeniem (to znaczy $B\notin \mathrm{\Sigma }$). Jest to zrozumiałe w tym sensie, że informacja o maksymalnej liczbie oczek nie określa jednoznacznie ich sumy. Oczywiście, wszystkie trzy funkcje są zmiennymi losowymi względem $\sigma$-algebry ${𝒫}(\mathrm{\Omega })$.

Ćwiczenie

Nawiązując do ćwiczenia Uzupelnic pr655|, policzymy rozkład zmiennej ${\xi }_2$ (teraz już zakładamy, że $P$ jest miarą określoną jak w schemacie klasycznym).

Otrzymujemy:

$P_{{\xi }_2}(x)=P({\xi }_2^{-1}(x))=0$ dla $x\notin \{0,1\},$ $P_{{\xi }_2}(0)=P(A_1\cup A_2\cup A_3)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$

oraz

$P_{{\xi }_2}(1)=P(A_4\cup A_5\cup A_6)=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}.$

Ćwiczenie

Rozpatrzymy dwie sytuacje, w których zmienne losowe $\xi$ oraz $\eta$ mają takie same rozkłady, a mimo to ich zestawienia w każdym przypadku mają rozkłady istotnie różne.

W obu poniższych przypadkach zajmujemy się schematem klasycznym.

Najpierw założymy, że:

$\mathrm{\Omega }=\{1,\dots ,6\},$

a zmienne losowe są zdefiniowane

przez:

$\xi (i)=\eta (i)=i.$

Oczywiście, rozkłady tych zmiennych są sobie równe i można je w każdej chwili podać. Ciekawszy dla nas jest natomiast rozkład wektora losowego $(\xi ,\eta )$. Wprost z definicji widać, że jest on skupiony w sześciu punktach postaci $(i,i)$, gdzie i =$1,\dots ,6$. Mianowicie:

$P_{(\xi ,\eta )}(i,i)=\frac{1}{6}.$

Niech teraz:

$\mathrm{\Omega }=\{(i,j):i,j=1,\dots ,6\},$

oraz niech zmienne losowe będą określone następująco:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \xi(i,j) = i,\: \eta(i,j) = j.}

Oczywiście, tak jak w przypadku poprzednim, zmienne te mają

takie same rozkłady. Jednak, jak łatwo się przekonać, rozkład ich zestawienia jest

całkiem inny. Mianowicie:

$P_{(\xi ,\eta )}(i,j)=\frac{1}{36}$ dla $i,j=1,\dots ,6.$

Zauważmy przy okazji, że w drugim przypadku zachodzi równość:

$P_{(\xi ,\eta )}(i,j)=P_{\xi }(i)P_{\eta }(j)$ dla wszystkich $i,j,$

co oznacza, że rozkład

zestawienia jest iloczynem kartezjańskim rozkładów zmiennych składowych. Głębszym powodem tego jest to, że zmienne $\xi$ oraz $\eta$ są niezależne -- co to oznacza, zostanie za chwilę formalnie zdefiniowane, jednak zakładając (chyba całkiem naturalnie), że wynik rzutu jedną kostką nie ma wpływu na wynik rzutu drugą kostką, czujemy, że nasze zmienne losowe "powinny" być niezależne.

Ćwiczenie

Wykażemy, że podczas rzutu dwiema kostkami suma oczek $S$ i różnica oczek $R$ nie są zmiennymi losowymi niezależnymi.

Wystarczy wskazać takie wartości przyjmowane przez te zmienne, dla których nie zachodzi wzór (Uzupelnic eq:prr5d|).

Zauważmy, na przykład, że:

$P(S=12,R=0)=\frac{1}{36},$

gdyż

powyższe zdarzenie oznacza wypadnięcie pary "szóstek",

natomiast:

$P(S=12)=\frac{1}{36},P(R=0)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6},$

a więc:

$P(S=12)\cdot P(R=0)=\frac{1}{216}.$

Ćwiczenie

Niech $\xi$ będzie zmienną losową o rozkładzie dyskretnym, przyjmującą wartości: $-1,0,1,2,3$, z prawdopodobieństwem $\frac{1}{5}$ każda. Policzmy rozkład zmiennej losowej ${\xi }^2$.

Zmienna

${\xi }^2$

przyjmuje wartości:

$0,1,4,9$

z

prawdopodobieństwami, odpowiednio:

$\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{5}.$

Ćwiczenie

Niech $\xi$ będzie zmienną losową o rozkładzie ciągłym o gęstości $f(x)=\frac{1}{2}{I}_{[-1,1]}$. Wyznaczymy rozkład zmiennej losowej $\frac{1}{\xi }$, podając jej dystrybuantę $G$.

Musimy policzyć $G(a)$ dla każdego $a\in \mathbb{ℝ}$. Dla $a<0$ mamy:

$G(a)=P(\frac{1}{\xi }\le a)=P(\frac{1}{\xi }\le a,\xi <0)=P(\frac{1}{a}\le \xi <0)$ Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle = \int_{1\over a}^0 f(x)\,dx = \left\{ \begin{array} {rl} \displaystyle -\frac{1}{2a} & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a\le -1 \\[0.4cm] \displaystyle \frac{1}{2} & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle -1 < a\le 0. \end{array} \right. }

Jeszcze łatwiej można policzyć $G(a)$ dla $a>0$ -- zauważmy, że przypadek $a=0$ jest najprostszy. Otrzymujemy ostatecznie:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle G(a) = \left\{ \begin{array} {rl} \displaystyle \frac{-1}{2a} & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a \le -1 \\[0.3cm] \displaystyle \frac{1}{2} & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle -1 < a \le 1 \\[0.2cm] \displaystyle 1 - \frac{1}{2a} & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1 < a. \end{array} \right. }

Jest oczywiste, że dystrybuanta $G$ jest różniczkowalna wszędzie z wyjątkiem trzech punktów, a to, zgodnie z uwagą Uzupelnic d251|, pozwala nam wyliczyć gęstość $g$. Mianowicie:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle g(a) = G'(a) = \left\{ \begin{array} {rl} \displaystyle \frac{1}{2a^2} & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a \le -1, \\[0.3cm] \displaystyle 0 & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle -1 < a \le 1, \\[0.2cm] \displaystyle \frac{1}{2a^2} & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1 < a. \end{array} \right. }

Ćwiczenie

Narysujemy dystrybuantę rozkładu jednostajnego na odcinku $(0,2)$, o którym była mowa w przykładzie Uzupelnic prj|.

Oto właściwy rysunek:

{figure = 65.eps, height = 5cm}

. . .

Ćwiczenie

Niech $\xi$ oznacza liczbę orłów uzyskanych podczas rzutu trzema monetami. Wyznacz rozkład i dystrybuantę $\xi$.

Ćwiczenie

W urnie jest jedna kula niebieska i dwie kule czarne. Losujemy kolejno: (a) bez zwracania, (b) ze zwracaniem, kule do momentu wylosowania niebieskiej kuli. Wyznacz rozkład liczby losowań oraz podaj wartość dystrybuanty tego rozkładu dla liczby 2.

Ćwiczenie

Dobrać współczynnik $a$ tak, aby funkcja:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle f(x) = \left\{\begin{array} {rl} 0 & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x \notin (0,1)\\ ax(1-x) & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x \in (0,1), \end{array} \right. }

była gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa. Znajdź dystrybuantę tego rozkładu.

Ćwiczenie

Dla jakiej stałej $C$ funkcja $P:{ℬ}(\mathbb{ℝ})⟶\mathbb{ℝ}$ taka, że: $P(k)=\frac{C}{k(k+1)}$ dla $k=1,2,3,\dots ,$ może być funkcją prawdopodobieństwa dla pewnego

rozkładu?

Ćwiczenie

Dla jakiej liczby $C$ funkcja:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array} {rl} 0 & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x<1\\ {C\over x^4} & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x \ge 1, \end{array} \right. }

jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa? Dla tak otrzymanej liczby $C$, oblicz $P(\{x\in \mathbb{ℝ}:\frac{1}{x}<a\})$, gdzie $a$ ustalone.

Ćwiczenie

Dla rozkładu $P$ na ${\mathbb{ℝ}}^2$, określamy tak zwane rozkłady brzegowe $P_1(A)=P(A\times \mathbf{𝐑})$ oraz $P_2(B)=P(\mathbb{ℝ}\times B)$, gdzie $A$ i $B$ są zbiorami borelowskimi. Czy prawdą jest, że $P=P_1\times P_2$?

Ćwiczenie

Oblicz $F(0)$, $F(0.3)$ oraz $F(3)$, gdzie $F$ jest dystrybuantą określoną wzorem: $F=\frac{1}{3}{F}_1+\frac{2}{3}{F}_2$, gdzie $F_1$ jest dystrybuantą rozkładu dyskretnego przyjmującego w punktach $0$, $1$, $2$, $3$ i $4$ tę samą wartość równą $\frac{1}{5}$, zaś $F_2$ jest dystrybuantą rozkładu jednostajnego na odcinku $(0,2)$. Naszkicuj wykres $F$. Czy $F$ ma rozkład dyskretny, czy rozkład ciągły?

Wskazówka. Skorzystaj ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

Ćwiczenie

Sformułuj odpowiednią definicję dystrybuanty tak, aby funkcja $F(x):=P(-\mathrm{\infty },x)$ była dystrybuantą, o ile $P$ jest rozkładem prawdopodobieństwa.

Ćwiczenie

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie sumą parami rozłącznych zbiorów $F_1,F_2,\dots ,F_k$ oraz niech $\xi :\mathrm{\Omega }⟶\mathbb{ℝ}$ będzie funkcją. Rozważmy $\sigma$-algebrę $\mathrm{\Sigma }$, utworzoną ze wszystkich możliwych sum zbiorów $F_1,F_2,\dots ,F_k$. Wykaż, że jeżeli $\xi$ jest stała na każdym zbiorze $F_i$ dla $i=1,\dots ,k$, to $\xi$ jest mierzalna względem $\mathrm{\Sigma }$.

Ćwiczenie

Dystrybuanta $F$ zmiennej losowej $\xi$ jest dana wzorem:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle F(x) = \left\{ \begin{array} {rl} 0 & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x<-1\\ & \\ {1\over 3} & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle -1\le x < 0\\ & \\ {1 \over 3}(x + 1) & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 0 \le x < 1\\ & \\ 1 & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 1 \le x. \end{array} \right. }

Oblicz $P(|\xi |>a)$ dla $a=0,\frac{1}{2},1,2$.

Ćwiczenie

Z przedziału $[1,10]$ losujemy liczbę naturalną $a$ zgodnie ze schematem klasycznym, a następnie z przedziału $[1,a]$ losujemy liczbę $\xi$, też według schematu klasycznego. Znaleźć rozkład zmiennej losowej $\xi$. Jaka jest w tym przypadku naturalna przestrzeń probabilistyczna?

Ćwiczenie

Korzystając z definicji Uzupelnic dnzl|, wykaż wzór (Uzupelnic eq:prr5d|).

Ćwiczenie

Niezależne zmienne losowe $\xi$ oraz $\eta$ mają rozkłady jednostajne na przedziale $(0,1)$. Znajdź rozkłady zmiennych $\min (\xi ,\eta )$ oraz $\max (\xi ,\eta )$. Czy zmienne te są niezależne? Spróbuj odgadnąć odpowiedź przed formalnym sprawdzeniem.

Ćwiczenie

Niech niezależne zmienne losowe $\xi$ oraz $\eta$ mają rozkłady dyskretne $P(\xi =k)=p_k$ i $P(\eta =k)=q_k$, gdzie $k=0,1,2,3,\dots$. Wykaż, że suma $\xi +\eta$ ma rozkład:

$P(\xi +\eta =k)=\sum _{i=0}^k{p}_i{q}_{k-i}$ dla $k=0,1,2,3,\dots$

Ćwiczenie

Wyprowadź wzór analogiczny do wzoru (Uzupelnic eq:suma51|), w przypadku, gdy obie zmienne losowe przyjmują jedynie wartości $1,\dots ,N$, gdzie $N$ jest ustaloną liczbą naturalną.

Ćwiczenie

W urnie jest 5 niebieskich i 3 czarne kule. Niech $T_n$ i $T_c$ oznaczają numery losowań, w którym po raz pierwszy pojawi się, odpowiednio, niebieska lub czarna kula. Znajdź rozkład wektora losowego $(T_n,T_c)$. Czy zmienne losowe $T_n$ i $T_c$ są niezależne? Rozważ dwa przypadki: gdy losujemy po jednej kuli ze zwracaniem oraz bez zwracania.