Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 3: Odległość i ciągi

3. Odległość i ciągi

Ćwiczenie 3.1.

Wykazać, że funkcje $d_{\infty}$ i $d_{1}$ zdefiniowane na $ℝ^{N} \times ℝ^{N}$ jako

$\begin{aligned} d_{\infty} (x, y) & \overset{d f}{=} & \max_{i = 1, \dots, N} | x_{i} - y_{i} | dla x, y \in ℝ^{N}, \\ d_{1} (x, y) & \overset{d f}{=} & \sum_{i = 1}^{N} | x_{i} - y_{i} | dla x, y \in ℝ^{N} \end{aligned}$

są metrykami (patrz przykład 3.5. i przykład 3.6.).

Wskazówka

Wszystkie trzy warunki definicji metryki są łatwe do sprawdzenia. W nierówności trójkąta należy wykorzystać nierówność dla wartości bezwzględnej w $ℝ$ (to znaczy nierówność trójkąta dla metryki euklidesowej w $ℝ$ ).

Rozwiązanie

Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla $d_{\infty}$ :
Dla $x, y \in ℝ^{N}$ mamy

$\begin{aligned} d_{\infty} (x, y) = 0 & ⟺ \max_{i = 1, \dots, N} | x_{i} - y_{i} | = 0 ⟺ | x_{1} - y_{1} | = \dots = | x_{N} - y_{N} | = 0 \\ ⟺ [x_{1} = y_{1}, \dots, x_{N} = y_{N}] ⟺ x = y . \end{aligned}$

Wobec tego, że $| a - b | = | b - a |$ , dla $x, y \in ℝ^{N}$ mamy

$d_{\infty} (x, y) = \max_{i = 1, \dots, N} | x_{i} - y_{i} | = \max_{i = 1, \dots, N} | y_{i} - x_{i} | = d_{\infty} (x, y)$

zatem spełniony jest warunek symetrii.
Wobec tego, że $| a - b | \leq | a - c | + | c - b |$ , dla $x, y, z \in ℝ^{N}$ mamy

$\begin{aligned} d_{\infty} (x, z) & = \max_{i = 1, \dots, N} | x_{i} - z_{i} | = \max_{i = 1, \dots, N} | x_{i} - y_{i} + y_{i} - z_{i} | \leq \max_{i = 1, \dots, N} (| x_{i} - y_{i} | + | y_{i} - z_{i} |) \\ \leq \max_{i = 1, \dots, N} | x_{i} - y_{i} | + \max_{i = 1, \dots, N} | y_{i} - z_{i} | = d_{\infty} (x, y) + d_{\infty} (y, z), \end{aligned}$

zatem pokazaliśmy warunek trójkąta. Wykazaliśmy zatem że $d_{\infty}$ jest metryką w $ℝ^{N} .$

Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla $d_{1}$ :
Dla $x, y \in ℝ^{N}$ mamy

$\begin{aligned} d_{1} (x, y) = 0 & ⟺ \sum_{i = 1}^{N} | x_{i} - y_{i} | = 0 ⟺ | x_{1} - y_{1} | = \dots = | x_{N} - y_{N} | = 0 \\ ⟺ [x_{1} = y_{1}, \dots, x_{N} = y_{N}] ⟺ x = y . \end{aligned}$

Dla $x, y \in ℝ^{N}$ mamy

$d_{1} (x, y) = \sum_{i = 1}^{N} | x_{i} - y_{i} | = \sum_{i = 1}^{N} | y_{i} - x_{i} | = d_{1} (x, y)$ ,

zatem spełniony jest warunek symetrii.
Dla $x, y, z \in ℝ^{N}$ mamy

$\begin{aligned} d_{1} (x, z) & = \sum_{i = 1}^{N} | x_{i} - z_{i} | = \sum_{i = 1}^{N} | x_{i} - y_{i} + y_{i} - z_{i} | \leq \sum_{i = 1}^{N} (| x_{i} - y_{i} | + | y_{i} - z_{i} |) \\ = \sum_{i = 1}^{N} | x_{i} - y_{i} | + \sum_{i = 1}^{N} | y_{i} - z_{i} | = d_{1} (x, y) + d_{1} (y, z), \end{aligned}$

zatem pokazaliśmy warunek trójkąta. Wykazaliśmy zatem, że $d_{1}$ jest metryką w $ℝ^{N} .$

<flashwrap>file=AM1.M03.C.R01.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Odległość punktu od zbioru

Ćwiczenie 3.2.

Dla danej metryki $d$ w $ℝ^{N}$ można zdefiniować odległość punktu $x$ od zbioru niepustego $A$ jako infimum wszystkich odległości między $x$ a punktami zbioru $A$ , czyli

$d i s t (x, A) = \inf_{z \in A} d (x, z) .$

Dany jest zbiór $A = [0, 1] \times [0, 1] \subseteq ℝ^{2}$ oraz dwa punkty $x = (2, 3)$ oraz $y = (3, - 2) .$ Wyznaczyć
(a) odległość punktów $x$ i $y$ ;
(b) $d i s t (x, A)$ ;

(c) kolejno w metrykach: euklidesowej $d_{2}$ ; taksówkowej $d_{1}$ ; maksimowej $d_{\infty} .$

Wskazówka

Należy wykonać rysunek zbioru $A$ oraz wszystkich zadanych punktów w układzie współrzędnych. Przy liczeniu odległości punktów oraz odległości punktu od zbioru należy skorzystać z definicji poszczególnych metryk oraz rysunku.

Rozwiązanie

(1) Metryka euklidesowa $d_{2}$ .

Plik:AM1.M03.C.R02.svg

Odległość euklidesowa

(a) Odległość punktów $x$ i $y$

$\begin{array}{lll} d_{2} (x, y) & = & d_{2} ((2, 3), (3, - 2)) \\ = & \sqrt{(2 - 3)^{2} + (3 + 2)^{2}} = \sqrt{26} . \end{array}$

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana w punkcie $z = (1, 1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest większa, niż do $z$ ), zatem

$d i s t (x, A) = d_{2} ((2, 3), (1, 1)) = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (3 - 1)^{2}} = \sqrt{5} .$

(2) Metryka taksówkowa $d_{1}$

(a) Odległość punktów $x$ i $y$

$d_{1} (x, y) = d_{1} ((2, 3), (3, - 2)) = | 2 - 3 | + | 3 + 2 | = 6 .$

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana w punkcie $z = (1, 1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest większa, niż do $z$ ), zatem

$d i s t (x, A) = d_{1} ((2, 3), (1, 1)) = | 2 - 1 | + | 3 - 1 | = 3 .$

(3) Metryka maksimowa $d_{\infty}$

(a) Odległość punktów $x$ i $y$

$d_{\infty} (x, y) = d_{\infty} ((2, 3), (3, - 2)) = \max {| 2 - 3 |, | 3 + 2 |} = 5 .$

(b) Odległość $x$ od zbioru $A$ jest realizowana na przykład w punkcie $z = (0, 1)$ (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od $x$ do dowolnego innego punktu zbioru $A$ jest niemniejsza, niż do $z$ ), zatem

$d i s t (x, A) = d_{2} ((2, 3), (0, 1)) = \max {| 2 - 0 |, | 3 - 1 |} = 2 .$

<flash>file=AM1.M03.C.R03.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Odległość taksówkowa

<flash>file=AM1.M03.C.R04.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Odległość maksimowa

Ćwiczenie 3.3.

Udowodnić, że dla każdego ciągu ${x_{n}} \subseteq ℝ^{N}$ istnieje co najwyżej jedna granica, to znaczy:

$[\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g_{1} \in ℝ^{N} i \lim_{n \to + \infty} x_{n} = g_{2} \in ℝ^{N}] ⟹ g_{1} = g_{2} .$

Wskazówka

Przeprowadzić dowód niewprost. Dobrać $ε = \frac{1}{2} d (g_{1}, g_{2})$ w definicji granicy ciągu.

Rozwiązanie

Plik:AM1.M03.C.R05.svg

Ilustracja do dowodu twierdzenia z ćwiczenia 3.3, gdy

N = 1

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

$\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g_{1}, \lim_{n \to + \infty} x_{n} = g_{2} oraz g_{1} \neq g_{2} .$

Niech $ε = \frac{1}{2} d (g_{1}, g_{2}) .$ Wówczas $ε > 0$ (gdyż założyliśmy, że $g_{1} \neq g_{2}$ ). Z definicji granicy ciągu wynika, że

$\begin{aligned} \exists N_{1} \in ℕ \forall n \geq N_{1} : & d (x_{n}, g_{1}) < ε, \\ \exists N_{2} \in ℕ \forall n \geq N_{2} : & d (x_{n}, g_{2}) < ε . \end{aligned}$

Niech $N = \max {N_{1}, N_{2}} .$ Wówczas dla wyrazu $x_{N}$ mamy:

$d (g_{1}, g_{2}) \leq d (g_{1}, x_{N}) + d (x_{N}, g_{2}) < ε + ε = 2 ε$

sprzeczność. Zatem $g_{1} = g_{2} .$

<flash>file=AM1.M03.C.R06.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ilustracja do dowodu twierdzenia z ćwiczenia 3.3, gdy

N = 2

Ćwiczenie 3.4.

Udowodnić, że jeśli ciąg ${x_{n}} \subseteq ℝ^{N}$ jest zbieżny, to jest ograniczony.

Wskazówka

Zastosować definicję granicy z ustalonym $ε > 0$ (na przykład $ε = 1$ ) i zauważyć, że od pewnego miejsca ciąg jest ograniczony.

Rozwiązanie

Załóżmy, że $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g .$ Ustalmy $ε = 1 .$ Z definicji granicy ciągu mamy

$\exists N \in ℕ \forall n \geq N : d (x_{n}, g) < 1$

(to znaczy wszystkie wyrazy ciągu począwszy od $N$ -tego leża w kuli jednostkowej, a więc tworzą zbiór ograniczony). Niech teraz

$R = \max {d (x_{1}, g), d (x_{2}, g), \dots, d (x_{N}, g)} + 1 .$

Wówczas $d (x_{n}, g) < R$ dla dowolnego $n \in ℕ,$ czyli

$\forall n \in ℕ : x_{n} \in K (g, R),$

<flash>file=AM1.M03.C.R07.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Ilustracja do dowodu twierdzenia z ćwiczenia 3.4.

a to oznacza, że ciąg ${x_{n}}$ jest ograniczony.

Ćwiczenie 3.5.

(1) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów otwartych w $ℝ$ takich, że ich przecięcie nie jest zbiorem otwartym.
(2) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów domkniętych w $ℝ$ takich, że ich suma nie jest zbiorem domkniętym.

Wskazówka

Rozwiązanie

(1) Rozważmy przedziały otwarte $U_{n} = (- \frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n})$ dla $n \in ℕ .$ Wówczas

$⋂_{n = 1}^{\infty} U_{n} = [0, 1],$

oraz przedział $[0, 1]$ nie jest zbiorem otwartym.

(2) Rozważmy przedziały domknięte $F_{n} = [\frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n}] .$ Wówczas

$⋃_{n = 1}^{\infty} F_{n} = (0, 2),$

oraz przedział $(0, 2)$ nie jest zbiorem domkniętym.

Ćwiczenie 3.6.

Zbadać, czy ciąg ${x_{n}} \subseteq (R^{2}, d_{2})$ gdzie $x_{n} = {\frac{2 + n}{n}, n},$ spełnia warunek Cauchy'ego.

Wskazówka

Zbadać odległość dwóch kolejnych wyrazów ciągu $x_{n}$ i $x_{n + 1}$ dla dowolnego $n \in ℕ .$

Rozwiązanie

Zauważmy, że

$d_{2} (x_{n}, x_{n + 1}) = \sqrt{\underset{\geq 0}{\underset{⏟}{(\frac{2 + n + 1}{n + 1} - \frac{2 + n}{n})^{2}}} + (\underset{= 1}{\underset{⏟}{n + 1 - n}})^{2}} \geq 1,$

a zatem ciąg ten nie spełnia warunku Cauchy'ego, gdyż dla dowolnie dużego $n \in ℕ$ odległości między kolejnymi wyrazami ciągu są stale większe od $1 .$

Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 3: Odległość i ciągi

3. Odległość i ciągi

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia